Intégrale stochastique

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1 Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t } est sa filtration naturelle. 1

2 1 L intégrale stochastique générale On cherche à définir θ s db s quand {θ s,s } est un processus stochastique. Définition 1.1 On dit que {θ t,t } est un bon processus s il est (Ft B )-adapté, càglàd, et si [ E pour tout t>. ] θs 2 ds < + 2

3 1.1 Cas des processus étagés Ce sont les processus du type θ n t = p n i= θ i 1 ]ti,t i+1 ](t) où p n IN, =t t 1... t pn i =,...,p n.ondéfinit et θ i L 2 (Ω, F ti,p) pour tout I t (θ n ) = θ n s db s = p n i= θ i (B ti+1 t B ti t) 3

4 Propriétés: E [I t (θ n )] = Var [I t (θ n )] = E [ ] (θs n ) 2 ds. Les processus I t (θ n )eti 2 t (θ n ) (θn s ) 2 ds sont des martingales. 4

5 1.2 Cas général Si θ est un bon processus, il existe {θ n,n } suite de processus étagés telle que E [ ] (θ s θs n ) 2 ds quand n +. Il existe une v.a. I t (θ) decarréintégrable telle que [ E I t (θ) I t (θ n ) 2] quand n +. Onpose pour tout t. I t (θ) = θ s db s 5

6 Propriétés: E [I t (θ)] = [ Var [I t (θ)] = E ] θs 2 ds. Linéarité : I t (a 1 θ 1 + a 2 θ 2 ) = a 1 I t (θ 1 ) + a 2 I t (θ 2 ). Propriétés de martingale : Pour tout bon processus θ, les processus t I t (θ) et t I t (θ) 2 θ 2 sds 6

7 sont des (F B t )-martingales continues. E [ (I t (θ) I s (θ)) 2 F B s ] = E [ s θudu ] 2 F B s. Propriété d isométrie : Pour tous bons processus ϕ, θ et tout s, t, on a [ s t ] E [I s (ϕ)i t (θ)] = E θ u ϕ u du. Le processus est une (F B t )-martingale. I t (θ)i t (ϕ) θ u ϕ u du 7

8 Proposition 1.2 Pour tout t on a B s db s = 1 2 (B2 t t). 8

9 Il est possible de définir I t (θ) sous la seule condition θs 2 ds < + p.s. Cependant, t I t (θ) n est plus nécessairement une martingale. Définition 1.3 Soit {F t,t } une filtration et {X t,t } un processus (F t )-adapté. On dit que X est une (F t )-martingale locale s il existe une suite {τ n,n } de (F t )-temps d arrêt telle que P [τ n + ] = 1 et le processus X n : t X t τn est une martingale pour tout n. Définition 1.4 On dit que {θ t,t } est un bon processus local s il est càglàd, (F B t )-adapté, et si θ 2 s ds < + 9 p.s.

10 pour tout t>. Soit θ un bon processus local. On peut définir I t (θ) pour tout t>, qui est une martingale locale. De même, en prenant la même suite de temps d arrêt, on montre que le processus est une martingale locale. I t (θ) 2 θ 2 s ds 1

11 1.3 Le crochet Définition 1.5 Si Z est une martingale locale continue, < Z > est l unique processus croissant continu (F t )-adapté tel que t Zt 2 <Z> t soit une (F t )-martingale locale. Par polarité, on peut définir le crochet de deux (F t )-martingales locales M et N en écrivant <M,N> t = 1 2 (<M+ N> t <M> t <N> t ). Le crochet <M,N>est aussi l unique processus à variation finie tel que le processus MN <M,N>soit une martingale locale. 11

12 Enfin, la proposition suivante donne enfin de <M,N>une importante construction trajectorielle : Proposition 1.6 Soient M et N deux martingales locales continues. Alors p.s. pour tout t, <M,N> t = lim n + 2 n i=1 (M t n i M t n i 1 )(N t n i N t n i 1 ) où {t n i,i=...2n } désigne la subdivision régulière sur [,t]. <I(θ) > t = θ 2 s ds et <I(θ),I(ϕ) > t = θ s ϕ s ds. On dit que deux martingales continues sont orthogonales si leur crochet est nul, c est-à-dire si leur produit est une martingale. Par exemple, deux Browniens indépendants sont des martingales orthogonales. 12

13 2 Cas particulier: Intégrale de Wiener 13

14 2.1 Définition On note L 2 (IR + ) l ensemble des (classes d équivalence des) fonctions boréliennes f de IR + dans IR de carré intégrable, c est-à-dire telles que + f(s) 2 ds <. C est un espace de Hilbert pour la norme ( 1/2 f 2 = f 2 (s) ds). 14

15 2.1.1 a. Fonctions en escalier Pour f = 1 ]u,v],onpose + f(s)db s = B(v) B(u). Soit f une fonction en escalier, f(s) = i=n i=1 f i 1 1 ]ti ;t i+1 ](s) on pose + f(s)db s = i=n i=1 f i 1 (B(t i ) B(t i 1 )). La variable aléatoire I(f) def = + f(s)db s est une variable gaussienne d espérance nulle et de variance + f 2 (s)ds. L intégrale est linéaire : I(f + g) =I(f)+I(g). Si f et g sont des fonctions en escalier E(I(f) I(g)) = f(s) g(s) ds. Le processus I R + est un processus gaussien, c est une martingale. 15

16 2.1.2 b. Cas général Si f L 2 (IR + ), il existe une suite f n de fonctions en escalier qui converge (dans L 2 (IR + )) vers f, c est-à-dire qui vérifie f n f 2 (x) dx n. Dans ce cas, la suite f n est de Cauchy dans L 2 (IR + ). La suite de v.a. F n = f n (s) db s est une suite de Cauchy dans l espace de Hilbert L 2 (Ω) (en effet F n F m 2 = f n f m 2 n,m ), donc elle est convergente. On pose I(f) def = f(s) db s = lim n f n (s) db s la limite étant prise dans L 2 (Ω). On dit que I(f) estl intégrale stochastique (ou intégrale de Wiener) de f par rapport à B. 16

17 Le sous-espace de L 2 (Ω) formé par les v.a. f(s)db s coïncide avec l espace gaussien engendré par le mouvement Brownien. 17

18 2.2 Propriétés L application f I(f) est linéaire I(f + g) =I(f)+I(g) et isométrique de L 2 (IR + )dansl 2 (Ω) E (I(f) I(g)) = f(s)g(s) ds. IR + La variable I(f) est une v.a. gaussienne centrée de variance f 2 (s)ds appartenant à l espace gaussien engendré par IR + (B t,t ) et elle vérifie pour tout t ) E (B t f(s)db s = f(s)ds. (2.1) IR + La propriété (2.1) est en fait une caractérisation de l intégrale 18

19 stochastique au sens où si pour tout t, E(ZB t )= f(s)ds, alors Z = f(s)db s. 19

20 2.3 Processus lié à l intégrale stochastique De la même façon on définit f(s)db s pour f telle que T f(s) 2 ds <, T, ce qui permet de définir l intégrale stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera L 2 loc cette classe de fonctions. 2

21 Théorème 2.1 Soit f L 2 loc et M t = f(s)db s. a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. M t est d espérance et de variance f 2 (s) ds. b) Le processus M est un processus gaussien centré de covariance s f 2 (u) du à accroissements indépendants. c) Le processus (Mt 2 f 2 (s) ds, t ) est une martingale. d) Si f et g sont dans L 2 loc,ona E( f(u)db u s g(u)db u)= s f(u)g(u)du. 21

22 2.4 Intégration par parties Théorème 2.2 Si f est une fonction de classe C 1, f(s) db s = f(t)b(t) f (s)b s ds. On peut aussi écrire cette formule d(b t f(t)) = f(t)db t + B t f (t)dt. 22

23 3 Exemples 23

24 3.1 Processus d Ornstein-Uhlenbeck Théorème 3.1 L équation de Langevin V t = a pour unique solution av s ds + σb t + V, (3.1) V t = e ta V + e (t s)a σdb s. (3.2) On écrit l équation (3.1) sous forme condensée dv t + av t dt = σdb t, V donné les données du problème sont la variable aléatoire V, le Brownien B et les constantes a et σ. 24

25 Proposition 3.2 Le processus V, appellé processus d Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d espérance et de covariance E(V t )=e ta V, cov[v s,v t ]= s e (s u)a σ 2 e (t u)a du, s t En particulier, si V est une constante (v =) et Var(V t )= σ2 (1 exp 2at). 2a cov[v s,v t ]= σ2 2a e a(s+t) (e 2as 1) 25

26 En écrivant V s = e sa V + V s e (s t)a = e ta V + s s e (s u)a σdb u e (t u)a σdb u on en déduit, pour s t V t = V s e (t s)a + ou encore V t+s = V s e ta + s e (t u)a σdb u e (t u)a σd B u où le processus B défini par B u = B s+u B s est un MB indépendant de F s (donc de V s ). 26

27 En particulier E(f(V t+s ) F s )=E(f(V s e ta + Y ) F s )=E(f(V t+s ) V s ) (dans cette égalité Y est une v.a. indépendante de F s )cequiétablit le caractère markovien de V. Le calcul explicite peut se faire en utilisant que E(f(V s (x) e ta + Y ) F s )=Ψ(V s (x) ) avec Ψ(y) =E(f(ye ta + Y )) = E(f(V (y) t )) où V (x) est la solution de l équation de valeur initiale x, soit V (x) t = e ta x + e (t s)a σdb s. 27

28 Proposition 3.3 La variable aléatoire gaussienne, de moyenne V 1 e at a σ2 2a 3 (1 e at ) 2 + σ2 1 e at (t ). a2 a et de variance V s ds est une v.a. 28

29 3.2 ModèledeVasicek dr t = a(b r t )dt + σdb t. (3.3) La forme explicite de la solution est r t =(r b)e at + b + σ e a(t u) db u. L égalité r t =(r s b)e a(t s) + b + σ établit le caractère Markovien de r. s e a(t u) db u,s t 29

30 Si r est une constante, r t est une variable gaussienne de moyenne (r b)e at + b, et de variance σ2 2a (1 exp 2at). En particulier, ce n est pas une variable positive. Le processus r est gaussien de covariance Cov(r s,r t )= σ2 2a e a(s+t) (e 2as 1) pour s t. 3

31 Proposition 3.4 Pour tout s<t, l espérance et le variance conditionnelle de r sont E(r t r s ) = (r s b)e a(t s) + b var s (r t ) = σ2 2a (1 e 2a(t s) ) Proposition 3.5 La variable r sds est une variable gaussienne de moyenne E( r s ds) =bt +(r b) 1 e at a et de variance σ2 2a 3 (1 e at ) 2 + σ2 1 e at (t ). a2 a 31

32 On en déduit E(exp s r u du F s )=exp( M(t, s)+ 1 V (t, s)). 2 32

33 Ces calculs sont utiles pour valoriser des zéro-coupons en finance : si B(t, T ) est la valeur d un ZC de maturité T,ona ( ) et B(t, T ) = exp B(t, T )=E(exp T t r u du F t ) t) 1 e a(t [b(t t)+(r t b) a σ2 4a 3 (1 e a(t t) ) 2 + σ2 2a 2 (T t 1 e a(t t) ) a ] 33

34 4 Processus d Itô Ce sont des processus écrits sous la forme X t = x + b s ds + σ s db s (4.1) où b est un processus F B t -adapté telque b s ds < + p.s. pour tout t, et σ un bon processus local. On utilise la notation formelle dx t = b t dt + σ t db t X = x. 34

35 Le coefficient b s appelle la dérive (ou le drift) du processus, et σ son coefficient de diffusion. 35

36 Le processus t x + b s ds est la partie à variation finie de X, et le processus t σ s db s la partie martingale de X (c est a priori une martingale locale). La décomposition (4.1) du processus X est unique, au sens où six admet une autre décomposition X t = x + bs ds + σ s db s, alors b b et σ σ. En particulier, X sous la forme (4.1) est une martingale locale si et seulement si b. 36

37 En fait, cette représentation des martingales locales dans une filtration Brownienne est caractéristique, indépendamment de ce que le processus soit a priori un processus d Itô : Théorème 4.1 [Théorème de représentation des martingales locales] Soit B un mouvement brownien et M une Ft B -martingale locale continue. Alors il existe x IR et θ bon processus local tel que M t = x + θ s db s. Ce théorème est extrémement important en Finance (marché complet). 37

38 Si X 1 et X 2 sont deux processus d Itô dedécomposition X i t = x + b i s ds + σ i s db s pour i =1, 2, leur crochet est par définition le crochet de leurs parties martingales. Autrement dit <X 1,X 2 > = <I(σ 1 ),I(σ 2 ) >= σ 1 sσ 2 sds. 38

39 5 Formule d Itô On se donne un processus d Itô réel X de décomposition (4.1) et une fonction f : IR IR suffisamment régulière. Théorème 5.1 [Première formule d Itô] Supposons f de classe C 2.Alors f(x t ) = f(x) + f (X s )dx s f (X s )σ 2 sds. Si f est àdérivées bornées, et σ borné, le processus f(x t ) f (X s )b s ds 1 t 2 f (X s )σsds 2 est une martingale. Cette formule s écrit sous forme condensée df (X t ) = f (X t )dx t f (X t )σ 2 t dt 39

40 = ( f (X t )b t + 1 ) 2 f (X t ) σt 2 dt + f (X t )σ t db t = f (X t )b t dt f (X t ) d X t + f (X t )σ t db t. On utilise souvent la notation df (X t )=f (X t )dx t f (X t )dx t dx t avec la table de multiplication dt db t dt db t dt 4

41 En particulier, t f(x t ) est un processus d Itô dedérive ( f (X s )b s + 1 ) 2 f (X s )σs 2 ds et de partie martingale f (X s )σ s db s. Quand les dérivées sont bornées, l intégrale stochastique apparaissant dans la formule est une vraie martingale, et on en déduit : [ E [f(x t )] = E [f(x )] + E f (X s )b s + 1 ] 2 f (X s )σs 2 ds E [ [ f(x t ) Fs B ] t ( = f(x s ) + E f (X u )b u + 1 ) 2 f (X u )σu 2 du F s B s ] 41

42 Théorème 5.2 [Deuxième formule d Itô] Soit f une fonction définie sur IR + IR de classe C 1 par rapport à t, de classe C 2 par rapport à x. Ona f(t, X t )=f(,x )+ f t(s, X s )ds+ f x(s, X s )dx s f xx(s, X s )σ 2 sds. On peut écrire cette formule sous forme différentielle : ( df (t, X t ) = f t(t, X t )+ 1 ) 2 f xx(t, X t )σt 2 dt + f x(t, X t )dx t = f t(t, X t )dt + f x(t, X t )dx t f xx(t, X t )d X t. ( = f t(t, X t )+f x(t, X t )b t + 1 ) 2 f xx(t, X t )σt 2 dt +f x(t, X t )σ t db t 42

43 Exemple fondamental: Le mouvement brownien géométrique, ou processus log-normal est défini par l équation X t = x + µ avec µ, σ IR. On montre que X s ds + σ X s db s X t = x exp [ µt + σb t σ 2 t/2 ]. Dans le cas où µ et σ sont des fonctions déterministes : X t = x + µ(s)x s ds + [ X t = X exp µ(s)ds + σ(s)ds 1 2 σ(s)x s db s ] σ 2 (s)ds. 43

44 Théorème 5.3 [Troisième formule d Itô] Soient X 1 et X 2 deux processus d Itô issus de x 1 (resp. de x 2 ) de coefficient de dérive b 1 (resp. b 2 ), de coefficient de diffusion σ 1 (resp. σ 2 )et portés respectivement par deux Browniens B 1 et B 2 corrélés avec coefficient ρ. On suppose que b i,σ i sont Ft Bi -adaptés. Soit f une fonction de IR 2 dans IR de classe C 2 àdérivées bornées. On a f(x 1 t,x 2 t )=f(x 1,x 2 ) f 1(X 1 s,x 2 s ) dx 1 s + f 2(X 1 s,x 2 s ) dx 2 s ( f 11(X s 1,Xs 2 ) ( σs 1 ) 2 +2ρ f 12(Xs 1,Xs 2 )σsσ 1 s 2 + f 22(X s 1,Xs 2 ) ( σs 2 ) 2 ) ds où f i désigne la dérivée par rapport à x i et f ij par rapport à x j puis x i, i, j =1, 2. la dérivée seconde 44

45 Proposition 5.4 [Formule d intégration par parties] X 1 t X 2 t = x 1 x 2 + X 1 s dx 2 s + X 2 s dx 1 s + ρ σ 1 sσ 2 s ds. d(x 1 X 2 ) t = X 1 t dx 2 t + X 2 t dx 1 t + d X 1,X 2 t. 45

46 6 Formule de Black & Scholes On considère un marché financier comportant un actif dit sans risque de taux constant r et de prix St = e rt et un actif risqué dont le prix S vérifie ds t = bs t dt + σs t db t soit S t = S exp [ σb t +(b σ 2 /2)t ] On fixe un horizon T> et on souhaite donner le prix d un actif financier qui versera h(s T )àladatet. Le cas d un call Européen de maturité T et de strike K correspond au cas h(x) =(x K) +. 46

47 On procède par duplication (hedging): on forme un portefeuille constitué d α parts de l actif sans risque (le montant de la richesse investie dans cet actif est αe rt )etdeβ t parts de l actif risqué. On va trouver un portefeuille auto-financant de valeur terminale h(s T ). La valeur de ce portefeuille àladatet est V t = α t St + β t S t. La condition d auto-financement se formalise par dv t = α t ds t + β t ds t ; soit dv t = rv t dt + β t S t ((b r)dt + σdb t ) 47

48 On suppose que la valeur du portefeuille àladatet est une fonction déterministe du temps et de la valeur de l actif risqué, soit V (t, S t ). En utilisant la deuxième formule d Itô, on calcule ( V dv t = t (t, S V t)+ bs t x (t, S t)+ σ2 St 2 2 ) V 2 x 2 (t, S t) ( ) V + σs t x (t, S t) db t. En identifiant avec la condition d auto-financement, V σβ t S t = σs t x (t, S t) soit β t = V x (t, S t), ce qui entraîne alors V rs t x (t, S t)+ V t (t, S t) + σ2 St 2 2 avec pour condition terminale V (T,S T )=h(s T ). dt 2 V x 2 (t, S t) rv (t, S t )= 48

49 Comme S t est une v.a. qui peut prendre toutes les valeurs de IR +, on en déduit que V satisfait l EDP rx V V x (t, x) + t (t, x) σ2 x 2 2 V 2 x (t, x) rv (t, x) = (6.1) avec pour condition terminale V (T,x)= h(x). Dans le cas d un call européen h(x) =(x K) +, et pour σ>, cette équation se résout alors en : V (t, x) = xn (d 1 ) Ke r(t t) N (d 2 ) 49

50 où N est la fonction de répartition d une v.a. gaussienne standard : N (x) = 1 2π x e u2 /2 du, et avec les notations ( 1 ( ) d 1 = 2σ ln xe r(t t) /K T t + 1 ) 2 σ2 (T t) et d 2 = d 1 σ T t. La quantité C x (t, S t) = N (d 1 ) qui représente la couverture du marché, soit le nombre de parts de l actif sous jacent utilisées pour répliquer l option s appelle le Delta de l option et représente aussi la sensibilité du prix de l option par rapport au prix du sous jacent. 5

51 Comme conséquence de la formule d Itô appliquée aux EDS, on verra plus tard une formule probabiliste pour le prix du call : C(t, S t ) = e r(t T ) E [( S ] T K) + F t lorsque le S a pour dynamique d S t = r S t dt + σ S t db t. Cette interprétation est fondamentale en Finance, et fait intervenir un changement de probabilité. 51