Trinôme du second degré

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1 1 Trinôme du second degré I. POLYNÔMES résumés de cours Polynôme Un polynôme de degré n est une fonction définie sur qui s écrit sous la forme n n1 an an 1... a 1 a0 où a n, an 1,, a 0 sont des nombres réels et a 0. n Racines On dit que est une racine d un polynôme P si P( ) 0. Factorisation On dit que P se factorise par ( ) si l on peut trouver un polynôme Q tel que pour tout réel on a P () ( ) Q (). eercices Théorème Un polynôme P se factorise par ( ) si et seulement si est une racine de P. II. TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Trinôme du second degré Un trinôme du second degré est un polynôme de degré de la forme a b c où a, b et c sont des réels et a est non nul. contrôles Forme canonique du trinôme du second degré b a b c a. a 4a Racines et signe du trinôme du second degré Soit P le trinôme du second degré défini par P( ) a b c. On appelle discriminant de P le nombre b 4 ac. Alors : Si 0, P n a pas de racine et P ( ) est toujours du signe de a. De plus, on ne peut pas factoriser P. b Si 0, P a une racine double a et P ( ) est toujours du signe de a. b De plus P se factorise sous la forme P ( ). a corrigés 1. Trinôme du second degré 5

2 b b Si 0, P a deu racines 1 et. De plus P se a a factorise sous la forme P () a ( 1)( ). Le signe de P ( ) est celui de a en dehors des racines et celui de a entre les racines. Variation et représentation graphique du trinôme du second degré Si a 0 b a P ( ) b P a Si a 0 P ( ) b a b P a On obtient la représentation graphique de a a partir de celle de a par une translation de vecteur v Trinôme du second degré

3 Eercice 1 min Parmi les fonctions suivantes, indiquer les polynômes et le cas échéant, donner leur degré. 1 b) 1 e) g) ( 1) h) 1 c) 5 1 f) 1 1 ( ) 1 résumés de cours Eercice min On considère l algorithme suivant : (Remarque : pow(,) signifie ²) 1 VARIABLES EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME 4 LIRE 5 PREND_LA_VALEUR + 6 PREND_LA_VALEUR pow(,) 7 PREND_LA_VALEUR 5* 8 AFFICHER 9 FIN_ALGORITHME 1. Que renvoie l algorithme pour = 4?. Cet algorithme calcule l image d une certaine fonction, laquelle?. Remplacer les lignes 5, 6 et 7 par une seule ligne afin que l algorithme renvoie l image de la fonction ci-dessus en une seule étape. Eercice 0 min eercices contrôles Sans utiliser le discriminant, factoriser chacun des polynômes suivants et faire un tableau de signe. On précisera les racines. Certains d entre eu ne peuvent pas être factorisés, epliquer pourquoi. ( 1) 9 b) ( ) 5 e) 1 c) ( ) 5 f) ( ) 5 corrigés 1. Trinôme du second degré 7

4 Eercice 4 15 min 1. Soit P le polynôme défini par P ( ) ( 1) 4. Soit u et v deu nombres réels, compléter les trous : 1u v... u1v u v u v car Pu ( )... Pv ( ). b) Que peut-on en déduire sur le sens de variation de P? c) En vous inspirant de ce qui a été fait précédemment, démontrer que P est décroissant sur ;1.. Soit Q définit par Q ( ) ( ). En vous inspirant de ce qui a été fait à la question 1, démontrer que Q est croissant sur ; et décroissant sur ;. Eercice 5 10 min 1. Soit P le polynôme donné par P ( ) 4 6, montrer que : P () ( 1)( ).. Soit Q le polynôme défini par Q ( ). Déterminer le nombre réel a tel que Q ( ) ( 1)(. Calculer Qa ( ).. Soit F le polynôme défini par factorisation de F. F ( ). Calculer F (). En déduire une Eercice 6 5 min Compléter les pointillés en utilisant les identités remarquables : c) e)... (...) b)... (...)... (...) f) 6... (...) 5... (...)... (...) Eercice 7 15 min Mettre sous forme canonique les trinômes suivants en suivant le modèle : Trinôme du second degré

5 6 1 b) 1 c) 6 e) 6 f) Eercice 8 5 min Chacun des polynômes suivants s écrivent sous la forme a b c. Reconnaître a, b et c ; calculer le discriminant et en déduire le nombre de racines. Polynôme a b c Nombre de racines b) c) 1 Eercice 9 10 min résumés de cours eercices Soit P le trinôme du second degré défini par P( ) a b c. 1 VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE 5 delta EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 LIRE a 8 LIRE b 9 LIRE c 10 delta PREND_LA_VALEUR pow(b,)-4*a*c 11 SI (delta <0) ALORS 1 DEBUT_SI 1 AFFICHER "Il n'y a pas de solution" 14 FIN_SI 15 FIN_ALGORITHME 1. Tester l algorithme avec le trinôme suivant : 4 1. Que fait l algorithme?. Compléter cet algorithme pour les cas suivants : Le discriminant est nul. b) Le discriminant est strictement positif. contrôles corrigés 1. Trinôme du second degré 9

6 . Tester le nouvel algorithme avec les trinômes suivants : b) 1 Eercice 10 0 min Déterminer les racines des trinômes suivants et mettre chacun d eu sous forme factorisée. En déduire un tableau de signe. 6 b) 6 e) c) 4 7 f) Eercice min Résoudre les équations ou inéquations suivantes. 410 b) 4 0 c) e) 41 f) 4 1 Eercice 1 5 min Soit P un polynôme du second degré avec P( ) a b c et soit son discriminant. Répondre par vrai ou fau au affirmations suivantes. 1. Si est positif alors P est positif.. Si est strictement positif alors P n a pas de racines.. Si est nul alors P est toujours du même signe. 4. Si 0alors on ne peut pas factoriser P. 5. Si P 0 alors Si P 0 alors 0. Eercice 1 15 min A. (QCM) Soit f le polynôme dont on fournit la représentation graphique suivante, avec f ( ) a b c et soit son discriminant. Une et une seule réponse est bonne. Les questions ne sont pas indépendantes Trinôme du second degré

7 résumés de cours 1. a 0 b) a 0 c) on ne peut pas déterminer le signe de a.. 0 b) 0 c) on ne peut pas déterminer le signe de.. c 0 b) c 0 c) on ne peut pas déterminer le signe de c. B. Recommencer le QCM avec g puis avec h. Eercice 14 5 min eercices Donner les tableau de variations des trinômes P et Q définis par : P ( ) 9 1 et Q ( ) 1. Eercice 15 5 min Soit P et Q deu trinômes du second degré dont on donne les tableau de variations. contrôles P ( ) 5 Q ( ) corrigés 1. Trinôme du second degré 11

8 On sait de plus que P( ) a b c avec a et que avec u 1. Déterminer P et Q. Q ( ) u v w Eercice min 1. La parabole au centre est la représentation graphique du trinôme. Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les deu autres paraboles.. Déterminer les formes canoniques des trinômes dont les représentations graphiques sont les paraboles données ci-dessous Trinôme du second degré