Fonctions de deux variables

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1 Fonctions de deux variables Le but de ce chapitre est l étude des fonctions définies sur une partie U de R 2 et à valeurs dans R et plus particulièrement la recherche d extremum locaux. I Topologie de R 2 Tout au long de ce chapitre nous confondrons souvent le couple (x,y) de R 2 et le point dont les coordonnées dans un repère du plan sont (x,y). 1 Distance Définition 1 Soient A(x A,y A ) et B(x B,y B ) deux points de R 2. On appelle distance de A à B le réel, noté d(a,b), égal à : d(a,b) = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 Remarques : On peut définir d autres types de distances. La distance que l on vient de définir s appelle la distance euclidienne de R 2. La distance entre 2 points est un réel positif. La distance entre 2 points est nulle ssi les deux points sont confondus. Lorsque l on a un repère orthonormal, le réel d(a,b) correspond à la longueur du segment [AB]. 2 Boules de R 2 Définition 2 Soit r un réel strictement positif et A(x A,y A ) un point de R 2. On appelle boule ouverte de centre A et de rayon r l ensemble B o (A,r) défini par : B o (A,r) = {M R 2 /d(m,a) < r} On appelle boule fermée de centre A et de rayon r l ensemble B f (A,r) défini par : B f (A,r) = {M R 2 /d(m,a) r} 3 Parties ouvertes, parties fermées Définition 3 Une partie U de R 2 est dite ouverte ssi pour tout point M U, il existe r > 0 tel que B o (M,r) U. Définition 4 Une partie F de R 2 est dite fermée ssi son complémentaire F est une partie ouverte. Définition 5 Une partie Ω de R 2 est dite bornée ssi il existe R > 0 tel que pour tout M Ω, d(m,o) R (où O est le point (0,0)), c est-à-dire que Ω est inclus dans la boule fermée de centre O et de rayon R. Analyse : Chapitre 7 Page 1 Fonctions de deux variables

2 II Limite et continuité 1 Limite Définition 6 Soit f une fonction définie sur une partie U ouverte de R 2 et A(x 0,y 0 ) U. On dit que f(x,y) tend vers le réel l lorsque (x,y) tend vers (x 0,y 0 ) ssi pour tout ε > 0, il existe r > 0, tel que pour tout point M(x,y) B o (A,r), f(x,y) l ε. Notations : On note lim f(x,y) = l ou parfois lim f(x,y) = l x x 0,y y 0 Théorème 1 Soient f et g deux fonctions définies sur un ouvert U de R 2 et soit (x 0,y 0 ) U. On suppose que f a pour limite l en (x 0,y 0 ) et que g a pour limite l en (x 0,y 0 ). Alors : λ R, lim lim lim Si l 0, lim λf(x,y) = λl f(x,y)+g(x,y) = l+l f(x,y) g(x,y) = l l f(x,y) g(x,y) = l l 2 Fonctions continues Définition 7 Soit f une fonction définie sur un ouvert U de R 2 et soit (x 0,y 0 ) U. On dit que f est continue en (x 0,y 0 ) ssi lim f(x,y) = f(x 0,y 0 ). On dit que f est continue sur U ssi f est continue en tout point de U. Théorème 2 Soient f et g deux fonctions continues en un point (x 0,y 0 ). Alors λ R λf est continue en (x 0,y 0 ) et f +g, f g sont continues en (x 0,y 0 ), et, si g(x 0,y 0 ) 0, f g est continue en (x 0,y 0 ). Propriété 1 Soit f une fonction continue sur une partie U de R 2 et g une fonction continue sur une partie I de R telle que f(u) I. Alors g f est continue sur U. Exemple 1: Les fonctions (x,y) x et (x,y) y sont continues sur R. Onpeut endéduire quelesfonctions(x,y) x i y j sont continues sur Retdonctoutes les fonctions polynomiales sont continues sur R 2. Si f est une fonction continue sur I R, (x,y) f(x) est continue sur I R et (x,y) f(y) est continue sur R I. (x,y) ln(x)(y 2 + 1) est continue sur ]0;+ [ R comme produit des fonctions (x,y) ln(x) et (x,y) y 2 +1 continues sur ce même ensemble. Analyse : Chapitre 7 Page 2 Fonctions de deux variables

3 Propriété 2 Soit f une fonction continue en (x 0,y 0 ). Alors les applications partielles f x : t f(t,y 0 ) et f y : t f(x 0,t) sont continues respectivement en x 0 et y 0. Attention la réciproque à cette propriété est fausse. Considérons la fonction f définie sur R 2 par f(x,y) = xy si (x,y) (0,0) et f(0,0) = 0. x 2 +y2 On remarque que en (0,0), les applications partielles sont x f(x,0) = 0 et y f(0,y) = 0 et ce sont donc des fonctions continues sur R. Mais f(x,x) = 1 pour tout x 0 donc lim f(x,y) f(0,0) et donc f n est pas continue en 0. 2 (x,y) (0,0) Théorème 3 Soit f une fonction continue sur une partie F fermée et bornée de R 2. Alors f admet un maximum et un minimum. III Calcul différentiel Dans toute cette partie les fonctions considérées seront définies sur un ouvert U de R 2 et (x 0,y 0 ) désigne un point de U. Si f est une fonction définie sur U on notera f x : t f(t,y) et f y : t f(x,t) les applications partielles. 1 Dérivées partielles d ordre 1 Définition 8 On dit que f admet une dérivée partielle d ordre 1 par rapport à x en (x 0,y 0 ) ssi l application partielle f x : t f(t,y 0 ) est dérivable en x 0, c est à dire que le quotient f(x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x x 0 admet une limite finie lorsque x tend vers x 0. Cette limite est alors notée f (x 0,y 0 ) ou f x (x 0,y 0 ). De même on dit que f admet une dérivée partielle d ordre 1 par rapport à y en (x 0,y 0 ) ssi l application partielle f y : t f(x 0,t) est dérivable en x 0, c est à dire que le quotient f(x 0,y) f(x 0,y 0 ) y y 0 admet une limite finie lorsque y tend vers y 0. Cette limite est alors notée f y (x 0,y 0 ) ou f y (x 0,y 0 ). Définition 9 Si les application f et f y sont continues sur U, on dit que la fonction f est de classe C1. Remarque : Les applications partielles sont des fonctions d une variable réelle. On peut donc appliquer tous les résultats d opérations sur les fonctions dérivables et C 1 pour démontrer qu une fonction de deux variables est dérivable par rapport à l une ou l autre de ses variables ou qu elle est de classe C 1. Analyse : Chapitre 7 Page 3 Fonctions de deux variables

4 Exemple 2: Soit la fonction f définie sur R 2 par f(x,y) = ye x2 y. Théorème 4 Soit f une fonction de classe C 1 sur U et (x 0,y 0 ) R 2. Alors il existe un voisinage de (x 0,y 0 ) et une fonction ε définie sur ce voisinage tels que en tout point (x,y) du voisinage : et f(x,y) = f(x 0,y 0 )+(x x 0 ) f (x 0,y 0 )+(y y 0 ) f y (x 0,y 0 )+ (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 ε(x,y) lim ε(x,y) = 0. Cette égalité s appelle le développement limité d ordre 1 de f en (x 0,y 0 ). Définition 10 Soit f de classe C 1 sur U. L application (h,k) h f (x 0,y 0 )+k f y (x 0,y 0 ) s appelle la différentielle de f en (x 0,y 0 ) et on la note d (x0,y 0 )f(h,k). AveccettenotationleDLd ordre1devientf(x,y) = d(x 0,y 0 )+d (x0,y 0 )f(x x 0,y y 0 )+o(d((x,y),(x 0,y 0 )) Analyse : Chapitre 7 Page 4 Fonctions de deux variables

5 2 Dérivées partielles d ordre 2 Définition 11 Lorsque f admet deux dérivées partielles d ordre 1 f x et f y, ces deux fonctions sont des fonctions de deux variables et donc peuvent admettre elles-mêmes des dérivées partielles d ordre 1. On appelle ces dérivées les dérivées partielles d ordre 2 de f. Il peut en exister 4 que l on note de la façon suivante : f x 2 = 2 f 2 = f xy = 2 f y = ( ) f ( ) f y f y 2 = 2 f y 2 = y f yx = 2 f y = y Exemple 3: Calculons les dérivées secondes de la fonction f de l exemple précédent. ( ) f y ( ) f Définition 12 Si f est de classe C 1 et si ses dérivées partielles f est de classe C 2 sur U. et f y sont aussi de classe C1, alors on dit que f Théorème 5 Théorème de Schwarz Si f est une fonction de classe C 2 alors 2 f y = 2 f y Analyse : Chapitre 7 Page 5 Fonctions de deux variables

6 Théorème 6 Soit f une fonction de classe C 2 sur U et (x 0,y 0 ) R 2. Alors il existe un voisinage de (x 0,y 0 ) et une fonction ε définie sur ce voisinage tels que en tout point (x,y) du voisinage : et f(x,y) = f(x 0,y 0 )+(x x 0 ) f (x 0,y 0 )+(y y 0 ) f y (x 0,y 0 ) lim ε(x,y) = 0. + (x x 0) 2 2 f 2 2(x 0,y 0 )+(x x 0 )(y y 0 ) 2 f y (x 0,y 0 )+ (y y 0) 2 2 f 2 y 2(x 0,y 0 ) +((x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 )ε(x,y) Cette égalité s appelle le développement limité d ordre 2 de f en (x 0,y 0 ). 3 Extremum local Définition 13 On dit que f admet un minimum local en (x 0,y 0 ) s il existe r > 0 tel que : (x,y) B((x 0,y 0 ),r) U, f(x,y) f(x 0,y 0 ) On dit que f admet un maximum local en (x 0,y 0 ) s il existe r > 0 tel que : (x,y) B((x 0,y 0 ),r) U, f(x,y) f(x 0,y 0 ) On dit que f admet un extremum local en (x 0,y 0 ) lorsque f admet soit un minimum soit un maximum local en ce point. a Point critique Définition 14 Soitf unefonctiondeclasse C 1 suru. Onditque(x 0,y 0 ) est un point critique de f si f (x 0,y 0 ) = 0 et f y (x 0,y 0 ) = 0. Théorème 7 Si f admet un extremum local en (x 0,y 0 ) alors (x 0,y 0 ) est un point critique de f. Attention la réciproque à ce théorème est en générale fausse. Il peut exister des points critiques de f qui ne sont pas des extremums locaux. En pratique : Lorsqu on cherche les extremum d une fonction on commence tout d abord par chercher ses points critiques car on sait que les extremums seront parmi ces points. Il nous faut ensuite pour chaque point critique vérifier que c est bien un extremum. Analyse : Chapitre 7 Page 6 Fonctions de deux variables

7 Exemple 4: Soit la fonction f définie par f(x,y) = x 2 +3y 2 +2xy 4y. Déterminer le ou les points critiques de f. b Fonctions de classe C 2 Mise en place : On suppose maintenant que f est une fonction de classe C 2 et que (x 0,y 0 ) est un point critique de f. On pose : (Notations de Monge) r = 2 f 2(x 0,y 0 ) s = 2 f y (x 0,y 0 ) t = 2 f y 2(x 0,y 0 ) Les développement limité d ordre 2 en (x 0,y 0 ) s écrit donc : f(x 0 +h,y 0 +k) f(x 0,y 0 ) = 1 2 h2 r+hks+ 1 2 k2 t+(h 2 +k 2 )ε(x,y) On voit donc que au voisinage de (x 0,y 0 ) la différence f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) est du signe de h 2 r +2hks+k 2 t. ( ) ) 2 h Or h 2 r +2hks+k 2 t = k (r 2 +2s h k k +t En posant X = h k, on voit donc que si on veut que (x 0,y 0 ) soit par exemple un minimum local il faut que le polynôme rx 2 +2sX +t soit tout le temps positif donc il nous faut : s 2 rt < 0 r > 0 Théorème 8 Soit f une fonction de classe C 2 et (x 0,y 0 ) un point critique de f. Avec les notations précédentes, on a : Si s 2 rt < 0 et r > 0 alors f admet un minimum local en (x 0,y 0 ) Si s 2 rt < 0 et r < 0 alors f admet un maximum local en (x 0,y 0 ) Si s 2 rt > 0 alors f n admet pas d extremum local en (x 0,y 0 ) Si s 2 rt = 0 on ne peut rien dire de plus. Analyse : Chapitre 7 Page 7 Fonctions de deux variables

8 Exemple 5: Soit f(x,y) = 3xy x 3 y 3. On cherche à déterminer les extremums locaux de f. Analyse : Chapitre 7 Page 8 Fonctions de deux variables