Corrigés des exercices sur les ensembles de nombres

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1 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Corrigés des exercices sur les esembles de ombres Exercice 9. ; ;,4 ; ; 0 sot des ombres rtioels décimux. U ombre déciml plusieurs écritures dot ue écriture frctioire et ue écriture à virgule fiie. ; et sot des rtioels o décimux. U ombre rtioel ussi deux écritures : ue écriture frctioire et ue écriture à virgule. Cette derière est ifiie et périodique. π et sot des ombres irrtioels. Ces ombres e peuvet ps s écrire sous l forme d ue frctio. Ils ot ue écriture à virgule ifiie et o périodique. b. L vleur rrodie de u cetième près d u réel est le ombre déciml le plus proche yt ue prtie décimle composée de chiffres mximum. E utilist ue clcultrice, cetième près est doc,4.,48. S vleur rrodie u L vleur pprochée pr excès u dixième près de chiffre près l virgule. C est,. est le ombre déciml supérieur le plus proche yt u L vleur pprochée pr défut u millième près de est le ombre déciml iférieur le plus proche yt trois chiffres près l virgule. C est,4. L vleur rrodie de u cetième près est 0,6. L vleur pprochée u dixième près de pr excès est 0,. L vleur pprochée u millième près de pr défut est 0,666. E utilist ue clcultrice,, L vleur rrodie de u cetième près est,09. L vleur pprochée u dixième près pr excès de est,. L vleur pprochée u millième près pr défut de est,09. E utilist ue clcultrice π,49. L vleur rrodie de π u cetième près est,4. L vleur pprochée de π pr excès u dixième près est,. L vleur pprochée de π pr défut u millième près est,4. E utilist ue clcultrice,6069. L vleur rrodie de u cetième près est,4. L vleur pprochée pr excès de u dixième près est,. L vleur pprochée pr défut de u millième près est,6. Esembles de ombres

2 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» c. Ecdremet de à 0 - près :,4 < <, Ecdremet de à 0 - près : 0,66 < < 0,6 Ecdremet de à 0 - près :,09 < <, Ecdremet de π à 0 - près :,4 < π <, Ecdremet de à 0 - près :, < <,4 Exercice. 89 < 00 < 4 8 b. De l iéglité précédete, o déduit que < 00 < 8 00 x00 x 00 x0 D où < 0 x < 8 c. < 0 < 8 0 soit, < <,8 d x 00. Comme 89 < 00 < 4 8, o e déduit que ; ² x 00 < < 8² x 00, soit ² x 0² < < 8² x 0² soit 0² < < 80² E utilist ue clculette, il est possible d ffier cet ecdremet : ² 999 et 4² 06 D où ² < < 4² e. De l iéglité précédete, o déduit que < 0000 < x0000 x00² x 00² x00 d où < 00 x < 4 f. 0 e déduit que < < soit, < <,4 Exercice. A x49 9x49 9x xx49 9xx49 9xx Cette frctio est irréductible cr le umérteur 96 'est i multiple de (l somme de ses chiffres est ) i multiple de i multiple de doc le umérteur et le déomiteur 'ot ucu diviseur commu. b. B + + c. C 8A 8x E utilist ue clcultrice C,0694 O e déduit l ecdremet suivt :,06 < C <,064 Esembles de ombres

3 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Coisst u ecdremet de deux ombres, il fut ecdrer leur différece fi de svoir quelles sot leurs distces miimles et mximles ce qui permet de répodre ux questios : Ecdremet de C,06 < C <,064 Ecdremet de l'opposé de C -,064 < -C < -,06 Ecdremet de π :,4 < π <,46 Pr dditio membre à membre 0,080 < π-c < 0,080 E élrgisst l'itervlle : 0 < 0,080 < π-c < 0,080 < 0, L distce etre π et C étt iférieure à u dixième, o peut dire que le ombre C est ue vleur pprochée de π à u dixième près. d. B 06 E utilist ue clcultrice 06,4094 O e déduit l ecdremet suivt :,4 < B <,46 Ecdremet de π :,4 < π <,46 Ces deux ombres sot situés ds le même itervlle. L distce etre les deux bores de l itervlle est de 0,000. O e déduit que B est ue vleur rtioelle de π pprochée u dix-millième près. Exercice 4. F + b. F + F est u ombre déciml puisque l forme d u produit de puissce de et de : x 0 est irréductible et que so déomiteur s écrit sous O urit ussi pu dire que fiie., et doc que c est u ombre déciml prce que so écriture à virgule est F Pour les mêmes risos,,4 est u ombre déciml. F est ue frctio irréductible et x². F est doc ps u ombre déciml. F est ue frctio irréductible et 9 est ps u produit de puissce de et de puissce de. F4 est doc 9 ps u ombre déciml Esembles de ombres

4 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» c. F, F 4,4 F,46 F4,48 9 d.,44 E l utilist pour clculer les différeces vec les vleurs trouvées précédemmet, o remrque que l suite des frctios ci-dessus se rpproche de plus e plus de soit pr excès, soit pr défut : F -, -,44 0,088 F -,4,44-0,04 F -,46 -,44 0,00 F4 -,48,44-0,0004 Remrque Si o cotiuit vec les frctios F, F6, F, F8, e utilist des vleurs rrodies plus précises, o urit les résultts suivts : F - 0,0000 F ,00004 F - 0,00000 F , O le résultt suivt F<F4<F6<F8< <F<F<F<F Cette suite de frctios est ppelée suite de frctios cotiues. Cette suite coverge vers. peut doc être défiie comme limite d ue suite de ombres rtioels. L idée de frctio cotiue est très ciee et peut être décelée ds l Chie tique, l Grèce du II ème siècle et l Ide du premier siècle. Mis leur théorie modere est développée qu à prtir du XVII ème siècle. Exercice. 4x9x x 6 ; 4x4x x 4 ; 0 x ; 98 49x ; 8 4x ; 0 4x ; + 48 x + x6 x² + x4² x ² + x 4² x b. ; x x 4 ; x 0 x 0 0 0x c. 4x ²x ²x 4 9x ²x ²x Esembles de ombres 4

5 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Exercice 6. 0,04 0,0 Affirmtio fusse cr 0, x 0, 0,04 doc 0,04 0, b Affirmtio fusse cr 0 6 (0 8 ) c. L moitié de 00 est égle à 0 doc Affirmtio vrie cr 00 0, doc s moitié est et 0 d. ( - )² est égl à - Affirmtio fusse cr ( - )² e. ( + ) ( - ) est égl à Affirmtio vrie e utilist l idetité remrquble : ( + b)( b) ² - b² f est égl à 0 Affirmtio fusse cr g. est égl à Affirmtio vrie cr 0 Esembles de ombres

6 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» L esemble des ombres etiers turels : Sythèse N {0,,,,...} C est u esemble ifii : près u ombre quelcoque, o peut toujours e trouver u mois u utre : tout ombre etier turel u successeur. C est u esemble discret : les ombres etiers turels e permettet que de grduer ue demi-droite et etre deux grdutios successives, il e existe ps d utre qui puisse représeter u ombre etier. Ds cet esemble, il existe des équtios qui ot ps de solutio : pr exemple 4 +? ps de solutio ds N. Plus géérlemet, l équtio +? b vec > b ps de solutio. L esemble Z des etiers reltifs Z complète l esemble des etiers turels : il est composé des ombres etiers turels et de leurs opposés : Z {..., -, -, -, 0,,,,...} N Z Ces ombres e sot étudiés qu u collège. Ils sot utilisés ds différets cotextes. Ils permettet de grduer l droite de mière plus complète que les ombres etiers turels, mis l esemble Z est u esemble discret : etre deux grdutios successives représett deux ombres reltifs, il e existe ps d utre qui puisse représeter u ombre etier reltif. Ds cet esemble, l équtio +? b toujours ue solutio même si > b, mis certies équtios comme x? ps de solutio ds Z. L esemble Q des ombres rtioels Cet esemble est composé des ombres solutios d équtios du type x? b vec et b etiers reltifs et b 0. C est doc l esemble des ombres écrits sous forme de frctios (b 0). Ce sot des ombres qui sot b quotiets de deux etiers reltifs. N Z Q Etre deux ombres rtioels, o peut toujours e trouver u utre ; utremet dit, l itervlle [q, q ] où q et q sot deux ombres rtioels comporte ue ifiité de ombres. Pr exemple, etre les ombres et 4, o peut plcer le ombre 4 : l mplitude de l itervlle [,4 ] est égle à 4 -. Le milieu de l itervlle est situé à 4 de, c est le ombre + 4 soit 4. Prmi les ombres rtioels, il e existe des prticuliers : les ombres décimux que l o désige pr l lettre D. O peut pprocher u ombre rtioel pr u ombre déciml vec ue précisio ussi grde que l o veut. Les ombres décimux permettet de grduer l droite umérique de mière plus fie que les ombres etiers reltifs mis mois fie que les ombres rtioels. N Z D Q Les ombres rtioels permettet de compléter l grdutio de l droite umérique, mis ils e l remplisset ps. Il existe ecore de ombreux trous : π et e sot ps des ombres rtioels mis ils désiget ue grdutio de l droite umérique. Ce sot des ombres irrtioels L esemble R des ombres réels: L esemble R des ombres réels est l réuio de l esemble des ombres rtioels et de celui des ombres irrtioels N Z D Q R L esemble des ombres réels remplit l droite : il est cotiu. Tout ombre réel peut être pproché d ussi près que l o veut pr u ombre déciml. U orditeur ussi puisst qu il soit e gère des clculs que sur des vleurs pprochées de ombres réels. L esemble des ombres décimux est dese ds l esemble des ombres réels : etre deux ombres réels, o peut trouver ue ifiité de ombres décimux. Esembles de ombres 6

7 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Les différetes écritures des ombres : U ombre rtioel deux écritures : - ue écriture frctioire, - ue écriture décimle ou à virgule. U ombre rtioel déciml ue écriture décimle ou à virgule fiie. U ombre rtioel o déciml ue écriture décimle ou à virgule ifiie et périodique. U ombre déciml est u ombre rtioel prticulier. Il peut s écrire sous l forme d ue frctio décimle, c est-à-dire ue frctio dot le déomiteur est ue puissce de dix, pr exemple 00. Il peut ussi s écrire sous l forme d ue frctio irréductible dot le déomiteur s écrit sous l forme d u produit de puissces de et/ou de. Pr exemple, est ps ue frctio irréductible mis si o divise le umérteur et le déomiteur pr, o trouve ue frctio irréductible qui lui est égle et qui est u ombre déciml. 0 est u ombre déciml. ²x. Attetio : Il fut être prudet : e effet, ue clcultrice ou u orditeur ussi puissts soiet ils e doet qu ue pproximtio d u ombre rtioel o déciml, si bie que l pluprt du temps, il est impossible de crctériser u ombre à l ide de so écriture à virgule. Il est lors préférble d utiliser les écritures frctioires pour détermier si u ombre est rtioel déciml ou o. U ombre irrtioel ue écriture décimle ifiie o périodique Vleur rrodie L vleur rrodie à 0 ( ) d u réel est le ombre déciml le plus proche yt ue prtie décimle 0 composée de chiffres mximum. Cs prticulier où l décimle à supprimer est u : l vleur rrodie u dixième de, est,. Vleur pprochée pr défut, pr excès L vleur pprochée à 0 pr défut d u ombre réel est le ombre déciml iférieur le plus proche yt ue prtie décimle composée de chiffres mximum. L vleur pprochée à 0 pr excès d u ombre réel est le ombre déciml supérieur le plus proche yt ue prtie décimle composée de chiffres mximum. Ecdremet Ecdrer à 0 u ombre réel r cosiste à détermier deux ombres décimux, l u iférieur à r et l utre supérieur à r tels que leur différece soit égle à 0 Exemple : U ecdremet à 0 - de est,6< <,, cr,,6 0, Compriso des ombres décimux Les reltios iférieur ou égl à ( ) ; supérieur ou égl à ( ) ; iférieur à (<) ; supérieur à (>) sot des reltios d ordre. Ds N, tout ombre u successeur et u prédécesseur (suf 0). Ce est plus vri ds D, Q et R. Exemples : ds N, u successeur à svoir 4. Ds D, ps de successeur. Ce est ps 4 puisqu il y ue ifiité de ombres décimux etre et 4 (, ;,0 ;,00...). Etre deux décimux, o peut toujours itercler u déciml : isi etre, et,, o peut itercler,. Etre deux etiers, o e peut ps toujours itercler u etier. Aisi, etre et 4, o e peut ps itercler d etier. Pour comprer des ombres décimux, o compre leur prtie etière. Si les prties etières sot les mêmes, o compre les prties décimles de même rg. 4,68 est plus petit que 4,69 prce que dixièmes est plus petit que 6 dixièmes. Esembles de ombres

8 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Les ombres etiers e permettet ps de grduer l droite umérique : etre deux grdutios successives, il e existe ps d utres qui puisset représeter u ombre etier. Les ombres décimux et plus géérlemet, les ombres rtioels permettet de compléter l grdutio de l droite umérique, mis ils e l remplisset ps. L esemble des ombres réels remplit l droite : à tout poit de l droite o peut ssocier u ombre réel et u seul et réciproquemet. Règles de clcul ds les ombres rtioels représetés sous forme de frctio Multiplictio Simplifictio Eglité de frctios Additio Soustrctio O multiplie les umérteurs etre eux et les c.c c déomiteurs etre eux :. b d b.d bd Ue frctio est simplifible si le umérteur et le déomiteur ot u diviseur e commu. Soit et b yt u diviseur commu lors.c c. b.d d Ue frctio est dite irréductible si le umérteur et le déomiteur sot premiers etre eux. Deux frctios correspodet u même ombre rtioel lorsqu elles sot égles à ue même frctio irréductible. O e chge ps l vleur d ue frctio e multiplit ou e divist le umérteur et le déomiteur pr u même ombre o ul. Les frctios doivet voir le même déomiteur. Lorsqu elles ot même déomiteur, o dditioe (soustrit) les umérteurs et o grde le déomiteur : c +c + b b b c.d b.c.d + b.c + + b d b.d b.d b.d Ex : Ex : est ps irréductible mis 6 est irréductible Ex : 0 0 cr 8 6 et Ex : Divisio Diviser pr ue frctio cosiste à multiplier d.d pr l iverse de cette frctio : b. c b c b.c d Ex : 4 x4 8 x x 4 Sythèse cocert les règles de clcul sur les rcies crrées L rcie crrée d u ombre réel positif, otée, est égle u ombre réel positif qui, u crré, est égl à. b sigifie que b². Remrque : ( ) Produit et quotiet de deux rcies crrées : b b ; b xb x x b b b b b b b b ; Esembles de ombres 8

9 Mster «Eductio et Métiers de l eseigemet du premier degré» Sythèse cocert les règles de clcul sur les puissces des ombres etiers turels Pour etier turel supérieur à, l puissce de est xx x et. Exemple : x x 8 et Pr covetio, 0 ; et xx 8 - ( 0) fois Produit de deux puissces d u même ombre : 8 Exemple :. Quotiet de deux puissces d u même ombre : Exemple : Puissce d ue puissce : ( ) m xm Exemple : ( ) m +m m -m. Si m lors -m 0. Produit (quotiet) de deux fcteurs yt l même puissce : Exemple : ( ) 0 ; b ( b) ; b ( ) b ; Esembles de ombres 9