Livre : Chapitre 12 p. 319

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1 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire Orthogonalité dans l'espace Applications de l'orthogonalité dans l'espace / 8 Produit scalaire dans l'espace

2 1 DIFFÉRENTES EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1 Diérentes expressions du produit scalaire On se xe une unité de longueur dans l'espace. Définition u et v sont deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre réel, noté u v, déni par : u 1 [ v = u + v 2 u 2 v 2] 2 Remarques 1 Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Ainsi, la dénition dans l'espace rejoint celle dans le plan. 2 Pour tout vecteur u de l'espace, on a : u u = u 2, appelé carré scalaire et noté : u 2. On note α la mesure de l'angle géométrique associé aux vecteurs non nuls u et v. On a : u v = u u cos α = AB AC cos BAC On se place dans un plan P. A et B sont deux points distincts. On considère H le projeté orthogonal de C sur (AB), alors : AB AC = AB AH Théorème u et v ont pour coordonnées respectives (x; y; z) et (x ; y ; z ) dans un repère orthonormal. On a : u v = xx + yy + zz 2/ 8 Produit scalaire dans l'espace

3 1 DIFFÉRENTES EXPRESSIONS DU PRODUIT SCALAIRE Dans un repère orthonormal, on a : u 2 = x 2 + y 2 + z 2 et v 2 = x 2 + y 2 + z 2. De plus : u + v 2 = (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2. Donc : u 1 [ v = u + v 2 u 2 v 2] 2 = 1 2 [ (x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2 (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 ) (z 2 + z 2 ) ] = 1 2 (x2 + x 2 + 2xx + y 2 + y 2 + 2yy + z 2 + z 2 + 2zz x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 ) = xx + yy + zz s u, v et w sont des vecteurs du plan. k est un nombre réel quelconque. Règles de calcul 1 u v = v u 2 ( u + v ) w = u w + v w 3 (k u ) v = k( u v ) On utilise le théorème précédent. Remarques On a : 1 ( u + v ) 2 = u u v + v 2 2 ( u v ) 2 = u 2 2 u v + v 2 3 ( u + v ) ( u v ) = u 2 v 2 3/ 8 Produit scalaire dans l'espace

4 2 ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE 2 Orthogonalité dans l'espace Définition Dans l'espace, u = AB et v = CD (non nuls) sont deux vecteurs (AB) et (CD) sont orthogonales. orthogonaux lorsque les droites Remarque Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs. Théorèmes 1 u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0. 2 Dans un repère orthonormé, u (x; y; z) et v (x ; y ; z ) sont orthogonaux si et seulement si xx + yy + zz = 0 Remarque Deux droites sont orthogonales si et seulement si deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Définition Un vecteur non nul n = AB est dit normal au plan P lorsque la droite (AB) est perpendiculaire au plan P. Remarque Tous les vecteurs colinéaires à n sont aussi des vecteurs normaux à P. Un plan admet donc une innité de vecteurs normaux. 4/ 8 Produit scalaire dans l'espace

5 2 ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE A est un point et n un vecteur non nul. Le plan P passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M de l'espace tels que : AM n = 0 M est un point de ce plan si et seulement si les vecteurs AM et n sont orthogonaux, c'est-à-dire AM n = 0. Théorème Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. : Une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan. : On considère deux droites d et d du plan P, sécantes en B. On suppose que est orthogonale à d et d. Montrons qu'elle est orthogonale à toute droite d du plan P. On note u et u deux vecteurs directeurs (non nuls) des droites d et d. Les droites étant sécantes, les vecteurs ne sont pas colinéaires. On considère A le point d'intersection de et de P. Le plan P peut donc être déni par A, u et u. La droite est dénie par A et n. est orthogonale à d et d. Donc : u n = 0 et u n = 0. On considère une droite d du plan P de vecteur directeur v. Les vecteurs v, u et u sont donc coplanaires. Il existe donc deux réels a et b tels que : v = a u + b u. Donc : v n = (a u + b u ) n = a u n + b u n = 0 La droite est donc orthogonale à toutes les droites de P. Elle est donc orthogonale au plan P. 5/ 8 Produit scalaire dans l'espace

6 3 APPLICATIONS DE L'ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE Méthode Étudier la position relative 1 d'une droite d et d'un plan P, on étudie l'orthogonalité d'un vecteur normal de P et d'un vecteur directeur de d. (orthogonaux : d et P parallèles sinon sécants). 2 de deux plans P et P, on étudie la colinéarité des vecteurs normaux de P et P (colinéaires : parallèles sinon sécants). 3 Applications de l'orthogonalité dans l'espace A et B sont deux points distincts. On considère P un plan contenant la droite (AB). On considère H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur le plan P. Alors : AB CD = AB HK On a : AB CD = AB ( CH + HK + KD) = AB CH + AB HK + AB KD = 0 + AB HK + 0 = AB HK puisque les vecteurs sont orthogonaux 6/ 8 Produit scalaire dans l'espace

7 3 APPLICATIONS DE L'ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE Théorème a, b et c sont non tous les trois nuls. Dans un repère orthonormal : 1 Un plan de vecteur normal n (a; b; c) a une équation de la forme : ax + by + cz + d = 0. 2 Réciproquement, tout plan dont une équation est de la forme : ax + by + cz + d = 0 admet le vecteur n (a; b; c) pour vecteur normal. ROC 1 On considère A(x 0 ; y 0 ; z 0 ) un point du plan P. Alors M(x; y; z) est un point de P si et seulement si AM n = 0. Or : AM(x x 0 ; y y 0 ; z z 0 ). D'où : AM n = 0 On pose : d = ax 0 by 0 cz 0. P a donc pour équation : ax + by + cz + d = 0. 2 P est un plan d'équation ax + by + cz + d = 0. a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ax + by + cz + ( ax 0 by 0 cz 0 ) = 0 a, b et c non tous les trois nuls. Par exemple : a non nul. On considère A ( da ) ( ; 0; 0 un point du plan P, puisque a d ) + b 0 + c 0 + d = 0. a De plus : AM ( n = a x + d ) + by + cz a = ax + by + cz + d = 0 Donc n est bien un vecteur normal au plan P. Exemple Donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan P d'équation 3x + 2y z + 7 = 0. Donc : n (3; 2; 1). 7/ 8 Produit scalaire dans l'espace

8 3 APPLICATIONS DE L'ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE Exemple Dans un repère orthonormal, déterminer une équation du plan de vecteur normal n ( 1; 2; 3) et passant par le point A(4; 5; 2). n est un vecteur normal à P. Donc ce plan a une équation de la forme : x + 2y 3z + d = 0. Or, A est un point de ce plan. Donc, ses coordonnées vérient l'équation de cette droite. Donc : ( 5) 3 ( 2) + d = 0, soit d = 20. P a une équation de la forme : x + 2y 3z + 20 = 0. Définition Deux plans P et P sont dits perpendiculaires lorsqu'une droite perpendiculaire à l'un et une droite perpendiculaire à l'autre, sont orthogonales. Deux plans P et P sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, soit si et seulement si n n = 0. 8/ 8 Produit scalaire dans l'espace