Pricing de CDS forward

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1 Pricing de CDS forward SOFYAE THABET HASSA HAJISADEGHIA YASSIE HADDAOUI 4 mars 2008 Le but de ce rapport est de présenter une méthode de pricing des CDS forward. Le marché des Credit Default Swap a connu une forte augmentation ces dernières années, avec le développement plus général des marchés de crédit. Le pricing des CDS forward contient de nombreux enjeux. Il contient tout d abord les difficultés inhérentes au pricing du risque de défaut auxquelles s ajoutent les problèmes liés aux pricing d options en général. Ce rapport contient deux parties. ous nous attacherons tout d abord à décrire le cadre théorique qui permet de modéliser le pricing. ous présenterons ensuite la modélisation et les choix que nous avons fait, avant de commenter le pricer que nous avons mis au point. Table des matières Le cadre théorique. Les taux de CDS forward Quelques définitions La jambe payeuse La jambe de protection Taux de CDS et fonctions de pay-off La technique de changement du numéraire Pricer les options sur CDS Modélisation 4 2. Le modèle à intensité de défaut Le modèle de matrices de transition os résultats 7 Le cadre théorique. Les taux de CDS forward.. Quelques définitions Un CDS forward est un CDS qui commence à une date ultérieure, fixée par les parties du contrat. Si l entreprise sur laquelle s échange la protection fait défaut avant cette date, le contrat est considéré comme nul. Comme pour tous les CDS, on décomposera les flux de paiement entre une jambe payeuse qui va de l acheteur de protection vers le vendeur et une jambe de protection, qui va du vendeur de protection et qui se déclenche en cas de défaut de l entité.

2 On pose t 0 l instant où le contrat est conclu. On nomme T 0 t le moment où celui-ci prend effet, c est à dire où la protection est effectivement assurée. T T 0 désigne la date de maturité du CDS forward. Dans tout la document, on nommera A l acheteur de protection, B le vendeur de protection et C l entité sur laquelle la protection est échangée. On formalise également (Ω,(F ) t 0,P) un espace de probabilité, une filtration sur cet espace ainsi qu une probabilité. L absence d opportunité d arbitrage rend le marché viable et entraîne l existence d une probabilité Q P sous laquelle le prix actualisé des actifs est une martingale. On pose b(t) = e R t 0 r(s)ds la valeur en t d un actif sans risque de valeur placé en 0. Enfin, τ désigne le temps de défaut de l entité C...2 La jambe payeuse Aux dates de paiement T n, n, l achteur de protection A paie : s δ n {Tn τ} au vendeur B. s désigne ici le taux du CDS forward, et δ n les intérêts produits entre [T n,t n. {Tn τ} est la fonction indicatrice qui indique si l instant de défaut est survenu. Au moment du défaut, l acheteur de protection effectue un dernier paiement qui représente le temps entre les sommes dues au délai entre le dernier paiement effectué et l instant de défaut. Posons n = max(n T n τ). A paie alors à B sδ n {T0 τ T n } où δ n représente les intérêts dus au titre de l intrvalle de temps [T n,τ. Ainsi,pour un temps t T, le vendeur de protection reçoit par point de base la quantité actualisée V f ee (t) telle que : V f ee (t) = E Q [ n= b(t n ) δ n {Tn τ} + b(τ) δ n {T 0 τ T n } F t. La valeur de la jambe de paiement est alors sv f ee (t). Après le défaut, la jambe de paiement ne vaut plus rien, car les paiements sont interrompus...3 La jambe de protection Si le défaut survient avant T n, alors B paye à A la quantité ( R) où R est le taux de recouvrement de C. Le paiement de B à A s écrit ( R) {T0 τ T n } et la jambe de protection actualisée vaut à t T 0 V prot (t) telle que [ V prot (t) = E Q b(τ) ( R) {T 0 τ T n } F t...4 Taux de CDS et fonctions de pay-off Le taux équitable du CDS est celui qui égalise la valeur des deux jambes du contrat. On doit donc avoir s(t) = V f ee (t) V prot (t). 2

3 On notera que cette quantité n est pas définie après le temps de défaut car V f ee (t) est nulle. Si le forward n est en fait qu une option pour rentrer dans le CDS à la date t de taux s, celle ci vaut ( s(t) s ) + V f ee (t) où s(t) désigne le taux de marché du CDS à l instant t..2 La technique de changement du numéraire On reprend ici la définition du numéraire, c est à dire un actif dont la valeur est toujours positive que l on nomme ici A(t). Il nous servira à exprimer las autres actifs en unités de l actif A. Ainsi, pour un actif X(t), on pose : ˆX(t) := X(t)/A(t), prix de l actif X en unités de A. Par ailleurs, pour une martingale sous Q et un numéraire A(t), on peut trouver une probabilité équivalente à Q, Q A en utilisant la méthode de Randon-ikodym, de la façon suivante : dq A dq t = L A := A(t) b(0) b(t) A(0). La probabilité Q A est telle que les prix des actifs exprimés en numéraires A sont des Q A - martingales. À la lumière de cet apport, il devient tentant d utiliser la valeur de la jambe de paiement V f ee (t) comme numéraire pour exprimer d une par le taux du CDS et d autre part le prix d une option sur le CDS. éanmoins, V f ee peut valoir 0, ce qui ne permet pas de l utiliser comme numéraire. La formule de Random-nikodym reste néanmoins valide si A(0) > 0 et on peut définir une nouvelle probabilité P. Ainsi, si l actif considéré a comme prix X(t) V f ee (t), alors X(t) est une P-martingale. Soit Ā(t) le prix d un actif pouvant faire défaut avec un taux de recouvrement nul. Pour T > t, on définit le "payoff" éventuel A (t) par A (t) {T <τ} = Ā(T ), et on peut définir un actif sans risque dont le prix quit le processus A(t) := E Q [ b(t)a (t) b(t ). C est un acitf sans rique qui offre A (T ) à coup sûr. On peut utiliser ces deux actifs pour définir respectivement deux nouvelles probabilités grâce à la méthode précédemment citée : Q A pour A(t) et QĀ pour Ā(t). On peut choisir un payoff tel que A (t) > 0. Ainsi, QĀ est en fait la mesure qui est atteinte lorsque Q A est conditionnée à une survie jusqu à l instant T. On appelle donc les probabilités obtenues à partir de numéraires pouvant entrer en défaut des mesures de survie. On peut à présent écrire : Valeur de XA (T ) à T en survie : [ b(t) E Q b(t ) {τ>t }XA (T ) F t = Ā(t)E QĀ[ X F t Valeur deya (T ) à T si τ T : (on rappelle que {τ T } = {τ>t }.) [ b(t) E Q b(t ) {τ T }XA (T ) F [ t = A(T )E QA Y F t Ā(t)E QĀ[ Y F t. 3

4 .3 Pricer les options sur CDS Après cette digression théorique, nous pouvons commencer à pricer les options sur CDS. Comme sous-entendu précédemment, on va utiliser V f ee pour élaborer une mesure de survie. En utilisant la formule donnant le prix d une option et celle donnant le prix d un actif XA (t) à T, le prix de l option se réécrit : [ b(t) V CDSO (t) = {τ>t} E Q b(t 0 ) ( s(t 0) s ) + V f ee (T 0 ) {τ>t0 } = {τ>t} V f ee (t)e PV f ee [ ( s(t 0 ) s ) + F t F t. Cette équation nous permet d identifier les éléments nécessaires à l estimation du prix d une option sur un CDS. Par ailleurs, on sait que s(t) est un prix relatif par rapport au numéraire V f ee, c est donc une martingale pour P V f ee. On peut utiliser plusieurs méthodes pour l estimer :. Grâce à un mouvement Brownien d s(t) = s(t)σdw f ee (t) où σ est constant et W f ee (t) un P V f ee -mouvement brownien. Grâce à la formule de Black- Scholes, V C DSO(t) = {τ>t} V f ee (t)[ s(t)(d ) s (d 2 ), où d,2 = ln( s(t)/s ) ± 2 σ2 (T t) σ. T t 2. Grâce aux matrices de transition de rating On pose λ i, j, i, j K l intensité de P V f ee -transition d un rating de classe i à un rating de classe j. Soit p i (T ) la P V f ee probabilité d atteindre la classe i à l instant T. Cette probabillité doit pouvoir être calculée à partir de λ i, j,maisenobservantqueestunep V f ee -martingale, s(0) = K i= p i(t ) (s) i. Par ailleurs, la probabilité d aller vers un rating de défaut est nulle. Le prix de l option sur le CDS est alors :. V CDSO (t) = {τ>t } V f ee (t)sum K i=p i (T )( (s) i s ) + 2 Modélisation Afin de calculer V f ee, il nous faut utiliser un modèle de defaut approprié. Ce type de modele permet d estimer la probabilité de defaut d une compagnie en fonction de son rating ou du spread associé 2. Le modèle à intensité de défaut Le modèle à intensité de défaut commence par définir une fonction de survie pour une compagnie donnée : S(T ) est la probabilité de survie jusqu à la date T Donc la probabilité qu une compagnie fasse défaut à la l année T sachant qu elle n a pas fait défaut avant est (selon la règle de Bayes) : S(T ) S(T + ) S(T ) 4

5 Pour un intervalle de temps t, si l on recherche la probabilité moyenne de défaut (taux de défaut) : Puis on obtient : S(T ) S(T + ) ts(t ) S(T ) S(T + t) lim = S (T ) = f (T ) t 0 ts(t ) S(T ) f (T ) est appelée intensité défaut et on trouve alors que : On peut supposer ici que : Z T S(T ) = exp( f (x)dx) 0 f (T ) = S R T où S correspond au spread du CDS et R la recovery du bon. Cette expression vient du fait qu on égalise jambe fixe et jambe variable dans un CDS donné. On utilise ce modèle afin d estimer V f ee : b(t n ) δ n {Tn τ} + b(τ) δ n {T 0 τ T n } F t. Puis : on obtient alors : V f ee (t) = V f ee (t) = E Q [ n= V f ee (t) = n= n= b(t n ) δ ne Q[ {Tn τ} F t + E Q [ b(τ) δ n {T 0 τ T n } F t [ b(t n ) δ np Q (T n τ F t ) + n= ( E Q[. b(τ) (τ T n ) {Tn τ T n } F t ). Enfin : V f ee (t) = n= ( b(t n ) δ n ) S(T n ) S(t) ( Z τn + n= τ n ) b(τ) (τ T n ) S (τ) S(t) dτ. 2.2 Le modèle de matrices de transition Ce modèle se base sur les fréquences historiques de transition des différentes compagnies vers différents ratings. En regroupant ces données sur une durée de temps importante, on peut assimiler la proportion de migrations annuelles d un rating vers l autre à la probabilité de transition associée. On utilise ici des données collectées entre 98 et 2000 par Standards Poor s sous forme de matrice annuelle de transition : Ainsi, une compagnie de rating B a une probabilité de de faire défaut au bout d un an. Pour connaitre cette probabilité sur des durées plus importantes, par exemple 5 ans, il suffit d elever la matrice a la puissance 5 et de regarder les mêmes coordonnées. Afin de pouvoir utiliser cette matrice, on modifie légèrement Vfee en effectuant une approximation sur les termes intermédiaires car on ne peut calculer la probabilité de faire défaut d un mois à l autre mais seulement d une année à l autre. On utilise alors l expression : V f ee (t) = n= [ b(t n ) δ np Q (T n τ) F t. 5

6 avec T n subdivisions annuelles et P Q (T n τ F t ) = P(T n τ) P(t τ) P(t τ) = Mn Rating initial,de f aut Mt Rating initial,de f aut M t Rating initial, De f aut Afin de calculer V CDSO par la méthode développée en I, on utilise les matrices de transitions d un rating à l autre. Pour un contrat de maturité T ans, on regarde, sur la matrice M T, la ligne correspondant au rating de la compagnie considérée (ce sont les P i (T )). Cette opération nécessite aussi de connaitre le spreads associé aux ratings d arrivée. Ce tableau regroupe les spreads sur 0 ans pour différents ratings : Bond rating Average Spreads AAA 0.20 % AA 0.50% A+ 0.80% A % A.25% BBB.50% BB 2% B+ 2.50% B 3.25% B- 4.25% CCC 5% 6

7 3 os résultats Voici présentés les résultats obtenus par notre pricer. On voit que le prix diminue avec le temps qui passe du fait des paiements qui parviennent et de la moindre probabilité pour l entreprise de faire défaut. On présente maintenant les résultats obtenus pour V CDSO pour différents ratings. 7

8 On s intéresse désormais au hedging et à la réplication d un option sur un CDS. Il faut constituer un portefeuille fait de α CDS forward et α 2 V f ee. Voici les résultas obtenus pour α et α 2. 8