EPREUVE A OPTION DE MATHEMATIQUES

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1 CONCOURS SUR ÉPREUVES OUVERT AUX CANDIDATS TITULAIRES D UN DIPLÔME VALIDANT LA FIN DE PREMIÈRE ANNÉE DU GRADE DE MASTER OU D UN CERTIFICAT DE SCOLARITÉ VALIDANT L ANNÉE PRÉCÉDANT CELLE DE L ATTRIBUTION DU GRADE DE MASTER CONCOURS SUR ÉPREUVES OUVERT AUX FONCTIONNAIRES CIVILS DE L ETAT, DES COLLECTIVITÉS TERRITORIALES, D UN ETABLISSEMENT PUBLIC OU D UN ORGANISME INTERNATIONAL COMPTANT AU MOINS CINQ ANS DE SERVICE DANS UN CORPS DE CATEGORIE A OU ASSIMILIE SESSION 2010 EPREUVE A OPTION DE MATHEMATIQUES (durée : 4 heures coefficient : 6 note éliminatoire <= 4 sur 20) Pour les épreuves optionnelles de mathématiques, l'usage de calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisé à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. La consultation des notices de fonctionnement reste interdite. 1/5

2 I - ALGEBRE Exercice 1 Partie A Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez simplement si elle est vraie ou fausse 1. Toute matrice admet au moins une valeur propre, réelle ou complexe. 2. Toute matrice admet une infinité de vecteurs propres, à coordonnées réelles ou complexes. 3. Toute matrice réelle 2x2 admet une valeur propre réelle. 4. Toute matrice réelle 3x3 admet une valeur propre réelle. 5. Si une matrice 2x2 n'est pas diagonalisable dans C, alors elle admet une seule valeur propre. 6. Si une matrice est triangulaire, alors ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux. 7. Toute matrice a au moins deux valeurs propres distinctes. 8. Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. 9. Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices. 10. Si un vecteur est vecteur propre pour deux matrices, il est vecteur propre de leur produit. 11. Les valeurs propres d'une matrice et celles de sa transposée sont les mêmes. 12. Les vecteurs propres d'une matrice et ceux de sa transposée sont les mêmes. 13. Le produit d'une matrice par un de ses vecteurs propres ne peut pas être le vecteur nul. 14. Si une matrice a toutes ses valeurs propres réelles, alors elle est diagonalisable. 15. La somme des valeurs propres d'une matrice est égale au produit de ses éléments diagonaux. 16. Le produit des valeurs propres d'un matrice est égal à son déterminant. 17. La matrice d'une symétrie vectorielle dans la plan a pour valeurs propres +1 et Si v et w sont vecteurs propres d'une même matrice, alors (v+w) est toujours vecteur propre de cette matrice. Partie B Soit A une matrice et λ une de ses valeurs propres. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquez simplement si elle est vraie ou fausse 1. 0 est valeur propre de (A-λI)(A+λI) et 1 sont valeurs propres de A²-A. 3. (λ²-1) est valeur propre de (A-I)(A+I). 4. L'ensemble des solutions u du système (A-λI)u n'est pas réduit au vecteur nul. 5. Le système linéaire Au=λv admet une solution non nulle, pour tout v. 6. Le système linéaire Au=λu admet une solution u non nulle. 7. La matrice des cofacteurs de (A-λI) a toutes ses lignes proportionnelles. 8. La matrice des cofacteurs de (A-λI) ne peut pas être nulle. 9. Si A est diagonalisable, la dimension du sous-espace propre associé à λ est égale à la multiplicité de λ. 10. La dimension du noyau de (A-λI) est 1 si et seulement si la multiplicité de λ est Si la multiplicité de λ est 1, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs appartiennent au sousespace propre de A associé à λ. 12. Si la multiplicité de λ est 1, alors toutes les lignes de la matrice des cofacteurs sont des vecteurs propres de A associés à λ. 2/5

3 Exercice 2 Soit m un nombre réel et f l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est 1 0 m 1 A= m m 2 1. Quelles sont les valeurs propres de f? 2. Pour quelles valeurs de m l'endomorphisme est-il diagonalisable? Exercice 3 Soit la matrice A= 1. Diagonaliser A Calculer A n en fonction de n. 3. On considere les suites u n, v n et w n définies par leur premier terme u 0, v 0 et w 0 et les relations suivantes : u n 1 = 4 u n 6v n v n 1 =3 u n 5 v n w n 1 =3u n 6v n 5w n u n v n n : w pour X n 1. On pose X n = 4. Exprimer X n 1 en fonction de A et X n. 5. En déduire u n, v n et w n en fonction de n. 3/5

4 II - ANALYSE Exercice 4 Donner les solutions réelles du système différentiel suivant : X'=AX avec A= Exercice 5 Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y' ' 4y' 3y= 2x 1 e x. 2. y' ' 4y' 3y=x 2 e x xe 2x cos x. 3. y' ' y ' e 2x y=e 3x en posant t=e x. Exercice 6 1. Quelles sont les matrices jacobiennes des changements de variable x=r cos x=r cos cos a) y=rsin et b) y=r cos sin? z=z z=r sin 2. Quels sont les jacobiens associés? Exercice 7 Soit f une fonction définie sur R, de classe C 2. On suppose que f et f '' sont bornées, et l'on pose : M 0 =sup x R f x et M 2 =sup x R f ' ' x M 0 et M 2 sont donc des nombres réels tels que, pour tout x réel, on a f x M 0 et f ' ' x M 2. Le but de cet exercice est de prouver que f ' est bornée, et de majorer M 1 =sup x R f ' x en fonction de M 0 et M 2. Soit x R, et h > Appliquer la formule de Taylor-Lagrange à f entre x et x + h à l'ordre En déduire l'inégalité : f ' x 2M 0 h M 2. h 2 2. En déduire la meilleure majoration de M 1.

5 Exercice 8 Soit f n n 1, la suite de fonctions définies sur [0,1] par f n x = 2n x 1 2 n n x 2 1. Étudiez la convergence simple de cette suite de fonctions. 2. Calculer I n = 0 convergente sur [0,1]. 1 f n t dt et lim n I n. En déduire que f n n'est pas uniformément 4/5 3. Donner un démonstration directe du fait que la suite f n ne converge pas uniformément sur [0,1]. Exercice 9 1. Donner la décomposition en série de Fourier de la fonction f définie par f(x) = cos(5x). 2. En utilisant le théorème de Parseval, prouver que deux fonctions continues 2 périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier sont égales. 3. Soit f une fonction continue 2 périodique. Montrer que c n f tend vers 0 lorsque n tend vers. 4. Soit f la fonction "créneau" définie par f(x) = 1 si x [0, [, f(x) = 1 si x [-,0[ et prolongée par 2 périodicité. Quelle est la régularité de cette fonction? Que dire de la série de Fourier de f en 0? Peut-on avoir convergence normale de la serie de Fourier de f vers f sur [, ]? 5. Soit f la fonction paire 2 périodique définie par f x = x sur [0, [. f est-elle C 1 par morceaux? Exercice 10 Soit f la fonction 2 périodique définie par f x = x 2 sur R par g(x) = f(x + 1) f(x 1). si x [0, 2 [ et soit g définie 1. Déterminer les séries de Fourier de f et de g.

6 sin n 2. En déduire que n 1 n = sin 2 n n 1 n 2. 5/5