PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT

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1 PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT I PGCD Définition 1 Soient a et b deux entiers non nuls. Le plus grand commun diviseur de a est b, noté (a, b) ou a b, est l entier positif d qui satisfait aux conditions : 1) d a et d b 2) si c a et c b alors c d Propriété 1 Soient a et b des entiers naturels au moins égaux à 2. Le pgcd de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs de a et de b, avec pour chacun d eux, l exposant le plus petit de ceux qu il a dans a et dans b. 168 = et 540 = , donc pgcd(168, 540) = = 12 Propriété 2 Soient a, b Z non nuls. Alors, il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = (a, b) Soit S = {ax + by/x, y Z, ax + by > 0}. S N et S, donc S admet un plus petit élément qu on notera d = au + bv. Montrons que d = (a, b), pour cela montrons que d a et d b. Si d a alors il existe q et r tel que a = qd + r avec 0 < r < d. Donc r = a qd = a q(au + bv) = a(1 qu) qvb et ainsi r S et r < d ce qui est impossible puisque d est le plus petit élément de S. Donc d a, et de même d b. Soient c a et c b, alors c au + bv et donc c d (d > 0), donc c d. Donc d = (a, b). 1

2 pgcd(5, 3) = 1, et on a = 1. pgcd(18, 14) = 2, et on a = 2. Propriété 3 Tous les diviseurs de a et b divisent (a, b). Déterminer tous les diviseurs de 284 et 128. On a pgcd(284, 128) = 4, et tous les diviseurs 4 sont : 4, 2, 1, 1, 2, 4 qui sont aussi tous les diviseurs communs à 284 et 128. Propriété 4 Soit d = (a, b) et soit Z. 1) (a b, b) = (a, b). 2) En particulier (a b, b) = (a, b) et (b, r) = (a, b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. 3) (a, b) = (a, b). 1) Soit d = (a b, b). d a et d b, donc d a b et donc d d. d a b et d b donc d a b + b donc d a ainsi d d. Et donc d = d. 2) c est une conséquence du 1), a = bq + r et donc r = a bq et d après le 1) (a bq, b) = (a, b). 3) Supposons que > 0 et notons d = (a, b). On a d a et d b donc d (a, b). C est à dire, il existe m tel que d = dm. Donc dm a et dm b et donc md a et md b, ainsi md d donc m = 1. Donc d = d. Si < 0 alors > 0 et donc d = d = d. Propriété 5 Soient a et b deux naturels non nuls, et d un diviseur commun à a et b. On pose a = da et b = db. PGCD(a, b) = 1 si et seulement si PGCD(a, b ) = 1. D après 3) (propriété précédente) (a, b) = (da, db ) = d(a, b ). D où la propriété. II Algorithme d Euclide Propriété 6 Soit a, b Z, b > 0. En appliquant successivement la division euclidienne, on abtient la suite d équation : a = bq 1 + r 1 0 < r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 < r 3 < r 2. r j 2 = r j 1 q j + r j 0 < r j < r j 1 r j 1 = r j q j+1 Si d = (a, b), alors d = r j. Par suite les entiers u et v tel que d = au + bv peuvent être obtenus par élimination des r i du sytème d équations. 2

3 III. THÉORÈMES DE BEZOUT, GAUSS ET FERMAT 966 = = = = 3 35 On a donc (966, 429) = 3 et de plus : 3 = = = = ( ) = III Théorèmes de Bezout, Gauss et Fermat Définition 2 Soit a et b deux entiers non nuls sont premiers entre eux si (a, b) = 1. Propriété 7 1) soit a un entier et p un nombre premier. p a (a, p) = p. 2) soit p, q deux nombres premiers tels que p q, alors (p, q) = 1 Théorème 1 (de Bezout) Soient a et b deux entiers non nuls. (a, b) = 1 il existe deux entiers u, v tels que au + bv = 1. déjà démontré. On suppose que 1 = au + bv. On note d = (a, b), on a donc d au + bv et donc d 1, ainsi d = 1. Théorème 2 (de Gauss) Soient a, b, c trois entiers non nuls. Si a bc et (a, b) = 1 alors a c. (a, b) = 1, donc il existe u, v tels que au + bv = 1 et donc acu + bcv = c. Or a bc et a ac donc a acu + bcv, ainsi a c. Propriété 8 Soient a, b, c trois entiers non nuls et p un nombre premier. 1) Si (a, b) = 1 et a c et b c alors ab c. 2) Si p ab, alors p a ou p b. 1) a c, donc il existe tel que c = a. De plus b c donc b a, or (a, b) = 1 donc d après Gauss b, donc = b. Ainsi c = ab et donc ab c. 2) Si p a la propriété est démontré, sinon (a, p) = 1, d après Gauss p divise donc b. Remarque La propriete 2) se traduit par si ab 0 [p] alors a 0 [p] ou b 0 [p] Définition 3 Soit n un entier naturel, on définit le nombre n! (se lit "factoriel n") par : Par convention : 0! = 1. n! = n(n 1)(n 2) 2 1 3

4 Définition 4 Soient p et deux entiers naturels ( ) tels que p. p On définit le nombre entier (se lit " parmi p") par : ( ) p p! =!(p )! Propriété 9 (formule du binôme de Newton) a, b R et n est un entier naturel. ( ) ( ) n n (a + b) n = a n + a n 1 b + n n 1 a n 1 b n 2 a 2 b n ab n b n 0 Propriété 10 Soit p un nombre premier. Pour tout {1, 2,..., n 1}, p divise ( ) p. ( ) p p! =!(p )! = p (p 1)! ( ) ( ) ( ) p p 1 p Et donc, = p, ainsi p divise ( ) 1 p. Théorème 3 (le petit théorème de Fermat) Pour tout nombre premier p et tout entier relatif a, ( 1)!(p 1 ( 1))! = p a p a [p] ( ) p 1 1. Or (p, ) = 1, donc d après Gauss : p divise Remarque Conséquance de ce théorème : Si p est premier alors pour tout a, b, (a + b) p a p + b p [p]. on remarque que a n r n [p] où r est le reste de la division euclidienne de a par p, de plus r 0. Donc il suffit de montrer cette propriete pour a N. Par reccurence sur a en utilisant la propriete précédente. Pour a = 0 et 1, c est évident. Supposons que a p a [p], alors (a + 1) p a p + 1 [p] ainsi (a + 1) p a + 1 [p]. D où la propriété. Théorème 4 Soit p un nombre premier et a un entier relatif. Si p ne divise pas a alors a p 1 1 [p]. D après Fermat a(a p 1 1) 0 [p] or a n est pas congru à 0 modulo p et p est premier donc a p [p]. 4

5 IV. PPCM Autre démonstration : Soient les entiers 1, 2,, p 1 et a un entier permier avec p. Les restes de la division euclidienne des nombres a, 2a,, (p 1)a par p sont tous différents. En effet, par l absurde supposons que a et a ont le même reste. Donc p divise a a c est à dire a( ). Or, p et a sont premiers entre eux, d après le théorème de Gauss, p divise donc, de plus p < < p donc =. De plus, aucun de ces restes est nul, car p est premier avec et a donc avec a. Par conséquent, p ne divise pas a. Il y a donc p 1 restes possibles : 1, 2,, p 1 et donc a 2a 3a (p 1)a (p 1)a [p] (p 1)! a p 1 (p 1)! [p]. Donc, p divise (p 1)!(a p 1 1) or p et (p 1)! sont premiers entre eux car p est premiers avec tout entier tel que 0 < < p. D après Gauss, p divise a p 1 1, par conséquent a p 1 1 [p]. IV PPCM Définition 5 Le plus petit commun multiple des naturels non nuls a et b est le plus petit élément de l ensemble des multiples communs à a et b. cad : m = ppcm(a, b) a m et b m et si a µ et b µ alors m µ ppcm(6; 4) = 12 et ppcm(5, 3) = 15 Remarque ppcm(a, a) = a, ppcm(a, 0) = 0, ppcm(a, 1) = a. Propriété 11 Soient a et b des naturels au moins égaux à 2. Le ppcm de a et b est égal au produit de tous les facteurs communs de a et de tous ceux de b, avec pour chacun d eux, l exposant le plus grand de ceux qu il a dans a et dans b. Déterminer ppcm(168, 540). On a 168 = et 540 = , donc ppcm(168, 540) = Propriété 12 1) L ensemble des multiples communs de a et de b est l ensemble des multiples de leur ppcm. 2) Soient a et b des entiers naturels : ppcm(a, b) pgcd(a, b) = ab On suppose a et b non nuls. Soit d = pgcd(a, b), donc a = da et b = db avec pgcd(a, b ) = 1. Soit µ un multiple de a et b, donc µ = a = b. D où da = db, ainsi a = b. On peut donc dire que b divise a, or a et b sont premiers entre eux, donc b divise. Ainsi, = mb et donc µ = mda b. Ainsi, tous les multiples de a et b sont des multiples de da b et donc le plus petit est da b. Ainsi, ppcm(a, b) = da b. 5

6 Par conséquent, pgcd(a, b) ppcm(a, b) = d da b = da db = ab. 1 Pour déterminer le ppcm, on détermine le pgcd par l algorithmre d Euclide par exemple, puis ppcm = ab/pgcd. Déterminer ppcm(44100, 36036) 2 Déterminer deux naturels connaissant leur produit 1512 et leur ppcm 252. On a pgcd(a, b) = 1512/252 = 6, donc a b = 252/6 = 42 avec pgcd(a, b ) = 1. On obtient (1, 42); (2; 21); (3; 14); (6; 7); (7; 6); (14; 3); (21; 2) et (42; 1). Ainsi les solutions sont : (6, 252); (12; 126); (18; 84); (36; 42); (42; 36); (84;18); (126;12) et (252; 6). 6