CORRECTION - FX 0. ab a b + 1 1

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1 Lycée Thiers CORRECTION - FX 0 Exercice. Somme et produit... qui est le plus grand? On considère deux entiers a, b >. Comparer et ab. On constate que : ab a b + = a ) b ) > 0 Or, si p, q sont entiers, les conditions p > q et p q + sont équivalentes! On a donc : d où finalement : Question : dans quel cas a-t-on égalité? ab a b + ab Exercice. Une nouvelle?) identité remarquable. Trouver une formule de factorisation pour l expression a 3 b 3. Même question pour a 3 + b 3. Application : factoriser le polynôme f x) = x 6 en produit de 4 facteurs. On sait que, si q, alors : q 3 q = + q + q Donc, en supposant temporairement que a 0 et b a, on obtient en remplaçant dans la formule ci-dessus q par b : a c est-à-dire : soit, après simplification : b3 a 3 b a = + b a a 3 b 3 a a b) = a + ab + b a a 3 b 3 = a b) a + ab + b ) Cette égalité reste valide si a = 0 ou b = a : elle est donc valide quels que soient les réels a, b. Maintenant, si l on remplace b par b, cette formule de factorisation prend la forme : a 3 b) 3 = a b)) a + a b) + b) ) c est-à-dire : a 3 + b 3 = ) a ab + b )

2 CORRECTION - FX 0 Application On commence par faire apparaître une différence de deux carrés, puis on utilise les formules ci-dessus : x 6 = x 3) = x 3 ) x 3 + ) = x ) x + x + ) x + ) x x + ) Question : peut-on factoriser davantage cette expression? Justifier. Exercice 3. Une question de divisibilité... Prouver que, pour tout n N, 4 n + est multiple de 6. Donnons trois méthodes : ) Le plus simple : par récurrence. Pour n =, c est vrai car 4 + = 6. Supposons que, pour un certain n, il existe k N tel que 4 n + = 6k. Alors : 4 n+ + = 4 4 n + ) 6 = 6 4k ) Le principe de récurrence montre que, pour tout n, l entier 4 n + est multiple de 6. ) En commençant par généraliser l identité remarquable de l exo. Si a, b R et n, alors : a n b n = a b) a n + a n b + + ab n + b n ) Ceci est bien connu lorsque n = et le cas n = 3 a été traité plus haut. On peut établir la version générale par récurrence le faire!). On peut ensuite observer que si l exposant n est impair, alors en posant n = k + : a k+ + b k+ = a k+ b) k+ = ) a k a k b + a k b + a b k ab k + b k) Retenons, en particulier, que : Si a, b sont deux entiers et si n est impair, alors a n + b n est multiple de. Question : qu en est-il si n est pair? Revenons maintenant à la question initiale... Pour tout n N, en écrivant n + = n + n et en appliquant la remarque précédente, on voit qu il existe N N tel que : Ainsi : n + = 3N 4 n + = n + = n + ) = 6N

3 CORRECTION - FX 0 3 3) Avec un peu d arithmétique. Il est clair que pour tout n, 4 n + 0 mod ). Par ailleurs : 4 mod 3) donc 4 n mod 3) et donc 4 n + 0 mod 3) Autrement dit : 4 n + et 3 4 n + Comme et 3 sont premiers entre eux, alors 6 4 n +. Exercice 4. Majoration du carré d une somme... Montrer que, pour tout a, b) R : ) a + b ). Cas d égalité? Montrer que, pour tout a, b, c) R 3 : + c) 3 a + b + c ). Cas d égalité? Un principe à retenir : Pour établir une inégalité entre deux quantités, il peut être judicieux de former la différence et d étudier son signe. Pour la première inégalité : a + b ) ) = a + b ) a + ab + b ) = a ab + b = a b) donc : a + b ) ) 0 avec égalité si, et seulement si, a = b. Pour la seconde inégalité : 3 a + b + c ) + c) = 3a + 3b + 3c ) a + b + c + ab + ac + bc ) = a + b ab ) + a + c + ac ) + b + c + bc ) = a b) + b c) + c a) donc : 3 a + b + c ) + c) 0 En outre, on sait que Si une somme de réels positifs est nulle, alors chaque terme est nul. Il y a donc égalité si, et seulement si, a = b = c.

4 CORRECTION - FX 0 4 Exercice 5. Comparaison de moyennes. Soient a, b deux réels strictement positifs. Montrer que : En déduire que : ab ab ab On observe que : a b ) 0 c est-à-dire : ou encore : a ab + b 0 ab En remplaçant, a et b par leurs inverses respectifs dans cette dernière inégalité, on trouve : ab a + b) c est-à-dire : ab ab ou encore décroissance de la fonction x /x sur ]0, + [) : ab ab Un peu de vocabulaire à connaître : est la moyenne arithmétique de a, b ab est la moyenne géométrique de a, b ab est la moyenne harmonique de a, b Remarque. La moyenne harmonique de a, b est le nombre dont l inverse est la moyenne arithmétique de a et b.

5 CORRECTION - FX 0 5 Exercice 6. Encadrement d une suite. On définit une suite x n ) n de nombres réels en posant : x = et n, x n+ = x n + x n Montrer par récurrence que : n N, x n n Il est clair que la suite x n ) n est bien définie et à termes strictement positifs. Tout d abord, si x n pour un certain n N, alors : x n + x n x n et donc croissance de la racine carrée) : x n+ Comme x par hypothèse, le principe de récurrence montre que : n N, x n Ensuite, si x n n pour un certain n N, alors : x n + x n n + x n puis, comme x n : x n + x n n + et donc croissance de la racine carrée) : x n+ n + Comme x par hypothèse, le principe de récurrence montre que : L encadrement demandé est établi. n N, x n n Exercice 7. Suites géométriques strictement croissantes. Soit u n ) n N une suite de nombres réels, telle que : q R; n N, u n+ = q u n Montrer cette suite est strictement croissante si, et seulement si : u0 > 0 et q > ) ou u 0 < 0 et 0 < q < ) On aura reconnu la définition d une suite géométrique. er cas : on suppose que u 0 > 0 et q > Initialisation : On multiplie chaque membre de l inégalité q > par u 0 comme u 0 > 0, le sens de l inégalité n est pas modifié), ce qui donne qu 0 > u 0 ou encore u > u 0.

6 CORRECTION - FX 0 6 Hérédité : On suppose que, pour un certain n N, on a u n+ > u n. On multiplie chaque membre de cette inégalité par q comme q > 0, le sens de l inégalité n est pas modifié), ce qui donne qu n+ > qu n, c est-à-dire u n+ > u n+. ème cas : on suppose que u 0 < 0 et 0 < q < Initialisation : On multiplie chaque membre de l inégalité q < par u 0 comme u 0 < 0, le sens de l inégalité est modifié), ce qui donne qu 0 > u 0 ou encore u > u 0. Hérédité : identique au er cas! Réciproquement, supposons que la suite géométrique u n ) n N est strictement croissante. Alors u > u 0, c est-à-dire q ) u 0 > 0. Il est donc clair que u 0 0. Distinguons, là encore, deux cas : Si u 0 > 0, alors q >. Si u 0 < 0, alors q <. De plus, on a u > u, c est-à-dire q q ) u 0 > 0, d où q > 0. On a bien établi l équivalence demandée. Exercice 8. Montrer que : x x [, + [, + x + et interpréter géométriquement cette inégalité. En déduire que : x [0, + [, x 8 x ) + x + x x 8 On observe que, pour tout x : + x > 0 ) Par ailleurs : + x ) = + x + x 4 + x donc croissance de la racine carrée) : x [, + [, + x + x ce qui établit le premier point [ question : à quoi la relation ) a-t-elle servi? ]. Cette inégalité exprime le fait que la courbe d équation y = + x est au-dessous de sa tangente au point d abscisse 0.

7 CORRECTION - FX 0 7 En effet, la fonction f : x + x est dérivable sur ], + [ et sa dérivée est donnée par : x >, f x) = + x Donc, si a >, l équation de la tangente au point d abscisse a est : et en particulier, pour a = 0 : y = Passons maintenant au second point... + a x a) + + a y = + x En utilisant l expression conjuguée, on voit que, pour tout x 0 : + x + x = D une part, on a + x + + x et donc : D autre part d après le début de l exercice) : et donc : Enfin : et donc : ) x = x 4 + x + + x ) x [0, + [, + x + x x 8 + x + + x + x + x + x ) x 8 + x x ) + x ), donc : x [0, + [, + x + x x 8 Question : à quoi peut bien servir un tel encadrement? ) + x x ) x

8 CORRECTION - FX 0 8 Exercice 9. Autour de la constante d Euler. On pose, pour tout n : H n = n et x n = H n ln n) ) Montrer que, pour tout réel x > : ln + x) x ) En utilisant l inégalité établie à l exercice précédent, prouver que pour tout entier k : ln k + ) ln k) k En déduire que, pour tout entier n : H n ln n + ) Que peut-on en déduire pour la suite H n ) n? 3) Montrer que la suite x n ) n est monotone. Est-elle convergente? ) Posons, pour tout x > : ϕ est dérivable et : ϕ x) = x ln + x) x ], + [, ϕ x) = + x = x + x # x Le symbole # signifie du même signe que. Cette notation n est pas standard Donc, ϕ décroît sur ], 0] et croît sur [0, + [. Comme ϕ 0) = 0, il s ensuit que : Autrement dit : x ], + [, ϕ x) 0 x ], + [, ln + x) x Il faut absolument repérer le sens géométrique de cette inégalité : elle exprime le fait que la courbe d équation y = ln + x) se situe au-dessous de sa tangente au point d abscisse 0 comparer avec la situation de l exercice précédent). Question : Quelle est l équation de la tangente à la courbe d équation y = ln + x) au point d abscisse a pour a > donné)?

9 CORRECTION - FX 0 9 ) En remplaçant, dans l inégalité précédemment établie, x par avec k k N ), on obtient : ln + ) k k Ainsi : k N, ln k + ) ln k) k Etant donné n N, on obtient en sommant ces inégalités pour k variant de à n : [ln ) ln )] + [ln 3) ln )] + + [ln n + ) ln n)] n c est-à-dire après simplification massive des termes dans le membre de gauche) : n N, ln n + ) H n comme souhaité. Ceci prouve que la suite H n ) n diverge vers +. 3) Etudions, pour tout n N, le signe de la différence : x n+ x n = H n+ ln n + ) H n + ln n) = + ln n) ln n + ) n + On peut remarquer astuce!) que : ) n ln n) ln n + ) = ln = ln ) n + n + puis se servir de l inégalité de la question ) : ln ) n + n + Au final x n+ x n 0, ce qui prouve la décroissance de la suite x n ) n. En outre, d après la question ), on a : x n ln n + ) ln n) > 0 La suite x n ) n est donc décroissante et minorée, donc convergente selon un théorème admis en terminale). Remarque. pour la culture...) La limite de la suite x n ) n est connue sous le nom de constante d Euler. On la note traditionnellement γ et on peut montrer que : 0, 577 < γ < 0, 578 La question de savoir si γ est un nombre rationnel ou non) est à ce jour non résolue il est conjecturé que γ est irrationnel). Leonhard EULER ) Mathématicien Suisse