Planche n o 8. Généralités sur les fonctions : corrigé

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1 Exercice n o Planche n o 8 Généralités sur les fonctions : corrigé f est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout réel x La fonction f est paire f x = 3 x 5 x + = 3x 5x + = f x f est définie sur R\{,} qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de R\{,} La fonction f est impaire f x = x5 x x = x5 x x = f x 3 f 3 existe mais f 3 n existe pas Le domaine de définition de la fontion f 3 n est pas symétrique par rapport à 0 et donc, la fonction f 3 n est ni paire, ni impaire Pour tout réel x, e x + >, en particulier pour tout réel x, e x + 0 f est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de R La fonction f est impaire π 5 f est définie sur R\ +πz La fonction f 5 est paire f x = e x e x + = e x e x = e x + +e x = ex e x + = f x π qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de R\ +πz f 5 x = cos x+tan x = cosx+tan x = f 5 x 6 f est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de R La fonction f 6 est impaire f 6 x = sin x x = sinx x = f 6 x 7 Pour tout réel x, x + 0 Donc f 7 est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de R f 7 x = x + = x + = f 7 x La fonction f 7 est paire 8 On ne peut pas déterminer le domaine de définition de la fonction f 8 Mais comme x 6 x 3 x + 3 = x 6 x 3x +3, pour tout réel x, f 8 x existe si et seulement si f 8 x existe Donc f 8 est définie sur un domaine D qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout x de D x f 8 x = x 6 x 3 x +3 = x x 6 x 3x +3 = f 8x La fonction f 8 est impaire 9 f 9 0 = 0 et donc f 9 n est pas impaire f 9 π π = = f 9 Donc, f 9 n est pas paire La fonction f 9 n est ni paire, ni impaire Exercice n o Soit f une application de R dans R Unicité Supposons qu il existe deux fonctions g et h telles que g est paire, h est impaire et f = g + h Nécessairement pour tout réel x, { fx = gx+hx f x = gx hx En additionnant et en retranchant membre à membre ces deux égalités, on obtient pour tout réel x http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

2 gx = fx+f x et hx = fx f x Ceci montre l unicité d un couple g,h tel que g est paire, h est impaire et f = g+h Existence Réciproquement, posons pour tout réel x gx = fx+f x et hx = fx f x Pour tout réel x, gx+hx = fx+f x+ fx f x = fx et donc f = g+h Pour tout réel x, g x = f x+fx = gx et donc la fonction g est paire Pour tout réel x, h x = f x fx = fx f x = hx et donc la fonction h est impaire Ainsi, les fonctions g et h conviennent ce qui montre l existence d un couple g,h tel que g est paire, h est impaire et f = g+h Exercice n o 3 Soit n un entier naturel Supposons que f est n fois dérivable sur R Pour tout réel x, posons gx = f x Alors g est n fois dérivable sur R et pour tout réel x, g n x = n f n x Si de plus f est paire, alors g = f et donc pour tout réel x, f n x = n f n x ou encore pour tout réel x, f n x = n f n x Si n est un entier pair, posons n = p où p est un entier L égalité précédente s écrit pour tout réel x, f p x = f p x et donc f p est paire Ainsi, les fonctions f, f, f, f 6 sont paires Si n est un entier pair, posons n = p où p est un entier L égalité précédente s écrit pour tout réel x, f p+ x = f p x et donc f p+ est impaire Ainsi, les fonctions f, f 3, f 5 sont impaires On résume ces résultats en disant que si f est paire, f n a la parité de n Si f est impaire, alors f est paire et on peut lui appliquer les résultats précédents Donc, si f est impaire, f n a la parité contraire de celle de n Une primitive de fonction impaire est automatiquement une fonction paire Démontrons-le Soit f une fonction continue sur R et impaire Soit F une primitive de f Pour tout réel x, posons Gx = Fx F x G est dérivable sur R et pour tout réel x G x = F x+f x = fx+f x = 0 Donc, la fonction G est constante sur R puis, pour tout réel x, Gx = G0 = F0 F0 = 0 On en déduit que pour tout réel x, F x = Fx et donc que F est paire Le résultat analogue est faux si on suppose que f est paire car une fonction constante est paire Voici une succession de primitives pour exemple : x, x x+, x x +x 5, x x3 6 +x 5 x+ http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

3 Exercice n o La fonction f est définie sur R qui est symétrique par rapport à 3 De plus, pour tout réel x, f3 x = 3 x 33 x+ = x 3x+ = fx Donc, la droite d équation x = 3 est un axe de symétrie du graphe dans un repère orthonormé de la fonction f La fonction f est définie sur R\{} qui est symétrique par rapport à De plus, pour tout réel x de R\{} fx I x+fx = x+ x + x+ x = x 5 x + x+ x = x x = x = = y I x Donc, le point I de coordonnées, est centre de symétrie du graphe de la fonction f 3 La fonction f est définie sur R qui est symétrique par rapport à 0 De plus, pour tout réel x, fx I x+fx = e x e x + + ex e x + = Donc, le point I de coordonnées e x + e x + 0, est centre de symétrie du graphe de la fonction f e x e x + x = e x + + ex e x + = ex + e x + = = y I La fonction f est paire et donc l axe des ordonnées est un axe de symétrie du graphe de f Plus généralement, pour tout entier relatif k et pour tout réel x, fkπ x = coskπ x+cos6kπ 3x = cos x+cos 3x = cosx+cos3x = fx On en déduit que pour tout entier relatif k, la droite d équation x = kπ est un axe de symétrie du graphe de f Pour tout réel x, fπ x = cosπ x+cos3π 3x = cosπ x+cosπ 3x = cosx cos3x = fx, π et donc pour tout réel x, fπ x+fx = 0 On en déduit que le point de coordonnées,0 est un centre de symétrie du π graphe de f Plus généralement, pour tout entier relatif k, le point de coordonnées +kπ,0 est un centre de symétrie du graphe de f Exercice n o 5 Chacune des fonctions considérées est définie sur R Pour tout réel x, f x + = Ex + x + = Ex + x = Ex x = f x et donc la fonction f est -périodique Plus généralement, pour tout entier relatif k, f est k-périodique Pour tout réel x, f x+ = Ex+ x+ = Ex x = f x et donc la fonction f est -périodique Plus généralement, pour tout entier relatif k, f est k -périodique 3 Pour tout réel x, f 3 x + π = cosx + π sinx + π = cosx sinx = f 3 x et donc la fonction f 3 est π-périodique Plus généralement, pour tout entier relatif k, f 3 est kπ-périodique Pour tout réelx,f x+ π = cosx+π = cosx = f x et donc la fonctionf est π -périodique Plus généralement, pour tout entier relatif k, f est kπ -périodique 5 Pour tout réel x, f 5 x+ π 3x = cos 3 +π généralement, pour tout entier relatif k, f 5 est kπ = cos 3x = f 5 x et donc la fonction f 5 est π -périodique Plus 3 3 -périodique x x 6 Pour tout réel x, f 6 x+3π = cos 3 +π = cos = f 6 x et donc la fonction f 6 est 3π-périodique Plus 3 généralement, pour tout entier relatif k, f 6 est 3kπ-périodique http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

4 Exercice n o 6 Pour tout réel x, x + > et en particulier, pour tout réel x, x + 0 Donc, les deux fonctions sont définies sur R Pour tout réel x, 0 x x + x + x + = Donc, pour tout réel x, 0 fx La fonction f : x x x + Pour tout réel x, est bornée sur R x 0 x x + 0 x + x x x + fx Donc, pour tout réel x, fx x La fonction f : x x + Exercice n o 7 est bornée sur R x x + Pour tout réel x, fx = khgx où g : x x+, h : y y et k : z z+ La fonction g est strictement croissante sur,+ à valeurs dans 0,+, la fonction h est strictement croissante sur 0,+ à valeurs dans R et la fonction k est strictement décroissante sur R Donc la fonction f est strictement décroissante sur,+ La fonction g est strictement croissante sur ], ] à valeurs dans ],0], la fonction h est strictement décroissante sur ],0] à valeurs dans R et la fonction k est strictement décroissante sur R Donc la fonction f est strictement croissante sur ], ] Pour tout réel x, fx = khgx où g : x x+, h : y et k : z 3 5z ] y La fonction g est strictement croissante sur, à valeurs dans ],0, la fonction h est strictement décroissante sur ],0 ] à valeurs dans R et la fonction k est strictement décroissante sur R Donc la fonction f est strictement croissante sur, 3 La fonction x +e x est strictement croissante sur R, à valeurs dans ]0,+ et la fonction X lnx est strictement croissante sur ]0,+ Donc, x est strictement croisante sur R La fonction x exp ln est définie sur R et paire x + La fonction x lnx est croissante et négative sur ]0,] Donc, la fonction x + ln x est décroissante et strictement positive sur ]0,] Par suite, la fonction x ln est décroissante sur ]0,] et enfin, la fonction x+ x exp ln est décroissante sur ]0,] De même, la fonction x exp x + ln est croissante x + sur,+ Par parité, la fonction x exp ln est décroissante sur ], ] et croissante sur, 0 x + 5 Soient x et x deux réels tels que x x Alors, pour tout réel t de l intervalle x,x ], x x +t dt 0 par positivité de l intégrale f 5 est croissante sur R +t 0 et donc, f 5x f 5 x = 6 Soient x et x deux réels tels que x x Alors, pour tout réel t de l intervalle 0,], on a xt x t, puis pour tout réel t de 0,], e xt e x t Par croissance de l intégrale, on a alors f 6 x f 6 x f 6 est croissante sur R Exercice n o 8 La fonction x sinx est strictement croissante sur 0, π ] La fonction x cosx est strictement décroissante sur 0, π ] et donc la fonction x cosx est strictement croissante sur 0, π ] f est strictement croissante sur 0, π ] en tant que somme de deux fonctions strictement croissantes sur 0, π ] http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

5 Les deux fonctions x x et x lnx sont croissantes et positives sur,+ Donc, f est croissante sur,+ en tant que produit de fonctions croissantes et positives sur,+ π 3 f 3 est paire x x + est décroissante sur R+ à valeurs dans 0, π ] et la fonction X cos X est décroissante sur 0, π ] Donc, la fonction x cos π x est croissante sur R +, et de plus positive sur R + f 3 est croissante sur R + + en tant que produit de fonctions croissantes et positives sur R + Par parité, f 3 est décroissante sur R 3 = 5 < 0 Donc, f est strictement décroissante sur ], et strictement décroissante sur ],+ 5 f 5 est paire La fonction x x est croissante sur R + à valeurs dans R + Puisque = > 0, la fonction X X X+ est croissante sur ],+ et en particulier sur R+ f 5 est croissante sur R + Par parité, f 5 est décroissante sur R 6 Les fonctions x x 7 et x x + x + 3 sont strictement décroissantes sur ],0] Donc, f 6 est strictement décroissante sur ],0] en tant que somme de fonctions strictement décroissantes sur ],0] Exercice n o 9 Si x, 3 x + 5 et 0 < 7 x +3 Par suite, 0 < 3 x + 5 et 0 < x+3 7, puis 3 x+ x x+ x+3 = 3 x + = 3x +3 0x = x = La solution obtenue n est pas dans l intervalle,], 5 ou encore l équation x+ x+3 = 3 n a pas de solution dans l intervalle,] Ceci signifie que l encadrement fourni au est trop large et peut donc sûrement être amélioré 3 Puisque 3 = > 0, la fonction f : x x+ est croissante sur,] Par suite, si x,], x+3 3 x+ 5 = f = fx f = 7 x+3 Exercice n o 0 f est décroissante sur,0] et croissante sur 0,] f admet donc un minimum égal à f 0 = 0 et un maximum égal à Max{f,f } = Pour x,], 0 x Pour x 0,], = 3 = f f x f = 6 3 f 3 est décroissante sur, ] Donc, pour x, ], f f x f, ou encore x f est paire, décroissante sur ]0,] f n est pas majorée sur ]0,] et admet un minimum égal à f = Pour x,]\{0}, x 5 f 5 est décroissante sur π,π ] Pour x π,π ], = cosπ cosx cos π = 6 f 6 est dérivable sur 0,] car 3 / 0,] et pour x 0,], f 6 x = 3x+ = 3x+ < 0 f 6 est donc 7 décroissante sur 0, ] et pour x 0, ], 8 = f 6 f 6 x = 5x+ 3x+ f 60 = 0, 9 et aussi sur 7 Pour x 9, posons f 7x = x+3 x 9 Puisque 9 3/times < 0, f 7 est décroissante sur ] 9,+ p+3 n Par suite, pour n 5, = lim p + = 3 et pour 0 n, p 9 n = +3 n+3 9 n = n+3 La plus petite valeur de 3 n 9 grande valeur de n+3 n 9 est 3 obtenue pour n = 5 est obtenue pour n = et la plus http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés

6 8 Pour n N, n+ 3n+7 = que pour tout entier naturel n, 7 Exercice n o 3 3n = 3n n+ 7 La suite 3 n+ 3n+7 < 3 n+ est donc croissante On en déduit 3n+7 n N Soit x,3] x 5x+3 3x 3 = x 8x+6 = x x+3 = x x 3 0 Donc, pour x,3], x 5x+3 3x 3 Pour x, x 7x+ x+3 3 Pour tout réel x, x x+ = x, x x+ > 0 x +7x+ x +7x +x = 0x x+3 x x + 3 > 0 et donc x x+ existe pour tout réel x De plus, pour tout réel Pour x 0, x x+ x > 0 et donc x x++x a le même signe que x x++x x x+ x = x+ 0 Ainsi, pour tout réel x 0, x x++x 0 et donc pour tout réel x 0, x x+ x Exercice n o Pour tout réel x, x + 0 et donc, pour tout réel x, x + existe Ensuite, pour tout réel x, x + > x = x Par suite, pour tout réel x, x + > x x et donc x + x > 0 et aussi, pour tout réel x, x + > x x et donc x ++x > 0 Exercice n o 3 Pour x 0, posons fx = sinx x f est dérivable sur 0,+ et pour x 0, on a f x = cosx 0 f est donc décroissante sur 0,+ Mais f0 = 0 et f est négative sur 0,+ ce qui démontre l inégalité de l énoncé Commentaire La démonstration précédente ne tient pas debout car la formule sin = cos a été établie en sachant que pour x 0, π ], on a sinx x Néanmoins, c est ce qui est attendu dans la pratique et il se trouve qu on est capable de démontrer que sin = cos sans utiliser l inégalité sinx x Pour x R, posons fx = e x x f est dérivable sur R et pour x R, on a f x = e x f est négative sur R et positive sur R + f admet donc un minimum en 0 égal à f0 = 0 f est négative sur R ce qui démontre l inégalité de l énoncé 3 Pour x >, posons fx = ln+x x f est dérivable sur ],+ et pour x >, on a f x = +x = x +x f est positive sur ],0] et négative sur R + f admet donc un maximum en 0 égal à f0 = 0 On en déduit que f est négative sur ],+ ce qui démontre l inégalité de l énoncé http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 0 Tous droits réservés