Géométrie dans l'espace

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1 Terminale S Ch.6 Géométrie dans l'espace La perspective cavalière C'est un ensemble de règles permettant de représenter un volume dans un plan; ce n'est pas ce que nous voyons dans la réalité. En effet, en perspective cavalière : deux droites parallèles dans la réalité sont représentées par des droites parallèles ; les milieux des segments et les rapports de longueur sont conservés ; les longueurs et les angles ne sont en général pas conservés ; les arêtes cachées sont représentées en pointillés. I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Règle Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts. Règle Il existe un et un seul plan de l'espace passant par trois points non alignés. Théorème Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. exemple : le livre ouvert Définition Quatre points (ou plus) appartenant à un même plan sont dits "coplanaires". Deux droites ou plus appartenant à un même plan sont dites "coplanaires". Règle 3 Quand tous les éléments (points, droites,...) d'un problème de l'espace sont coplanaires, toutes les règles de géométrie plane s'appliquent (Thalès, Pythagore, etc...) On comprendra mieux les règle et définition en donnant les analogies dans le plan : Par deux points, il passe une droite et une seule. Trois points appartenant à une même droite sont dits "alignés". Exercice P est un plan. A, B, C sont trois points non alignés qui n'appartiennent pas à P. On suppose que AB coupe P en C, que AC coupe P en B et que BC coupe P en A. Montrer que les points A, B, C sont alignés. Solution A, B, C sont trois points non alignés n'appartenant pas à P donc (règle ), il existe un unique plan P contenant ces trois points. Comme A et B sont deux points de affirmer que AC et A est un point commun à P et B et C étant communs à P et BC sont incluses dans On en déduit que l'intersection de P et P, alors la droite AB est contenue dans P. P. De la même façon, on peut P donc l'intersection de ces deux plans est une droite passant par A (théorème). P, l'intersection de P et P est une droite passant par ces deux points. P est une droite passant par les trois points A, B et C qui sont donc alignés.

2 II. Positions relatives de droites et de plans de l'espace Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Si elles sont coplanaires (dans un même plan), on distingue alors trois cas : elles peuvent être : sécantes strictement parallèles confondues Si elles sont non coplanaires, aucun plan ne les contient toutes les deux. elles ont un seul point elles n'ont aucun point leur intersection est vide commun commun Remarque Attention: dans l'espace, deux droites n'ayant aucun point commun ne sont donc pas toujours parallèles. Schématisation non coplanaires coplanaires sécantes parallèles confondues srictement parallèles Positions relatives d'une droite et d'un plan Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants, soit parallèles. sécants parallèles d et P ont un point d'intersection : B d et P sont strictement parallèles, d est contenue dans P. leur intersection est vide.

3 3 Schématisation la droite et le plan sont sécants la droite est parallèle au plan la droite est strictement parallèle au plan la droite est contenue dans le plan Positions relatives de deux plans Deux plans de l'espace sont soit sécants, soit parallèles. sécants parallèles P et P ' ont une droite d'intersection : d P et P ' sont strictement parallèles, P et P ' sont confondus. leur intersection est vide. Ainsi, deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Schématisation sécants parallèles strictement parallèles confondus Exercice Dans le cube ABCDEFGH, on note I le milieu de [AB], J le milieu de [DH], K le milieu de [HG] et L le milieu de [EF]. Quelle est la nature de l'intersection des plans (IJK) et (BCL)? Solution Dans le plan (FGH) : K milieu de [HG] et L milieu de [FE]. Or HG = EF On en déduit que GK = FL. De plus comme (GH) // (FE) alors on a aussi (GK) // (FL) On peut donc conclure que GKFL est un parallélogramme; Ses côtés sont parallèles deux à deux d'où (KL) // (GF) De même, on justifie que (DA) // (IJ) Ainsi : (KL) // (GF) // (BC) // (DA) // (IJ) Le plan (BCL) contient la droite passant par L et parallèle à (BC) : c'est (KL). De même, le plan (IJK) contient la droite passant par K et parallèle à (IJ) : c'est (KL) Les deux plans (BCL) et (IJK) n'étant pas confondus, l'intersection de ces deux plans est la droite (KL)

4 III. Parallélisme dans l'espace 4 Parallélisme de droites : propriétés admises P Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre. P Si deux droites sont parallèles, tout plan qui coupe l'une coupe l'autre. Parallélisme de plans : propriétés admises P3 Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre. P// P P// P P// P P4 Si deux droites sécantes d et d d'un plan P sont parallèles à un plan P ', alors P et P ' sont parallèles. d P et d P d et d secantes P// P d// Pet d// P P5 Si deux plans P et P ' sont parallèles, alors tout plan qui coupe P, coupe aussi P ' et les droites d'intersection d et d sont parallèles. P// P Pd P d d// d Parallélisme d'une droite et d'un plan : propriétés admises P6 Si une droite est parallèle à une droite d contenue dans un plan P alors et P sont parallèles. d// // P d P P7 Si une droite d est parallèle à deux plans P et P ' sécants suivant une droite, alors d et sont parallèles. d// P et d// P d // P P = Théorème du toit d et d sont deux droites parallèles, d contenue dans P et d contenue dans P. Si deux plans P et P sont sécants, alors leur droite commune est parallèle à d et d. d Pet d P d // d // d et // d P P =

5 5 IV. Orthogonalité dans l'espace / droites orthogonales Définition Dans l'espace, dire que deux droites d et d sont orthogonales signifie qu'on peut trouver un point I tel que les parallèles à ces droites passant par I sont perpendiculaires. On écrit d d Théorème (admis) Si deux droites sont parallèles alors toute orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. d // d d On écrit d d d / droites perpendiculaires à un plan Définition I est l'intersection d'une droite d et d'un plan P. Dire que d et P sont perpendiculaires signifie que d est perpendiculaire à deux droites d de P passant par I. d et Remarque On admet alors que d est perpendiculaire à toute droite de P passant par I. Théorème Si une droite orthogonale à toute droite d est perpendiculaire à un plan contenue dans P. P, alors d est Démonstration Soit une droite contenue dans le plan d étant perpendiculaire à P alors I et parallèle à. // Ainsi : d d P.On veut montrer que d est perpendiculaire à. d est en particulier perpendiculaire à, droite de P sécante à d en d est donc orthogonale à.

6 Théorème Pour qu'une droite que d et un plan d soit orthogonale à deux droites sécantes de P soient perpendiculaires, il faut et il suffit P. 6 Conséquences / si deux droites sont perpendiculaires à même plan P, alors elles sont parallèles. d P d // d d P / si deux plans P et P sont perpendiculaires à une même droite P d P // P P d Exercice 3 ABCDEFGH est un cube. / Démontrer l'orthogonalité de la droite / En déduire que les droites DA et 3 / En déduire l'orthogonalité de la droite des droites HC et DF. Solution / D est le point d'intersection des droites Par définition du cube, Par définition, / DA étant perpendiculaire au plan DCH, et en particulier à la droite HC. 3 / HC est orthogonale aux deux droites et sécantes en D. Donc D et F sont deux points de D'autre part, particulier à la droite DF. DA et du plan DCH. HC sont orthogonales. HC et du plan DGA puis celle d, alors ils sont parallèles. DH et DC qui sont deux droites du plan DCH. DA est perpendiculaire aus droites DH et DC. DA est perpendiculaire au plan DCH. DA est donc orthogonale à toute droite contenue dans DCH DA et DG qui sont toutes deux contenues dasn le plan DGA HC est perpendiculaire au plan DGA. DGA donc la droite DF est contenue dans DGA. HC étant perpendiculaire au plan DGA, elle est orthogonale à toute droite de ce plan et en