On note Q(A) le corps des fractions de A. L anneau A[X] est (isomorphe à) un sous-anneau de Q(A)[X]

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1 Chapitre 3 Anneaux de polynômes 3.1 Critères d irréductibilité Définition Soit A un anneau commutatif intègre. Un polynôme P A[X] est primitif si et seulement si 1 est PGCD de ses coefficients (les coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble). On note Q(A) le corps des fractions de A. L anneau A[X] est (isomorphe à) un sous-anneau de Q(A)[X] Proposition Soit P A[X] un polynôme non constant (de degré supérieur ou égal à 1). 1. Si P est irréductible dans A[X], alors il est primitif. 2. Si P est primitif et irréductible dans Q(A)[X], alors il est irréductible dans A[X]. Réduction des coefficients Proposition Soit I un idéal dans l anneau commutatif A, et J l idéal engendré par I dans A[X]. La surjection canonique π : A A/I s étend en un morphisme d anneau : Π : P = k A[X] A/I[X] a k X k a k X k, k et induit un isomorphisme : A[X]/J A/I[X]. L imageπ(p)estappeléelaréductiondep moduloi.lecoefficientdominant d un polynôme P est le coefficient de plus haut degré. 20

2 Corollaire Si I est un idéal premier de A, alors J = (I) est un idéal premier dans A[X]. Proposition Soit P A[X] un polynôme primitif non constant, et I un idéal premier qui ne contient pas le coefficient dominant de P. Si la réduction de P modulo I est irréductible dans A/I[X], alors P est irréductible dans A[X]. 3.2 Factorialité des anneaux de polynômes Définition Soit A un anneau factoriel. On appelle contenu de P A[X] un PGCD de ses coefficients. Il existe et est unique aux inversibles près. On notera c(p) le contenu de P : une classe d éléments associés ou un représentant. Remarque Un polynôme est primitif si et seulement si son contenu est inversible. Proposition Le produit de deux polynômes primitifs à coefficients dans un anneau factoriel est un polynôme primitif. Corollaire Pour P et Q dans A[X], avec A factoriel, on a c(pq) = c(p)c(q). Corollaire Soit A un anneau factoriel. Si P A[X] est divisible dans Q(A)[X] par un polynôme primitif Q A[X], alors P est divisible par Q dans A[X]. Proposition Soit A un anneau factoriel. Tout polynôme irréductible de A[X] est premier. Théorème a) Si A est un anneau factoriel, alors l anneau A[X] est factoriel. b) Les polynômes constants irréductibles dans A[X] sont les irréductibles de A. c) Les polynômes non constants irréductibles dans A[X] sont les polynômes non constants primitifs de A[X] qui sont irréductibles dans Q(A)[X]. Proposition (Critère d Eisenstein). Soient A un anneau factoriel, f un élément irréductible de A, et n P = a k X k k=0 21

3 un polynôme non constant primitif dans A[X]. Si : f a n, i < n f a i, et f 2 a 0, alors P est irréductible dans A[X]. Exercice Montrer que si A est un anneau intègre, les diviseurs d un monôme de A[X] sont des monômes. 7/10/ Polynômes en une variable : compléments La division euclidienne étendue Théorème Soient U = a n X n + +a 0 et V = b m X m + +b 0 deux polynômes dans A[X], avec n m 1 et b m 0. Il existe un unique couple (Q,R) de polynômes de A[X], tels que : b n m+1 m U = VQ+R, et ( R = 0 ou deg(r) < deg(q) ) Fonctions polynomiales et évaluation L évaluation permet de définir un morphisme d anneau : E : A[X] A(A,A) P [a P(a)] L image de ce morphisme est le sous anneau des fonctions polynomiales sur A. Proposition a) Si A est infini, alors E est injective. b) Si A est un corps fini à q éléments, alors le noyau de E est l idéal engendré par X q X Dérivation Caractéristique d un anneau SiAestunanneaucommutatif,alorsilexisteununiquemorphismed anneau η : Z A. Définition La caractéristique d un anneau A est le générateur (entier positif ou nul) de l idéal Ker(η). Remarque L image de η est isomorphe à Z/Ker(η). Pour un anneau intègre, c est un sous-anneau intègre. La caractéristique d un anneau intègre est soit zéro, soit un nombre premier. 22

4 Proposition Soit A un anneau commutatif intègre de caractéristique p > 0, alors l application F : A A a a p est un morphisme d anneau. Dérivation La dérivation est l application : D : A[X] A[X] P = ka k X k D.P = P = k>0a k kx k 1 Théorème Soit A un anneau intègre, et P A[X]. 1. Si la caractéristique de A est nulle, on a : DP = 0 P A. 2. Si la caractéristique de A est un nombre non nul p (premier), alors : DP = 0 P A[X p ]. Théorème (Formule de Taylor). Soit A un anneau commutatif intègre de caractéristique nulle, pour tout P A[X], D k.p(0) est divisible par k!, et : P = D k P(0) X k. k k! 3.4 Polynômes à n variables Soit A un anneau commutatif et X 1,...,X n des indéterminées. On note A[X 1,...,X n ] l ensemble des familles d éléments de A indexées par N n, avec un nombre fini de termes non nuls, notées comme combinaisons linéaires des X k Xn kn, k j 0 : les éléments de A[X 1,...,X n ] s écrivent sous la forme : P = a k1,...,k n X1 k1...xn kn = k 1,...,k n k A[X 1,...,X n ] est muni des opérations : a k X k 1 n. ( k a k X k 1 n )+( k b k X k 1 n ) = k (a k +b k )X k 1 n. 23

5 ( k a k X k 1 n )( l et de l application de structure : b l X l X ln n ) = ν avec c ν = k+l=ν a k b l, η : A A[X 1,...,X n ] a ax 0 = a Proposition A[X 1,...,X n ] est une algèbre sur A. c ν X ν X νn n, Remarque L application qui définit la structure d algèbre est injective, d image les polynômes constants; A est identifié au sous-anneau de A[X 1,...,X n ] formé par les polynômes constants. Proposition (Propriété universelle). Soit B une algèbre sur l anneau commutatif A, et b 1,...,b n des éléments de B, alors il existe un unique morphisme d algèbre E (b1,...,b n) : A[X 1,...,X n ] B qui envoie chaque X i sur b i. Proposition Les anneaux A[X 1,...,X n 1,X n ] et A[X 1,...,X n 1 ][X n ] sont isomorphes. Corollaire Si l anneau A est factoriel, alors A[X 1,...,X n ] est factoriel. Définition Le multidegré d un monôme a k1,...,k n X k 1 n est la suite des exposants (k 1,...,k n ); son degré total ou simplement son degré est la somme des exposants : k = ik i. Le degré d un polynôme non nul est le maximum des degrés (totaux) de ses monômes. Un polynôme est homogène si et seulement si tous ses monômes ont même degré (total). Proposition Le polynôme P A[X 1,...,X n ] est homogène si et seulement si P(X 1 T,...,X n T) A[X 1,...,X n ][T] est un monôme. Corollaire On suppose que A est un anneau intègre. Si le polynôme homogène P A[X 1,...,X n ] admet une réduction P = QR, alors Q et R sont homogènes. Démonstration. Le polynôme M(T) = P(TX 1,...,TX n ) = Q(TX 1,...,TX n )R(TX 1,...,TX n ) A[X 1,...,X n ][T] est un monôme, donc les deux polynômes en T : Q(TX 1,...,TX n ) et R(TX 1,...,TX n ), sont des monômes. 24

6 Dérivées partielles On définit les dérivées partielles avec les formules habituelles; on note D j = X j la dérivation par rapport à la variable X j. Remarque Le lemme de Schwarz D i D j = D j D i est immédiat pour les polynômes. Théorème (Formule de Taylor). Soient A un anneau commutatif intègre de caractéristique 0, et P A[X 1,...,X n ]. On a : P = k k P 1 k 1!...k n! X k X kn n (0,...,0)X k 1 n. Proposition Soit P A[X 1,...,X n ] un polynôme homogène de degré k, alors : P X i = kp. X i 3.5 Polynômes symétriques i Le groupe symétrique S n agit à gauche sur A[X 1,...,X n ] par permutation des variables : pour σ S n, σ.p(x 1,...,X n ) = P(X σ(1),...,x σ(n) ). Définition Les polynômes invariants sous l action du groupe symétrique forme un sous-anneau de A[X 1,...,X n ] : le sous-anneau des polynômes symétriques, noté A[X 1,...,X n ] sym. Polynômes symétriques élémentaires Définition Pour 1 k n le polynôme symétrique élémentaire σ k A[X 1,...,X n ] sym est le coefficient de degré n k du polynôme : (T +X i ) A[X 1,...,X n ][T]. i Remarques On a : σ k = X i1...x ik. i 1 <i 2 < <i k 2. Relations entre coefficients et racines : n n (X α i ) = X n + ( 1) k σ k (a 1,...,a n )X n k. i=1 k=1 25

7 Théorème Tout polynôme symétrique s écrit de manière unique comme un polynôme dans les polynômes symétriques élémentaires : le morphisme d algèbre de A[Y 1,...,Y n ] dans A[X 1,...,X n ] sym qui envoit Y k sur σ k est un isorphisme d algèbre. Polynômes antisymétriques Définition Un polynôme P A[X 1,...,X n ], avec A anneau commutatif intègre de caractéristique différente de 2, est antisymétrique si et seulement si : σ S n, σ.p = ǫ σ P, où ǫ σ est la signature. Remarque Il suffit de vérifier la condition pour les transpositions. Exercice Soit A un anneau commutatif intègre de caractéristique différente de 2. Montrer qu un polynôme P A[X 1,...,X n ] est antisymétrique si et seulement s il s écrit sous la forme : P = n Q, avec n = i<j(x j X i ) et Q A[X 1,...,X n ] sym. Remarque. n est le déterminant de Vandermonde : n = X 1 X 2... X n X1 n 1 X2 n 1... Xn n Résultant et discriminant Le déterminant d une matrice carrée d ordre n à coefficients dans un anneau commutatif, est défini par la formule habituelle : deta = n ǫ σ σ S n i=1 a iσ(i). Notons que cela a un sens si les n 2 coefficients de la matrice sont des variables différentes : on peut voir le déterminant comme un polynôme en n 2 variables. 26

8 Définition Soient P = a 0 + +a m X m et Q = b 0 + +b n X n deux polynômes à coefficients dans un anneau commutatif. Le résultant Res(P,Q) est le déterminant de la matrice dite de Sylvester : a 0 b 0 a 1 a 0 b 1 b 0. a b a S(a 0,...,a m ;b 0,...,b n ) =... a 1 b n... b0 a m.. b n b 1 a m a m.... Proposition On suppose que P = a a m X m et Q = b 0 + +b n X n sont à coefficients dans le corps commutatif K. Si b n 0 alors Res(P,Q) = b deg(p) n det(ψ P ), où b n est le coefficient dominant de Q, et : ψ P : K[X]/(Q) K[X]/(Q) U UP Théorème On suppose que P = a 0 + +a m X m et Q = b 0 + +b n X n sont deux polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. Si b n 0 alors le résultant de P et Q est non nul si et seulement si P et Q sont premiers entre eux. Proposition a) Res(P,Q) = ( 1) nm Res(Q,P). b) Res(P 1 P 2,Q) = Res(P 1,Q)Res(P 2,Q). n c) Si le polynôme Q est de degré n et scindé : Q = b n (X y j ), alors : j=1 b n 14/10/2010 Res(P,Q) = b deg(p) n m P(y j ). i=1 m d) Si P est de degré m et également scindé : P = a m (X x i ), alors : i=1 m n Res(P,Q) = a n mb m n (y j x i ). i=1j=1 27

9 Proposition On suppose que P = a a m X m et Q = b b n X n sont deux polynômes à coefficients dans un corps commutatif K algébriquement clos. Le résultant de P et Q est nul si et seulement si a m = b n = 0, ou P et Q ont une racine commune. Exercice Etudier l intersection des courbes d équations : Discriminant X 2 XY +Y 2 1 = 0, 2X 2 +Y 2 Y 2 = 0. Soit P = a a n X n un polynôme de degré n à coefficients dans un anneau commutatif intègre A. Définition Le discriminant de P, noté Disc(P) est défini par : Disc(P) = ( 1) n(n 1) 2 a 0 a 1 a 1 a 0 2a 2 a 1. a a a a 1 na n... a1 a n.. na n 2a a n a n 1 na n (n 1)a n 1 1 n Notons que : a n Disc(P) = ( 1) n(n 1) 2 Res(P,P ). Théorème Si le polynôme P, à coefficients dans le corps commutatif n K, est scindé : P = a n (X x i ), alors : i=1 Disc(P) = a 2n 2 n (x j x i ) 2. i<j Le discriminant générique est le carré du déterminant de Vandermonde : 2 n = 1 i<j n (X j X i ) 2 C est un polynôme symétrique. 18/10/

10 Proposition On a, p k = ix k i étant la somme des puissances : 2 n = n p 1 p 2... p n 1 p 1 p 2 p 3... p n p 2 p 3 p 4... p n p n 1 p n p n+1... p 2n 2, 29