(x; y) appelé point image (ou image) de z et noté M(z). Réciproquement, à tout point M de coordonnées (x; y), on associe le nombre

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1 Chapitre n 11 Nombres comexes (Partie ) I. Représentation géométrique d un nombre comexe Dans un repère orthonormé (O; I, J), on définit les vecteurs u = OI et v = OJ. On définit alors un repère orthonormé direct (O; u, v). 1. Affixe d un point Définition 1 : A tout nombre comexe z = x + iy, on associe le point M de coordonnées (x; y) appelé point image (ou image) de z et noté M(z). Réciproquement, à tout point M de coordonnées (x; y), on associe le nombre comexe z = x + iy appelé l affixe du point M et noté z M. Notation : Si M a pour affixe z M alors on note M(z M ). Remarque : Les nombres réels sont les affixes des points situés sur l axe des abscisses, appelé l axe des réels ; les nombres imaginaires purs sont les affixes des points situés sur l axe des ordonnées, appelé l axe des imaginaires purs.. Affixe d un vecteur Définition : A tout nombre comexe z = x + iy, on associe le vecteur w de coordonnées (x; y) appelé vecteur image (ou image) de z. Réciproquement, à tout vecteur w(x; y), on associe le nombre comexe x + iy appelé l affixe du vecteur w. Notation : Si w a pour affixe z alors on note z w. Remarque : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes affixes. 3. Propriétés Propriété 1: On considère deux points A z A et B(z B ). L affixe du milieu du segment [AB] est égale à z A + z B Propriété : Les points M(z) et M (z ) sont symétriques par rapport à l axe des réels. Les points M(z) et M ( z) sont symétriques par rapport à l origine.

2 Propriété 3 : Pour tout vecteur w et w d affixes respectives z et z, et pour tout réel k. L affixe du vecteur w + w est égale à z + z. On a : z w+w = z w + z w. L affixe du vecteur kw est égale à kz. On a : z kw = kz w. On considère deux points A z A et B(z B ). L affixe du vecteur AB est égale à z B z A. On a : z AB = z B z A. Exemes : (1) Le an comexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u, v). Lire les affixes des points F, G et H. Placer les points A, B, C et D d affixes : z A = + i, z B = 3 i, z C = et z D = i. Placer le vecteur d origine O et d affixe + i. () Soit A, B et C des points du an dont les affixes sont z A = 3 + i, z B = 1 i et z C = 4 + 3i. Déterminer l affixe du vecteur AB. Déterminer l affixe du point D tel qu ABCD soit un parallèlogramme. Déterminer l affixe du centre I du parallélogramme ABCD. Objectifs : Je dois : Savoir représenter un nombre comexe par un point ou un vecteur ; Savoir déterminer l affixe d un point ou d un vecteur. II. Forme trigonométrique d un nombre comexe (O; u, v) est un repère orthonormé direct du an comexe. 1. Module et argument d un nombre comexe non nul Définition 3 : z Soit z = x + iy un nombre comexe et M le point d affixe z. Le module de z, noté z, est le réel positif égal à la distance OM. Donc, on a : z = OM = x + y Si z 0 alors on appelle argument de z, noté arg (z), toute mesure en radians de l angle orienté (u, OM). Donc, on a : z 0, arg z = u, OM [π]

3 Remarque : 0 = 0 et le réel 0 n a pas d argument puisque l angle n est pas défini si M est en O. Exemes : = ; i = 1 ; arg( ) = π π ; arg(i) = π [π]. z 1 = 3 + i = 3 + 1² = = ; z = 1 i = 1 + ( 1)² =. Conséquence : Propriété 4 : Propriété 5 : Soit z un nombre comexe. z R arg z = 0 π z ir arg z = π [π] Egalité de deux nombres comexes non nuls Deux nombres comexes z et z non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. Autrement dit, z = z z = z et arg z = arg z [π]. z C, z ² = zz = x² + y² ; z C, z = z = z ; z C, arg z = π + arg z [π] et arg z = arg z [π].. Forme trigonométrique d un nombre comexe non nul Définition 4 : Pour tout nombre comexe z non nul, z = r(cos θ + i sin θ) avec r = z et θ = arg(z). Cette écriture est appelée forme trigonométrique d un nombre comexe. Conséquence : Si z = r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 alors r = z et θ = arg z [π]. Propriété 6 : Concrètement : Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique d un comexe Soit z un nombre comexe non nul de forme algébrique z = x + iy avec z = r et arg z = θ. Alors, on a l équivalence suivante : cos θ = r = x + y x x +y et sin θ = y x +y x = r cos θ y = r sin θ Si on connait z sous sa forme trigonométrique alors x = r cos θ et y = r sin θ. Si on connait z sous sa forme algébrique alors r = x + y et θ est tel que cos θ = x x +y et sin θ = y x +y Exeme : Apication : Ecrire z = 1 + i 3 sous forme trigonométrique. Ecrire z = 10 (cos 3π + i sin 3π ) sous forme algébrique. 4 4 Déterminer l argument de z 1 = 3 + i. Méthode : Pour déterminer un argument d un nombre comexe non nul, on l écrit sous sa forme trigonométrique.

4 3. Opérations sur les modules et les arguments Propriété 7 : Pour tous nombres comexes z et z non nuls et pour tout entier naturel n : zz = z z et arg zz = arg z + arg z [π] ; z n = z n et arg z n = n arg z [π] ; 1 z = 1 z et arg 1 z = arg z [π] ; z z = z z et arg z z = arg z arg z [π]. Propriété 8 : Inégalité triangulaire Pour tous nombres comexes z et z : z + z z + z Remarque : L inégalité triangulaire est une traduction d une inégalité sur les distances. Il n y a aucune propriété sur l argument d une somme. Exeme : (1) Déterminer le module et un argument de Z = z 1 z avec z 1 = 3 + i et z = 1 i. () Donner la forme algébrique du nombre comexe Z 01 avec Z = + i. 4. Interprétation géométrique du module et de l argument Propriété 9 : Pour tous points A et B distincts d affixes respectives z A et z B : AB = z B z A u, AB = arg z B z A [π] Pour tous points A, B, C et D deux à deux distincts d affixes respectives z A, z B, z C et z D : AB CD = z B z A z D z C AB, CD = arg z D z C z B z A

5 Conséquences : On considère quatre points A, B, C et D deux à deux distincts d affixes respectives z A, z B, z C et z D. Les points A, B et C sont alignés arg z B z C z A z C = 0 [π] ; Les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires arg z B z C z A z C = π [π] ; Caractérisation du cercle C de centre Ω w et de rayon R: M z C ΩM = R z w = R Caractérisation de la médiatrice du segment [AB] : M z MA = MB z z A = z z B Exemes : (1) Dans le an comexe rapporté au repère orthonormé direct (O; u, v). On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A = 1 + i, z B = 1 i, z C = i et z D = i. a) Placer ces points sur un graphique. b) Calculer z C z A z D z A et en déduire la nature du triangle ACD. c) Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. () On considère trois points A, B et C d affixes respectives z A = 1 + i, z B = et z C = i Calculer z A z B z A z C et en déduire que les points sont alignés. Objectif : Je dois : Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement ; Connaitre et utiliser la relation z ² = zz = x² + y² ; Savoir effectuer des opérations sur les nombres comexes écrits sous différentes formes. III. Notation exponentielle d un nombre comexe non nul On considère la fonction f définie de R dans C par f θ = cos θ + i sin θ. Démontrons que θ, θ R R, f θ + θ = f θ f(θ ). f θ f θ = cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ = cos θ cos θ + i sin θ cos θ + i cos θ sin θ sin θ sin θ = cos θ cos θ sin θ sin θ + i cos θ sin θ + sin θ cos θ = cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) f θ f θ = f(θ + θ ) On constate que la fonction f vérifie la relation fonctionnelle des fonctions exponentielles, c est-à-dire exp x + y = exp x exp (y). Comme la fonction exponentielle, cette fonction f «transforme les sommes en produits». On adopte alors la notation f θ = e iθ. Définition 5: θ R, e iθ = cos θ + i sin θ. e iθ est le nombre comexe de module 1 et d argument θ. Remarque : Le cercle trigonométrique de centre l origine du repère est l ensemble des points d affixes e iθ avec θ R. Exeme : e i0 = 1 ; e iπ = 1 ; e iπ = i ; e iπ = 1.

6 Propriété 10 : θ, θ R R. e iθ e iθ = e i(θ+θ ) e iθ e iθ = e i(θ θ ) et 1 e iθ = e iθ = e iθ (e iθ ) n = e inθ avec n N Formule de Moivre Abraham De Moivre ( ) est un mathématicien français. C est en probabilité que son apport est le us important. Il est considéré comme un pionnier dans le domaine des mathématiques financières et pour l apication des mathématiques aux études démographiques. Remarque : La notation exponentielle permet de mémoriser facilement les propriétés sur les arguments. Parenthèse historique : L égalité e iπ = 1 s écrit aussi e iπ + 1 = 0. Cette formule appelée aussi Identité d Euler est souvent considérée comme la us belle des mathématiques car elle lie cinq constantes fondamentales : 0 et 1, les neutres de l addition et de la multiication, i, qui représente les comexes, e, la base du logarithme qui représente l analyse et π, qui représente la géométrie. IV. Forme exponentielle d un nombre comexe non nul 1. Définition Définition 6 : Tout nombre comexe z non nul de module r et d argument θ s écrit sous la forme z = r cos θ + i sin θ = re iθ. L écriture z = re iθ est appelé la forme exponentielle de z où r = z et θ = arg z [π]. Remarque : r est un réel positif. Exeme : (1) Ecrire sous forme algébrique les nombres comexes suivants : z 1 = e 3iπ 4 ; z = 3e iπ 3 () Déterminer la forme exponentielle des nombres comexes suivants : z 3 = 3 ; z 4 = ; z 5 = i ; z 6 = 3 i.. Conséquences Propriété 11 : θ, θ R R ; r > 0, r > 0. re iθ r eiθ = rr e i(θ+θ ) re iθ r e iθ = r r ei(θ θ ) re iθ = re iθ et (re iθ ) n = r n e inθ avec n N 1 re iθ = 1 r e iθ Exemes : (1) On donne z 1 = e iπ ; z = ie iπ 3 et z 3 = 4e iπ 3. a) Déterminer la forme exponentielle de z 1 puis de z. b) Déterminer la forme exponentielle de z 1 z z 3 puis celle de z (z 1 )². () Calculer (1 + i) 014.

7 3. Formules d Euler Propriété 1 : Formules d Euler Pour tout θ R, cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i 4. Apication à la trigonométrie La forme exponentielle permet de retrouver les formules trigonométriques d addition et de duication vues en 1 S. Exemes : (1) Donner la forme algébrique de e ia e ib et de e i(a+b) où a et b sont deux réels et retrouver ainsi deux formules de trigonométries vues en 1 S. () En utilisant les formules d Euler, calculer cos²a et retrouver la formule donnant cos a en fonction de cos a.