SERIE D EXERCICES Intégration-Logarithme népérien-exponentielle

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1 LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE PROF: SALAH HANNACHI «4 EME Tchniqu» SERIE D EXERCICES Intégration-Logarithm népérin-eponntill EXERCICE N : A/Calculr (au moyn d un primitiv) chacun ds intégrals suivants : ( + 3 ) (+)ln(+) ( ) ; ; ; ln + π ; cos (sin ) 4 ; ; (+ ) 4 ; ln ; (3 +) ; + π 4 ; (ln)4 ; tan ; B/ Calculr (au moyn d intégration par partis) chacun ds intégrals suivants : ( ) ; (ln) ; (ln) ; 3 C/ ) Drssr l tablau d signs d l prssion : f() = + ) En déduir la valur d l intégral K= f() (indication : utilisr la rlation d Chasls) EXERCICE N : ) Soit la fonction f +6 (+) a) Montrr qu il ist du réls a t b tls qu f() = a + (+) b) Calculr alors f(). ) Calculr EXERCICE N3 : (+) b + pour tout IR { } Soit l rél A= sin(π) ) En utilisant du intégrations par partis succssivs, montrr qu : A= π( + ) π A ) En déduir la valur d A. EXERCICE N4 : On considèr la fonction f : ( ) On désign par (C) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (O, i, j ). f() ) a) Détrminr : lim f() t lim + + b) En déduir un intrprétation géométriqu. c) Montrr qu la droit : y= st un asymptot à (C) au voisinag d ( ) ) a) Montrr qu pour tout rél on a : f ()=( ) b) Etablir l tablau d variation d la fonction f sur IR. 3) a) Montrr qu l équation f()= admt dans IR actmnt trois solutions, dont l un st null. (On not α t β ls du autrs solutions tls qu α < β) b) Vérifir qu -,6< α <-,5 t qu,4< β <,5

2 4) Tracr la courb (C). 5) Montrr, à l aid d du intégrations par partis succssivs, qu : ( ) = 5 6)a) Calculr l air A d la parti du plan limité par la courb (C), l a ds abscisss t ls droits d équations = t =. b) Calculr l air A d la parti du plan limité par la courb (C), la droit D : y= t ls droits d équations : = t = EXERCICE N5 : (BAC SC. EXP. ) I) On a rprésnté ci-dssous, dans un rpèr orthonormé (O, i, j ), ls courbs (C) t (Γ), rprésntativs d un fonction f défini t dérivabl sur IR t d sa fonction dérivé f. ) Rconnaitr la courb rprésntativ d f t cll d f. ) Détrminr f(), f (), f(-), f (-). 3) Calculr l air A d la parti du plan limité par la courb d f, l a ds abscisss t ls droits d équations = - t =. II) La fonction f st défini sur IR par f() = ( + ). ) a) A l aid d un doubl intégration par partis, montrr qu f() = 5. b) Détrminr l air A d la parti du plan limité par ls courbs (C) t (Γ) t ls droits d équations = - t =. ) Soit g la rstriction d f à l intrvall [, + [. a) Montrr qu g réalis un bijction d [, + [ sur un intrvall J qu l on précisra. b) Montrr qu l équation g() = admt dans [, + [ un solution uniqu α t qu,4< α <,4. c) Montrr qu g st dérivabl n α t qu (g ) (α) = réciproqu d g). α+ α( α), (g désign la fonction

3 EXERCICE N6 : La courb rprésntativ (C) ci-contr st cll d la fonction f défini sur [, π 4 ] par f()=(tan)3 + tan. La courb (C) admt au point O un dmi-tangnt à droit porté par la droit : y=. π ) Calculr 4 f() ) a) Montrr qu f admt un fonction réciproqu (noté f ) dont on précisra l domain d définition J. b) Tracr la courb (C ) d la fonction f. c) Calculr f () 3) Calculr (n unité d air : u.a) l air A d la parti du plan limité par ls courbs (C) t (C ) t l sgmnt [AB]. EXERCICE N7 : f() =. ln si > Soit la fonction f défini sur [,+ [ par : { t (C) sa courb slon un RON(O, i, j ). f() = ) Etudir la continuité t la dérivabilité d f à droit n. ) Etablir l tablau d variation d la fonction f, puis tracr la courb (C). (l unité : cm) 3) a) Montrr à l aid d un intégration par partis qu ln = +3 9 b) Calculr l volum V (n unité d volum) du solid ngndré par la rotation autour d (O, i ) d la parti du plan limité par (C), l a (O, i ) t ls droits d équations = t = EXERCICE N8 : On pos F()= dt +t ) a) Détrminr l domain d définition d F. b) Etudir la dérivabilité d F t n déduir qu F st strictmnt croissant sur IR. c) Montrr qu la fonction φ : F()+F(-) st constant sur IR. En déduir qu F st impair. ) On pos g()= F(tan) ; π < < π a) Montrr qu g st dérivabl sur ] π, π [ t calculr g (). b) Calculr g(). En déduir qu g()= +t c) Calculr dt t 3 dt +t 3) a) Vérifir qu F st la fonction réciproqu d f : tan b) En déduir lim + F() EXERCICE 9 : A/ Dans l graphiqu ci-contr, la courb (Γ) st cll d la fonction g défini sur ],+ [ par g()= a +b.ln(-) t la droit st d équation y=. L uniqu tangnt horizontal à la courb (Γ) st au point A(,) ) Drssr l tablau d variation d g. ) En s srvant ds valurs d g() t g (), montrr qu a=b=

4 3) a) Montrr qu + = b) Calculr (n unité d air) l air d la parti du plan limité par (Γ), t ls droits d équation = t =+ B/ Soit la fonction f défini sur ],+ [ par : f()=ln( ). On désign par (C) sa courb dans un rpèr orthonormé (O, u, v ). ) Montrr qu pour tout rél d ],+ [ on a : f ()=g(). ) Drssr l tablau d variation d f. 3) Etudir la branch infini d (C) au voisinag d +. 4) Montrr qu l point I(,) st un point d inflion d (C). 5) Tracr la courb (C). C/ Soit la suit (I n ) défini sur IN par : I n = n ln( ) ) a) Intrprétr géométriqumnt l trm I. b) Vérifir qu =++ pour tout rél c) Calculr l trm I. ) a) Montrr qu pour tout rél d [,] t pour tout n IN on a : n ln( ) n b) En déduir qu pour tout n IN on a : I n n+ c) Détrminr alors lim ( ( )n ln( ) ) n + EXERCICE 9 : Soit g()=+ln ( + ) ; [,+ [. On désign par (C) sa courb rprésntativ slon un rpèr orthonormé (O, u,v ). ) Etablir l tablau d variation d g. ) Montrr qu la droit D : y= st un asymptot à (C) au voisinag d +. 3) Etudir la position d (C) par rapport à D. 4) Tracr (C) t D. 5) a) Montrr qu f réalis un bijction d [,+ [ sur un intrvall K qu on précisra. b) Tracr la courb (C') d la fonction réciproqu f d f. 6) a) Montrr qu pour tout t d [,+ [ on a : t +t b) En déduir qu pour tout d [,+ [ on a : ln ( + ) c) En déduir un ncadrmnt d ln(+ t ) pour tout t d [,+ [. 7) Soit A n la msur d l air du domain limité par la courb (C), la droit D t ls droits d équations = t =n. n+ a) Montrr qu 3 8 n + 8 4n A n n b) En déduir lim n + A n EXERCICE : On donn l tablau d variation d la fonction f : ln(+3). ) Montrr qu l équation f()= admt un solution uniqu α dans],[. ) Soit la suit réll (u n ) défini sur IN par : u = t u n+ =f(u n ). 3 + f () + + f

5 a) Montrr qu pour tout ntir naturl n, on a : u n. (On prnd ln4,4 t ln5,6) b) Montrr qu la suit (u n ) st croissant. (on pourra s srvir du princip d récurrnc) c) En déduir qu la suit (u n ) st convrgnt t détrminr sa limit. 3) a) Montrr qu pour tout [,], on a : f () 4 b) En utilisant l théorèm ds accroissmnts finis, montrr qu pour tout n IN on a : u n+ α 4 u n α c) En déduir qu pour tout n IN on a : u n α ( 4 )n d) Rtrouvr alors lim n + u n EXERCICE : I/ Cochr la répons act : La suit (I n ) défini sur IN par : I n = st un suit : n a/ croissant b/ décroissant c/ stationnair II/ On pos u = t u n = n ) Calculr u t u. ) a) Montrr à l aid d un intégration par partis, qu : u n+ = (n + )u n pour tout n IN. b) En déduir qu u = 4 ( 5 ). pour tout n IN. 3) a) Montrr qu la suit (u n ) st décroissant t qu u n n IN. b) En déduir qu la suit (u n ) st convrgnt. 4) a) Montrr qu pour tout [,] on a : n n b) En déduir qu pour tout IN, u n c) Détrminr alors lim n + u n EXERCICE N : (BAC 4) On considèr la suit réll (u n ) défini sur IN par : { u = 3 u n+ = + u n ) a) Montrr qu pour tout n IN on a : < u n < b) Montrr qu la suit (u n ) st croissant. c) En déduir qu (u n ) st convrgnt vrs un limit qu l on détrminra. ) Soit la suit réll (V n ) défini sur IN par : V n = ln (u n ) a) Montrr qu (V n ) st un suit géométriqu d raison.précisr son prmir trm. b) Eprimr u n à l aid d n. Puis calculr lim u n n + n+

6 EXERCICE 3 : La courb (C) ci-dssous rprésnt dans un rpèr orthonormé (O, i, j ) un fonction f défini sur IR par : f()= a +b + où a t b sont du réls. Ls droits d équations : y= t y= sont ds asymptots à (C) rspctivmnt au voisinag d + t au voisinag d. (L unité graphiqu : cm) ) a) A l aid d un lctur graphiqu détrminr : lim f() + t lim f() b) En déduir qu : a= t b=. ) Montrr qu la fonction f st impair. 3) a) Vérifir qu pour tout rél on a : f()= + + b) Calculr, n cm, l air A d la parti du plan limité par la courb (C), l a (O, i ) t ls droits d équations : = t =. c) En déduir, n cm, l air A d la parti du plan limité par la courb (C), la droit d équation y= t ls droits d équations = t =. EXERCICE 4 : I/ Soit la fonction g défini sur IR par : g()=( ) +. ) Etablir l tablau d variation d la fonction g. ) En déduir qu g()> pour tout rél. II/ Soit la fonction f défini sur IR par : f()= +. On désign par (C) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (O, i, j ) du plan. ) a) Montrr qu pour tout rél on a : f ()=g() b) Etablir l tablau d variation d la fonction f. ) a) Montrr qu la droit D : y= st un asymptot obliqu à (C) au voisinag d (+ ). b) Etudir la position d (C) par rapport à D. 3) Montrr qu la courb (C) admt au voisinag d ( ) un branch infini paraboliqu dont on précisra la dirction. 4) Tracr D t (C). 5) Soit IR +. On désign par A(α) l air d la parti du plan limité par la courb (C), la droit D t ls droits d équations : = t = α. a) Calculr A(α) n fonction d α. b) En déduir lim A(α). α + EXERCICE 5 : Soit la fonction g défini sur ],+ [ par g()= + ln( ). On not (Γ) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (O, i, j ). (unité graphiqu étant cm) ) a) Montrr qu g st dérivabl sur ],+ [ t qu g ()= ( ) b) Etablir l tablau d variation d la fonction g. ) a) Montrr qu l équation g()=3 admt actmnt du solutions α t β dans ],+ [.

7 b) On suppos qu α < β. Vérifir qu < α < 3 ) Etudir ls branchs infinis d (Γ). 3) Montrr qu la courb (Γ) admt un uniqu point d inflion I qu l on précisra. 4) Tracr la courb (Γ). 5) a) Montrr qu + = b) Calculr l air A d la parti du plan limité par (Γ), : y= t ls droits d équation = t =+ EXERCICE 6 : Soit f la fonction défini sur IR par f()=+. On désign par (C) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (O, i, j ). ) Etablir l tablau d variation d f ) a) Montrr qu la droit D : y=+ st un asymptot obliqu à (C) au voisinag d (- ). b) Etudir la branch infini d (C) au voisinag d (+ ). 3) Tracr la courb (C) t la droit D. 4) On désign par P la parti du plan limité par (C), l a (O, i ) t ls droits d équations = t =. a)en utilisant un intégration par parti, montrr qu ( + ) = b) Calculr l volum du solid d révolution ngndré par la rotation d P autour d l a ds abscisss. EXERCICE 7 : A/Soit la fonction f défini sur IR par : f() =. On not (C) sa courb dans un rpèr orthonormé (O, i, j ). ) a) Résoudr dans IR, l équation b) Drssr l tablau d variations d la fonction f ) Montrr qu l équation f() = admt dans IR actmnt du solution α t. Vérifir qu α [, ]. B/ Soit la fonction g défini sur IR par : g() = t la suit (u n ) défini sur IN par : { u = u n+ = g( u n ) ) Montrr qu pour tout ntir naturl n : u n ) Montrr qu la suit (u n ) st croissant. 3) En déduir qu la suit (u n ) st convrgnt t calculr sa limit. 4) a) Montrr qu pour tout [, ], on a : g () b) En utilisant l inégalité ds accroissmnts finis, montrr qu pour tout ntir naturl n, on a : u n+ α u n α c) En déduir qu pour tout ntir naturl on a : u n α ( )n. Rtrouvr alors lim n + u n. EXERCICE 8 : Soit la suit (I n ) défini sur IN par : I n = n ln( ) ) a) Intrprétr géométriqumnt l trm I. b) Vérifir qu =++ pour tout rél c) Calculr l trm I.

8 ) a) Montrr qu la suit (I n ) st croissant t à trms positifs. b) En déduir qu (I n ) st convrgnt. 3) a) Montrr qu pour tout rél d [,] t pour tout n IN on a : n ln( ) n b) En déduir qu pour tout n IN on a : I n n+ I n n + n c) Détrminr alors lim n+ EXERCICE N9 : A/ On considèr la fonction f défini sur IR par { f() = + si ], ] f() = + ln( + ) si ], + [ (C) désign la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormé (O,i, j ). ) a) Montrr qu f st dérivabl n t f ()=. b) Calculr f () sur chacun ds intrvalls ], [ t ], + [. c) Drssr l tablau d variation d f. d) Etudir ls branchs infinis d (C). ) Montrr qu la parti d la courb (C) corrspondant à l intrvall ], ] admt un uniqu point d inflion I qu l on précisra. 3) a) Montrr qu l équation f()= admt dans ], + [ un solution uniqu α t qu < α < b) Tracr la droit D : y= t la courb (C). 4) Soit λ un rél strictmnt négatif. a) Calculr l air A(λ) du domain du plan limité par la courb (C) la droit D t ls droits d équations = λ t =. b) Calculr lim A( λ) λ B/ Soit g la rstriction d f à l intrvall ], ]. ) Montrr qu g admt un fonction réciproqu g défini sur un intrvall K qu l on précisra. ) Tracr la courb (C ) d g dans l mêm rpèr (O,i, j ). 3) Sur qul intrvall g st-ll dérivabl? 4) Montrr qu pour tout [,[ on a : g ()=ln( ). 5 5) Montrr qu 4 g () = 5ln 4 A( ln) C/ Soit I n = n ln( + ) ; n IN ) a) Vérifir qu pour tout [,] on a : = + puis calculr b) En déduir qu I = 4 ) Calculr l air A du domain du plan limité par la courb (C) t ls droits d équation =, = t y=. 3) a) Montrr qu pour tout n IN on a : I n ln n+ b) En déduir lim I n n + EXERCICE N : On pos I = t pour tout n IN I n = (ln) n. ) Calculr I t I. ) Etablir pour tout n IN la rlation :.I n = n. I n. Calculr alors I. 3) Montrr qu la suit ( I n ) st décroissant.

9 4) a) En rmarquant qu.(ln) n = (ln)n montrr qu (ln) n (ln) n (ln)n b) En déduir qu : I n+ n n+ c) Détrminr alors lim I n n + EXERCICE N : pour tout [, ]. ) Vérifir qu pour tout rél non nul, on a : ) a) Calculr l intégral I= b) Calculr alors, l intégral J= ln3 ln t d 3) Soit l intégral K= t ln3 t ln t d ln3 t ln t d Calculr l intégral K I. En déduir la valur d K. EXERCICE N : t t = + On considèr la fonction f : ( ) On désign par (C) sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (O, i, j ). (L unité graphiqu : cm) f() ) a) Détrminr : lim f() t lim + + b) En déduir un intrprétation géométriqu. c) Montrr qu la droit : y= st un asymptot à (C) au voisinag d ( ) ) a) Montrr qu pour tout rél on a : f ()=( ) b) Etablir l tablau d variation d la fonction f sur IR. 3) a) Montrr qu l équation f()= admt dans IR actmnt trois solutions, dont l un st null. (On not α t β ls du autrs solutions tls qu α < β) b) Vérifir qu -,6< α <-,5 t qu,4< β <,5 4) Tracr la courb (C). 5) Montrr, à l aid d du intégrations par partis succssivs, qu : ( ) = 5 6) a) Calculr n cm l air A d la parti du plan limité par la courb (C), l a ds abscisss t ls droits d équations = t =. b) Calculr n cm l air A d la parti du plan limité par la courb (C), la droit D : y= t ls droits d équations : = t =