EXERCICE 1 : (4 points)

Transcription

1 LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE BACCALAURE AT BLANC MAI ém SCIENCES INFO. E pruv : MATHE MATIQUES Duré : 3 hurs Cofficint : 3 PROF : SALAH HANNACHI L sujt comport quatr rcics répartis n trois pags EXERCICE 1 : (4 points) En vu d comprndr l phénomèn d rfroidissmnt d un liquid après son ébullition, on rlèv, durant un hur t touts ls cinq minuts, la tmpératur T d c liquid. L tablau ci-dssous donn ls résultats rcnsés pour un tass d café srvi dans un salon dont la tmpératur ambiant st d 0 C. t n minuts T n C L nuag d points associé à la séri statistiqu (t,t) st rprésnté ci-contr : C nuag prmt d nvisagr un ajustmnt d typ ponntil. On pos θ = ln(t 0) Ls valurs d θ, sront arrondis à 10 près. 1) Rcopir sur votr copi t complétr l tablau suivant : t n minuts θ ) a) Calculr l cofficint d corrélation linéair r (arrondi à 10 4 près) d la séri statistiqu (t, θ). b) Un ajustmnt affin d θ n t par ls moindrs carrés st il alors possibl? Justifir. 3) Donnr un équation cartésinn d la droit d régrssion D d θ n t. 4) En déduir qu l prssion d T n fonction d t st d la form T = 0 + α. βt où α t β sont du réls dont on donnra ls valurs arrondis à 0,1 près. Dans la suit, tout résultat doit êtr arrondi à l unité. 5) a) Estimr la tmpératur d ctt tass d café après 90 minuts d sa préparation. b) Après combin d tmps la tmpératur d ctt tass attign 8 C? Epliqur. 1 L chmin vrs l bac

2 EXERCICE : (6 points) Un ntrpris fabriqu ds chmiss n très grand séri. Un chmis put présntr du typs d défauts : Un défaut d finition avc un probabilité d 0,03. Un défaut d coulur avc un probabilité d 0,0. La probabilité qu un chmis ait ls du défauts à la fois st d 0,01. On considèr ls événmnts : F : «La chmis présnt un défaut d finition» C : «La chmis présnt un défaut d coulur» A : «La chmis n présnt aucun défaut» On put modélisr cs donnés par l arbr d probabilités ci-contr : I/1) a) Donnr la valur d p(c F). b) En déduir qu p (C F) = 0,01 ) a) On sait qu la chmis présnt un défaut d finition. Montrr qu la probabilité qu ll ait un défaut d coulur st égal à 1 3. b) En déduir la probabilité qu la chmis ait sulmnt un défaut d finition. 3) Montrr qu la probabilité qu la chmis ait un uniqu défaut st d 0,03. 4) Montrr qu p(a) = 0,96 5) On considèr un lot d 10 chmiss mballés d ctt ntrpris. Un contrôl s ffctu sur l état d chaqu articl d c lot d façon indépndant. Soit X l nombr d chmiss dans c lot n ayant aucun défaut. Calculr la probabilité (arrondi à 10 près) qu 9 chmiss d c lot n présntnt aucun défaut. II/ Un chmis (d ctt ntrpris) sans défaut st vndu à 40 DT. Son pri décroit à 30 DT si ll présnt un sul défaut. Ell sra vndu à 0 DT si ll présnt ls du défauts. Soit Y la variabl aléatoir qui à chaqu chmis associ son pri d vnt. 1) Détrminr la loi d probabilité d Y. ) Calculr l pri moyn d un chmis. III/ Dans ctt ntrpris on s srt d 10 machins idntiqus dans la fabrication ds chmiss. Chacun d cs machins a un duré d vi T (primé n annés) qui suit un loi d probabilité ponntill p d paramètr λ tll qu p(t > 5)=0,. 1) Montrr qu λ = ln5 5 Dans la suit, tout probabilité dmandé doit êtr arrondi à 10 près. ) Qull st la probabilité qu un machin n st plus fonctionnll après 3 annés. 3) Qull st la probabilité qu un machin fonctionnait un annés t pouvait tombr n pann au cours ds du annés suivants. 4) Un machin a fonctionné un annés. Calculr la probabilité qu ll fonctionnait ncor annés d plus. L chmin vrs l bac

3 EXERCICE 3 : (3 points) Pour chacun ds propositions suivants, un sul ds trois réponss st act. Indiquz sur votr copi sans justifir, l numéro t la lttr corrspondant à la répons choisi. 1) L équation (E) : 1+7y = 5 admt dans Z Z : a) un infinité d solutions. b) un sul solution. c) zéro solutions. ) Pour tout ntir non nul n, PGCD(n,n+1) st égal à : a) 1 b) n c) n+1 3) Soit n N t A = n. L rst d la division uclidinn d A par 4 st égal à : a) 0 b) 1 c) EXERCICE 4 : (7 points) A/ Dans l rpèr (O, i, j ) ci-contr, (Γ) st la courb d la fonction g défini sur ]1,+ [ par g() = a +b.ln() t la droit st d équation y =. L uniqu tangnt horizontal à (Γ) st au point A(,). 1) Drssr l tablau d variation d g. ) En s srvant ds valurs graphiqus d g() t g (), montrr qu : a=b=1 3) a) Montrr qu d = (on put rmarqur qu = ) b) Calculr (n unité d air) l air d la parti du plan limité par (Γ), t ls droits d équation = t = B/ Soit la fonction f défini sur ]1,+ [ par : f() =.ln(). On désign par (C) sa courb dans un rpèr orthonormé (O, u, v ). 1) Montrr qu pour tout rél d ]1,+ [ on a : f () = g(). ) Drssr l tablau d variation d f. 3) Etudir la branch infini d (C) au voisinag d +. 4) Montrr qu l point A(,0) st un point d inflion d (C). 5) Tracr la courb (C). C/ Soit la suit (I n ) défini sur IN par : I n = n ln( 1) d 1) a) Intrprétr géométriqumnt l trm I 1. b) Vérifir qu = pour tout rél 1 c) Calculr l trm I 1. ) a) Montrr qu pour tout rél d [,] t pour tout n IN on a : 0 n ln( 1) n b) En déduir qu pour tout n IN on a : 0 I n n+1 n+1 c) Détrminr alors lim I n n 3 L chmin vrs l bac

4 LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE CORRIGÉ DU BAC BLANC 015/016 4 ém SCIENCES INFORMATIQUE E pruv : MATHE MATIQUES Duré : 3 hurs Cofficint : 3 PROF : SALAH HANNACHI EXERCICE 1 : (4 points) 1) t n minuts θ ,4 1, , ,69-1, ) a) r = Cov(t,θ) σ(t).σ(θ) 0,9996 b) Oui il st possibl d fair un ajustmnt affin d θ n t, par ls moindrs carrés. En fft 0,75 r < 1. 3) D : θ = a.t+b où a = Cov(t,θ) -0,1 t b = θ a. t 4,38. Donc D : θ = -0,1.t + 4,38 V(t) 4) On a : θ = ln(t 0) cla équivaut à : T= 0 + θ 0,1.t + 4,38 équivaut à : T= 0 + équivaut à : T= 0 + 4,38. 0,1.t D où : T= ,8. 0,1.t 5) a) Pour t = 90 mn on a : T= ,8. 0, C b) T= ,8. 0,1.t = 8 équivaut à : 0,1.t = 8 79,8 EXERCICE : (6 points) I/1) a) p(c F) = 0,01 équivaut à : t = -10 ln( 8 79,8 ) 3 mn b) p(c F) + p (C F) = p(c) équivaut à p (C F) = p(c) p(c F) = 0,0 0,01=0,01 ) a) p(c/f) = p(c F) p(f) = 0,01 0,03 = 1 3 b) p(f C) = p(c/f) p(f) = [1 p(c/f)] p(f)= 0,03 = 0,0 3 3) p(f C)+ p (C F) = 0,0 + 0,01= 0,03 4) p(a)= p(c F). p(c F) + p(f C) = p(c) cla équivaut à p(c F) = 1 p(c) p(f C) =1 0,0 0,0 D où p(a) = 0,96 5) au cours d c contrôl un mêm épruv d Brnoulli ( A st l succès ou A st l échc) s répèt 10 fois d façon indépndant. Alors X suit un loi binomial d paramètrs (n =10, p = p(a)=0,96) Ainsi : p(x=9) = C (0,96) 9. (1 0,96) 0,8 4 L chmin vrs l bac

5 II/1) L nsmbl ds valurs priss par Y st : Y(Ω)= {0,30,40} Loi d probabilité d Y : p 1 = p(y=0)= p(c F) = 0,01 p = p(y=30)= p( F C )+ p (C F) = 0,03 p 3 = p(y=40)= p(a) = 0,96 On put drssr alors un tablau (tablau d la loi d probabilité d Y) y i p i 0,01 0,03 0,96 i=3 ) L pri moyn d un chmis st E(Y)= i=1 p i. y i = 0 0, = 39 DT.500 III/1) p(t > 5)=0, équivaut à λ.5 = 0, équivaut à λ. 5 = ln (0,) équivaut à λ. 5 = ln ( 1 5 ) équivaut à λ. 5 = ln5. D où λ = ln5 5 ) p(t < 3)= 1 λ.3 0,6 3) p(1< T < 3 )= λ.1 λ.3 0,34 4) p(t > 3/ T > 1)= p(t > )= λ. 0,53 EXERCICE 3 : (3 points) 1) c) En fft : PGCD(1,7)=7 or 7 n divis pas 5 alors l équation (E) n a pas d solutions dans Z Z ) a) En fft : 1 (n+1)+( 1) n=1 alors d après l idntité d Bézout n+1 t n sont prmirs ntr u. 3) c) En fft : 3 1[4] alors 3 n ( 1) n [4] 1[4]. Donc 1+3 n [4] EXERCICE 4 : (7 points) A/ 1) ) g()= équivaut à a = équivaut à a =1 g ()= 1 () + b g ()=0 équivaut à 1 + b = 0 équivaut à b =1 3) a) d = d = [ + ln 1 ] 5 L chmin vrs l bac = =

6 b) A = g() u() = ln( 1) On pos : { v () = 1 ln( 1) D où A = () d = ( = d ln( 1) )d alors { u () = 1 v() = d = [. ln( 1)] = + 1 = 1 d = [ ] = () 1 = 5 (u.a) d ln( 1) d d B/ 1) f ()= ln( 1) + 1 = g() ) 3) lim f() = + ; lim f() = lim ln( 1) = lim ln(x) = + (où X = 1) X + Alors (C) admt au v(+ ) un branch paraboliqu d dirction cll d (O, j ). 4) La fonction f = g st dérivabl sur ]1,+ [. f ()= g () = 1 () + 1 = () Alors A(,0) st un point d inflion d la courb (C). 5) 6 L chmin vrs l bac

7 C/ 1) a) I 1 = ln( 1) d = f()d f() 0 pour tout rél d l intrvall [,], alors I 1 st l air d la parti du plan limité par la courb (c), l a (O, i ) t ls droits d équations : = t =. b) = 1+1 = = u() = ln( 1) c) On pos : { v () = Alors I 1 = ln( 1) d u () = 1 alors { v() = = [. ln( 1)] 1 =. ln( 1) 1 ( + + ln( 1) 4) = 1. ln( 1) d =. ln( 1) 1 [ + + ln( 1)] ) a) signifi qu alors 1 1 car 1 Donc 0 ln ( 1) 1 car la fonction ln st croissant sur [1,]. Et par la suit n multipliant par l rél positif n on obtint l ncadrmnt 0 n ln( 1) n b) On a : 0 n ln( 1) n pour tout rél d [,] t pour tout n IN En intégrant trm par trm sur [,], on obtint : 0 n ln( 1) d Or n d D où 0 I n n+1 n+1 c) lim 1 n = [ n+1 n+1 ] = n+1 n+1 n+1 n+1 alors n d n+1 n+1 = lim n+1 = 0 alors lim I n n n+1 n+1 car n+1 n+1 > 0 n d = 0 (d après l théorèm d comparaison) 7 L chmin vrs l bac