Nombres et calculs. Ex 1 Assimilons un fil de cuivre à un cylindre de diamètre d et de longueur l.

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1 Nombres et calculs Objectifs : u travers de quelques exercices nous allons évoquer les nombres et leurs propriétés. - quels ensembles particuliers appartiennent -ils? - Quelles sont les différentes formes sous lesquelles ils s écrivent? - Quelles sont les méthodes de calculs attachées à chaque forme? - Quelle(s) représentation(s) géométrique peut-on en donner? Vocabulaire : arrondi, décimal, décimale, décomposition, écriture scientifique, irrationnel, naturel, premier, rationnel, réel, relatif, troncature, valeur approchée, valeur exacte Ex 1 ssimilons un fil de cuivre à un cylindre de diamètre d et de longueur l. d 1. Rappeler la formule donnant le volume du cylindre. 2. Un fil de cuivre a un diamètre de 1 mm et une longueur de 100 m. Quel est son volume? l 3. vec 1l de cuivre, quelle longueur de fil de 3 mm de diamètre peut-on fabriquer? Ex 2 1. est un carré de 5 cm de côté. alculer la longueur. F 2. H et E sont les points de la diagonale [] tels que : H = E = 2 cm. On construit le carré EFGH comme sur la figure ci-contre. alculer l'aire du carré EFGH. G E 3. I est la projection orthogonale de E sur []. alculer la longueur I. H. On considère le point J de [] tel que les droites (E) et (HJ) soient parallèles. alculer la longueur J. J I Ex 3 Un théodolite permet la mesure des angles situés dans un plan vertical à partir de l'horizontale. L'appareil est mis en station à 6,3 m d'un immeuble. On vise le sommet et on mesure l'angle; la mesure est α = 30. On vise le pied et on mesure l'angle ; la mesure est β = 2,5. Quelle est la hauteur de l'immeuble? h β α

2 Ex Un électricien dispose de trois possibilités pour joindre le point au point avec un fil électrique. e à E puis de E à. e à puis de à. e à F puis de F à. Quel chemin va t-il prendre pour économiser le fil?

3 orrigés Ex 1 ssimilons un fil de cuivre à un cylindre de diamètre d et de longueur l. d 1. Rappeler la formule donnant le volume du cylindre. 2. Un fil de cuivre a un diamètre de 1 mm et une longueur de 100 m. Quel est son volume? l 3. vec 1l de cuivre, quelle longueur de fil de 3 mm de diamètre peut-on fabriquer? 1. Volume du cylindre : π.r 2.l ou 2 d π.l 2. Si l on choisit de travailler en mètres : d = 1 mm = 10-3 m ; l = 100 m = 10 2 m Le volume est donc égal à : π *10 = π *10 0,785*10-7,85*10-5 m 3. Si l on choisit de travailler en milimètres : d = 1 mm ; l = 10 5 mm. 1 5 Le volume est alors égal à : π 10 7,85*10 mm 3. remarque : en dm 3 ( en l ) : V = 7,85*10-2 l. en cm 3 : V = 78,5 cm ette fois on donne V = 1 l = 1 dm 3 et l on connait d = 3 mm = 3*10-2 dm. 9*10 9 donc on peut écrire l équation 1 = π.l ou encore 1 = π *10.l. On en déduit l = 9π *10 11, dm 11,7 m.

4 Ex 2 1. est un carré de 5 cm de côté. alculer la longueur. F 2. H et E sont les points de la diagonale [] tels que : H = E = 2 cm. On construit le carré EFGH comme sur la figure ci-contre. alculer l'aire du carré EFGH. G E 3. I est la projection orthogonale de E sur []. alculer la longueur I. H. On considère le point J de [] tel que les droites (E) et (HJ) soient parallèles. alculer la longueur J. J I 1. est la diagonale d un carré de 5 cm de côté donc = EH = donc l aire du carré est égale à ( ) 2 = 25* **5 2 = On applique la propriété de Thalès dans le triangle avec (EI) // ( ) : I = E donc I 5 = d où I = = (5 2-2) 2 2* 2 = = On applique la propriété de Thalès dans le triangle E avec (HJ) // ( E) : J = H E donc J 5 = d où J = = 10(5 2+2) (5 2-2)(5 2+2) = 10(5 2+2) 50- =

5 Ex 3 Un théodolite permet la mesure des angles situés dans un plan vertical à partir de l'horizontale. L'appareil est mis en station à 6,3 m d'un immeuble. On vise le sommet et on mesure l'angle; la mesure est α = 30. On vise le pied et on mesure l'angle ; la mesure est β = 2,5. h Quelle est la hauteur de l'immeuble? β α = 6,3 m ; Æ = 30 ; Æ = 2,5. On applique la trigonométrie dans les triangle rectangle : Triangle : tan Æ = tan 30 = donc = *tan 30. Traingle : tan Æ = tan 2,5 = donc = *tan2,5. On en déduit = + = ( tan 30 + tan2,5 ) 6,3(0, ,02786) 39,9 m. L immeuble a une hauteur de 39,9 mètres.

6 Ex : " Le plus court circuit " Un électricien dispose de trois possibilités pour joindre le point au point avec un fil électrique. e à E puis de E à. e à puis de à. e à F puis de F à. Quel chemin va t-il prendre pour économiser le fil? E + E : E est la diagonale d un rectangle de côtés 2,7 et,2 : E = 2,7 2 +,2 2 = 2,93,99. On en déduit que E + E, ,99 m + : est la diagonale d un rectangle de côtés 8 et,2 : = 8 2 +,2 2 = 81,6 9,0 On en déduit que + 2,7 + 9,0 11,7m. F + F : F est la diagonale d un rectangle de côtés 8 et 2,7 : F = ,7 2 = 71,29 8,. On en déduit que F + F,2 + 8, 12,6m. Le plus court chemin est donc de à puis de à.