mathsbdp.fr révision décembre 2017 TS5 Ex1. Soient les fonctions définies sur l intervalle [ 0 ; + [ par

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Antoine Moreau
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1 mathsbdpfr révision décmbr 07 TS5 E Soint ls fonctions définis sur l intrvall [ 0 ; + [ par (*,- t (*,- On not 0 t 0 ls rprésntations graphiqus ds fonctions t dans l plan muni d un rpèr ( 6,89,:9 * Parti A La courb rprésntativ 0 d la fonction st donné ci-dssous D après l graphiqu, qulls smblnt êtr ls variations d la fonction t sa limit n +? lim - CD (*0 EFGH IJKLEEMN EOJ [ 0 ; ] QéIJKLEEMN EOJ [ ; + [ Validr cs conjcturs à l aid d un démonstration lim - CD,- lim - CD 0 IMJ lim - - CD - + dérivabl sur [ 0 ; + [ t U (*,- + ( *,-,- ( * sign d (* dépnd uniqumnt du sign d car,- >0 Sur [ 0 ; [, >0 donc U (*>0 donc strictmnt croissant Sur ] ; + [, <0 donc U (*<0 donc strictmnt décroissant 3 Tracr sur l graphiqu la courb 0 rprésntativ d la fonction Qull smbl êtr la position rlativ d la courb 0 par rapport à la courb 0? Validr ctt conjctur à l aid d un démonstration 0 smbl au dssus d 0 sur l intrvall [ 0 ; ] t n dssous sur [ ; + [ (* (*,-,-,- ( *

2 Sur [ 0 ; + [,,- 0 ; sign d (* (* st clui d Sur [ 0 ; ], 0 donc 0 au dssus d 0 Sur [ ; + [, 0 donc 0 n dssous d 0 E Dans tout l rcic, on arrondira, si nécssair, ls résultats à `a,b L virus d la gripp aviair touch l nsmbl d un ploitation à un tau d 0, % On choisit au hasard un animal parmi l nsmbl ds animau Qull st la probabilité qu il soit malad? probabilité qu il soit malad d(*0, %0,00 On choisit succssivmnt t au hasard 8 animau On appll X la variabl aléatoir égal au nombr d animau malads parmi u a Montrr qu X suit un loi binomial dont on donnra ls paramètrs a Il s agit d la répétition d 8 épruvs d Brnoulli ( avc du issus * idntiqus t indépndants ; la loi binomial suivi par la variabl X st un loi binomial d paramètrs N8 k0,00 b spéranc mathématiqu d un loi binomial E(X* Nk8 0000,06 c On désign par S l événmnt «aucun animal n st malad parmi ls 8» On désign par V l événmnt «au moins un animal st malad parmi ls 8» Calculr ls probabilités ds événmnts S t d V d(p*d(q0*r 8 0 s000t ( 000* u 0,998 u 0,984 L événmnt contrair d V st l événmnt S d(*d(q * d(q0* d(p* 0,059 3 On utilis un tst d détction du virus t on sait qu la probabilité qu un animal ait un tst positif à ctt maladi sachant qu il st attint par l virus st 0,9 Lorsqu un animal n st pas attint par l virus, la probabilité d avoir un tst négatif st 0,8 On not T l évènmnt «avoir un tst positif à ctt maladi» t M l évènmnt «êtr attint d ctt maladi» a arbr b Calculr la probabilité d l évènmnt T

b Formul ds probabilités totals d(z*d( z*+d( z* 0,00 09+0,998 00,04 c Qull st la probabilité qu un animal soit attint par l virus sachant qu l tst st positif?

3 b Formul ds probabilités totals d(z*d( z*+d( z* 0, ,998 00,04 c Qull st la probabilité qu un animal soit attint par l virus sachant qu l tst st positif? c d } (* ~(} * ttt t ~(}* tt La probabilité qu un animal soit malad sachant qu l tst st positif st d nviron E3 Soit la suit (ƒ * défini sur N par : O t t O C ro + s a Soit la fonction défini sur ]0;+ [ par : (* r+ s - Étudir l sns d variation d la fonction t tracr sa courb rprésntativ dans un rpèr orthonormé (6;89,:9 * On prndra comm unité IF a f ( + U (* - Š -Š, - Š L numératur st un polynôm su scond dgré qui a pour racins rélls : t La sul positiv st la scond (n fft : ( ( + ² > 0, si > 0 On obtint donc l tablau suivant : f ( ( lim t lim donc lim(*+ 0 - t-+ - t - t - t - t - t lim + t lim 0 donc lim (*+ - CD - CD- - CD ˆ

b D après ls variations d f, f admt comm minimum sur] 0 ; + [ l rél, donc : (* si >0 donc aussi pour c lim(*+ - t - t donc la courb d admt comm asymptot vrtical l a ds ordonnés La courb admt aussi un

naturl N non nul : O Pruv par récurrnc : soit d la propriété : O Initialisation Si n : O,5 Hérédité On suppos d vrai pour un ntir N>, O A-t-on d C vrai, c st-à-dir O C?

4 b D après ls variations d f, f admt comm minimum sur] 0 ; + [ l rél, donc : (* si >0 donc aussi pour c lim(*+ - t - t donc la courb d admt comm asymptot vrtical l a ds ordonnés La courb admt aussi un tangnt horizontal n b Voir graphiqu a b Œ t Œ Œ c d b Utilisr l graphiqu précédnt pour rprésntr ls points Œ t, Œ, Œ t Œ d l a (6;89 * d abscisss rspctivs O t, O, O t O a Montrr qu pour tout ntir naturl N non nul : O Pruv par récurrnc : soit d la propriété : O Initialisation Si n : O,5 Hérédité On suppos d vrai pour un ntir N>, O A-t-on d C vrai, c st-à-dir O C? d vrai donc O Alors d après la qustion b, étant croissant sur [ ; + [, on a : (O * ( * or O C (O * t donc O C Conclusion : Par récurrnc, pour tout ntir naturl n, on a : O b Montrr qu, pour tout, (* On doit étudir l sign d l prssion algébriqu : f (, pour > 0 f ( + Or, comm >0, (* st du mêm sign qu son numératur, c st-à-dir

C polynôm du scond dgré a comm racins rélls : t (D nouvau : ( ( ² + Donc, c tablau indiqu qu : si, alors 0 donc (* 0 soit (* c En déduir qu la suit (O * st décroissant à partir du rang Comm pour tout

5 C polynôm du scond dgré a comm racins rélls : t (D nouvau : ( ( ² + Donc, c tablau indiqu qu : si, alors 0 donc (* 0 soit (* c En déduir qu la suit (O * st décroissant à partir du rang Comm pour tout n : O d après ( (a, alors d après la qustion précédnt : (O * O c qui signifi : O C O La suit st donc bin décroissant d Prouvr qu la suit (O * convrg La suit (O * décroit t st minoré par (d après ( (a, donc ll convrg Soit l la limit d la suit (O * On admt qu l rél l st solution d l équation : + Détrminr sa valur Si l st la limit d la suit (O * alors, comm O C (O + + l + Quand n tnd vrs l infini, ctt égalité dvint : l l Donc l st bin solution d l équation : On va donc résoudr ctt équation : ² 0 Pour 0 l équation dvint : 0 Donc : p{ ; } Or, comm pour tout n, O donc quand n tnd vrs l infini : H Donc l vaut 3 a Écrir un algorithm qui détrmin l plus ptit ntir naturl N tl qu O 0,, où k st un ntir naturl choisi par l utilisatur b Appliqur ct algorithm pour détrminr l plus ptit ntir N à partir duqul O 0,š Ct algorithm prmt d trouvr à partir d qul ntir N, l écart ntr O st infériur ou égal à 0,š On trouv N5 E4 Soit la fonction défini sur R par (* ž, ž C ˆ * Entré U, N t p sont du typ nombr Traitmnt U prnd la valur 0,5 N prnd la valur 0 Entrr la valur d p Tant qu Ÿ >0, U prnd la valur (Ÿ+ * N prnd la valur N+ Fin tant qu Sorti Affichr N

Parti A : Conjcturs À l aid d la calculatric, on a tracé la courb 0 rprésntativ d la fonction t la tangnt z à 0 au point d absciss 0 (fnêtr graphiqu : 5<q<5, pas t < < pas Conjcturr : Ls asymptots

6 Parti A : Conjcturs À l aid d la calculatric, on a tracé la courb 0 rprésntativ d la fonction t la tangnt z à 0 au point d absciss 0 (fnêtr graphiqu : 5<q<5, pas t < < pas Conjcturr : Ls asymptots sont horizontals, lls smblnt d équations : n t n + l sns d variation d ; f smbl strictmnt croissant sur R un équation d z ; Il smbl qu la tangnt n 0 à la courb a pour équation : la position rlativ d 0 t z Si ] ;0 [ la courb st au-dssus d la tangnt Si ] 0 ; + [ la courb st sous la tangnt Enfin, si 0 : la courb intrcpt la droit Parti B : On détrmin la dérivé d la fonction à l aid du logicil Xcas a* Rtrouvr par l calcul l résultat affiché u( f (, où : u(, v( +, alors : u' (, v' ( v( f '( u' ( v( u( v' ( ( v( ² ( + ( ( + ² + ( + + ² Donc : ( + ²

7 0 0 + lim -,D - 0 lim 0, donc : lim f ( Ensuit, comm lim - CD - + nous somms n présnc d la form indétrminé : ( ( + + Il faut lvr l indétrmination : f ( Or lim - CD,- 0 donc : 0 lim f ( Comm lim -,D n lim - CD (* alors la droit d équation st asymptot horizontal (* alors la droit d équation st asymptot horizontal n + Détrminr un équation d z par l calcul T : U (0*( 0*+(0* U (0* ( C * Š Š (0*, C 0 T : 3 st la fonction défini sur R par : (*(* - Rtrouvr par l calcul l affichag ci-dssous obtnu avc l logicil Xcas g'( f '( ( + ² ( + ( ( + ² ( ² + ² 4 ( + ² 4 ( + ² ( b En déduir l sign d U (*, puis ls variations d + + ( + ² Un carré étant toujours positiv ou nul, d après la règl ds signs, (* st négatif ou nul t s annul si : t 0 Donc g st décroissant sur IR c Calculr (0*, puis étudir l sign d (* (0*(0* 0(0*0 Ensuit comm, g st décroissant t continu, si <0, alors (*> (0* donc (*>0 t si >0, (*<0 d Validr la conjctur émis à la qustion c Si <0, alors (*>0, t donc (* - >0 t donc (C st au-dssus d (T Si >0, alors (*<0 t donc (* - <0 t donc (C st n dssous d (T Enfin, si 0, (0*0, t donc :(C intrcpt (T

8 E5 On considèr l cub ABCDEFGH ci-dssous d'arêt d longuur t l rpèr (Œ;Œ 9, Œª 9, Œ«9* Soint ls points r ; ;0 s, r 0 ; ; s, r ;0 ; s t ( M ; ;0 * où M [0 ; ] a Prouvz qu ls points I, J t K détrminnt un plan 9 9 ² ³ ;,, µ ± ; 4 t, 4 ; ls coordonnés ds vcturs 9 t 9 n sont pas proportionnlls donc ls vcturs 9 t 9 n sont pas colinéairs donc ls points I, J t K définissnt bin un plan b Construir la sction du cub par l plan (IJK On pliqura la construction [JK] trac du plan (IJK sur la fac (EFGH On trac la droit (JK; ll coup (FG n R t (GH n S On trac la droit (RI; on obtint la trac [UI] du plan (IJK sur la fac (BCGF; la droit (RI coup (CG n un point T ; on trac la droit (ST; on obtint la trac [VW] du plan (IJK sur la fac (CDHG; on trac [JW]; on obtint la trac du plan (IJK sur la fac (ADHE Démontrr qu ls droits (IJ t (KL sont sécants si t sulmnt si M 9 M ± ; 9 ± Un équation paramétriqu d la droit ( * st : + Un équation paramétriqu d la droit (KL st : 0+ MƒI JéH +rm s 0+ MƒI JéH Ls droits (IJ t (KL sont sécants si t sulmnt si l systèm suivant admt un solution pour l coupl ( ; U * ¼ 3 º 4 + M 3 4 U ( *» º ¹ On résout l systèm : ½ 3U U ( * U ( 3* 3 ( *:+3 ; par égalité, on obtint 3 U

4 U U t U L systèm admt un uniqu solution (L v riki +rm s + rm s rm s M M L systèm admt un uniqu solution lorsqu M Ls droits (IJ t (KL sont sécants si t sulmnt si M 3 a On suppos qu M ; Prouvr qu

9 4 U U t U L systèm admt un uniqu solution (L v riki +rm s + rm s rm s M M L systèm admt un uniqu solution lorsqu M Ls droits (IJ t (KL sont sécants si t sulmnt si M 3 a On suppos qu M ; Prouvr qu IKJL st un parallélogramm 9 ² ³ ; 9² ³ ; on a 9 9 donc l quadrilatèr IKJL st un parallélogramm b Détrminr ls coordonnés du point R intrsction ds droits (IJ t (KL D après la qustion, on a obtnu U comm solution du systèm corrspondant au équations paramétriqus ds droits (IJ t (KL Avc l équation paramétriqu d la droit ( *, ¼ ¾ º on obtint ¾ + +» º 0+0+ ¹ ( ; ; * S R W

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