L ordinateur quantique.

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1 L ordnar qanq Rhard Fnman Charls nn

2 L ordnar qanq : por qo far? La héor lassq d l nformaon a éé dér par allrs Ell s basé sr l xsn d la noon d b, n varabl dsrè povan prndr dx éas onrasés, noés La noon d nformaon s ass fondamnal, n phsq, q l énrg : nos avons v, dans l xposé onsaré à la hrmodnamq, q n la rlan nmmn à la noon d nrop, ll l onsar n prnp d égal mporan C héor n s pas slmn n modèl absra dérvan la mllr manèr d sokr, d rar d éhangr d l nformaon Ell présn égalmn d nombrss applaons praqs q gravn os dans l doman d l nformaq applqé L ordnar jo por l nformaon n rôl omparabl à l q l mor jo vs-à-vs d l énrg : l n omm l ar prmn d llsrr onrèmn l prnp d la phsq axqls ls son éromn assoés D n manèr général, la héor d l nformaon n s préop pas d la propréé phsq q réals l nodag ds bs a sn d n ssèm donné, l ordnar, par xmpl La phsq lassq offr, à égard, n nfné d possblés parm lsqlls ls onprs d l ordnar d l an on dû far n hox Ils on larmn adopé ls ssèms à dx éas d nson élrq n modèl alrnaf n s snon à l éd, d mons n pass d spplanr rapdmn l ssèm ranssorsé S l ordnar lassq xs, av ds prformans q nos jgons apabls, l a poran ss fablsss : - Il s rrblmn nropogèn par rappor à q xgn ls los d la phsq la s manfs par n dsspaon xssv d halr dans l nvronnmn C pon a éé abondammn dsé dans l hapr résrvé à la hrmodnamq d all nos avons v n obsal sérx à n mnarsaon possé ojors pls lon - Un ar fablss s q l épos l shéma d la mahn d Trng lassq q à r l ff ss alls n séqn La onséqn s q l s mpssan à démêlr, dans n mps rasonnabl, n grand nombr d nsans ds problèms NP Fnman f l prmr à réfléhr ax avanags q présnra la onsron d n ordnar où l nodag d b sra mnarsé à l éhll aomq Narllmn ls los axqlls obéra n ll mahn sran ls los qanqs mas présémn l a v la possblé d opmsr d façon défnv l ramn d l nformaon En nodan l nformaon a nva aomq, l s lar q on an la mnarsaon maxmal désré q, d pls, on év ls sors d dsspaon habllmn lés ax fromns marosopqs Mas l a mx ar nos vrrons q a nva d ramn d nformaon, ls prformans d l ordnar qanq son héorqmn rès spérrs à lls d l ordnar lassq : l all séqnl s n ff rmplaé par n all massvmn parallèl q ovr, d fa, la vo à n résolon rapd ds nsans ards ds problèms NP av os ls onséqns bolvrsans q la ara, n parlr dans l doman d la rpograph En maèr, l ondonnl s o à fa d rgr ar l ordnar qanq n s allmn gèr pls q n rêv mêm s an lo onn d la phsq n nrd

3 d spérr l réalsr n jor Ls éds héorqs on bn avané mas la hnolog n s pas l n s pas d o ran q ll rarapra n jor son rard L problèm majr q s pos s l rvrs d la médall à l absn d dsspaon Car s ls fromns son sovn rssns omm n gên, ls on ass lrs bax ôés : ls son sovn ls garans d n sablé bn néssar d fa q ls offrn n proon narll onr ls brs On p, par xmpl, nodr lassqmn n b n dédan d hargr o non n ondnsar sos n nson d 5V On sa q ls hargs déhargs sssvs d ondnsar nraînron n dsspaon d halr dans la réssan d harg mas a mons on a la rd q an flaon rasonnabl d nson d à l nvronnmn n vndra jamas fassr l nodag On vo bn q n passan d 5V à 5V, on dmnra la dsspaon mas on agmnra smlanémn, d façon préopan, l rsq d prrbaon xrn To la ss d êr vra à l éhll qanq où l absn d dsspaon xg l solaon parfa d ssèm vs-à-vs d l nvronnmn problèm majr n s pas résol à jor llmn, n 5, on s n msr d mannr la ohérn d 6 o 7 qbs nom donné ax bs qanqs maxmm alors q l n fadra qlqs nans por nrr dans l doman d l applaon pon Por omprndr q dfférn l ordnar qanq d son homolog lassq, l s néssar d s rmémorr l déal ds prnps d la méanq qanq On s sovn q n parlaré d qb solé, par rappor a b lassq, s d povor xsr dans ds éas d sprposon lnéar Mas l a pls : lorsq on onsdèr smlanémn plsrs qbs onfnés, ls son ndsrnabls a pon d nhvêrr on d ass nrqr lr vr d éa ommn C s assrémn la possblé d nrqr plsrs qbs q rnd promr l ramn qanq d l nformaon En rvanh, la fraglé d nraon fa q ds ssèms qlq p omplxs brsn asémn lr ohérn rjognn l mond lassq Présons n qo l nraon s a œr d la dfférn d prformans nr ls ordnars lassq qanq Un déor s mpos par n posla spplémnar d la méanq qanq : l prnp d ndsrnablé L prnp d ndsrnablé Un onséqn nand d prnp d nrd onrn l ndsrnablé ds parls dnqs Dans l mond marosopq, ls bols d bllard pvn s rssmblr aan q l on v, l a ojors mon d ls svr à la ra sans prrbr lr movmn d manèr appréabl n sor q lors d n ollson, par xmpl, l s parfamn possbl d dr qll bol nran sor sos n angl dérmné Cla n s pls vra d o av ds élrons psq la noon mêm d rajor a prd o sgnfaon : l problèm n s pas an q on sra napabl d ls «vor» av n sond appropré mas bn q sond hambolra omplèmn lr éa o : bols d bllard élrons 3

4 L xmpl svan ad à omprndr la dfférn d ompormns ds objs lassqs qanqs Ssèm planéar à ros orps Dx planès q gravn aor d n mêm éol formn n ssèm à ros orps q possèdn lr ndvdalé propr, q ls éqaons d la méanq rspn n ls raan séparémn rmn d, ssèm p êr déomposé n n3 sos-ssèms axqlls ls los lassqs s applqn ndvdllmn Par xmpl on érra : n m r r m r j j Gm,,n 3 j, j r r j La solon nmérq d problèm p êr allé n n mps rasonnabl par n ordnar lassq Crs ssèm a os ls hans d êr haoq mas à ondon d nodr ls, 6x38, ondons nals av n préson sffsan, rn n s oppos à q on préds l évolon d ssèm jsq à n mpor ql mps, fxé d avan La solon d mêm problèm, à n>3 orps fos, prndra sans do pls d mps ar l nombr ds varabls passra d 6x3 à 6xn mas l fa s q mps rsra rasonnabl n os as assbl à n ordnar lassq fond, q rnd l problèm lassq à n orps abordabl por n rasonnablmn modéré, s l fa q la dmnson d l spa vorl néssar à sa résolon n roî q omm n pssan la prmèr pssan d nombr n En ff, l prod arésn ds spas d phass d han ds n orps n ompor q 6xn dmnsons a oal L aom d hélm Dx élrons prsonnrs d n noa d hélm formn égalmn n ssèm à ros orps, qanq fos La grand dfférn s q s élrons son oalmn ndsrnabls : ls formn n ssèm nrqé Lr vr d éa, v,v,, où ls v abrègn la noaon ds varabls xrns d poson nrns d spn, do ranmn radr qlq par ndfférn à o nav d nméroaon ds parls ndvdlls Nos savons q vr d éa évol onformémn à la lo, H v,v Mêm n s onnan d édr ls sls éas saonnars, q obéssn à l éqaon volonarmn smplfé, où l on gnor o onrbon d spn, H r,r Δ Δ V r,r E, m on p monrr q éqaon ax 6! dérvés parlls n ons généralmn pas n problèm bn posé : ll possèd, n fa, n nfné d solons apparnan os à L rmn d, l nsmbl ds prnps d la méanq qanq ls q ls on éé énonés dans la prmèr par, n sff pas à défnr n solon nq a problèm posé par ls ssèms d parls dnqs On p s n onvanr pls asémn sr l xmpl smplfé d n ssèm d dx parls dnqs somss à n nraon addv d p, r,r V r V r V

5 Dans as, l s ranmn possbl d rovr n solon apabl, L, s érvan sos la form séparabl, r,r r r Mas alors, l vn mmédamn q r,r r r s égalmn solon, d où n mpor qll ombnason lnéar ds dx l s ass : r,r λ r r λ r r Or rn dans ls prnps générax d la méanq qanq n prm d hosr la «bonn» solon parm os lls q l on vn d érr rmn d, l manq n prnp q réd ls solons apabls à n sl L obsrvaon svan gd l hox d prnp spplémnar : l hamlonn n p far an dfférn nr dx parls ndsrnabls d où l s néssarmn smérq par rappor à l éhang ds varabls, v v : H v,v H v,v On pos n prnp, d d smérsaon, q l vr d éa assoé à n ssèm d n parls ndsrnabls s oblgaormn so oalmn smérq so oalmn ansmérq par rappor à o prmaon dans la nméroaon ds parls Cla donnra dx possblés, dans l as parlr d n ponl addf, n : v v v v, s ls parls son d spn dmnr frmons, son ls parls d maèr, élron, nléons, pls généralmn, s l ponl s qlonq : v,v v, v v v v v, s ls parls son d spn nr bosons, son ls parls médars d nraon nr frmons, phoons, pons, pls généralmn : v,v v, v Rmarq : la noaon, v, rgrop ls varabls d spa d spn Un parl déné d spn s vrra arbr n vr d éa salar dans as smpl l prnp d smér n porra q sr ls varabls d spa Dès q la parl s spnal, son vr d éa évol dans l spa d Hlbr réslan d prod xérr ds dx sosspas orrspondans ax varabls xrns nrns Dans n rprésnaon marll, on érra : r,r v,v r,r r,r r,r 5

6 Dans as, s l vr d éa global q s soms a prnp d smér : r,r r,r bosons r,r r,r o r,r r,r r,r r,r frmons L prnp d smér vn s ajor ax prnps d bas déjà énonés r, l n s démonr pas mas on l rédbls grâ à l xpérn svan Consdérons n sor, S, d spn nl, n aan fa l obj d an préparaon parlèr, q ém n opposon dx parls d spns, néssarmn opposés afn d sasfar la lo d onsrvaon d momn anglar Ox O S Ox En l absn d o msr d spn, l ssèm ds dx parls, nméroés, s nrqé l p êr dér par l vr d éa : α β α β On hrh n proédr xpérmnal apabl d révélr ls valrs ds offns α β Imagnons, à ff, q nos analsons la parl éms à gah par n apparl d Srn-Grlah orné slon O : on rov n monn n fos sr dx C ndq q, α β, don q l vr d éa dva s érr, à n phas global nssnll près : ϕ sad, la phas résdll, ϕ, dmr nonn Plaçons à présn, smérqmn, dx analsrs ornés slon Ox d ll manèrs q ls son ravrsés après l prmr voons av qll probablé, P,x, ls msrs, ffés slon Ox, donnran l mêm résla,, an à gah q à dro d la sor L xpérn ndq q av ds élrons probablé s nll, P,x Or l all d P,x donn : 6

7 P,x x os x ϕ x x x x ϕ ϕ x x x x x x x x d où on onl q, ϕ, q l vr d éa ds élrons éms par la sor s ansmérq : Nos vrrons sos p q n xpérn smlar ond av ds phoons ds polarsrs n l pla d apparls d Srn-Grlah donnra n résla dfférn : la probablé, P,x, sra égal à d où la phas ϕ sra nll l vr d éa smérq, L nraon d vr d éa a n onséqn dramaq sr l all ds éas d n aom possédan n élrons : l n s pls possbl d onsdérr séparémn haq élron omm on l fa lassqmn av ds planès La méanq qanq ra ss problèms dans ds spas d Hlbr don l nombr d dgrés d lbrés agmn xponnllmn n fonon d nombr n d orps présns Thnqmn parlan, la résl d fa q l spa d Hlbr global s l prod nsorl non pls arésn ds spas ndvdls Envsagons pls onrèmn n aom à n élrons Il s dér par n fonon d ond obéssan à l éqaon d Shrödngr, don l ampld dépnd d os ls varabls d poson on néglg ls orrons d spn q n fran q aggravr la saon : r,r,,r n En réalé, ls n élrons son ndsrnabls n sor q la fonon d ond do, n fa, êr ansmérq por os prmaons ds parls Or la fonon d ond d n ssèm d n parls dnqs s ér omm n somm d n! fonons d p : sgn ansm r,r,r 3,,rn n! prm Lorsq n agmn fonon dvn rapdmn ngérabl por n ordnar lassq Rn q l érr d n bo d programm allan l aom d fr 6 élrons xgra d nsrr n fonon d ond ombnan la bagall d 6! 6 fonons ndvdlls C n s pas rréalsabl n héor mas s oalmn rréals Inssons, l n s ag nllmn d n napaé fondamnal à réglr l problèm : rn n mpêhra 7

8 l ordnar lassq d allr l aom d fr, s on l vola, ar son prnp rpos sr l d n mahn d Trng nvrsll l propr d n MTU s d êr apabl d allr o q s allabl L napaé s s a nva d mps d all q dépassra largmn l âg d l nvrs, sans parlr d l nombrmn d la mémor fond, rossan dramaq n fonon d n s pq ds problèms NP : nos avons v, dans l hapr résrvé à la allablé, q lorsq on n n résolon d problèm d voagr d ommr par la méhod xhasv on s hr égalmn à n nombr d évnalés à prndr n onsdéraon d l ordr d n! Poran la nar all l évolon, n mps rél, d os ss aoms mêm ls pls omplqés! S l on pos, omm on l fa n phsq lassq, q n ssèm qanq, l n aom d bérllm, s éqvaln à n MT qanq parlèr dédaé présémn a all d sa propr évolon n mps rél, la spéroré d la mahn qanq sa ax x Evdmmn n aom d bérllm n s pas éqvaln à n MTU mas on vrra q l onp d MTU rs valabl dans l mond qanq q n s prnan adromn on p, a mons n héor, spérr l mplémnr n jor phsqmn sos la form d n vérabl ordnar qanq Opéraons logqs élémnars sr l qb solé Nos avons apprs ommn préparr n qb solé dans n éa d sprposon arbrarmn donné : sls son néssars ls pors d Hadamard d déphasag Un fos l qb préparé ql gnr d ramn arhméo-logq p-on magnr l far sbr? Dans l as d b lassq la répons s smpl, l n n a q dx : l dné Id la négaon No Ls ransformaons nars q ffn ls mêms opéraons sr l qb solé possèdn ls rprésnaons marlls svans : Id No On vérf q lls onsrvn l nombr d d : Exmpl : No L qb solé aors d ars ransformaons nars don rans ffn ds opéraons for p nvs ns la ransformaon, SqNo, noé omm s : SqNo On vérf q : SqNo No En d ars rms, la mêm opéraon ffé dx fos d s éqva à la négaon C s n xmpl d n prforman mpossbl à réalsr n héor lassq d l nformaon 8

9 9 Ls pors d déphasag, Φ, d Hadamard, H, forman n opl nvrsl por ls ransformaons nars d qb solé, l do don êr possbl d rédr SqNo à n assmblag d s dx pors D fa, on vérf q ros pors sffsn : H SqNo Φ Φ Rgsrs d n qbs L qb solé n mèn pas rès lon n héor d l nformaon Un nsmbl d n qbs, s appll n rgsr Un rgsr lassq d n bs p sokr n mssags dfférns, par xmpl os ls nrs bnars d à n -, mas l n p n sokr q n sl à la fos Un rgsr qanq p far baop mx ar la sprposon qanq l prm d ls sokr os n mêm mps Narllmn, lorsq on hrh à prndr onnassan d onn d rgsr, l a d msr n p révélr q n sl mssag sélonné a hasard C sra o l ar d la programmaon qanq d rr par d bénéf sans pâr d la lmaon L érr ds onns possbls d n rgsr solèv n problèm d noaons Par xmpl, s n, mssags dsns son aorsés Un prmèr manèr d ls nor onss à ls prndr dans l ordr arhméq, 3,,, Dans opq, l nodag s fa sr bas d n prod nsorl n rspan l ordr bnar on ér ndfférmmn : 3 Ls nds n son pas ndspnsabls mas ls adn à s rmémorr q ls vrs ndés dfférmmn évoln dans ds spas dsns En parlr, ls rlaons d orhonormaon n onrnn q ls vrs d mêms nds : On p généralsr la rprésnaon marll a as ds rgsrs mas l agrémn q ll pror s mpéré par l fa q n général, l prod nsorl d dx vrs d dmnsons m m s d dmnson mxm Mêm por ds dmnsons modérés, la noaon marll dvn rapdmn nombran Par xmpl dans l as n, ls qar vrs d bas d l spa d Hlbr où l rgsr évol s non :

10 Ls nds son ls lorsq on pass ax opérars Il s, n ff, ambg d délarr somr n rgsr omprnan dx qbs à l opéraon No an q on n prés pas s opérar s applq à, à o ax dx smlanémn Ls rprésnaons marlls son évdmmn dfférns dans haq as : Id No, No Id, No No On vo q l nombrmn d la noaon marll agmn qand on pass ax opérars Cla s bn narl psq l prod nsorl nr opérars d dmnsons m, n m, n s l-mêm d dmnson m m xn n La rprésnaon marll ds opérars dvn progrssvmn ngérabl dès q l nombr ds qbs d rgsr xèd : l fadra ravallr dans n spa d dmnson n Dans as, sl la noaon nsorll s onvabl mas ll rqr d son dans la gson ds nds,,, C, On ara par xmpl : No No, d où on ér : No No Qll q so la noaon rn, on vérf q l on a bn, par xmpl : No No

11 Préparaon d n rgsr d n qbs Préparr n rgsr dans n éa donné s pls omplqé q por l qb solé L opéraon n s smpl q s l éa s séparabl : on v dr par là q l vr d éa s omplèmn faorsabl par rappor ax n qbs q l omposn, q rad la noaon, α β n sp Por préparr n l éa séparabl, on proèd n dx mps omm dans l as d qb solé On ommn par l préparr dans n éa d bas, dsons, n flran haq qb d rgsr dans l éa orrspondan, Ens, on applq, n parallèl, la ransformaon, Uθ,ϕ, à haq qb : θ os θ ϕ sn θ Idm C Idm C L éa d sprposon d n rgsr p êr pls o mons ompl, ans : - l éa,, n s pas sprposé, s n éa d bas élarg à l spa d rgsr, - l éa, 3 7 sprposé, - nfn l éa, 8 8, s parllmn s maxmalmn sprposé noé, La plpar ds éas d rgsrs n son pas séparabls Dans l xmpl, n3, l éa n,

12 n s manfsmn pas séparabl ar l s mpossbl d l érr sos la form d n prod nsorl d ros fars, n par qb Un l éa s d nrqé o nhvêré Pls généralmn, l éa, s nrqé s l s mpossbl d l faorsr sos la form, 3 n β α Cla s prod os ls fos q l polnôm, , n's pas omplèmn faorsabl n ros fars d dgrés,, Par xmpl, don : s faorsabl L'dé q s rov drrèr rèr n dans la orrspondan svan : 3 3 β α β α β α β α β α β α L rèr d Shmd prm d dédr s n éa s séparabl sans passr par la faorsaon d'n polnôm Monrons, sans jsfaon, ommn l fononn On onsdèr l éa normalsé d n rgsr à dx qbs : δ γ β α δ γ β α, por qlls valrs ds offns s-l séparabl? La répons s obn n allan la rprésnaon marll, dans l spa o dans l spa, a hox d la ra, ρ, dans l spa dans l spa, d projr, On rov dans l xmpl rn : ] * * * * [ Tr δ γ β α δ γ β α ρ On all qané dans l sos-spa,, n nan omp d q : La ra d : va, ll d : va,

13 va, ll d : va On rov sans dfflés : nfn ll d : α γ αβ * γδ * ρ α * β γ * δ β δ L nombr d valrs proprs non nlls d ρ s appll l nombr d Shmd d l éa, Qll q so la valr d n, on a q l éa s nrqé dès q dx valrs proprs, a mons, son dfférns d éro, snon l s séparabl Dans l xmpl, l éqaon ax valrs proprs s smplf n : λ λ αδ βγ, la séparablé xg : αδ - βγ La plpar d mps, ondon n sra pas sasfa d où l résl q ls éas nrqés son baop pls nombrx q ls éas séparabls Crs, dans xmpl, n n va q on ara p dédr résla pls smplmn n dnfan ls offns d l éa donné à x d la form séparabl la pls n général, α β sp ffv por ls valrs d n spérrs à, mas la proédr xposé présn l avanag d rsr Inraon logq d n rgsr à dx qbs Ls argmns dévloppés monrn q l nodag d os ls mssags possbls sr n qbs, os offns onfonds, passn par l nraon d rgsr La qson rs posé d savor s l xs ds pors logqs qanqs apabls d préparr ds éas nrqés à parr ds éas d bas,, dans l affrmav, s l s possbl d ls mplémnr phsqmn Ls dx réponss son posvs mas dans n prmr mps nos n onsdérons q la prmèr Rapplons q ls pors, H Φϕ, sffsn por préparr n mpor ql rgsr sos form séparabl Un sl por spplémnar s néssar por passr d la sprposon à l nraon, la por Conrolld-No CNo Cll- ag sr dx qbs d nré q ll som à la ransformaon logq : CNo x x x 3

14 Dans rlaon, l prmr k apparaî omm n qb d onrôl l dxèm s la bl L qb d onrôl n s pas aléré par la por logq la bl n l s q s l onrôl va Vo n manèr éqvaln mas pls xpl d xprmr ls hoss : CNo CNo Ls rprésnaons marll, graphq nsorll d la por CNo s érvn rspvmn dans la rprésnaon graphq, l pon nor sgnf q l b sé à sa gah s n b d onrôl la rox désgn la por No : No No Id No Qll q so la noaon rn, on vérf q CNo applqé à xmpl, forn à la sor,, omm l s do, par En préparan la bl,, dans l éa logq, on vo q la por CNo réals la op xa d n éa d bas nodé a nva d qb d onrôl On a, n ff : CNo x x x x x x, rf ror a héorèm d non-lonag On porra pnsr avor rové av la por CNo l mon d lonr n éa donné mas l s fal d vor q op n fononn q sr ls éas d bas,, pas d o sr lr sprposon, n ff : CNo α β α β, q s rès dfférn d la op spéré : CNo α β α β α β C s n fa général q l n xs an por apabl d dplqr n éa qlonq d ffr l opéraon,

15 U Ψ Ψ Ψ D fa, s U xsa, on porra érr : U a b aa bb a b a b Pors onrolld-u La por CNo s n as parlr d o n famll d pors applés pors onrolld-u CU, q fononnn sr l mêm prnp : lls onsrvn ojors l qb d onrôl lls n alèrn la bl, par la ransformaon nar, U, q s l qb d onrôl va : CU CU U La plpar ds pors CU provoqn l nraon ds qbs d nré : jons ax pors H Φ, lls sffsn dès lors généralmn à onsrr n ssèm nvrsl a sns d Trng On ls fréqmmn la por CV C Φ Par xmpl, on porra onsrr la por CNo omm s : H V V H Porsvan dans la mêm vn, on obsrv q qar pors CV sssvs éqvaln à l dné On n déd q ros pors CV sssvs rprésnn nsmbl l opéraon nvrs d CV, q l on no CV - Grâ à CV -, on onsr la rès l por onrolld-onrolld-not CCNo, nor applé por d Toffol T : x x x x x x H V V - V H Par défnon, n por d p, CCU, n modf la bl q s ls dx qbs d onrôl valn 5

16 Il n s pas qson d proposr n rprésnaon marll d la por d Toffol, néssarmn 8x8, par onr son érr nsorll rs abordabl : CCNo C Id Id C Id C No C F Il xs égalmn n por «onrolld swap», nor applé por d Frdkn, F : C Id IdC C C C C C C C Ls pors d déphasag, d Hadamard CV o CNo formn n nsmbl ompl por la manplaon d n nombr arbrar d qbs En garanssan l nvrsalé a sns d Trng, lls aorsn, n héor d mons, la onsron l assmblag ds rs logqs q omposn n ordnar qanq L naré d s pors, q s nsr dans ls prnps mêms d la méanq qanq, garan la révrsblé d all Implémnaon logq d qlqs opéraons arhméqs élémnars Ls pors CNo CCNo, orrmn agné, prmn d onsrr n smaddonnr half addr bnar : x x x SUMx x CRRYx x C résa, almné par ls donnés, x x, nalsés dans l n o l ar d lrs éas logqs, fals à préparr, o, forn la répons a all élémnar posé Par xmpl, l avaon d résa ransform l rgsr d nré, n, n l rgsr d sor, o Ls msrs ds qbs 3 fornssn la somm l rpor orrspondans à n nsan parlèr d problèm d l addon d dx hffrs bnars On onsr n addonnr ompl fll addr sr l mêm prnp On l nomm ans par q l s apabl d nr omp d n rpor onséf à n opéraon anérr : 6

17 a b rpor préédn a b ab nova rpor d Cahr ds hargs d l ordnar qanq La héor q préèd assmbl sr l papr ls omposans d l ordnar qanq déal Ell donn l llson romps q sa onsron s à poré d man Cpndan l nvnar ds xgns d ahr ds hargs ndq larmn q on s nor rès lon d omp ls pls pssmss smn mêm q n ordnar qanq dgn d nom n vrra jamas l jor Mêm n man ls hoss a mx, ls prmrs ordnars qanqs sron à op sûr dédaés à qlqs âhs parlèrs ranmn napabls d smlr n mahn d Trng nvrsll Dans sns rsrf, ds spmns d ordnar qanq xsn déjà : n apparl d Srn-Grlah s n générar d nombr aléaor a sns d Kolmogorov, n ga d hélm sml son évolon n mps rél ds msrs spromérqs rnsgnn mmédamn sr l shéma d ss nvax énrgéqs On n p pls shémaqmn, l ordnar qanq par d n onfgraon nal où son nodés ls donnés d problèm posé L as éhéan n provson d qbs xédnars nalsés à son prévs afn d garanr la révrsblé d all L ssèm s alors soms à n hamlonn varabl a ors d mps q aff l onn ds rgsrs n smlan l all n v C manœvr s llmn prés déla q ll do êr ploé par n ordnar lassq q nrvn omm axlar d raval rm d l évolon ds rgsrs, la msr qanq ds qbs dédaés à la sor d programm rnsgn sr la répons hrhé L ordnar qanq do rnonrr ls xgns svans : - Emprnr n onfgraon phsq à éhll varabl salabl qanm ompr On nnd par là q l ssèm phsq do prmr l nodag d n nombr arbrarmn grand d qbs C xgn s analog à l xgn lassq q onrn o mahn d Trng nvrsll : la band d lrérr do êr d longr ponllmn nfn Rapplons q l on v dr par là q l n do pas xsr d lmaon héorq à l énd d la mémor Evdmmn an ordnar, pas mêm lassq, n rsp xgn a pd d la lr L prx q l on ap d par s l évnl planag d la mahn sos l ff d n dépassmn d apaé mémor Cla d, l xgn paraî d aan pls for à propos d l ordnar qanq q n 5 on pn déjà à rassmblr n rgsr d qlqs qbs - orsr la préparaon d n rgsr dans n éa prédéfn C xgn s fondamnal psq o all qanq pass par l nalsaon d rgsr dans 7

18 n éa d bas, par xmpl Ell s anodn dans l as d n nodag ds qbs par ds parls n movmn : n apparl d Srn-Grlah o n rsal d al sépar phsqmn ls fasax d polarsaons dfférns n sor q n éran absorbr sff à réalsr l flrag hrhé Mas la mêm xgn prnd ds proporons nqéans lorsq on ls n nodag par ds parls pégés dans n avé Saf à ravallr a éro absol, l mmrson d n poplaon d noax dans n ndon magnéq répar a hasard ls ndvds n dx lasss dsns don la poplaon dépnd d la mpérar Il n rssor os sors d omplaons ofos srmonabls a prx d hnqs q dépassn n xposé élémnar - Réagr à l nfln sélv d n hamlonn ploé d l xérr d ssèm L hamlonn do povor garanr n fononnmn nvrsl a sns d Trng don a mnmm smlr ls pors d déphasag, d Hadamard CNo Nos avons v q os ls mods d nodag d qb élron, éas nrns o spaax d phoon aorsn sans grand problèm ls dx prmèrs pors S nos n avons nor rn d d la por CNo, s q l problèm q ll pos s nfnmn pls déla La rason n s q la por CNo xg l onors nraf d dx qbs av l nvronnmn Un p d réflxon onvanra, n ff, q l n a rn d évdn à ommandr n phoon d nvrsr o non son éa d polarsaon slon q n ar phoon s rov l-mêm dans n éa défn : s d aan pls problémaq q ls phoons n nragssn pas L mêm problèm posé av ds élrons o ds noax lass ofos nrvor n déb d solon : s n ndon magnéq xérr n p q plor n hangmn d ornaon d momn magnéq, l nraon spn-spn nr dx parls orrmn hoss porra p-êr êr domsqé - orsr n adrssag prman l nronnon ds pors qanqs la ommand sélv d hamlonn xérr sr ls qbs vsés En nformaq lassq, la s fa sans ambgïé par n assmblag d «fls» dsspafs mas gnr d nrmédar s présémn absn d mond qanq D pls, l ndsrnablé ds parls dnqs omplq snglèrmn adrssag d mêm q l omplqra la lr ds réslas : ommn êr ran q on a manplé o l l «bon» qb? En parlr rapplons q la por CNo xg la manplaon onjon snhronsé d dx qbs mposés - orsr n mod d lr ds réslas Il n sff pas d ffr n all, l fa nor povor prndr onnassan d la répons Or la n p s far q va n msr q dér névablmn, n o o n par, l nraon ds rgsrs n projan l ssèm, a hasard, sr n sl éa propr Rapplons, sr n xmpl smpl, q la sgnf So n rgsr à dx qbs q a évolé vrs l éa généralmn nrqé,, α β γ δ α β γ δ spposons q n anals héorq préalabl a révélé q la onnassan d prmr qb, noé,, sffs à répondr à la qson posé La héor d la msr nsgn dx hoss : 8

19 - q l on rovra la valr o av la probablé, p, valan : p P, - q la msr projra l rgsr dans l novl éa rnormalsé, P p, ' P, Par xmpl, on rovra : p P, * * * * α β γ δ α β γ δ * * α β α β α β D mêm on rovra, p γ δ, d où n probablé oal valan narllmn La généralsaon à n qbs s mméda La plpar d mps bn q l a ds xpons, n msr nq d onn d n rgsr sra napabl d révélr la répons a problèm posé C s présémn o l ar d la programmaon qanq q d rovr ds algorhms apabls d xrar l résla sompé d msr dsrr Cla mplq nonsablmn n rfon sérs ds méhods d programmaon Plsrs sraégs son nvsagabls : so on déovr ds nvarans q n dépndn pas d l éa fnal projé q sffsn à répondr à la qson posé so on rov ds algorhms q prvlégn ls réponss plasbls fals à vérfr évnllmn à l'ad d'n ordnar lassq - Garanr la ohérn d ssèm v d q préèd on vo bn l nsmbl ds défs à rlvr ax nvax sofwar hardwar L nformaq qanq héorq n s préop q d rovr ds sraégs apabls d xrar la répons à n problèm posé à parr d n a d msr ssnllmn dsrr C s déjà n problèm rdoabl n so mas l smbl q os ls spors son prms : l fa q on a déjà rové n algorhm vabl por n problèm d la lass NP, à savor la faorsaon ds nrs longs, sggèr q d ars progrès sérx dvran svr L ngénr, ll, s op ds possblés d mplémnaon d présrvaon ds rgsrs Il s lar q sans hardwar, l ordnar qanq n s q n fon Il xs pndan ds as où l sofwar p volr a sors d n hardwar défn : s l as os ls fos q l ssèm orromp n par d l nformaon por qlqs rasons q so lls n manqn pas! On nvsag sérsmn d n pas rop s n nqér d olérr n ran pornag d rrrs q à démlplr, par o par!, l nombr d qbs a ravrs d n ssèm pnsé d orron d rrrs 9

20 Voons à présn n xmpl d mplémnaon ffvmn à l éd En 5, l sl modèl modsmn fff éa basé sr la hnolog NMR nlar magn rsonan L rord, p-êr provsor, da d a v Isaa Chang n éqp d IM réssr à oordonnr l fononnmn d n rgsr d 7 qbs Dps, la hnq phoonq a évolé rjon la NMR L prnp svan n s donné q à r ndaf ar rn n prm d pnsr q l modèl pss s éndr ax grands rgsrs Consdérons l proon d n aom d hdrogèn o pls généralmn n noa porv d n momn magnéq,, d l ordr d magnéon nléar N 55-7 JT n q mll fos pls fabl q l d l élron momn s parfamn msrabl av n préson q dépass -6 S on nfrm noa dans n avé où règn n ndon magnéq nform, orné slon O por smplfr, l orn son spn a hasard slon l n ds dx drons, o Chaq dron orrspond à n éa énrgéq parlr : - l noa dér par l vr d éa,, s rov dans l éa fondamnal d énrg, E, - l noa dér par l vr d éa,, s rov dans l éa xé d énrg, E On p lsr dhoom por nodr n qb : l sff d lsr ls dx éas néssarmn orhogonax psq éas proprs d n hamlonn hrmn omm éa d bas d l spa d Hlbr orrspondan : Dans modèl, on p magnr préparr n qb dans l éa,, n soman l noa à n ndon saq sffsammn nns orné slon O n abassan la mpérar a vosnag d éro absol On p ns dmnr l hamp jsq à éro sans prrbr l éa préparé S l on mpos lérrmn n ndon fasan n angl qlonq av la préédn, on réals n msr qanq q a por ff d projr l ann éa sr la novll dron, O Nos avons apprs ommn allr ls probablés d ranson, p [ ' ] p[ ' ] par l nonfor d la manœvr rqs par l abassmn d mpérar, rn n s nova par rappor ax mods d nodags déjà édés Par onr, l problèm radonnllmn posé par l ndsrnablé ds qbs rov n solon narll : l sff d onsdérr n noax magnéqs sés n aan d ss néqvalns d n molél V q l nvronnmn phsq don ls éas énrgéqs d han dffèrn, l dvn possbl d plor l hangmn d éa d n qb parlr Vo ommn on porra smlr ls pors d Hadamard d déphasag Consdérons n noa dans l éa nal,

21 En l absn d ndon magnéq xérr, ls dx éas d bas,, son araérsés par ds énrgs égals à éro l vr d éa n évol pas S on som l noa à n ndon magnéq onsan d ornaon qlonq, la saon hang radalmn : la dégénérsn ds nvax énrgéqs s lvé l vr d éa évol n onformé av l éqaon d Shrödngr : x p x Sa solon s mméda : p x xp[ ] x x os sn sn x sn os sn S on s arrang por q x d où, on rov q l aon d ndon onsan pndan n mps s éqvaln à n por logq d déphasag, Δ ϕ : xp[ ] Φ Δϕ xp[ ] S on s arrang por q x d où x, agssn pndan n mps l q os, ll s éqvaln à n por logq d Hadamard Tofos proédr n s jamas lsé : d n par mposr n ndon onsan agssan dsonnmn s mpossbl à réalsr d ar par ll affra os ls noax sans dsnon alors q on soha n aon sélv sr n noa parlr On réso l problèm n sprposan n hamp onsan,, slon O n hamp, d nnsé, ornan nformémn dans l plan Ox Nos onnassons l rôl joé par q s d rér la dfférn énrgéq nr ls éas d bas Cl joé par s d smlr sélvmn ls ransons, Por l vor, érvons l éqaon d évolon, Ell s égalmn solbl xamn sos la form :

22 sn os sn sn sn os xp ] xp[ x Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω σ σ σ où : Ω v la hnq d hamp ornan, on onrôl sélvmn l évolon n s plaçan à la résonan d noa vsé, résonan araérsé par la rlaon, os sn sn os rs On onsa q à la résonan, on sml la por d déphasag n n mps rès or,, d l ordr d la mrosond, la por No n n mps,, la por d Hadamard à dx pors d déphasags près, n fa, HΦ Φ, n n mps Hors résonan, l rappor Ω p êr hos sffsammn p por q la por n s éar pas d l dné n n mps rasonnabl, n os as nmn pls or q l mps d all vsé Evdmmn psq ls pors d déphasags d Hadamard son nvrslls por l qb solé, la mêm hnq prm d mplémnr os ls pors d p, x,, ασ ±, où σ x,, rprésn n mpor qll mar d Pal La sélvé q offr la résonan prm alors d onsrr n por CNo sr bas ds nraons spn-spn On ommn par obsrvr q la ransformaon svan nvrs ffvmn sélvmn n qb «bl»,, n fonon d l éa d n qb d onrôl vosn, : ] xp[ ] xp[ ] xp[ ] xp[ ] xp[ ] xp[ ] xp[ No x x σ σ σ σ σ σ σ σ Tos ls opérars q fgrn dans xprsson on n mplémnaon onn saf n, ] xp[ σ σ, q omm on pova s andr, fa nrvnr dx qbs smlanémn On p spérr l mplémnr omm s

23 Ls spns nragssn dx par dx d ll manèr q haq opl,, j, s araérsé par n plsaon, j, parfamn msrabl don la valr dépnd évdmmn d l nvronnmn Ervons l hamlonn l éqaon d évolon orrspondan dans l as où n noax sran présns : n H Id σ j j Id jk Id j H j< k σ j σ k Id Dans éqaon ls plsaons,, son onns xpérmnalmn av n grand préson La solon s ér : j xp[ Id j σ j Id n ] j< k xp[ Id jk σ j σ k Id n ] don la form marll s rop barbar por fgrr Il sff d rnr q on p sollr l ssèm par n hamp ornan à la plsaon, jk, vol q nrod l rm xp[ σ σ ] rqs par la por CNo Un lr anf ara ofos rmarqé q la hnq d hamp résonan xg la présn d n hamp drr onsan orné slon O q a por sl fonon d dfférnr ls nvax énrgéqs d aorsr la résonan Or hamp soll os ls noax ndsnmn omprs x q l on n v pas vor évolr à nsan Il onvn d nralsr évolon paras on parvn n lsan n as don l prnp rpos sr la rmarq svan Ls évolons qanqs éan nars, l do ojors êr possbl d ls nvrr Effvmn l xmpl svan l monr : s n qb évol sos l aon d l opérar, ασ, l sff d l somr à dx ransformaons spplémnars d p, σ x, à savor dans ordr, x ασ ασ σ σ x, por q l rénègr son éa anérr On vo q à ondon d nr à jor sa ompablé, l dvn possbl d programmr à la ar l évolon ds rgsrs n L mplémnaon NMR rmpl os ls prsrpons d ahr ds hargs d l ordnar qanq saf n : l n smbl pas possbl d éndr la dmnson, n, d rgsr d raval a-dlà d qlqs dans d noax L nombr ds fréqns d résonan agmn a mons qadraqmn rn q n s n nan ax nraons spnspn n sor q lr résolon dvn problémaq On n s éonnra don pas q s l mplémnaon NMR a éé la prmèr à nrgsrr n mods sès, l- ard à êr améloré L'ordnar phoonq présn qlqs avanags d ôé d la sablé ds qbs, p nflnçabls, mas l s hr a mêm problèm d'xnsblé ds rgsrs, d mons dans l'approh lnéar L'opq non lnéar amélorra la saon n ploan ds modfaons d'nds d réfraon à parr d phoons d onrôls ff Krr mas ls mlx non-lnéars onns n son pas sffsammn afs Ls rsax phoonqs porran s'avérr ls mas ls son nor n pln dévloppmns 3