Microéconomie de l Incertitude M1

Microéconomie de l Incertitude M1 Emmnuel DUGUET Notes de Cours, 2012-2013, V1

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I Concepts de bse 5 1 Les loteries 9 2 Le critère d espérnce mthémtique 13 2.1 Le prdoxe de Sint Pétersbourg.................... 13 2.2 Le prdoxe de l ssurnce........................ 14 2.3 Quelques réponses possibles ux prdoxes............... 16 2.3.1 L utilité de l richesse...................... 16 2.3.2 Le critère espérnce-vrince................... 17 2.4 L utilité indirecte............................. 20 II L espérnce d utilité 21 3 Les fonctions de Mrkowitz 27 4 Lmesuredurisque 29 4.1 L prime de risque............................ 32 4.1.1 Expression excte......................... 32 4.1.2 Expression pprochée....................... 35 4.2 Les types de risque............................ 38 4.3 Expression excte............................. 38 4.4 Expression pprochée........................... 41 4.4.1 Prime de risque reltive..................... 41 4.4.2 Prime de risque prtielle..................... 42 5 Les fonctions d utilité usuelles 45 5.1 Les fonctions CRRA........................... 45 5.2 Les fonctions CARA........................... 48 5.3 L utilité linéire de Mrkowitz...................... 51 III L dominnce stochstique 53 5.4 Dominnce stochstique d ordre 1.................... 55 5.5 Risque et vrince............................. 61 3

4 5.6 Dominnce stochstique d ordre 2.................... 65 6 Les choix de portefeuille 73 6.1 Les cs de dominnce stochstique................... 77 6.2 Choix d un décideur neutre....................... 82 6.3 Choix d un décideur riscophile...................... 83 6.4 Choix d un décideur riscophobe..................... 85

I Concepts de bse 5

7 Cette prtie vise à introduire quelque concepts de bse et à les illustrer pr des exemples. Nous considérons un univers en environnement incertin, dns lequel les gents économiques ne peuvent ps toujours être sûrs des données d un problème vnt de prendre une décision. Plus précisément, il doivent prendre leurs décisions vnt que les lés qui comptent pour leur problème ne se rélisent. Des exemples clssiques de ce type d environnement sont l ssurnce, où l on doit déterminer son degré de couverture sns svoir si l évènement couvert ur lieu ou non, ou encore les plcements en ctions donc le rendement est incertin u moment où l on investit. Plus générlement, on ne considère que les environnements économiques où l incertitude joue un rôle importnt : l ssurnce n existerit ps en l bsence d incertitude, et les plcements sur les mrchés finnciers ne peuvent se concevoir que dns l incertitude. On peut résumer l incertitude qui pèse sur un problème économique pr trois éléments : les étts de l nture : ce sont les évènements qui peuvent se réliser. On peut les écrire soit sous une forme discrète, comme fire fce à un sinistre ou non (deux étts), soit sous forme continue, comme le tux de remboursement dns le cs d une ssurnce (un intervlle pprtennt à [0, 1]); les ctions rélisbles pr l gent étudié : s ssurer contre un sinistre ou non (deux ctions), ou s ssurer un tux de remboursement en cs de sinistre (une vleur réelle pprtennt à un intervlle); les conséquences des ctions pour un étt de l nture donné : le montnt de richesse selon qu un sinistre eu lieu ou non et que l on s est ssuré ou non. Ces conséquences sont souvent définie sur l richesse de l gent étudié, ou sur des décisions économiques en générl (cht de biens de consommtion pour les ménges, embuche pour les entreprises). On résume toutes ces informtions dns ce que l on ppelle une loterie. Dns cette prtie, nous verrons successivement les loteries, le critère d espérnce mthémtique et les risons pour lesquelles on ne peut ps toujours utiliser le critère d espérnce mthémtique pour prendre des décisions en environnement incertin.

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CHAPITRE 1 Les loteries On peut représenter les données d un problème simple pr une mtrice d informtion qui contient les qutre éléments suivnts : les étts de l nture, leurs probbilités, les ctions et les conséquences des ctions selon l étt de l nture qui se rélise. Prenons un exemple vec trois étts de l nture E = {e 1,e 2,e 3 } et trois ctions A ={ 1, 2, 3 }. Les probbilité sont ttchées ux étts de l nture, on pose donc p j = Pr[e = e j ] et j p j = 1 puisque ce sont les trois seuls étts possibles. Ces probbilités peuvent être objectives ou subjectives. Les conséquences se définissent à l fois pr rpport ux étts de l nture et ux ctions, on peut donc les noter x ij où i est l indice de l ction entreprise i {1,2,3} et où j est l étt de l nture j {1,2,3}. L mtrice d informtion est l suivnte : e 1 e 2 e 3 p 1 p 2 p 3 1 x 11 x 12 x 13 2 x 21 x 22 x 23 3 x 31 x 32 x 33 Dns ce cdre, choisir une ction i revient à choisir des gins x ij qund l étt de l nture e j se rélise, schnt que cet évènement ur lieu vec une probbilité p j. Dns l mesure où l on possède des informtions sur les conséquences x ij et les probbilités des étts de l nture, on n ps besoin de l liste explicite des étts de l nture. Plus précisément, on interprète chque ligne comme une loterie. Pr exemple pour l première ligne, on noter : x11 x 1 = 12 x 13 p 1 p 2 p 3 ce qui signifie que l ction 1 pporter le gin x 11 vec probbilité p 1, le gin x 12 vec probbilité p 2 et le gin x 13 vec probbilité p 3. Ces informtions sont priori suffisnte pour prendre des décision dns l incertin (vec les préférences de l gent économique étudié, que nous verrons plus loin). Prenons un cs prticulier de l exemple précédent: 9

10 e 1 e 2 e 3 0,1 0,4 0,5 1 z 1 z 2 z 3 2 z 2 z 1 z 1 3 z 3 z 3 z 3 cette mtrice d informtion définit les trois loteries suivntes : z1 z 1 = 2 z 3 0,1 0,4 0,5 et 2 = 3 = z2 z 1 z 1 0,1 0,4 0,5 z3 z 3 z 3 0,1 0,4 0,5 Arrivé, à ce stde on voit que l on peut simplifier les deux dernière loteries. L loterie 2 rpporte z 1 dns les étts de l nture 2 et 3, donc elle rpporte z 1 vec une probbilité égle à 0,4+0,5 = 0,9, ce que l on peut écrire de mnière synthétique sous l forme : z2 z 2 = 1 0,1 0,9 et l on peut effectuer l même opértion pour l loterie 3. Cette loterie rpporte z 3 dns tous les étts de l nture. Il s git de lloteriecertine, que l on note : z3 3 = 1 Plus générlement une loterie discrète, vec I évènements possibles peut s écrire : = z1 z 2... z I p 1 p 2... p I, 0 < p i 1, I p i = 1. i=1 où les x i sont les rélistions de l vribles d intérêt (e.g., gins ou pertes) qui surviennent vec des probbilités respectives p i. L condition p i > 0 signifie que l on exclut les événements impossibles, et l conditions p i 1 que l on peut utoriser une loterie certine. On peut églement définir une loterie sur des rélistions continues. On utilise lors une fonction de réprtition, ou une densité, à l plce des probbilités. Dns ce cs, il n est ps nécessire d utiliser l nottion précédente puisque l fonction de réprtition contient toute l informtion nécessire. On ur simplement : F (z), z A

11 où A est l ensemble des rélistions possibles z de l vrible létoire Z, qui dépend de l loterie, et : F (x)=pr[z z] Si l on utlise une densité f (z), on ur : F (z) = z f (x) dx. Exemple 1.1 (Assurnce prtielle) Un ménge veut ssurer s voiture de vleur v schnt que l probbilité d ccident est p. Le ménge s ssure pour un montnt z v et doit pyer une prime d ssurnce égle à βz, vec β ]0,1[. En cs d ccident, son cpitl ser égl u montnt remboursé z moins l prime d ssurnce βz. S il n y ps d ccident, son cpitl ser de v moins l prime d ssurnce. Ceci correspond à l loterie : (1 β)z v βz (z) = p 1 p on note l loterie = (z) fin de montrer que le résultt de l loterie dépend de l décision z prise pr le ménge. Exemple 1.2 (Jeu d rgent) Unepersonnechèteunjeuàgrtterd unmontnt m.il peutggnerlemontnt x mvecuneprobbilité p=0,25.lloteriecorrespondnt à ce jeu est donnée pr : x m m = 0,25 0,75 Exemple 1.3 (Risque de chômge) Une personne peut être u chômge vec probbilité p. Si elle trville son slire est w, sinon il est égl à γw, vec 0 γ <1. L cotistion chômge est égle à τw, 0 < τ < 1. L loterie correspondnte est donnée pr : γw (1 τ)w = p 1 p Exemple 1.4 (Fonction de profit) Une entreprise produit un bien qu elle vend u prix létoire p. Pour le produire elle embuche L trvilleurs qu elle rémunère u slire certin w. S fonction de production est Q = L et le prix p pprît vec une densité ϕ(p). On peut définir l loterie sur son profit de l mnière suivnte. Elle commence pr mximiser son profit Π(p) = pq wl = p L wl pr rpport à L. L condition du premier ordre donne L = (p/(2w)) 2. Donc le profit létoire est égl à : on peut donc écrire l loterie : Π (p)=p L wl = p2 4w, = Π (p) ϕ(p)

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CHAPITRE 2 Le critère d espérnce mthémtique Une fois que l on écrit les données du problème sous forme d une loterie, il nous fut un critère nous permettnt de les comprer entre elles. Ceci nous permettr de déterminer les décisions des gents en environnement incertin. Une première méthode consiste à considérer simplement le gin moyen que procure une loterie, il s git de l pproche pr l espérnce mthémtique. Nous verrons que ce critère est insuffisnt pour plusieurs risons. D une prt, il semble invlidé pr des expériences et, ce qui est plus problémtique, il ne permet ps d expliquer l existence d un mrché de l ssurnce vible. 2.1(E ) L espérnce mthémtique d une vrible létorie discrète X de rélistions (x 1,...,x I ) qui surviennent vec des probbilités (p 1,...,p I ) est définie pr : E(X) = I p i x i i=1 et l espérnce mthémtique d une vrible létoire X continue de rélistions x A R est définie pr : E(X)= xf(x)dx x A où f (x) est l densité de probbilité de X. 2.1 Le prdoxe de Sint Pétersbourg Le prdoxe de Sint Pétersbourg est l conséquence d une expérimenttion rélisée pr Dniel Bernoulli en 1738. Il demndit à ses interlocuteurs quel droit d entrée ils étient près à pyer pour le jeu suivnt : on jette une pièce bien équilibrée et l on compte le nombre de jets successifs qui tombent sur pile. S il y I jets successifs, 13

14 le joueur empoche 2 I ducts. Les réponses qu il obtient portent sur des montnts fibles, de l ordre de 4 ducts. Quel montnt le critère d espérnce mthémtique nous inciterit-il à proposer? Le plus simple est d écrire l loterie puis de clculer son espérnce mthémtique. Schnt que l probbilité de tomber I fois de suite sur pile est égle à 1/2 I et que le gin est de 2 I qund cel rrive, on obtient : 2 4 2 I B = 1 1 2 4 1 2 I On remrque que l somme infinie des probbilités est bien égle à 1 : + 1 i + 1 i 1 0 = 2 2 2 i=1 i=0 1 = 1 1/2 1 = 1. donc l espérnce mthémtique de cette loterie est : + i 1 E(B) = 2 i 2 i=1 = lim I + = lim I + = lim I + I = +, I i=1 I 1 i=1 i 1 2 i 2 un joueur qui pplique le critère d espérnce mthémtique devrit donc être prêt à donner tout ce qu il possède pour jouer à ce jeu. Ceci ne correspond ps du tout à ce que l on observe, nous sommes donc en présence d un prdoxe expérimentl. Dniel Bernoulli propose une solution de ce prdoxe que nous verrons plus loin. 2.2 Le prdoxe de l ssurnce On considère mintennt un prticulier qui dispose d une richesse non risquée ω, et qui souhite ssurer un bien risqué de vleur v pour un montnt z. Pour obtenir une indemnité z en cs de sinistre, il doit régler une prime d ssurnce d un montnt βz, vec 0 < β 1. Le sinistre survient vec une probbilité p. L loterie sur l richesse du prticulier est définie pr : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p

15 L ssureur de son côté perçoit l prime d ssurnce βz que le sinistre it lieu ou non et doit fire fce à un coût de fonctionnement de c, en plus du remboursement z qu il doit effectuer en cs de sinistre. Si le sinistre lieu, il fit une perte de βz z c < 0, et s il n ps lieu il rélise un gin de βz c. On suppose que βz c > 0 pour le problème it un sens. L loterie sur le profit de l ssureur est donc : (β 1)z c βz c Π= p 1 p L espérnce de richesse de l ssuré est donc : E(W) = p[ω+(1 β)z]+(1 p)[ω+ v βz] = ω+(1 p)v+(p β)z et l espérnce de profit de l ssureur est : E(Π) = p[(β 1)z c]+(1 p)[βz c] = (β p)z c Ces deux espérnce mthémtiques sont des fonctions linéires de z, le prmètre essentiel est donc l pente de l droite. Considérons d bord le cs de l ssuré. Celui-ci v rechercher le montnt d ssurnce qui mximise l espérnce de s richesse létoire W. Il doit donc résoudre le progrmme : mxe(w) z s.c. 0 z v L espérnce E(W) est une fonction linéire du montnt ssuré z, vec une pente p β. Il y donc trois cs possibles : si p < β, l espérnce de l richesse est décroissnte vec le montnt ssuré donc on obtient une solution en coin vec une demnde d ssurnce z d = 0. si p = β, l espérnce de l richesse ne dépend ps du montnt ssuré (droite horizontle) donc toutes les vleurs de z procurent l même richesse et l on se retrouve dns un cs d indétermintion, soit z d [0,v]. si p > β, l espérnce de l richesse est croissnte vec le montnt ssuré donc le prticulier choisit l ssurnce complète, et l on obtient l solution en coin z d = v. Globlement, on voit que le prticulier ne souhite s ssurer que si p β, ce que résume le point suivnt : 0 si p < β z d = [0,v] si p=β v si p > β

16 Exminons mintennt si l ssureur intérêt à répondre à s demnde d ssurnce. L ssureur cherche à mximiser l espérnce de son profit : mxe(π) z s.c. 0 z v L espérnce E(Π) est églement une fonction linéire du montnt ssuré z, vec une pente β p. On retombe donc sur les trois cs précédents. si p < β, l espérnce de profit est une fonction croissnte du montnt ssuré, et l ssureur intérêt à offrir une ssurnce complète, soit z s = v sous réserve que l espérnce de profit soit positive : E(Π ) =(β p)v c > 0, mis dns ce cs, l ssureur rencontre une demnde nulle z d = 0. Il ne peut donc ps y voir de trnsction. si p = β, l espérnce de profit est indépendnte du montnt ssuré, mis surtout elle est négtive en rison des fris de fonctionnement de l compgnie d ssurnce c. Plus précisément E(Π) = (β p)z c = c < 0. Donc l ssureur ne proposer ps de contrt u prticulier, et l on ur z s = 0. sip > β, l espérnce de profit de l ssureur ser toujours négtive cr(β p)z < 0 donc z s =0. L conclusion est donc l suivnte : il ne peut ps y voir de mrché de l ssurnce si l on pplique le critère d espérnce mthémtique. C est une critique beucoup plus forte que le prdoxe de Sint Pétersbourg cr le mrché de l ssurnce existe et qu il est importnt dns l économie. Il est donc importnt de trouver une modélistion de l économie de l incertin qui justifie l existence du mrché de l ssurnce (et des mrchés finnciers) et qui explique son fonctionnement. 2.3 Quelques réponses possibles ux prdoxes 2.3.1 L utilité de l richesse Pour résoudre le prdoxe de Sint Pétersbourg, Dniel Bernoulli suggère de remplcer les rélistions de l richesse pr leur logrithme, donc d utiliser un critère différent de l espérnce mthémtique. Nous verrons plus loin que cel revient à remplcer les rélistions monétires x i pr leur utilité u(x i ) = lnx i. On boutit à une utilité de l richesse définie pr : U (W) = + i=1 ln(2 i ) + i = ln(2) 2 i 2 i i=1

17 Il nous reste donc à trouver l somme : S = + i=1 i 2 i ce qui est heureusement ssez fcile. On sit que, pour 0 < x <1 : donc ce qui implique : f (x) = xf (x) = et en posnt x = 1/2, on obtient : f (x) = 1 1 x =1+x+x2 +...+x i +... 1 (1 x) 2 = 1+2x+3x2 +...+i x i 1 +... x (1 x) 2 = x+2x2 +3x 3 +...+i x i +... 1/2 (1 1/2) 2 = 1 2 + 1 2 2 +...+ i 2 i +... donc ce qui implique : + i=1 i 2 i = 2 U(W)=2 ln(2)=1,386. insi les prieurs potentiels peuvent proposer un montnt très fible pour prticiper à ce jeu dès lors que leurs préférences sont prises en compte. Nous verrons plus loin que ce cs prticulier correspond à une version fce u risque. 2.3.2 Le critère espérnce-vrince Pour résoudre le prdoxe d inexistnce de l ssurnce, on peut commencer pr critiquer le critère d espérnce d utilité : ce critère ne tient compte que du rendement moyen il ne tient ps compte des risques ssociés à ce rendement donc il ne fit ps de différence entre le rendement moyen d une vrible létoire et un rendement certin égl à son espérnce mthémtique

18 En première nlyse, on peut mesurer le risque pr l vrince de l richesse : V(W) =E (W E(W)) 2. Cette quntité mesure l vleur moyenne du crré de l distnce entre les rélistions W et leur vleur moyenne E(W). Donc plus les rélistions de l richesse s écrtent de leur moyenne, plus l richesse est risquée. Une mnière de résoudre le problème d inexistnce du mrché de l ssurnce consiste à introduire l notion de risque dns le critère de décision. Un critère très répndu est le critère espérncevrince. On peut le définir de l mnière suivnte : U(W) =E(W) kv(w), il s git d une fonction de Mrkowitz. Lorsque k > 0, cette utilité présente une version pour le risque, puisqu elle est d utnt plus fible que l incertitude qui porte sur l richesse est élevée. Si k = 0 on retrouve le critère d espérnce de l richesse et l on prle de neutrlité fce u risque. Qund k < 0, l utilité de l richesse est d utnt plus élevée que le risque est importnt, on prle de goût pour le risque. Le coefficient k mesure donc l version fce u risque. Reprenons l expression de l richesse vec un contrt d ssurnce : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p nous vons vu que son espérnce est égle à : et s vrince est égle à : E(W) = ω+(1 p)v+(p β)z V(W)=p[ω+(1 β)z (ω+(1 p)v+(p β)z)] 2 près simplifiction, on trouve : +(1 p)[ω+ v βz (ω+(1 p)v+(p β)z)] 2 V(W) = p(1 p)(v z) 2, le risque ssocié à cette richesse est croissnt vec l écrt entre l vleur du bien et le montnt remboursé en cs de sinistre. Moins on s ssure, plus l vrince est forte. Ce risque vrie églement vec l probbilité de sinistre. L expression p(1 p) est minimle en p = 0 (évènement impossible) et p = 1 (évènement certin), et mximle en p =1/2. C est donc qund le sinistre utnt de chnces d rriver que l bsence de sinistre que le risque est le plus fort. On peut interpréter l expression p(1 p) comme un indicteur d incertitude sur les étts de l nture. L incertitude est mximle en p = 1/2 donc l richesse est plus risquée en ce point. L utilité de Mrkowitz du problème d ssurnce est donc égle à : U(W)=ω+(1 p)v+(p β)z kp(1 p)(v z) 2

19 On supposer ici que l on toujours p < β fin que l ssureur puisse proposer des contrts rentbles. Trois cs sont à distinguer, selon le degré d version fce u risque. Si k < 0, le décideur ime le risque et ses préférences U (W) sont représentées pr une fonction convexe en z. On se retrouve donc vec une solution en coin. En z =0 l utilité est égle à : U (z = 0) = ω+(1 p)v kp(1 p)v 2 et en z = v : U (z = v) = ω+(1 p)v+(p β)v, en effectunt l différence on trouve que : U (z = 0) U(z = v) = kp(1 p)v 2 (p β)v < 0, p < β donc l utilité est mximle en z = 0. Un décideur qui ime le risque ne s ssure ps, ce qui est conforme à l intuition. Si le décideur est neutre fce u risque, on se retrouve dns le cs de l espérnce mthémtique que nous vons déjà étudié, donc il n existe ps de mrché de l ssurnce. Il nous reste donc à exminer le cs où le décideur présente de l version fce u risque. Dns ce cs, k >0, l fonction d utilité est une fonction concve de z (cr le terme du second degré présente un signe négtif). L solution est donc donnée pr l condition du premier ordre. On : U = p β+2kp(1 p)(v z) z 2 U = 2kp(1 p)v < 0 z 2 en résolvnt l condition du premier ordre U/ z(z )=0, on trouve : z = v β p 2kp(1 p), et ce montnt peut bien être compris strictement entre0etv. Un mrché de l ssurnce peut donc exister qund les décideurs sont riscophobes. Nous pouvons églement, à prtir de z, voir quels sont les déterminnts du montnt ssuré. On voit que le montnt d ssurnce choisi : est croissnt vec le degré d version pour le risque k; toutefois l ssurnce ne ser jmis complète z < v, suf dns le cs limite d une version infinie pour le risque (k + ); est décroissnt vec le tux de prime d ssurnce qu il fut pyer β, c est un effet prix clssique;

20 Il reste à voir l dépendnce du montnt ssuré pr rpport à l probbilité de sinistre. On : z p = p2 2βp+β 2kp 2 (1 p) 2 = (p β)2 + β(1 β) 2kp 2 (1 p) 2 >0 donc le montnt ssuré est croissnt vec l probbilité de sinistre(cr 0 < β <1). Globlement les résultts correspondent à l intuition, à l exception d une propriété : le montnt de l ssurnce ne dépend ps de l richesse non risquée ω du décideur. Nous verrrons que ce résultt n est ps générl. 2.4 L utilité indirecte L pproche de Bernoulli pour résoudre le prdoxe de Sint Pétersbourg fit ppel à une fonction d utilité définie directement sur les montnts monétires. Cette notion correspond u concept d utilité indirecte utilisé en microéconomie. Considérons un décideur qui doit llouer s richesse M entre G consommtions x =(x 1,...,x G ) vendues ux prix p =(p 1,...,p G ). On résume les préférences du décideur pr une fonction d utilité f(x) qui lui permet de clsser tous les pniers de biens possibles. Comme f est directement définie sur les ctions du décideur, il s git d une fonction d utilité directe. Ce type d pproche n est ps toujours l plus prtique en microéconomie de l incertitude, cr les décisions portent souvent sur des montnts monétires. On préfère souvent utiliser l fonction d utilité indirecte définie ci-dessous. On considère que le décideur doit mximiser son utilité sous contrite de richesse. Il résoud le progrmme suivnt : s.c. mxf(x) x G p g x g M g=1 qui fournit les G fonctions de demnde que l on note : x d (p,m)= x d 1 (p,m),...,xd G (p,m) l utilité indirecte est lors obtenue en remplçnt les quntités x pr leur expression en fonction des prix et de l richesse x d (p,m). On note l utilité indirecte de l mnière suivnte : u(p,m)=f x d (p,m). A ce stde on peut jouter l hypothèse que les prix sont fixes sur l période de décision p=p, fin de ne grder que l dépendnce de l utilité vis à vis de l richesse, on obtiendr donc : u(m)=f x d (p,m). C est le type de fonction d utilité que nous utiliserons le plus souvent. Dns le cs du prdoxe de Sint Pétersbourg, nous vions utilisé u(x) =lnx.

II L espérnce d utilité 21

23 Le concept d espérnce d utilité été introduit pr John von Neumnn et Oskr Morgenstern dns leur ouvrge Theory of Gmes nd Economic Behviour en 1944. Ce concept est extrêmement prtique et permet d obtenir de nombreux résultts intéressnts. Leur pproche consiste à étendre le concept de fonction d utilité à l décision dns l incertitude. Pour prvenir à ce résultt, on définit les préférences directement sur des loteries. L espérnce d utilité de l richesse létoire W, noté U (W) est définie pr : U(W) = E(u(W)) où u(w) est l utilité indirecte ssociée à l rélistion w de l vrible létoire W. Dns le cs continu, pour une loterie de densité g(w) vec support S W, l espérnce d utilité est donnée pr : U(W) = g(w)u(w) dw, S W et dns le cs discret, pour une loterie L =(w i,p i ), on obtient : U(W) = I p i u(w i ). i=1 Nous voyons ici que l résolution du prdoxe de Sint Pétersbourg pr D. Bernoulli revient à supposer un critère d espérnce d utilité dns lequel les préférences sur les rélistions w i sont représentées pr u(w i ) = lnw i. Avec cette hypothèse, les joueurs potentiels ont une utilité décroissnte de l richesse. On voit que ce critère de décision générlise bien l fonction d utilité en environnement certin puisque, lorsqu on l pplique à une loterie certine : w W = 1 on obtient : E(u(W)) =1 u(w) = u(w), l fonction d utilité en environnement certin. Il y toutefois une différence importnte entre les propriétés de l espérnce d utilité et les propriétés de l fonction d utilité en environnement certin. Dns l pproche en environnement certin, l fonction d utlité n est définie qu à une fonction croissnte près, de sorte que les mêmes préférences peuvent être représentées pr plusieurs fonctions d utilité. C est églement vri de l espérnce d utilité U(W) = E(u(W)) mis, si l on prend n importe quelle trnsformtion croissnte, le résultt n est ps forcément une fonction d utilité espérée. Si l on souhite grder une fonction d utilité espérée, il fut se retreindre ux fonctions ffines croissntes : L rison est l suivnte : g(u)=+b U, R, b >0. E(g(U))=+b E(U)

24 de sorte que E(u(W 1 )) >E(u(W 2 )) +be(u(w 1 )) > +be(u(w 2 )) R, b >0. Ainsi, si l on souhite grder une espérnce d utilité, il fut se limiter ux trnsformtions ffine de l fonction d utilité de déprt. Sinon, il fut utiliser un critère plus complexe. Le critère d espérnce d utilité générlise églement le critère d espérnce mthémtique. Nous vons vu qu un décideur est neutre fce u risque si : U(W)=E(W), pour se rmener à ce cs il suffit de prendre l fonction d utilité suivnte : on ur lors : u(x)=x, U(W)=E(u(W)) = E(W), on utiliser donc l fonction identité, ou une trnsformtion ffine croissnte de cette fonction, pour représenter les préférences d un décideur neutre fce u risque. Exemple 2.1 Reprenons le problème d ssurnce dns le cdre de l espérnce d utilité. Prenons les préférences logrithmiques u(x) = ln x. L loterie ssociée à l ssurnce est : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p le critère d espérnce d utilité est donc égl à : U(W) = E(u(W)) Le progrmme du décideur est donné pr : = p u(ω+(1 β)z)+(1 p)u(ω+ v βz) = pln(ω+(1 β)z)+(1 p)ln(ω+ v βz) mxu(w) s.c. 0 z v, z l condition du premier ordre est donnée pr : U z (z) = 0 p(1 β) ω+(1 β)z β(1 p) ω+ v βz = 0,

25 ce qui donne une solution intérieure : z = p β p v β β(1 β) ω,et il fut vérifier l condition du second ordre : 2 U p(1 β)2 (z) = z2 [ω+(1 β)z] 2 β2 (1 p) [ω+ v βz] 2 <0. on obtient donc l solution : 0 siz < 0 z = z si 0 z < v v siz > v Commentons l forme obtenue. Le montnt ssuré : ugmente vec l vleur du bien v que l on souhite ssurer; croît vec l probbilité de sinistre p; décroît vec l richesse ω du client potentiel; ce résultt est importnt cr on ne le trouvit ps vec le critère espérnce-vrince. Il indique que les individus les plus riches sont leurs propres ssureurs; pour l effet du prix unitire de l ssurnce β, il fut clculer l dérivée : z β = p β 2v ω β 2 β 2 (1 β) 2 2βp+p = p β 2v ω (β p) 2 β 2 (1 β) 2 + p(1 p) < 0, p [0,1] donc plus l ssurnce est chère moins on s ssure, toutes choses égles pr illeurs.

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CHAPITRE 3 Les fonctions de Mrkowitz Considérons une fonction d utilité qudrtique : u(x) = c 0 + c 1 x+c 1 x 2, l espérnce d utilité correspondnte est donnée pr : E(u(W))=c 0 + c 1E(W)+c 2E W 2 or V(W) =E(W 2 ) E(W) 2, de sorte que : E(u(W)) = c 0 + c 1E(W)+c 2 V (W)+E(W) 2 = c 0 + c 1E(W)+c 2E(W) 2 + c 2V(W) = g(e(w),v(w)). L fonction de Mrkowitz, n est ps linéire vec E(W) mis il est possible d obtenir une fonction linéire vec des hypothèses plus fortes. On remrque églement que l vrince peut pprître nturellement vec un critère d espérnce d utilité. 27

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CHAPITRE 4 L mesure du risque L mesure du risque à prtir d une fonction d utilité reste une mesure bstrite qui n est ps directement interprétble. Comme on trville essentiellement sur les montnts monétires, il est plus prtique de trviller sur une mesure monétire du risque. L intuition d une telle mesure est l suivnte : pour une loterie donnée, combien un individu serit-il prêt à pyer pour se débrsser de l incertitude? L réponse à cette question dépend à l fois de l loterie et des préférences indivivuelles. Pour mesurer le risque de mnière plus directe, on utilise les concepts d équivlent certin, deprixdevente d une loterie et deprimederisque. 4.1(E ) L équivlent certin d une richesse létoire W est l richesse certine w qui procure l même utilité que l richesse létoire W : w u(w) =E(u(W)) ou de mnière équivlente : w = u 1 (E(u(W))). Exemple 4.1 Un investisseur de préférences u(x) = x possédnt ω = 100 se voit confronté à l loterie X suivnte : 64 156 X = 0,5 0,5 quel-est l équivlent certin de s richesse? On commence pr exprimer l loterie de s richesse létoire : 100 64 100+156 36 256 W = ω+ X = = 0,5 0,5 0,5 0,5 son espérnce d utilité est donnée pr : E(u(W)) = 0,5 36+0,5 256 = 0,5 6+0,5 16 = 11 29

30 on cherche donc une richesse certine w vérifint : u(w) = 11 w = 11 w = 121, on peut églement remrquer que u 1 (x)=x 2 de sorte que w =11 2. Dns l exemple précédent, nous vons vu que l équivlent certin de l loterie W est de 121, or l espérnce mthémtique de l richesse W est égle à E(W) = 0,5 36+0,5 256 = 18+128 = 146, insi le décideur est prêt à recevoir une vleur certine plus fible (121 ) que l vleur moyenne de l loterie (146 ) pour être libéré du risque de vrition de s richesse. Ceci correspond à l intuition du concept d version fce u risque. Tout se psse comme si le décideur étit prêt à céder 146-121=25 pour ne plus fire fce u risque. C est l prime de risque. Pour définir ce concept de mnière plus précise, nous introduisons l notion de prix de vente d une loterie. 4.2(P ) Le prix de vente p v de l prtie létoire X d une richesse W est le prix miniml à prtir duquel le propriétire de cette loterie est prêt à l vendre. Remrque 4.1 En vendnt une loterie à un prix p v le propriétire cède une richesse létoire W = ω + X en échnge d une richesse certine w = ω + p v, où w est l équivlent certin de l richesse W. Plus exctement, le propriétire d une loterie X ccepte de l vendre u prix z si son utilité vérifie : u(ω+ z) E(u(ω+ X))=E(u(W)) = u(w) où w est l équivlent certin de l richesse létoire W. Comme l fonction d utilité u est croissnte, ceci implique que : on en déduit que : ω+ z w z w ω, p v =rgmin z {z w ω}=w ω. Un prix de vente peut être positif ou négtif : s il est positif, cel signifie que le propriétire exige une rémunértion en échnge de s loterie; s il est négtif, cel signifie qu il est prêt à pyer l cquéreur pour ne plus encourir le risque de cette loterie.

31 Exemple 4.2 Le prix de vente de l loterie précédente est égl à : p v = w ω =121 100 = 21, le propriétire de l loterie est prêt à l vendre pour 21 pour ne plus encourir le risque ssocié à cette loterie. Comme cette loterie rpporte 46 en moyenne, on en déduir que le décideur présente une version pour le risque. Exemple 4.3 On considère le même décideur, u(x) = x, ω = 100, confronté à une loterie différente Y : 91 21 9 121 Y = 0,5 0,5 W = ω+ Y = 0,5 0,5 l espérnce d utilité de cette loterie est donnée pr : E(u(W)) = 0,5 9+0,5 121 = 0,5 3+0,5 11 = 7 donc l équivlent certin de s richesse létoire est égl à : et le prix de vente de l loterie de : w = 7 2 =49 p v = w ω =49 100 = 51 < 0, donclepropriétiredelloterieestprêtàpyer51 àuncquéreuréventueldecette loterie. Notons qu en moyenne, cette loterie fer fire une perte à son propriétire puisque : E(Y) = 0,5 91+0,5 21 = 35, le fit que le propriétire soit prêt à pyer 51 pour ne plus être confronté à un risque moyen de 35 est crctéristique d une version pour le risque. Comme le montrent les deux exemples précédents, l version fce u risque n est ps définie pr le signe du prix de vente d une loterie. Quelque soient les préférences du décideur, le prix de vente d une loterie peut être positif ou négtif. Pour s en convincre, considérons le cs d un gent neutre fce u risque. Pr définition u(x) = x donc : w =E(u(W)) =E(W) et p v = w ω = E(W) ω = E(ω+ X) ω = E(X) R cr une espérnce mthémtique peut voir n importe quel signe. Ce qui compte est l écrt entre le prix de vente et l espérnce mthémtique de l loterie. Il s git d une définition de l prime de risque.

32 4.1 Lprimederisque 4.1.1 Expression excte 4.3(P) L prime de risque bsolue π est le montnt que le décideur est prêt à pyer pour s ffrnchir du risque. L prime de risque π d une richesse létoire W = ω+ X est égle à l écrt entre l espérnce mthémtique de l prtie létoire de l richesse et son prix de vente : π =E(X) p v. On peut églement définir l prime de risque π comme l écrt entre l espérnce de l richesse létoire et son équivlent certin : π = E(X) (w ω) = E(ω+ X) w = E(W) w. 4.1(P ) On peut églement définir l prime de risque bsolue de l mnière suivnte : u(e(w) π )=E(u(W)) π = E(W) u 1 (E(u(W))), cette propriété vient du fit que l équivlent certin est défini pr u(w) = E(u(W)) et que π = E(W) w w=e(w) π. 4.4(A ) L version fce u risque peut se définir pr rpport à l prime de risque bsolue π ssociée à une richesse W. Plus précisement : Aversion fce u risque : π >0; Neutrlité fce u risque : π = 0; Goût pour le risque : π <0. Un décideur riscophobe est prêt à pyer pour s ffrnchir du risque, lors qu un décideur riscophile est prêt à pyer pour cquérir un risque supplémentire. 4.2(I! J) Soit f une fonction strictement concve et W une vrible létoire réelle : f(e(w)) > E(f (W)). Remrque : si f est strictement convexe, f(e(w)) < E(f(W)); si f est linéire (donc concve et convexe), f(e(w))=e(f(w)).

33 L prime de risque se définit donc en comprnt l espérnce mthémtique d une richesse vec son équivlent certin. Elle permet églement de mesurer un degré d version fce u risque en unités monétires. En fit, l forme de l fonction d utilité permet de déterminer directement si un décideur présente de l version pour le risque. L équivlent certin d une richesse létoire W est défini pr : et l prime de risque est égle à : w = u 1 (E(u(W))) π =E(W) w =E(W) u 1 (E(u(W))) donc l prime de risque est positive si et seulement si : E(W) > u 1 (E(u(W))) u(e(w)) >E(u(W)), on retrouve l inéglité de Jensen ppliquée à l fonction d utilité u et à l richesse létoire W. Un décideur est riscophobe si ses préférences sont représentées pr une fonction d utilité concve. Qund l prime de risque est nulle : u(e(w)) = E(u(W)), donc les préférences peuvent être représentées pr une fonction linéire qund le décideur est neutre fce u risque. Enfin, si l prime de risque est négtive, on doit voir : u(e(w)) < E(u(W)), les préférences du décideur sont représentées pr une fonction d utilité convexe qund il est riscophile. Exemple 4.4 (Risque de chômge) On considère un trvilleur qui ggne un revenu r qund il est en emploi vec probbilité 1 p. Qund il est u chômge(vec probbilité p), il peçoit une indemnité b < r. S richesse initile est égle à ω et ses préférences sont représentées pr u(x) = lnx. On peut représenter ce risque pr une loterie sur l richesse du trvilleur : b r ω+ b ω+ r X = p 1 p W = ω+ X = p 1 p L espérnce de l richesse est égle à : et l espérnce du risque de chômge à : E(W) = ω+ p b+(1 p) r E(X) = p b+(1 p) r

34 L espérnce d utilité de l richesse est égle à : E(u(W)) = pln(ω+ b)+(1 p)ln(ω+ r) = ln (ω+ b) p (ω+ r) 1 p donc son équivlent certin est égl à : w = exp[e(u(w))] = (ω+ b) p (ω+ r) 1 p et le prix de vente du risque de chômge est égl à : p v = w ω = (ω+ b) p (ω+ r) 1 p ω. L prime de risque ssociée u chômge peut être clculée pr l formule: ou pr l formule : π = E(X) p v = p b+(1 p) r (ω+ b) p (ω+ r) 1 p + ω π = E(W) w = ω+ p b+(1 p) r (ω+ b) p (ω+ r) 1 p. Il est intéressnt d observer que cette prime de risque dépend fortement de l richesse intile du trvilleur. Pour fixer les idées, nous fixerons r = 1200, b = 600, p = 0,1. Clculer les primes de risque pour un chômeur ynt une richesse de ω = 1000 et pour un chômeur ynt une richesse de ω =0. Dns le premier cs, l espérnce de l richesse est de : E(W)=1000+0,1 600+0,9 1200 = 2140, et l équivlent certin de cette richesse : donc l prime de risque est de : w = (1600) 0,1 (2200) 0,9 2131, π = 2140 2131 = 9, le premier chômeur est prêt à pyer 9 pour être libéré du risque de chômge. Il présente de l version vis à vis du risque. Dns le second cs, l espérnce de l richesse est de : E(W) =0,1 600+0,9 1200 =1140,

35 et l équivlent certin de cette richesse est de : d où l prime de risque : w =(600) 0,1 (1200) 0,9 1120, π =1240 1220 =20, le chômeur le moins riche est prêt à pyer une prime de risque plus importnte à préférences et risque identiques. 4.5 Un décideur A doté de préférences u A est plus riscophobeque le décideur B s il existe une fonction f croissnte et concve telle que : u A (x) = f(u B (x)). Cette définition permet de vérifier qu un décideur A plus riscophobe qu un décideur B ur une prime de risque plus importnte que celle de B. Pour voir cette propriété, on prt de l définition de l prime de risque du décideur A, π A, puis on utilise celle du décideur B, π B : u A (E(W) π A ) = E(u A (W)) or u A est une fonction croissnte, donc : = E(f(u B (W))) < f (E(u B (W))) = f (u B (E(W) π B )) = u A (E(W) π B ) u A (E(W) π A ) < u A (E(W) π B ) E(W) π A < E(W) π B π A > π B. Il est donc possible de clsser le degré d version fce u risque des décideurs en comprnt les primes de risque. Cette propriété est importnte cr les fonction d utilité ne sont ps observbles lors que les primes de risque le sont prfois. Nous retrouverons cette propriété vec le théorème de Prtt. 4.1.2 Expression pprochée Cette section présente une méthode qui permet d pproximer les primes de risque. Kenneth Arrow 1 et John Prtt ont proposé l pproximtion suivnte pour un petit risque : π V (W) 2 u (E(W)). u (E(W)) 1 Kenneth Arrow obtenu le prix Nobel d économie en 1972.

36 Le premier terme, en V(W)/2, mesure l incertitude ssociée à l richesse; le second terme, en u (.)/u (.), mesure l version fce u risque du décideur. Cette formule simplifiée indique simplement que l prime de risque est croissnte vec l incertitude (objective) et vec l version fce u risque (subjective). Pour démontrer cette formule, nous commençons pr utiliser l reltion suivnte, qui définit l prime de risque : π = E(W) u 1 (E(u(W))) (4.1) u 1 (E(u(W))) =E(W) π E(u(W)) = u(e(w) π). L méthode consiste à effectuer un développement limité de cette expression pour de petits risques, c est-à-dire pour des loterie qui s écrte peu de s moyenne. Afin de simplifier le membre de guche de l éqution (4.1), on effectue un développement limité à l ordre 2 de l fonction d utilité u(x) u voisinge d un point m : u(x) u(m)+(x m)u (m)+ 1 2 (x m)2 u (m), on en déduit que pour une vrible létoire W, on doit voir : u(w) u(m)+(w m)u (m)+ 1 2 (W m)2 u (m), en prennt l espérnce mthémtique de l expression précédente, et en tennt compte du fit que le développement limité se fit u voisinge de l espérnce de l vrible létoire W, m =E(W), on obtient : E(u(W)) E u(m)+(w m)u (m)+ 1 2 (W m)2 u (m) (4.2) u(m)+(e(w) m)u (m)+ 1 2 E (W m) 2 u (m) u(m)+ 1 2 V (W)u (m) u(e(w))+ 1 2 V (W)u (E(W)). Considérons mintennt le membre de droite de l éqution(4.1). Comme le risque est petit, on peut effectuer un développement limité u premier ordre u voisinge d une prime de risque nulle (π =0). On noterπ l vleur pprochée de l prime de risque :: u(e(w) π ) u(e(w)) π u (E(W)), en églisnt les pproximtions des deux membres de l éqution (4.1), on obtient : u(e(w))+ 1 2 V (W)u (E(W)) u(e(w)) π u (E(W)) π V (W) u (E(W)). 2 u (E(W)) Avec cette expression, on voit que :

37 qund les préférences sont concves (u < 0), l prime de risque est positive plus l vrince est forte, plus l prime de risque est importnte. L seconde prtie de l expression est utilisée pour mesurer l intensité de l version pour le risque. On définit l indice d version bsolue pour le risque d Arrow-Prtt comme : A (x) = u (x) u (x), pour toute vleur certine. Ce coefficient mesure le degré de concvité de l fonctio d utilité u voisinge du point x. Plus il est importnt, plus l version bsolue pour le risque est forte. L prime de risque bsolue peut donc se réécrire : on remrque lors que : π = V (W) 2 A (E(W)), E(W) = E(ω+ X) = ω+e(x) V(W) = V(ω+ X) =V(X), donc on peut réécrire l prime de risque bsolue en fonction des crctéristiques de l loterie sous l forme : π = V (X) A (ω+e(x)). 2 $4.1(P ) Soient deux individus A et B dont les préférences sont représentées respectivement pr U A (W) = E(u A (W)) et U B (W) = E(u B (W)), les trois propriétés suivntes sont équivlentes : (i) u A est une trnsformtion strictement croissnte et strictement concve de u B : f, f >0, f < 0 : u A (x) = f(u B (x)). (ii) L prime de risque bsolue de A ssociée à l richesse létoire W est supérieure à l prime de risque bsolue de B ssociée à l même richesse, pour tout petit risque X tel que W = ω+ X : π A (X) > π B (X). (iii) En n importe quel point x, l indice d Arrow-Prtt de A est supérieure à celui de B : x, u A (x) B (x) u A (x) > u u B (x).

38 4.2 Lestypesderisque On distingue trois types de risque. Le premier X est le risquedditif que nous vons déjà vu, il s joute à l richesse : W = ω+ X, le deuxième risque Y est multiplictif, il multiplie l richesse : W = ω(1+y), on l utilise pour les risques portnt sur les tux. Le troisième risque Z générlise les deux précédents, on l ppelle le risque mixte. Il ne multiplie qu une prtie de l richesse : W = ω+ ω 2 Z, On retrouve le risque dditif en posnt ω 2 = 1 : W = ω+ Z, et le risque multiplictif en posnt ω 2 = ω : W = ω(1+z). On peut églement réécrire le risque prtiel en décomposnt l richesse entre s prtie certine ω 1 et s prtie risquée ω 2. En utilisnt ω = ω 1 + ω 2, on obtient : W = ω 1 + ω 2 + ω 2 Z = ω 1 + ω 2 (1+Z). A ces trois risques sont ssociées trois primes de risques : l prime de risquebsolue correspond u risque dditif et est notée π ; l prime de risquereltive correspond u risque multiplictif et est notée π r ; l prime de risqueprtielle correspond u risque mixte et est notée π p ; pr défut, l prime de risque est bsolue et le risque dditif. 4.3 Expression excte Exemple 4.5 (Prime de risque bsolue) On considère un décideur de richesse ω = 100 de préférences représentées pr u(x) = x. Il est confrontée à un risque dditif : 25 +75 X = 0,5 0,5

39 L richesse létoire est donnée pr : W = ω+ X = et son espérnce mthémtique est donnée pr : 75 175 0,5 0,5 E(W)=0,5 75+0,5 175 =125 et son équivlent certin est donné pr : w = 0,5 75+0,5 2 175 119,8 donc l prime de risque bsolue π est égle à : π = E(W) w = 125 119,8 = 5,2. 4.6(P ) L prime de risque reltive π r est le nombre de points de rendement en proportion (ou %) du cpitl totl uxquels un décideur est prêt à renoncer pour s ffrnchir du risque. Elle est définie pr : π r u(e(w) ωπ r ) = E(u(W)) u(ω(1+e(y) π r )) =E(u(ω(1+Y))) Exemple 4.6 (Prime de risque reltive) On considère un décideur vec un cpitl de ω = 100 et des préférences représentées pr u(x) = x. L loterie porte sur le tux de rendement : 25% +75% Y = 0,5 0,5 le tux de rendement moyen est défini pr : E(Y) =0,5 ( 25%)+0,5 (75%)=25% et l équivlent certin du tux de rendement y est défini pr : u(ω(1+y)) = E(u(ω(1+Y))) ω(1+y) =0,5 0,75ω+0,5 1,75ω, le terme en ω se simplifie et il reste : 1+y = 0,5 0,75+0,5 1,75 1,0945 donc l prime de risque reltive : y = (1,0945) 2 1 0.19793 19,8%, π r =E(Y) y = 5,2%. Le décideur est donc prêt à scrifier 5,2% de rendement pour psser de l ctif Y à un ctif certin. Comme il s git du même exemple que pour l prime de risque bsolue, on, de plus : π ω = 5,2 100 = 5,2% = π r

40 4.7(P ) Lprimederisqueprtielle π p est le nombre de points de rendements en proportion (ou %) du cpitl risqué uxquels un décideur est prêt à renoncer pour s ffrnchir du risque. Elle est définie pr : π p u(e(w) ω 2 π p ) = E(u(W)) vec ω = ω 1 + ω 2. u(ω 1 + ω 2 (1+E(Z) π p )) = E(u(ω 1 + ω 2 (1+Z))), Exemple 4.7 (Prime de risque prtielle) On considère un investisseur vec une richesse certine ω 1 = 50, une richesse risquée ω 2 = 50, des préférences représentées pr u(x)= x. Le plcement sur l richesse risquée est représenté pr l loterie : Z = l richesse létoire s écrit donc : 50% +150% 0,5 0,5 W = ω 1 + ω 2 (1+Z) = 75 175 0,5 0,5 il s git de l richesse létoire des deux exemples précédents. L espérnce de l loterie est égle à : et : E(Z)=0,5 ( 50%)+0,5 150% = 50% E(u(W))=0,5 75+0,5 175 = 10,945 donc l prime de risque prtielle doit vérifier : 50+50(1+50% π p ) = 10,945 50+50(1,5 π p ) =10,945 125 50π p = 10,945 π p = 125 (10,945)2 50 10,4% insi le décideur est prêt à scrifier 10,4% de rendement sur l prtie risquée de l richesse en échnge d un plcement certin. On remrque que : π p ω 2 =10,4% 50 =5,2 = π, donc le tux sur l richesserisquée est égl u ledouble du tux sur l richesse totle prce que l richesse risquée représente l moitié de l richesse totle.

41 4.3(P ) Les trois défiitions des primes de risque vérifient : π = ωπ r = ω 2 π p, ceci vient de leurs définitions : E(u(W)) = u(e(w) π ) = u(e(w) ωπ r )=u(e(w) ω 2 π p ), et comme l fonction u est croissnte, on : E(W) π = E(W) ωπ r =E(W) ω 2 π p, ce qui implique : π = ωπ r = ω 2 π p. Les différentes primes de risque représentent donc le même montnt exprimé de mnières différentes. Nous vons vu que l prime de risque bsolue peut s écrire en fonction d un indice d version pour le risque A (x). Nous llons montrer mintennt que l on peut écrire toutes primes de risque, pour un petit risque, en fonction d indices d versions pour le risque spécifique à chque risque. 4.4 Expression pprochée Nous vons déjà vu l expression pproché de l prime de risque bsolue. Il nous reste donc à voir les expression des primes de risque reltive et prtielle. Nous utiliserons le développement limité de l espérnce d utilité (4.2) u voisinge de l richesse moyenne m =E(W). 4.4.1 Prime de risque reltive L richesse risquée s écrit : W = ω(1+y) son espérnce mthémtique est donc donnée pr : E(W) = ω(1+e(y))m et s vrince pr : on en déduit que : D utre prt, on : V(W) =V(ω+ ωy) = ω 2 V(Y), E(u(W)) u(m)+ ω2 2 V (Y)u (m). u(m ωπ r ) =E(u(W))

42 en prennt le développement limité d ordre 1 u voisinge de π r = 0, on obtient : u(m ωπ r ) u(m) π r ωu (m), de sorte que, en notntπ r l pproximtion de l prime de risque reltive : u(m) π r ωu (m) u(m)+ ω2 2 V (Y)u (m) en simplifint, on obtient l prime de risque reltive : π r = V (Y) ω u (m), 2 u (m) : L indice d version reltive pour le risque est défini en posnte(y) =0( m = ω) A r (x)= x u (x) u (x), cet indice est égl à l vleur bsolue de l élsticité de l utilité mrginle de l richesse. Qund l richesse ugmente de 1%, l utilité mrginle de l richesse décroît de A r (x)%.plus cette élsticité est élevée plus le décideur présente d version reltive pour le risque. Remrquons ici que, comme les primes bsolues et reltives sont reliées pr une contrinte linéire (π = ωπ r ), on peut obtenir l pproximtion de l prime de risque reltive directement. On : π = ωπ r V(W) = V(ω(1+Y)) = ω 2 V(Y) π V (W) u (E(W)) 2 u (E(W)) donc : ωπ r ω2 V(Y) 2 π r V (Y) 2 u (E(W)) u (E(W)) ω u (E(W)) u (E(W)) 4.4.2 Prime de risque prtielle L richesse risquée s écrit mintennt: W = ω 1 + ω 2 (1+Z) son espérnce mthémtique est donc donnée pr : E(W) = ω 1 + ω 2 (1+E(Z))m

43 et s vrince pr : on en déduit que : D utre prt, on : V(W) = V(ω 1 + ω 2 (1+Z))=ω 2 2V(Z), E(u(W)) u(m)+ ω2 2 2 V (Z)u (m). u(m ωπ r ) =E(u(W)) en prennt le développement limité d ordre 1 u voisinge de π r = 0, on obtient : u(m ω 2 π p ) u(m) π r ω 2 u (m), de sorte que, en notntπ p l prime de risque prtielle : u(m) π p ω 2 u (m) u(m)+ ω2 2 2 V (Z)u (m) en simplifint, on obtient l prime de risque prtielle : π p = V (Z) u (m) ω 2, 2 u (m) Remrquons ici que, comme les primes bsolues et reltives sont reliées pr une contrinte linéire(π = ω 2 π p ), on peut obtenir l pproximtion de l prime de risque reltive directement. On : π = ω 2 π p V(W) = ω 2 2V(Z) π V (W) 2 u (E(W)) u (E(W)) donc : ω 2 π p ω2 2V(Z) 2 π p V (Z) 2 u (E(W)) u (E(W)) u (E(W)) ω 2 u (E(W)).

44

CHAPITRE 5 Les fonctions d utilité usuelles Les préférences résument les comportements vis-à-vis du risque. Il est donc importnt de connître les crctéristiques des fonctions d utilité usuelles. 5.1 Les fonctions CRRA Il s git des fonctions d utilité que se mettent sous l forme d une puissnce : u(x) = xα α, α=0. On obtient les cs prticuliers suivnts : α =1: u(x)=x, on retrouve le critère d espérnce d utilité; α 0 : u(x) = ln(x), l utilité logrithmique. ppliqunt l règle de L Hôpitl. 1 On trouve ce résultt en on peut églement prendre des vleurs négtives : α = 1 donne u(x) = 1/x qui est une fonction d utilité clssique présentnt de l version pour le risque. Le critère de décision devient : L utilité mrginle est donnée pr : U (W) =E(u(W)) = 1 α E (W α ). u (x) = x α 1 >0 1 Rppel : On utilise églement : f(x) lim x g(x) = f () g (), g ()=0. x α =exp(αlnx). 45

46 et l dérivée seconde pr : u (x) =(α 1)x α 2, dont le signe dépend des vleurs de x et α. En supposnt que l richesse est positive x > 0, on ur : α <1:u (x) <0, utilité concve, préférences riscophobes; α =1:u (x) =0, utilité linéire, préférences neutres; α >1:u (x) >0, utlité convexe, préférences riscophiles. L indice d version bsolue fce u risque est donné pr : A (x) = u (x) u (x) = 1 α x, il décroît vec l richesse. A prtir de cet indice, on peut clculer l prime de risque bsolue : π = V (X) A (E(W)) 2 = V (X) 1 α 2 ω+e(x) = 1 α V(X) 2 ω+e(x), cette prime de risque est décroissnte vec l richesse et croissnte vec l vrince de l lé. Elle est églement décroissnte vec le rendement moyen de l prtie risquée de l richesse. Une plus forte vrince peut donc être compensée pr une plus grnde espérnce de gin. L indice d version reltive fce u risque est donné pr : A r (x) = x A (x) =1 α, il est constnt. C est cette propriété qui donne son nom à l fonction : Constnt Reltive Risk Aversion ou CRRA. Cette reltion permet églement d interpréter le prmètre α : plus il est élevé, plus l version reltive fce u risque est fible. Exemple 5.1 (Assurnce) Considérons l exemple de l ssurnce que nous vons déjà vu : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p L espérnce d utilité de l richesse vec une fonction CRRA est donnée pr : U(W) = E(u(W)) = p α (ω+(1 β)z)α + (1 p) α (ω+ v βz) α,

47 et l demnde d ssurnce z doit vérifier : ce qui est équivlent à : vec : U z (z )=0, p(1 β)(ω+(1 β)z ) α 1 = (1 p)β(ω+ v βz ) α 1 p(1 β) ω+ v βz α 1 (1 p)β = ω+(1 β)z p(1 β) ω+(1 β)z 1 α (1 p)β = ω+ v βz 1/(1 α) p(1 β) = ω+(1 β)z (1 p)β ω+ v βz ce qui donne : k = k = ω+(1 β)z ω+ v βz 1/(1 α) p(1 β) (1 p)β k(ω+ v βz ) = ω+(1 β)z (k 1)ω+ kv = (1+(k 1)β)z z = kv+(k 1)ω 1+(k 1)β On peut lors étudier les déterminnts de l demnde d ssurnce. On voit que : z v = k 1+(k 1)β >0, le montnt de l ssurnce ugmente vec l vleur du bien risqué. Pour l richesse non risquée, on : z ω = k 1 1+(k 1)β. On remrque que le dénominteur de cette expression est positif pour toute vleur positive de k puisque : k > 0 k 1 > 1 (k 1)β > β 1+(k 1)β > 1 β >0 cr 0 < β <1. Donc le signe de l dérivée est donnée pr le signe du numérteur. Or nous vons : p < β 1 β < 1 p,

48 ce qui implique : k = 1/(1 α) p(1 β) p = (1 p)β β (1 β) 1/(1 α) <1, (1 p) donc on ur : z ω <0, le montnt de l ssurnce est décroissnt vec l richesse. Les décideurs les plus riches préfèrent s ssurer (prtiellement) eux-mêmes. Pour des préférences riscophobes ( 0 < α <1), l demnde d ssurnce est croissnte vec l vleur du bien ssuré v et décroissnte vec l richesse non risquée du décideur. Pour voir l dépendnce pr rpport à l probbilité de sinistre, on utilise l dérivtion en chîne : z p = z k k p, cr p n influence z que pr son ction sur k. On : z k = (1 β)v+ ω 2 >0, 0 < β < 1, (1+(k 1)β) donc le signe de l dérivée est donné pr celui de : k p = 1 β β 1/(1 α) α/(1 α) 1 p (1 p) 2 > 0, 1 p insi l demnde d ssurnce est croissnte vec l probbilité de sinistre. L effet du coût de l ssurnce implique une dérivée plus complexe que l on étudier u cs pr cs. On remrque que l on obtient les résultts ssociés ux préférences u(x) = lnx qund α 0. 5.2 Les fonctions CARA Il s git des fonctions d utilité que se mettent sous l forme d une exponentielle : u(x) = 1 exp( αx), α > 0. α On obtient les cs prticuliers suivnts : α 0:u(x) = x, on retrouve le critère d espérnce d utilité. On obtient ce résultt en ppliqunt l règle de L Hôpitl. les vleurs de α doivent être positives.

49 Le critère de décision devient : U(W) = E(u(W)) = 1 α E (exp( αw)). L utilité mrginle est donnée pr : et l dérivée seconde pr : u (x) =exp( αx) > 0 u (x)= αexp( αx) < 0, dont le signe est toujours négtif. Ce type de fonctions d utilité ne peut donc être utilisé que pour représenter des préférences riscophobes. L indice d version bsolue fce u risque est donné pr : A (x) = u (x) u (x) = α, il est constnt. C est cette propriété qui donne son nom à l fonction : Constnt Absolute Risk Aversion ou CARA. A prtir de cet indice, on peut clculer l prime de risque bsolue : π = V (X) A (E(W)) 2 = α V(X), 2 cette prime de risque est croissnte vec l version bsolue pour le risque α et vec l vrince de l lé. Elle ne dépend ni du rendement moyen ni de l richesse. L indice d version reltive fce u risque est donné pr : il est proportionnel à l richesse. A r (x)=x A (x)=αx, Exemple 5.2 Considérons l exemple de l ssurnce que nous vons déjà vu : ω+(1 β)z ω+ v βz W = p 1 p L espérnce d utilité de l richesse vec une fonction CARA est donnée pr : U(W) = E(u(W)) = p α exp( α(ω+(1 β)z)) (1 p) α l condition du premier ordre est donnée pr : U z (z )=0, exp( α(ω+ v βz)),

50 et l utilité mrginle de l ssurnce est égle à : U z (z) = p(1 β)exp( α(ω+(1 β)z)) (1 p)βexp( α(ω+ v βz)) ce qui donne: p(1 β)exp( α(ω+(1 β)z )) = (1 p)βexp( α(ω+ v βz )) p(1 β) (1 p)β = exp( α(ω+ v βz )) exp( α(ω+(1 β)z )) p(1 β) (1 p)β =exp( α(v z )) donc : ln p(1 β) (1 p)β = α(v z ) 1 p(1 β) α ln = v z (1 p)β z = v+ 1 p(1 β) α ln (1 p)β z = v 1 (1 p)β α ln < v, β > p. p(1 β) et on remrque que : β > p (1 p)β p(1 β) > 1 ln (1 p)β >0 p(1 β) en conséquence, on les propriétés suivntes pour l demnde d ssurnce bsée sur des préférences CARA : elle est indépendnte de l richesse non risquée : z ω =0, elle est croissnte vec l vleur du bien ssuré : z v =1>0, elle est croissnte vec l probbilité de sinistre : z p = 1 1 α p + 1 > 0 1 p

51 elle est décroissnte vec le montnt de l prime (β est le coût unitire de l ssurnce) : z 1 β = 1 α β + 1 <0 1 β elle est croissnte vec le degré d version pour le risque : z α = 1 (1 p)β α ln > 0. 2 p(1 β) 5.3 L utilité linéire de Mrkowitz Au début de ce cours, nous vons utilisé l fonction d utilité suivnte : U(W) =E(W) kv(w), nous llons mintennt que l on peut justifier cette forme en ppliqunt le critère d espérnce d utilité obtenue sous des hypothèses prticulières. Hypothèse 1 : les préférences sont représentées pr l fonction d utilité CARA u(x)=exp( αx) Hypothèse 2 : l richesse W suit une loi normle, W N(m,σ 2 W ) D près l seconde hypothèse l vrible Z = exp(w) suit une loi log-normle d espérnce exp(m+σ 2 W /2). D utre prt : ln Z α = αlnz exp lnz α = exp( αlnz) =exp( αw), et comme W = lnz suit une loi normle, αlnz suit églement une loi normle de moments : E( αlnz) = αe(lnz) = αm, V( αlnz) = α 2 V(lnZ) = α 2 σ 2 W on en déduit que exp( αw) = exp(lnz α ) suit une loi log-normle d espérnce exp( αm+α 2 σ 2 W/2). En utilisnt l première hypothèse, on obtient l espérnce d utilité suivnte : U(W) = 1 α E (exp( αw)) = 1 α E exp α m ασ 2 W/2. Arrivé à ce stde, on remrque que toute trnsformtion croissnte f de l fonction d utilité représente les mêmes préférences. L quntité m ασ 2 W est trnsformée pr l fonction : f(x)= 1 α exp( αx),

52 qui vérifie : donc : f (x) =exp( αx) > 0, U(W)=f m ασ 2 W/2, f > 0 Et on peut prendre comme fonction d utilité toute trnsformée croissnte de cette fonction. Comme f est croissnte, f 1 est églement croissnte, donc on peut prendre : f 1 (U (W)) = m α 2 σ2 W = E(W) α 2 V (W), on retrouve donc l forme espérnce-vrince de Mrkowitz en posnt k = α/2. Dns ce cs prticulier k est proportionnel à l indice d version bsolue pour le risque. L prime de risque bsolue présente églement une propriété prticulière : u(e(w) π )=E(u(W)), ce qui donne : 1 α exp( α(m π )) = E 1α exp( αw) exp( α(m π )) = E(exp( αw)) exp( α(m π )) = exp αm+α 2 σ 2 W /2 α(m π ) = αm+α 2 σ 2 W /2 d où l prime de risque bsolue excte : π = α 2 V (W), dont l expression est identique à l pproximtion d Arrow-Prtt.

III L dominnce stochstique 53

55 Jusqu à présent nous n vons utilisé que l espérnce et l vrince des loteries pour comprer des vribles létoires entre elles. Il existe des critères plus générux qui peuvent églement intervenir. En prticulier, les critères qui permettent de prendre des décisions qu elle que soit l fonction d utilité sont les plus intéressnts cr ils permettent d étblir des résultts générux. 5.4 Dominnce stochstique d ordre 1 Nous ppliquerons cette notion à l comprison des richesses létoires. Le but est de les clsser selon un critère de dominnce relié à l espérnce d utilité. 5.1 Une richesse létoire W 1 domine stochstiquement une richesse létoire W 2 à l ordre 1, u sens lrge, qund : ce que l on note : Pr[W 1 t] Pr[W 2 t], t W 1 S 1 W 2, l dominnce lieu u sens strict qund : Pr[W 1 t] Pr[W 2 t], t et t Pr W 1 t > Pr W 2 t, ce que l on note : W 1 S1 W 2. L probbilité d être plus riche qu un seuil donné t vec l loterie W 1 est plus élevée qu vec l loterie W 2, quel que soit le seuil de richesse t considéré. On peut églement l définir à prtir des fonctions de réprtition des loteries. Soit F W (t) l fonction de réprtition de W. Pr définition : F W (w) =Pr[W < t], l fonction utilisée pour définir l dominnce stochstique d ordre 1 est ppelée fonction de survie en sttistique des durées. On l note : S W (t) = 1 F W (t) = 1 Pr[W < t] = Pr[W t], on peut donc écrire l conditions de dominnce stochstique à l ordre 1 comme : S W1 (t) S W2 (t) S W1 (t) S W2 (t) 1 S W1 (t) 1 S W2 (t) F W1 (t) F W2 (t),

56 l richesse létoire W 1 domine l richesse W 2 qund s fonction de réprtition de W 1 est située en dessous de l fonction de réprtition de W 2. De même on peut définir l domintion stochstique à l ordre 1 u sens strict comme : F W1 (t) F W2 (t) t et t F W1 t < FW2 t. Exemple 5.3 Considérons les deux loteries suivntes : w W 1 = 1 et W 2 = 0 2w 0,5 0,5 ces deux loteries sont de même espérnce, mis ucune des deux ne domine l utre. En effet l fonction de réprtition de l première loterie est donnée pr : 0 si t < w F W1 (t) = 1 si t w et : 0 si t < 0 F W2 (t) = 0,5 si 0 t<2w 1 si t 2w donc les deux fonctions se coupent en t = w et ucune loterie ne domine l utre. Exemple 5.4 Considérons les deux loteries suivntes : W 2 = 0 2w 0,5 0,5 et W 3 = 0 2w 3w 0,5 0,25 0,25 l fonction de réprtition de l loterie W 3 est donnée pr : 0 si t <0 0,5 si t t<2w F W3 (t) = 0,75 si 2w t<3w 1 si t 3w et cette fonction de réprtition est toujours située en dessous de celle de W 2, donc : W 3 S 1 W 2. 5.1 Si l richesse létoire W 1 domine W 2 stochstiquement à l ordre 1 : E(W 1 ) E(W 2 ) et si W 1 domine W 2 strictement stochstiquement à l ordre 1 : E(W 1 ) >E(W 2 ) L réciproque est fusse.

57 Il existe plusieurs mnière de démontrer cette propriété. Voici l première. Pour l démontrer dns le cs continu, nous llons utiliser l formule suivnte, pour une richesse de support [e,f] et de fonction de survie S(t) : vec : E(W) = 0 On remrque que, pr définition : e (S(t) 1) dt+ S(e) =1, S(f) =0 f 0 S(t) dt S(t)=1 F (t) S (t)= F (t) = f(t) où f(t) est l densité de W. On églement : F (e) = 1 S(e)=0, F (f)=1 S(f)=1. Supposons que l on soit sur l intervlle des vleurs négtives, t [e,0] : I e = 0 e 0 e t f (t) dt t F (t) dt qui est de l forme uv. En intégrnt pr prties, on obtient : 0 I e = [t F (t)] 0 e F (t) dt = 0 e 0 = = = 0 e 0 e 0 e F (t) dt e 0 e (1 S(t)) dt (S(t) 1) dt F (t) dt Considérons mintennt l intervlle des vleurs postives, t [0, f] : I f = = f 0 f 0 t f (t) dt t ( S (t)) dt

58 qui est églement de l forme uv. En intégrnt pr prties, on obtient : f I f = [ t S(t)] f 0 + S(t) dt = f 0+0+ = Globlement, on obtient donc : E(W) = = = f 0 f e 0 e 0 e S(t) dt t f(t) dt t f(t) dt+ 0 f 0 f 0 (S(t) 1) dt+ S(t) dt t f(t) dt f 0 S(t) dt Supposons mintennt que l on it deux richesses létoires, W 1 et W 2, pr définition : de plus : donc : S 1 (t) S 2 (t) S 1 (t) S 2 (t) f S 1 (t) dt f 0 0 S 1 (t) 1 S 2 (t) 1 0 (S 1 (t) 1) dt 0 e e S 2 (t) dt (S 2 (t) 1) dt S 1 (t) S 2 (t) 0 e (S 1 (t) 1) dt+ E(W 1 ) E(W 2 ). f 0 S 1 (t) dt 0 e (S 2 (t) 1) dt+ f 0 S 2 (t) dt Pour démontrer que l réciproque est fusse il suffit de trouver un contre-exemple, c est-à-dire une vrible létoire telle que E(W 1 ) E(W 2 ) et W 1 W 2. Prenons les deux loteries suivntes : W 1 = 2 4 1/2 1/2 et W 2 = 0 3 1/3 2/3

59 on : E(W 1 ) =3, E(W 2 ) =1 et les fonctions de réprtition sont données pr : donc on : et F 1 (t) = et F 2 (t) = 0 0 t<2 1/2 2 t<4 1 4 t 0 t <0 1/3 0 t<3 1 3 t = = 0 0 t<2 1/2 2 t<3 1/2 3 t<4 1 4 t 1/3 0 t<2 1/3 2 t<3 1 3 t<4 1 4 t F 1 (t)=1/2 >1/3 = F 2 (t) si 2 t<3 F 1 (t) = 1/2 <1=F 2 (t) si 3 t<4 donc il n y ps de dominnce stochstique. 5.2 Pour toute fonction d utilité espérée, vérifint : u (t) 0 et t u t > 0 W 1 S 1 W 2 E(u(W 1 )) E(u(W 2 )) l propriété est vlble quel que soit le comportement vis-à-vis du risque ssocié à l fonction u(t). En prticulier, si on pose u(t) = t, qui vérifie u (t) = 1 > 0, on obtient : W 1 S 1 W 2 E(W 1 ) E(W 2 ). Nous llons démontrer que l condition est suffisnte : (1) (2). On supposer que l richesse W 1 est définie sur le support [ 1,b 1 ] et W 2 sur le support [ 2,b 2 ]. On : vec : D E(u(W 1 )) E(u(W 2 )) = = b1 1 u(t) f 1 (t) dt b b2 u(t)(f 1 (t) f 2 (t)) dt =min( 1, 2 ), 2 u(t) f 2 (t) dt

60 l borne inférieure des supports des deux richesses létoires et : b =mx(b 1,b 2 ), l borne supérieure des deux richesses létoires. On donc : D = b u(t)(f 1 (t) f 2 (t)) dt qui est de l forme uv. En intégrnt pr prties : b D = [u(t)(f 1 (t) F 2 (t))] b u (t)(f 1 (t) F 2 (t)) dt, comme F 1 et F 2 sont des fonctions de réprtition, on : ce qui implique : et l on : de sorte que : F 1 ()=0, F 1 (b)=1, F 2 () =0 et F 2 (b) =1, D = u(b)(1 1) u()(0 0) = = b b u (t)(f 1 (t) F 2 (t)) dt u (t)(f 2 (t) F 1 (t)) dt b u (t)(f 1 (t) F 2 (t)) dt F 2 (t) F 1 (t) = (1 S 2 (t)) (1 S 1 (t)) D = b = S 1 (t) S 2 (t), u (t)(s 1 (t) S 2 (t)) dt. Mintennt, supposons que W 1 S 1 W 2, on : S 1 (t) S 2 (t) S 1 (t) S 2 (t) 0 u (t)(s 1 (t) S 2 (t)) 0 cr u (t) 0 b u (t)(s 1 (t) S 2 (t)) dt 0 E(u(W 1 )) E(u(W 2 )). Cette propriété permet de mieux interpréter le critère d espérnce d utilité. Pr rpport u cs certin, on remplce l comprison des vleurs certines de l richesse pr l comprison des probbilités que l richesse dépsse un certin seuil. Toutefois, on ne peut rien dire qund les richesse létoires W 1 et W 2 ne sont ps ordonnbles selon le critère de dominnce stochstique à l ordre 1.

61 5.5 Risque et vrince Prmi les vntges qu il y à utiliser l vrince comme mesure du risque, on peut noter les propriétés suivntes : qund l richesse est certine, l vrince est nulle; l espérnce d utilité à l Mrkowitz, qui fit intervenir l espérnce et l vrince; les primes de risque pprochées dépendent de l vrince; Mis il existe églement des rguments contre l vrince : l vrince est une crctéristique objective de l richesse, elle ne dit rien des comportements des décideurs fce u risque; l espérnce d utilité à l Mrkowitz fit des hypothèses fortes. Dns s version linéire, il fut que l fonction d utilité soit CARA et que l richesse suive une loi normle. En fit, l mesure du risque pr l vrince peut induire en erreur dns certins cs que nous llons étudier mintennt. Considérons les deux loteries suivntes : W 1 = 0 4 1/2 1/2 et W 2 = 1 9 7/8 1/8 elles ont l même espérnce : et les vrinces sont différentes : E(W 1 ) = 4 2 = 2 E(W 2 ) = 7+9 8 = 2 V(W 1 ) = 1 2 (0 2)2 + 1 2 (4 2)2 =4 V(W 2 ) = 7 8 (1 2)2 + 1 8 (9 2)2 =7 u vu de ces premiers résultts, on pourrit penser qu un gent verse u risque choisirit l loterie W 1 puisqu elle rpporte l même richesse moyenne que W 2 et que l vrince de W 1 est inférieure à celle de W 2. Prenons une fonction d utilité CRRA vec version pour le risque (α =1/2 < 1), on : u(x) = 1 α xα =2 x,

62 les espérnce d utilité des deux loteries sont égles à : donc : E(u(W 1 )) = 1 2 2 0 + 1 2 2 4 = 2 E(u(W 2 )) = 7 2 8 1 + 1 8 2 9 = 10 4 =2,5 E(u(W 2 )) E(u(W 1 )) nous vons trouvé un gent verse u risque qui préfère l loterie de plus forte vrince pour le même rendement moyen. Exminons le critère de dominnce stochstique. Pour l première loterie : F 1 (t) = et F 2 (t) = 0 t < 0 1/2 0 t<4 1 4 t 0 t < 1 7/8 1 t<9 1 9 t = = 0 t < 0 1/2 0 t<1 1/2 1 t<4 1 4 t<9 1 9 t 0 t < 0 0 0 t<1 7/8 1 t<4 7/8 4 t<9 1 9 t et l on voit que les courbes se coupent en t =1. Donc on ne peut ps utiliser le critère de dominnce stochstique pour comprer ces deux loteries. Comprons mintennt les primes de risque excte et pprochées ssociées à ces loteries. Pour W 1 : et pour W 2 : on donc : u(e(w 1 ) π 1 ) = E(u(W 1 )) 2 2 π 1 =2 π 1 =1 u(e(w 2 ) π 2 ) = E(u(W 2 )) 2 2 π 2 = 10 4 π 2 = 7 16 =0,4375 π 1 > π 2. donc l prime de risque ssociée à W 1 est supérieure à celle de W 2. Ceci signifie que le décideur verse u risque est prêt à donner une prime de risque supérieure pour

63 l richesse qui présente l vrince l plus fible. Ceci implique que les primes de risque pprochées sont fusses. Le coefficient d Arrow-Prtt est égl à : donc : u (x) = x 1/2, u (x) = 1 2 x 3/2 A (x) = u (x) u (x) = 1 2x, A (E(W 1 )) = A (E(W 2 )) = A (2) = 1 4. Les primes de risque pprochées sont donc égles à : π 1 = V (W 1 ) 2 π 2 = V (W 2 ) 2 1 4 = 1 2 <1=π 1 1 4 = 7 8 > 7 16 = π 2 on sous-estime le risque de W 1 et on surestime le risque de W 2. De plus, l ordre est églement fux puisque l on trouve : π 2 >π 1. Il est clir que l pproximtion du risque pr l vrince n est ps du tout dptée à cette loterie. Le résultt sur les primes de risque pprochées suggère que l qulité de l pproximtion lisse à désirer. Considérons l pproximtion de l espérnce d utilité. Pour l fonction d utilité, on u voisinge d un point m : u(x)=u(m)+(x m)u (m)+ 1 2 (x m)2 u (m)+ + k=3 (x m) k k! d k u dx k (m), en prennt l espérnce mthémtique de cette expression u voisinge dem = E(W), on trouve : E(u(W)) = u(m)+ 1 2 E (W m) 2 u (m)+ et on note : on remrque que : + k=3 µ k E (W E(W)) k, µ 2 =V(W) E (W m) k 1 k! le moment centré d ordre k. Globlement : E(u(W)) = u(e(w))+ V (X) + u µ (m)+ k d k u 2 k! dx (m) k k=3 d k u dx (m) k donc, pour une loterie quelconque, c est-à-dire vec des µ k quelconques, l pproximtion n est bonne que dns les deux cs suivnts :

64 u (x) =0. Le cs neutre fce u risque, puisque l on E(u(W))=u(E(W)); u (x) constnte, uquel cs d k u/dx k = 0 k 3. Ceci correspond ux utilités qudrtiques, de type Mrkowitz. Dns tous les utres cs, l espérnce d utilité fit intervenir des moments d ordre supérieur ou égl à 3. Le moment centré d ordre 3 permet d exminer l symétrie d une distribution : µ 3 = 0 f W (t) = f W ( t). Le coefficient d symétrie de Fisher est défini pr : γ 1 = µ 3 si γ 1 >0l queue de distribution située à droite est plus prononcée que celle située à guche, et l inverse si γ 1 < 0, elle est étlée vers l guche. Exminons les moments centrés d ordre 3 de nos deux distributions : µ 3/2 2 µ 3 (W 1 ) = 1 2 (0 3)3 + 1 2 (4 2)3 = 0 µ 3 (W 2 ) = 7 8 (1 2)3 + 1 8 (9 2)3 = 42 les coefficient d symétrie de Fisher sont égux à : γ 1 (W 1 ) = 0 γ 1 (W 2 ) = 42 = 2,2678 >0 73/2 donc l distribution de W 2 présente une symétrie positive, ce qui correspond bien à l intuition donnée pr l loterie. Clculons mintennt l pproximtion d ordre 3 de l prime de risque. On : u(e(w) π ) u(m) π u (m) d où l églité u voisinge d un petit risque :, donc : et u(m)+ V (X) 2 u (m)+ µ 3 6 u (m) u(m) π u (m) V(X) u (m)+ µ 3 2 6 u (m) π u (m) π = V (X) 2 u (m) + µ 3 u (m) u (m) 6 u (m) u (x) = x 1/2, u (x)= 1 2 x 3/2, u (x) = 3 4 x 5/2

65 donc : et u point moyen : u (x) u (x) = 1 2x, u (x) u (x) = 3 4x 2 u (x) u (x) = 1 4, u (x) u (x) = 3 16 ce qui donne les primes de risque pprochées suivntes : π (W 1 )= 1 2, elle reste inchngée prce que l distribution est symétrique. Pr contre, pour W 2, il y un chngement : cette fois-ci, on bien : π (W 2 )= 7 2 1 4 42 6 3 16 = 7 16 = 0,48375, π (W 1 ) >π (W 2 ), mis l pproximtion reste muvise. Pour méliorer l pproximtion, il fudrit développer l pproximtion à un ordre supérieur. Cet exemple montre que l on ne peut ps toujours pproximer le risque pr l vrince. 5.6 Dominnce stochstique d ordre 2 5.2 Une richesse létoire W 1 de fonction de survie S 1 (t) domine stochstiquement à l ordre 2 u sens lrge une richesse létoire W 2 de fonction de survie S 2 (t) qund : ce que l on note : s S 1 (t)dt s W 1 S 2 W 2, l dominnce lieu u sens strict qund : s S 1 (t)dt s S 2 (t)dt, s et s : S 2 (t)dt, s s S 1 (t)dt > s S 2 (t), ce que l on note : W 1 S2 W 2. On peut écrire l même définition à prtir des fonctions de réprtition F 1 (t) et F 2 (t): s s W 1 W 2 F 1 (t) dt F 2 (t) dt, s S 2

66 et : W 1 S2 W 2 s F 1 (t) dt s F 2 (t) dt, s et s : s F 1 (t) dt < s F 2 (t). Cette fois-ci l surfce située sous l fonction de réprtition de l courbe dominnte est inférieure à celle de l utre courbe. 5.3 L dominnce stochstique à l ordre 1 implique l dominnce stochstique à l ordre 2 : W 1 W 2 W 1 W 2. S 1 S 2 Ceci vient du fit que : 5.4 donc S 1 (t) S 2 (t) 0, t d dx b(x) (x) b(x) (x) s (S 1 (t) S 2 (t)) dt 0. f (t)dt = F (b(x)) F ((x)) On déduit de l propriété précédente que : d ds s D utre prt, nous vons déjà vu que : f(t)dt = b (x)f(b(x)) (x)f(b(x)). (F 1 (t) F 2 (t)) dt = F 1 (s) F 2 (s). D = E(u(W 1 )) E(u(W 2 )) = = b u (t)(s 1 (t) S 2 (t)) dt b (S 1 (t) S 2 (t)) dt et cette fonction est de l forme u v, en intégrnt pr prties, on obtient : D = [u v] u v = u (s) = u (b) b s b b (S 1 (t) S 2 (t)) dt b s u (s) (S 1 (t) S 2 (t)) dt u () (S 1 (t) S 2 (t)) dt s u (s) (S 1 (t) S 2 (t)) dt ds 0 (S 1 (t) S 2 (t)) dt ds

67 5.5 E(W 1 ) E(W 2 ) = b t f 1 (t)dt b t f 2 (t)dt = b (S 1 (t) S 2 (t))dt Les deux intégrles sont de l forme uv, en intégrnt pr prties : b b E(W 1 ) E(W 2 ) = [tf 1 (t)] b F 1 (t) dt [tf 2 (t)] b + F 2 (t) dt = bf 1 (b) = = 1 b b F 1 () 0 (F 2 (t) F 1 (t)) dt (S 1 (t) S 2 (t)) dt bf 2 (b) 1 + F 2 () + 0 b (F 2 (t) F 1 (t)) dt On en déduit que l écrt des espérnces d utilité est égl à : b s D = u (b)(e(w 1 ) E(W 2 )) u (s) (S 1 (t) S 2 (t)) dt ds, pour pouvoir tirer des conclusion sur l bse des dérivées secondes il fut supposer l églité des espérnces, ce qui mène à l définition suivnte. 5.3 W 2 est un étlement de W 1 à moyenne constnte si : E(W 1 ) =E(W 2 ) et W 1 S 2 W 2, 5.6 Si W 2 est un étlement de W 1 à moyenne constnte : b s E(u(W 1 )) E(u(W 2 ))= u (s) (S 1 (t) S 2 (t))dt ds et comme : W 1 S 2 W 2 s (S 1 (t) S 2 (t))dt 0 s, l intégrle est du signe opposé à u. Donc si l gent est riscophobe : et si l gent est riscophile : E(u(W 1 )) E(u(W 2 )) E(u(W 1 )) E(u(W 2 )).

68 5.7 Si E(W 1 ) =E(W 2 ) et W 1 S 2 W 2, on : V(W 1 ) V(W 2 ). L propriété sur l vrince peut se démontrer de l mnière suivnte. On veut comprer : D = V(W 1 ) V(W 2 )=E W 2 1 E(W 1 ) 2 E W 2 2 E(W 2 ) 2, or E(W 1 ) =E(W 2 ), donc : D =E W 2 1 E W 2 2, et, en ppliqunt l propriété vec l fonction convexe (riscophile) u(t) = t 2, u (t)= 2 >0, on obtient : W 1 W 2 E W1 2 E W2 2 V(W 1 ) V(W 2 ). S 2 On en déduit le résumé suivnt. 5.8() 1. Si W 1 S 1 W 2 : tous les gents préfèrent W 1 à W 2 dès que u (t) > 0, et l on E(W 1 ) E(W 2 ). 2. Si W 1 S 2 W 2 :tous les gents riscophobes préfèrent W 1 à W 2 dès que u (t) > 0 et que E(W 1 ) = E(W 2 ), et l on V(W 1 ) V(W 2 ). Exemple 5.5 Voici un cs de dominnce stochstique d ordre 1 : 2 4 6 W 1 = 1/3 1/3 1/3 et W 2 = 1 2 4 6 1/4 1/4 1/4 1/4 les fonctions de réprtition peuvent s écrire : 0 si t < 1 0 si 1 t<2 F 1 (t) = 1/2 si 2 t<4 2/3 si 4 t<6 1 si 6 t

69 et et l on voit que : donc : F 2 (t) = 0 si t < 1 1/4 si 1 t<2 1/2 si 2 t<4 3/4 si 4 t<6 1 si 6 t F 1 (t) F 2 (t) et t : F 1 t < F2 t W 1 S1 W 2 et l on peut vérifier les propriétés sur les espérnces : E(W 1 ) = 12 3 =4 E(W 2 ) = 13 4 =3,25 cette dominnce stochstique implique que tous les gents dont les préférences sont représentbles pr une utilité espérée vérifint u (t) > 0 préfèrent W 1 à W 2. Cette propriété implique églement que : W 1 S 2 W 2, en effet : s 0 0 si 1 s<2 F 1 (t)dt= 2/3 si 2 t<4 2/3+4/3 si 4 s<6 = 0 si 1 s<2 2/3 si 2 t<4 2 si 4 s<6 pour obtenir ces chiffres, on définit l fonction entre 0 et 6. L surfce représentée entre 0 et 2 est nulle, celle représentée entre 2 et 4 est égle à : celle représentée entre 4 et 6 est égle à : 1 3 (2 4) = 2 3, 2 3 (6 4) = 4 3, et celle représentée entre 6 et 6 est nulle. Pour l deuxième richesse, on obtient vec l même méthode : s 1/2 si 1 s<2 1/2 si 1 s<2 F 2 (t)dt= 1/2+1 si 2 t<4 = 3/2 si 2 t<4 0 3/2+3/2 si 4 s<6 3 si 4 s<6

70 et on voit que l on : s F 1 (t)dt s F 2 (t)dt et s : s F 1 (t)dt < 0 0 0 0 s F 2 (t) dt donc W 1 S 2 W 2. Exemple 5.6 Voici un cs de dominnce stochstique d ordre 2 sns dominnce stochstique d ordre 1. On compre les deux loteries suivntes : 2 4 6 W 1 = 1/3 1/3 1/3 et W 2 = 1 3 5 7 1/6 1/3 1/3 1/6 L première propriété à vérifier est l églité des espérnces mthémtiques : et E(W 1 ) =4 E(W 2 ) = 24 6 = 4, on peut donc vérifier s il existe une dominnce stochstique d ordre 2. Les fonctions de réprtitions écrites pour une grille commune de vleurs sont égles à : F 1 (t) = 0 si t < 1 0 si 1 t<2 1/3 si 2 t<3 1/3 si 3 t<4 2/3 si 4 t<5 2/3 si 5 t<6 1 si 6 t<7 1 si 7 t et F 2 (t) = 0 si t < 1 1/6 si 1 t<2 1/6 si 2 t<3 1/2 si 3 t<4 1/2 si 4 t<5 5/6 si 5 t<6 5/6 si 6 t<7 1 si 7 t

71 On voit que ces fonctions de réprtition se coupent plusieurs fois donc il n y ps de dominnce stochstique à l ordre 1. Exminons l surfce sous les fonctions de réprtition. Comme tous les intervlles sont de longueur égle à 1, on peut cumuler directement les fonctions. De plus on peut enlever les vleurs inférieure à 1 ou supérieures à 7 cr les surfces sous les courbes sont les mêmes pour les deux fonctions de réprtition : 0 si 1 s<2 1/3 si 2 s<3 s 2/3 si 3 s<4 F 1 (t)dt = 0 4/3 si 4 s<5 2 si 5 s<6 3 si 6 s<7 et qui vérifie : s 0 F 2 (t)dt = 1/6 si 1 t<2 1/3 si 2 t<3 5/6 si 3 t<4 4/3 si 4 t<5 13/6 si 5 t<6 3 si 6 t<7 donc : s F 1 (t)dt s F 2 (t)dt et s : s F 1 (t)dt < 0 0 0 0 W 1 S2 W 2, s F 2 (t) dt et on peut vérifier l propriété sur les vrinces : V(W 1 ) = 1 3 (2 4)2 + 1 3 (4 4)2 + 1 3 (6 4)2 = 8 3 V(W 2 ) = 1 6 (1 4)2 + 1 3 (3 4)2 + 1 3 (5 4)2 + 1 6 (7 4)2 = 11 3 > V(W 1 )

72

CHAPITRE 6 Les choix de portefeuille Dns ce chpitre, on considère le problème de l investisseur qui doit choisir entre, d une prt, plcer son cpitl initil certin ω u tux r certin sur un produit de type livret ou, d utre prt, plcer son cpitl ω sur un plcement de rendement létoire Y de type ctions. Si l investisseur plçit tout son cpitl sur le livret, il obtiendrit une richesse certine égle à : W = ω(1+r), et s il le plçit intégrlement en ctions, il obtiendrit une richesse létoire : W = ω(1+y), dns le cs générl, un investisseur plcer une prt γ en ctions et1 γ sur le livret. On noter m = γω le montnt plcé sur le livret et = (1 γ)ω le montnt plcé en ctions, de sorte que : ω = m (1 γ)ω + Dns ce chpitre, on supposer que le montnt du cpitl à plcer ω est donné et que l on recherche juste l prt que l on plce en ctif risqué (donc en ctif non risqué). Plus générlement, on pourrit envisger le cs de S ctifs des prts γ s, s =1,...,S, telles que s γ s = 1. On commencer pr triter le cs S = 2, vec un ctif risqué et un ctif non risqué. L richesse du décideur près plcement peut se réécrire : que l on peut exprimer sous l forme : γω W = m(1+r)+(1+y) vec ω = m+ W = m+mr++y = m++mr+ Y = ω+ mr+y = ω 1+ m ω r+ ω Y 73.

74 or : = γω et m =(1 γ)ω, d où W = ω(1+(1 γ)r+ γy) = ω(1+r) vec : r = (1 γ)r+γy tout se psse donc comme si l investisseur recevit un rendement moyen égl à l moyenne pondérée des rendements des ctifs non risqué et risqué. Il s git du tux de rendement du portefeuille. On peut églement exprimer le rendement du portefeuille pr rpport u rendement certin : r = r γr+γy = r+ γ(y r), cette écriture rppelle que le risque de rendement Y r ne s pplique qu à une frction γ du portefeuille. Qund il rélise un plcement, l investisseur peut effectuer des chts et des ventes à découvert : Acht à découvert : l investisseur s endette pour cheter des ctions. Il peut s endetter jusqu à une cpcité de remboursement mximle que nous définirons plus loin. Vente à découvert : l investisseur vend des ctions à terme pour ugmenter son plcement sur le livret. Comme il ne possède ps les ctions, il devr les cheter à l échénce pour pouvoir les vendre. Ici encore, il fudr qu il vérifie une condition de solvbilité. Les chts et les ventes à découvert impliquent que l on n ps forcément 0 ω. Dns le modèle de bse que nous étudierons nous ferons l hypothèse simplifictrice que le tux d intérêt débiteur est égl u tux d intérêt créditeur. Ceci ne chnge rien ux résultts de bse, d où ce choix de simplifiction. Un décideur peut décider de s endetter pour plcer un cpitl plus élevé dns un ctif risqué. C est ce que font tous les créteurs d entreprises : ils s endettent pour investir dns un ctif risqué. Dns leur cs r est ce qu ils ggnent qund ils ne créent ps d entreprise et Y ce qu ils ggnent qund ils le font. Dns ce cs prticulier, il est possible que leur cpitl initil ω soit insuffisnt pour monter leur entreprise. Ils vont donc contcter plusieurs bnques qui vont évluer leur projet fin de compléter leur cpitl initil pr un emprunt. S ils fisient l même opértion

75 sur un mrché finncier ou sur des titres non cotés en chetnt les ctions d un utre entrepreneur, on prlerit de vente à découvert. On ne doit donc ps interpréter l vente à découvert comme étnt systémtiquement ssociée à l spécultion, même si cel existe ussi. Le montnt que l on peut emprunter à découvert est limité pr l cpcité de remboursement de l emprunteur. On pose que le montnt investi en ctions est borné et l on note ses bornes de l mnière suivnte :, de même, on dmet que le rendement des ctions est borné de l mnière suivnte : Y y,y. Nous llons utiliser l expression de l richesse létoire en fonction du montnt plcé en ctif risqué : W () = m(1+r)+(1+y) = (ω )(1+r)+(1+Y) = ω(1+r)+(y r), l cpcité de remboursement du décideur est définie comme l richesse qui est obtenue sous les conditions les plus défvorbles du mrché. Ces conditions sont remplies qund le rendement des ctions est le plus fible possible Y = y. Le montnt mximl que le décideur peut plcer en ctif risqué vérifie donc : si l on dmet que : on l inéglité : ω(1+r)+ y r 0, ω y < r < y, 1+r, r y ce montnt mximl est croissnt vec l richesse certine, vec le rendement minimum de l ctif risqué et décroissnt vec le rendement de l ctif certin (si y > 1). Le décideur peut donc plcer u mximum : 1+r = ω. r y On remrque qu il peut plcer plus que s richesse de déprt puisque : 1+r ω = ω r y 1 1+y = ω >0 si y > 1. r y

76 cette condition signifie que l investisseur ne peut ps perdre plus que l prt risquée du cpitl, ce qui correspond bien u mrché des ctions. En cs de défillnce de l entreprise, l investisseur n est responsble qu à l huteur des fonds investis, ps à l huteur des dettes de l entreprise. Inversement, l investisseur peut fire une vente à découvert : il vend ujourd hui, à un prix fixé ujourd hui, un ctif qu il ne possède ps, à une dte ultérieure. qund l vente rrive à mturité, l investisseur chète le titre u comptnt et le livre à l cheteur. Si le prix cournt est inférieur u prix à terme, l investisseur fit un gin, sinon il fit une perte. Ce comportement n de sens que si l investisseur nticipe une bisse des cours. Dns cette optique, l investisseur peut souhiter plcer plus que ω en ctif certin. Pour cel, il vend des ctions à terme et empoche l rgent ujourd hui, près quoi il plce le montnt en ctif certin. Arrivé u terme, il chète les ctions vec le produit de son plcement certin, et les livre à l cheteur. L cpcité de vente à découvert est limitée pr l cpcité d cht de l investisseur. On retient le cs le plus défvorble : qund le cours des ctions est le plus élevé possible Y = y. L contrinte de solvbilité est donc : ω(1+r)+(y r) 0, on en déduit (vec y r y) : ω on prend donc comme borne inférieure : = ω 1+r, y r 1+r <0 y r cette borne inférieure est négtive, ce qui correspond à une vente à découvert. Globlement, nous devrons définir l richesse comme : W () = ω(1+r)+(y r) vec, <0, > ω les bornes grntissent que les chts et les ventes à découverts sont solvbles. Ce point de déprt permet d exminer les cs de dominnce stochstique.

77 6.1 Les cs de dominnce stochstique Pour étudier les cs de dominnce stochstique, il fut déterminer l fonction de réprtition de l richesse. Soit : W ()=ω(1+r)+(y r), on peut déduire l fonction de réprtition de W de celle de Y. Soit F Y l fonction de réprtition de Y et F celle de W. On note l fonction de réprtition F prce que deux richesses différentes se crctérisent pr deux vleurs différentes de pour un même type de plcement. On doit distinguer trois cs : 1. > 0 : F (t) = Pr[W () < t] = Pr[ω(1+r)+(Y r) < t] = Pr Y < r+ t ω(1+r) = F Y r+ t ω(1+r). 2. = 0. Il s git du cs où l richesse n est ps létoire : 3. < 0 : F (t) = Pr[W () < t] = Pr[ω(1+r) < t] 0 t ω(1+r) = 1 t > ω(1+r) F (t) = Pr[W () < t] = Pr[ω(1+r)+(Y r) < t] = 1 F Y r+ t ω(1+r). 6.1 Si le rendement de l ctif risqué n est ps borné, les fonctions de réprtitions des richesses se croisent et il n existe ps de reltion de dominnce stochstique. Considérons deux richesses crctérisées pr deux montnts plcés en ctif risqué = α et = β. On distingue trois cs possibles. 1. 0 < α < β. Dns ce cs, les fonctions de réprtitions sont égles à : F α (t) = F Y r+ t ω(1+r) α et F β (t)=f Y r+ t ω(1+r) β,

78 on voit que : F α (t) < F β (t) F Y r+ t ω(1+r) α < F Y r+ t ω(1+r) < r+ t ω(1+r) α β (β α)t <(β α)ω(1+r), et β α >0, ce qui implique : de l même mnière, on montre que : t < ω(1+r), F α (t) = F β (t) t=ω(1+r) F α (t) > G (t) t>ω(1+r), r+ t ω(1+r) β donc les fonctions de réprtition se croisent en t = ω(1+r). Ici F β est d bord u dessus de F α, puis l inverse. 2. α < β < 0, on : F α (t) < F β (t) 1 F Y r+ t ω(1+r) α et β α >0 donc : F Y r+ t ω(1+r) α (β α)t > (β α)ω(1+r), < 1 F Y r+ t ω(1+r) β > F Y r+ t ω(1+r) β t > ω(1+r), et de l même mnière, on montre que : F α (t) = F β (t) t=ω(1+r) F α (t) > G (t) t<ω(1+r), de sorte que les courbes se croisent en t = ω(1+r). Ici F α est d bord u dessus de F β, puis l inverse. 3. α < 0 < β. Ici l comprison directe des fonctions de réprtition est moins prtique puisque l on inéglité : F α (t) < F β (t) 1 F Y r+ t ω(1+r) < F Y r+ t ω(1+r), α β

79 nous llons donc utiliser un cs intermédiire α β qui implique que α = β = 0 : 0 si t < ω(1+r) F 0 (t) = 1 si t ω(1+r) on voit que pr définition : F 0 (t) < min(f α (t),f β (t)) si t < ω(1+r) F 0 (t) > mx(f α (t),f β (t)) si t > ω(1+r) Si α 0, l courbe F 0 (t) coupe l courbe F α (t) cr F 0 (t) < F α (t) si t < ω(1+r) et F 0 (t) > F α (t) si t > ω(1+r). De même si β 0, F 0 (t) coupe l courbe F β (t). Donc α < 0 ne domine ps β = 0 et β > 0 ne domine ps α =0. De plus, on voit qu u voisinge de t = ω(1+r), F α (t)=1 F Y (r) et F β (t) = F Y (r), et qu il n y ps d ordre entre ces deux quntités dns le cs générl. 6.2 Si lerendement de l ctif risqué est borné, Y y,y, il existedeux cs de dominnce stochstique : 1. Si y< y < r, l richesse obtenue vec = domine stochstiquement toutes les utres à l ordre 1. Un gent riscophile peut donc décider de ne rien investir en bourse, et de vendre des ctions à découvert pour ugmenter son plcement sur livret. 2. Si r < y < y, l richesse obtenue vec = domine stochstiquement toutes les utres à l ordre 1. Un gent riscophobe peut donc décider de tout investir en bourse, et d cheter des ctions à découvert pour ugmenter son plcement en bourse. Preuve 1. Pour démontrer l première propriété, il suffit de comprer directement les richesses W () vec > quelconque et W (), on : W () W () = ω(1+r)+(y r) (ω(1+r)+(y r)) cr > et Y y < r. Or : = ( )(Y r) >0 W () > W () Pr[W () t] > Pr[W () t], t On urit églement pu utiliser : W () > W () u(w ()) > u(w ()) E(u(W ())) > E(u(W ())).

80 Preuve2. On utilise l même méthode : et comme on < et Y y > r : W () W () =( )(Y r), W () W () > 0, dont on déduit que Pr[W () t] > Pr[W () t], t, et que E(u(W ())) > E(u(W ())). L propriété précédente plusieurs implictions : Si y < r, personne n investi dns le plcement risqué, cr le gin mximl possible doit être u moins égl à celui du plcement sns risque; Si y > r, personne n investi dns l ctif certin, cr il fut qu il rpporte u moins le rendement minimum de l ctif risqué; Ainsi, l existence simultnée d un mrché de l ctif risqué et de l ctif non risqué implique que le rendement de l ctif certin doit être compris entre les bornes des rendements de l ctif risqué : y < r < y 6.3 Silerendementdel ctifcertinestéglàl espérncederendement de l ctif incertin, E(Y) = r, l richesse certine domine l richesse risquée stochstiquement à l ordre 2. Tous les gents riscophobes préférent donc ne ps investir dns l ctif risqué. Preuve. L fonction de survie de l richesse, pour =0, est donnée pr : 1 si t ω(1+r) S 0 (t)= 0 si t > ω(1+r) et pour > 0 : S (t) =1 F Y r+ t ω(1+r). Deux cs se présentent. Soit s ω(1+r), lors S 0 (t) =1, ce qui implique : s s (S 0 (t) S (t)) dt = F Y r+ t ω(1+r) dt > 0, soit s > ω(1+r) ce qui implique :

81 s (S 0 (t) S (t)) dt = et d utre prt : et ce qui implique : = = E(W ()) = ω(1+r) ω(1+r) s ω(1+r) s (S 0 (t) S (t)) dt+ s F Y r+ t ω(1+r) ω(1+r) dt 1 F Y r+ t ω(1+r) F Y r+ t ω(1+r) E(W ()) = ω(1+r) cr E(Y) = r 0 = + = 0 = (S (t) 1) dt+ 0 ω(1+r)= 0 (S 0 (t) S (t))(6.1) dt dt (6.2) dt (s ω(1+r)) S (t) dt F Y r+ t ω(1+r) dt 1 F Y r+ t ω(1+r) F Y r+ t ω(1+r) dt+ F Y r+ t ω(1+r) dt, F Y r+ t ω(1+r) dt, en reportnt dns l églité (6.1), on obtient : s s (S 0 (t) S (t)) dt = F Y r+ t ω(1+r) s + = = = s s s dt dt 0 dt F Y r+ t ω(1+r) F Y r+ t ω(1+r) F Y r+ t ω(1+r) 1 F Y r+ t ω(1+r) dt dt+ s dt+ dt s dt >0.

82 donc : W (0) S2 W () si E(Y) = r, et cette propriété implique que tous les gents riscophobes préfèrent W (0) à W (). Ce résultt est églement vlble si E(Y) < r, ce que l on démontre à prtir de l preuve précédente vec l contrintee(w ()) < ω(1+r) et le même risonnement. Dns le cs où E(Y) > r, il n y ps de dominnce à l ordre 2. Dns les sections suivntes, nous llons voir que les comportements de diversifiction ne peuvent être que le fit des gents riscophobes. Nous llons d bord montrer que les gents neutres et riscophile ne diversifient ps leurs portefeuilles de mnière systémtique. 6.2 Choix d un décideur neutre Dns cette section, nous llons voir que les gents neutres fce u risque ne diversifient ps leur portefeuille. Leurs préférences peuvent être représentés pr l espérnce mthémtique de l richesse, à une trnsformtion ffine croissnte près. Nous vons donc : U() =E(W ()) = ω(1+r)+(e(y) r), et le décideur doit résoudre le progrmme : = rg mx U(), comme l fonction objectif est ffine, l solution dépend du signe de l pente, égle à E(Y) r. Nous vons donc trois cs possibles : 1. E(Y) r < 0, l fonction d utilité est décroissnte en, donc = = ω(1+r) y r <0, l gent neutre effectue une vente à découvert qund le rendement moyen des ctions est inférieur à celui du livret; 2. E(Y) r = 0, l fonction d utilité ne dépend plus de, donc l solution est un intervlle : [,] = ω(1+r), ω(1+r), y r r y on ne peut ps déterminer précisément le choix de portefeuille de l gent;

83 3. E(Y) r > 0, l fonction d utilté est croissnte en, donc : = = ω(1+r) r y > ω, l gent neutre effectue un cht à découvert qund le rendement moyen des ctions est supérieur à celui du livret. Globlement, un gent neutre urit un comportement de "tout ou rien", qui ne correspond ps u comportement mjoritire observé dns l prtique. On observe que : les ménges diversifient leurs plcements; les chngements ne sont ps ussi brutux qund les tux de rendement se modifient. On peut donc éliminer le critère d espérnce mthémtique pour rendre compte de l rélité. 6.3 Choix d un décideur riscophile Nous llons voir que les décideurs riscophiles ne sont ps non plus représenttifs de l rélité. Nous supposerons dns cette section que le décideur dmet une fonction d utilité convexe. Ses préférences sont représentées pr : U ()=E(u(ω(1+r)+(Y r))), vec u (t) > 0 et u (t) > 0. Pr l suite, nous supposerons que l on peut dériver sous l intégrle. Ici, l vrible d intégrtion ser le rendement du plcement et les bornes du rendement sont constnte Y y,y. On ur donc des intégrles du type suivnt : E(u(W))= y y u(ω(1+r)+(y r))f Y (y) dy, et l on supposer que l on peut dériver pr rpport à. Dns l mesure ou n intervient ni comme vrible d intégrtion, ni dns les bornes de l intégrle, nous pourrons prendre l intégrle de l dérivée pr rpport à. Clculons les dérivées de l espérnce d utilité : et du d () = E[(Y r)u (ω(1+r)+(y r))], d 2 U d 2 () = E (Y r) 2 u (ω(1+r)+(y r)) > 0

84 cr : (Y r) 2 > 0 y y,y, y= r u (w) > 0 w, pr hypothèse, l condition du premier ordre donnerit donc ici unminimum. Il ne fut donc ps l utiliser pour trouver. Comme l espérnce d utilité est convexe en, nous urons toujours une solution en coin située soit en soit en, ou une solution sous forme d intervlle. On distingue les trois cs suivnts : 1. = qund : U () > U () E(u(ω(1+r)+(Y r))) >E(u(ω(1+r)+(Y r))), dns ce cs le riscophile vend à découvert; 2. [,] qund : U () = U () E(u(ω(1+r)+(Y r))) =E(u(ω(1+r)+(Y r))), l solution est indéterminée; 3. = qund : U () < U () E(u(ω(1+r)+(Y r))) <E(u(ω(1+r)+(Y r))), le riscophile chète à découvert; Globlement, on retrouve le même type de comportement qu vec un gent neutre fce u risque. Exemple 6.1 (Fonction de Mrkowitz) On peut étudier ce cs plus en détils vec une fonction d utilité de Mrkowitz : U() = E(W ()) kv(w ()), k < 0, on : et d où : E(W ()) = ω(1+r)+(e(y) r) V(W ()) = 2 V(Y), U() = ω(1+r)+(e(y) r) k 2 V(Y).

85 On vérifie que : et On donc : U () = E(Y) r 2kV(Y) U () = 2kV(Y) > 0. U () = ω(1+r)+(e(y) r) k 2 V(Y), U () = ω(1+r)+(e(y) r) k 2 V(Y), ce qui implique : On ur donc = qund : U() U() =( )(E(Y) r k(+)v(y)). E(Y) r (+)kv(y) < 0 E(Y) < r+ k(+)v(y), <0 qund le rendement risqué est inférieur u rendement sns risque, l gent riscophile vend des ctions à découvert. Il le fer d utnt plus que son goût pour le risque k est fort. On retrouve le cs d indétermintion qund : E(Y) = r+ k(+)v(y), et le cs d chts à découvert qund le rendement de l ctif risqué est élevé : E(Y) > r+ k(+)v(y), ici encore l enggement interviendr pour des tux d utnt plus fibles que le goût pour le risque est fort. Notons églement que l on retrouve le cs du décideur neutre fce u risque pour k = 0,desortequ entrelneutrlitéetlriscophilie,lecomportementdebsedetype "toutourien"estsimilire,seulleseuildedéclenchementchnge(r+k(+)v(y) u lieu de r). 6.4 Choix d un décideur riscophobe L fonction d utilité est mintennt concve pr rpport u montnt d ctif risqué. On peut donc utiliser l condition du premier ordre. Plus précisément : d 2 U d 2 ()= E (Y r) 2 u (ω(1+r)+(y r)) < 0, cr u (w) < 0. On définit donc un montnt solution de l condition du premier ordre : U ()=0 E[(Y r)u (ω(1+r)+(y r))] = 0

86 et l solution est donnée pr : si < = si si > on observe un comportement de diversifiction des ctifs puisque peut prendre, de mnière déterminée, toutes les vleurs entre et. Dns le cs générl, il est possible de se prononcer sur le signe de. En effet, u point = 0, l utilité mrginle de l investissement risqué est égle à : et l on voit que : U (0) = E((Y r)u (ω(1+r))) = (E(Y) r)u (ω(1+r)) U (0) > = < 0 si E(Y) comme l fonction est concve, cette informtion suffit à déterminer le signe de en fonction du signe de E(Y) r. Une fonction concve est croissnte vnt son mximum et décroissnte près. Si U (0) > 0, le mximum est donc situé à une vleur strictement positive de, si U (0) < 0, le mximum est situé à une vleur strictement négtive de, et si U (0) = 0, on forcément = 0 cr < 0 et >0. On en déduit que, pour toute fonction d utilité concve : > = < r > = < 0 si E(Y) > = < r On retrouve donc deux propriétés intéressntes : 1. Le cs de dominnce stochstique d ordre 2 : si E(Y)=r, tous les riscophobes (u <0) choisissent de ne ps investir dns l ctif risqué =0; 2. Si E(Y) < r, les décideurs riscophobes vendent des ctions à découvert pour ugmenter leur plcement dns l ctif certin. Ils cceptent donc de prendre le risque ssocié à cette opértion. Exemple 6.2 (fonction de Mrkowitz) L fonction d utilité est donnée pr : les dérivées sont égles à : U() = E(W ()) kv(y), k > 0 = ω(1+r)+(e(y) r) k 2 V(Y) U () = E(Y) r 2kV(Y) U () = 2kV(Y) < 0,

87 l condition du premier ordre fournit : U () = 0 E(Y) r 2kV(Y) =0 = E (Y) r 2kV(Y) on peut églement écrire cette reltion d une utre mnière en se souvennt que ce type de fonction d utilité peut être obtenue pr une fonction CARA u(x) = exp( αx)vecunerichessedistribuéeselonuneloi normle.dns cecs k = α/2 et l on obtient : = E (Y) r (6.3) αv(y) où α est l indice d version bsolue pour le risque d Arrow-Prtt. Il nous reste à déterminer les deux solutions en coin. Pour l première =, l condition est : < E (Y) r < αv(y) E(Y) < r+ αv(y), et en remplçnt pr s vleur ω(1+r)/(y r): E(Y) < r αω(1+r) V(Y), y r si le rendement de l ctif risqué est fible pr rpport u rendement de l ctif certin, le décideur riscophobe vend des ctions à découvert. Pour l deuxième solution en coin =, l condition est : > E (Y) r > αv(y) E(Y) > r+ αv(y), et en remplçnt pr s vleur ω(1+r)/ r y : E(Y) > r+ αω(1+r) V(Y), r y si le rendement de l ctif risqué est élevé pr rpport à celui de l ctif certin, le décideur riscophobe chète des ctions à découvert. L solution intérieure s interpréte directement. Si : r αω(1+r) V(Y) y r E(Y) r+ αω(1+r) V(Y), r y

88 = E (Y) r αv(y), le décideur riscophobe n investit dns l ctif risqué que si son rendement moyen est supérieur à celui de l ctif certin. Son investissement est décroissnt vec son version fce u risque α et vec l vrince du rendement de l ctif incertin V(Y). Revenons mintennt u cs générl d un décideur riscophobe, et exminons comment il est possible de crctériser l solution d un choix de portefeuille. Pour cel, prtons de l définition de l prime de risque : donc mx u(e(w ()) π())=e(u(w ())), u(e(w ()) π()) mxe(u(w ())), et comme u est strictement croissnte, ceci est équivlent à : mxe(w ()) π(), l utilité est mximle qund l écrt entre l espérnce d utilité de l richesse et l prime de risque est mximle : à espérnce donnée, le riscophobe préfère le plcement dont l prime de risque est l plus fible une vrition de ugmente l utilité si elle ugmente plus fortement l espérnce de l richesse que l vleur de l prime de risque. Cette nouvelle expression de l mximistion de l espérnce d utilité permet églement de réécrire l condition du premier ordre. L dérivée est donnée pr : de sorte qu à l optimum : U () = d d ( E(W ()) π()) = d d ( E(W ())) π (), d d ( E(W ( ))) = π ( ), le terme de guche représente le gin mrginl d un Euro de risque supplémentire, et le terme de droite le coût mrginl du risque. Cette condition peut s interpréter comme une reltion d rbitrge. Supposons que d d ( E(W ())) < π () : ce que rpporte un Euro de risque supplémentire est inférieur à l prime de risque, on donc d intérêt à réduire le montnt plcé en ctif risqué; inversement si ( d E(W ())) > π (), un Euro de risque supplémentire rpporte plus que l prime de risque, on donc intérêt à ugmenter le montnt plcé en ctif risqué.

89 Exemple 6.3 (utilité de Mrkowitz) Reprenons l exemple d une utilité à l Mrkowitz et clculons l prime de risque ssociée. On dispose d une fonction d utilité : u(x) = exp( αx), donc l prime de risque π() est définie pr : soit encore : u(e(w ()) π()) = E(u(W ())) u(ω(1+r)+(e(y) r) π()) =E(u(ω(1+r)+(E(Y) r))) en remplçnt : exp( α(ω(1+r)+(e(y) r) π())) = E[exp( α(ω(1+r)+(y r)))], on peut sortir le terme certin exp( α(ω(1+r))) de l espérnce et le simplifier, de sorte qu il reste : exp( α((e(y) r) π()))=e[exp( α(y r))], on peut procéder de même pour le terme en exp(αr), ce qui donne : exp( α(e(y) π())) = E[exp( αy)] (6.4) exp( αe(y))exp(απ())=e[exp( αy)], rrivés à ce stde on utilise le fit que Y suit une loi normle de moyenne m et de vrince σ 2, de sorte que : E(Y) = m Y, V(Y)=σ 2 Y E(exp(Y)) = exp m Y + σ2 Y, 2 ce qui implique que αy suit une loi normle de moments : E( αy) = αm Y, V( αy) = α 2 2 σ 2 Y, donc que exp( αy) suit une loi normle d espérnce : E(exp( αy))=exp en reportnt dns l reltion (6.4) on obtient : exp( αm Y )exp(απ()) =exp αm Y + 1 2 α2 2 σ 2 Y, αm Y + 1 2 α2 2 σ 2 Y,

90 en simplifint le terme en exp( αm Y ), l églité devient : 1 exp(απ()) =exp 2 α2 2 σ 2 Y, d où π() = α 2 2 σ 2 Y, l prime de risque est croissnte vec l version reltive pour le risque α, l vrince du rendement du plcement risqué et le montnt investi dns le plcement risqué. D utre prt, le rendement mrginl du risque est égl à : et l prime de risque mrginle à : E(W ()) = ω(1+r)+(m Y r) d d E (W ())=m Y r π ()=ασ 2 Y, (6.5) d où le montnt investi qund l solution intérieure s pplique : ce qui correspond bien à l expression (6.3) m Y r = α σ 2 Y = m Y r, ασ 2 Y Revenons u cs générl, l condition du premier ordre s écrit, en tennt compte du fit que W = W ( ) est létoire : d d E (u(w ( ))) = 0 E((Y r)u (W ))=0 E(u (W )Y) re(u (W ))=0 et : donc : E(u (W )Y) = Cov(u (W ),Y)+E(u (W ))E(Y), ce qui est équivlent à : Cov(u (W ),Y)+E(u (W ))E(Y) re(u (W )) = 0 Cov(u (W ),Y)+E(u (W ))(E(Y) r) = 0 E(Y) r = Cov(u (W ),Y), E(u (W ))

91 et comme le terme de guche est égl à : d d E (W ()), on obtient : π ( ) = Cov(u (W ),Y). E(u (W )) Le membre de droite est le coût mrginl du risque prix à l optimum : c m ( ) = Cov(u (W ( )),Y) E(u (W ( ))) Exemple 6.4 (fonction de Mrkowitz) L utilité se réécrit : U(W) = E(W) α 2 V (W) = EW α 2 E (W E(W)) 2 = E W α 2 (W E(W)) 2 = E(u(W)) vec : u(x) = x α 2 (x c)2 où c =E(W) est une constnte. On en déduit que : u (x) =1 α(x c), d où : or : Cov(u (W ),Y) =Cov(1 α(w E(W )),Y) W E(W ) = (Y E(Y)) ce qui implique : 1 Cov(u (W ),Y) = Cov(1 α (Y E(Y)),Y) = α Cov(Y,Y) = α σ 2 Y Cette covrince est négtive. Qund le rendement ugmente, l richesse ugmente et l utilité mrginle de l richesse diminue. D utre prt : E(u (W )) = E(1 α(w E(W ))) = 1, 1 Rppel : Cov( 1 + 2 X,b 1 +b 2 Y)= 2 b 2 Cov(X,Y).

92 on retrouve donc l reltion : Cov(u (W ( )),Y) E(u (W ( ))) = α σ 2 Y = π ( ), ce qui correspond bien à l éqution (6.5). A l optimum le coût mrginl du risque est égl à l prime de risque : π ( ) = c m ( ), ces deux fonctions sont ussi égles en =0. A l optimum, tous les décideurs ont l même prime mrginle de risque, ce sont les montnts investis qui sont différents. Comme on : E(Y) r = π ( ), on peut écrire : E(Y)=r+ π ( ), le rendement de l ctif risqué se décompose entre le rendement de l ctif certin et une prime mrginle de risque. Il nous reste à exminer comment vrie vec l richesse certine ω, dns le cs générl. L condition du premier ordre s écrit : ce que l on peut écrire : E(u (ω(1+r)+ (Y r))(y r)) =0, H(,ω,r,F Y ) = 0, (6.6) où F Y est l fonction de réprtition de Y. A prtir de cette fonction de réprtition, on peut clculer : E(Y) = E(W (Y)) = y y y y ydf Y (y) = y y W (y) df Y (y) = y f Y (y) dy y y W (y) f Y (y) dy, et nous recherchons l effet toutes choses égles pr illeurs de ω. On suppose donc que r et F Y sont constnts. En effectunt le développement limité de l reltion (6.6), on obtient : dh = H + H d ω dω, or, à l optimum H =0 dh =0, donc : H d dω = ω H

93 vec : donc : H(,ω,r,F Y ) = E (u(w ( ))) H = E [u (ω(1+r)+ (Y r))(y r)] = E u (W )(Y r) 2, et pour un riscophobe u (W ) <0 donc : H <0, insi d /dω est de même signe que H/ ω. Exminons cette dérivée : H ω = ω E [u (ω(1+r)+ (Y r))(y r)] (6.7) = (1+r)E[u (W )(Y r)], pour un gent riscophobe u < 0 mis Y r peut prendre n importe quel signe. Il v nous flloir exminer trois cs : 1. Aversion bsolue pour le risque constnte vec l richesse. Correspond ux utilités CARA. Pr hypothèse : A (x)= u (x) u (x) = α, ce que l on réécrit : en reportnt dns (6.7) : u (W)= αu (W), et en : H ω = (1+r) E[ αu (W )(Y r)] = α(1+r)e[u (W )(Y r)] E[u (W )(Y r)] = 0, on en déduit que : H d =0 ω dω = 0, le montnt investi dns l ctif risqué est indépendnt de l richesse. Si l on veut étudier les effets de l richesse ω sur les choix de portefeuille, il ne fut donc ps utiliser de fonction CARA.

94 2. Aversion bsolue pour le risque décroissnte vec l richesse. Ce cs correspond notmment ux utilités CRRA. Pr hypothèse : A (x) = u (x) u (x) >0 est décroissnte vec x, pr exemple pour une utilité CRRA de type u(x) = x α /α, on ur : A (x) = 1 α x, c est un des cs prticulier possibles de l hypothèse de déprt. En utilisnt : u (x) = A (x)u (x), on obtient : H ω = (1+r) E[ A (W )u (W )(Y r)] (6.8) = (1+r)E[A (W )u (W )(r Y)] vec A (W ) > 0 et u (W ) >0 le terme situé à l intérieur de l espérnce ser donc positif si Y < r, nul si Y = r et négtif si Y > r. D utre prt : E[u (W )(Y r)] = 0, pr rpport à ce cs, l condition (6.8) modifie l pondértion de l espérnce pr rpport à F Y. Elle donne une pondértion élevée qund W est fible et une pondértion fible qund W est élevée. Or W prend une vleur fible qund > 0 et Y r < 0. Dns ce cs, A (W )u (W )(r Y) est positif. On en déduit que : > 0 d dω > 0, De plus, W prend une vleur fible dns le cs symétrique où < 0 et Y r > 0. Dns ce cs, A (W )u (W )(r Y) est négtif. On en déduit que : < 0 d dω < 0, ce que l on peut résumer pr : d dω > 0, l vleur bsolue du plcement en ctif risqué est croissnte vec l richesse initile.

95 3. Aversion bsolue pour le risque croissnte vec l richesse. Ce cs correspond notmment ux utilités qudrtiques. Pr hypothèse : A (x) = u (x) u (x) > 0 est croissnte vec x, pr exemple pour une utilité qudrtique x β u(x)= 2 x2 si x 1/β 1/(2β) si x > 1/β on ur : A (x) = βx 1 βx qui est croissnte en x. Ce cs est le symétrique du précédent, on ur donc : d dω < 0, l vleur bsolue du plcement en ctif risqué est décroissnte vec l richesse initile.