Mathématiques pour PC 2 Cours L1 PC

Mathématiques pour PC 2 Cours L1 PC Andrei Teleman CMI, Université de Provence, 39 Rue Frédéric Joliot-Curie, 13453 Marseille, Cedex 13 14 mars 2011 1 Isométries planes 1.1 La structure d espace vectoriel euclidien de R 2. Répères dans R 2. L espace R 2 := R R := {( x1 x 2 ) } x i R peut être muni de deux opérations fondamentales : l addition ( ) ( ) ( ) x1 y1 x1 + y + := 1, x 2 y 2 x 2 + y 2 qui une loi de composition interne (donc une application R 2 R 2 R 2 ), et la multiplication par les scalaires ( ) ( ) x1 λx1 λ :=, x 2 λx 2 qui est une application R R 2 R 2, donc une loi de composition externe. L espace R 2 muni de ces deux opérations s apelle le plan vectoriel réel standard (ou l espace vectoriel réel bidimensionnel standard). Quand R 2 est regardé comme plan vectoriel, ses éléments seront appelés vecteurs, et seront désignés par x, y, v, w...(ou( plus) simplément par x, y, v, x1 w. On va noter par x (ou simplément x) la paire. Le vecteur nul 0 R 2 := ( ) 0 0 x 2 1

est (l unique) élément neutre pour l addition, et sera désigné souvent par 0 pour simplifier les notations. Pourtant il ne faut pas le confondre avec le scalaire 0 R. Définition 1.1 Deux vecteurs v, w R 2 sont dit linéairement dépendants (où colinéaires) s il existe une paire (λ, µ) R 2 \ {0 R 2} telle que λv + µw = 0. Une expression de la forme λv + µw s appelle combinaison linéaire des vecteurs v et w, et les scalaires λ et µ s appelle les coefficients de la combinaison. La combinaison linéaire 0v +0w (donc la combinaison de coefficients λ = µ = 0) s appelle la combinaison linéaire triviale. Avec cette terminologie on voit que v et w sont linéairement dépendants (colinéaires) s il existe une combinaison linéaire non-triviale de v et w qui vaut 0 R 2. Proposition 1.2 Pour deux vecteurs v, w R 2 les conditions suivantes sont équivalentes : 1. v et w sont linéairement dépendants (colinéaires). 2. Soit il existe α R tel que v = αw, soit il existe β R tel que w = βv. 3. v 1 w 2 v 2 w 1 = 0 Démonstration: Exercice. Avec les deux vecteurs v = ( v1 v 2 ), w = ( w1 carrée de taille 2, à savoir la matrice v 2 w 2 ( v1 w 1 ) dont les colonnes sont v et w. En général w 2 ) on peut former une matrice Définition 1.3 Une matrice réelle avec m lignes et n-colonnes (ou de type (m, n)) est un tableau de la forme a 11 a 12... a 1n A = (a ij ) 1 i m = a 21 a 22... a 2n............ avec a ij R. 1 j n a m1 a m2... a mn Si n = m, une tel tableau s appelle matrice carrée de taille n. La matrice transposée A T d une matrice A de type (m, n) est la matrice de type (m, n) obtenue en remplaçant les lignes de A par ses colonnes, donc est la matrice dont l élément sur la ligne i et la colonne j est donné par a T ij := a ji. L ensemble des matrices de type fixe (m, n) peut être muni facilement de deux opérations, à savoir l addition et la multiplication par les scalaires. Comment? La matrice nulle 0 m,n de type (m, n) (la matrice de type (m, n) dont tous les éléments sont 0) est élément neutre pour l addition des matrices de ce type. 2

Définition 1.4 Le( déterminant) d une matrice carrée de taille 2 (d une matrice a11 a de type (2,2)) A = 12 est défini par la formule a 21 a 22 Les 2 vecteurs det A = a 11 a 12 a 21 a 22 := a 11a 22 a 12 a 21. e 1 := ( ) 1, e 0 2 := ( ) 0 1 s appellent les vecteurs de la base canonique. Notons que tout vecteur x R 2 se décompose comme x = x 1 e 1 + x 2 e 2 = 2 x i e i. En tenant compte de la proposition ci-dessus on constate que i=1 Corollaire 1.5 Deux vecteurs v, w R 2 sont linéairement dépendants (colinéaires) si et seulement si on a (v, w) = 0, où (v, w) désigne le déterminant de la matrice carrée dont les colonnes sont v et w. Par négation, on obtient Définition 1.6 Deux vecteurs v, w R 2 sont linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire de v et w qui vaut 0 R 2 est la combinaison linéaire triviale. Donc v, w R 2 sont linéairement indépendants si pour toute paire de scalaires (λ, µ) R 2, on a l implication λv + µw = 0 λ = µ = 0 Corollaire 1.7 Deux vecteurs v, w R 2 sont linéairement indépendants si et seulement si (v, w) 0. Proposition 1.8 Soit v, w deux vecteurs linéairement indépendants. Pour tout vecteur x R 2 il existe une unique paire (α, β) R 2 telle que x = αv + βw. Cette paire est donnée par les formules de Cramer : α = (x, w) (v, w), β = (v, x) (v, w). 3

Démonstration: La condition vectorielle x = αv + βw est équivalente au système de deux équations scalaires à deux inconnues suivant : { αv1 + βw 1 = x 1 αv 2 + βw 2 = x 2 La première inconnue α peut être calculée facilement en multipliant la première équation par w 2 et la deuxième par w 1. Pour calculer β il suffit de multiplier la première équation par v 2 et la deuxième par v 1. Donc, d après la proposition ci-dessus, si v, w sont linéairement indépendants, tout vecteur x R 2 se décompose de manière unique comme combinaison linéaire de v et w. Les coefficients α, β de cette combinaison linéaire s appellent les coordonnées de x par rapport au repère (à la base) (v, w). Une paire (v, w) de vecteurs linéairement indépendants de R 2 s appelle donc répère (ou base) du plan vectoriel R 2. Définition 1.9 Une base (v, w) de R 2 est dite directe ou droite (respectivement indirecte) si (v, w) > 0 (respectivement (v, w) < 0). Exemple : La base canonique de R 2 est la base (e 1, e 2 ) définie par ( ) ( ) 1 0 e 1 =, e 0 2 =. 1 Remarquer que les coordonnées d un vecteur x R 2 par rapport à cette base sont précisément ses composantes x 1 et x 2. Remarquer que la base canonique (e 1, e 2 ) este une base droite. Exercice 1.10 Montrer que (e 2, e 1 ) est une base de R 2. Est-ce que cette base est directe ou gauche? Déterminer les coordonnées d un vecteur x R 2 par rapport à cette base. Les mêmes questions pour les paires ( e 1, e 2 ), (e 1, e 2 ), ( e 1, e 2 ), ( e 2, e 1 ), (e 2, e 1 ), ( e 2, e 1 ). Définition 1.11 Une application f : R 2 R 2 est dite linéaire si pour toute paire de scalaire (λ, µ) R 2 est toute paire de vecteurs (v, w) R 2 R 2 on a f(λv + µw) = λf(v) + µf(w). De la même manière on définit la notion d application linéaire de R à R, de R 2 à R, de R à R 2 et, plus généralement, de R n à R m. En effet, pour formuler cette condition on a besoin seulement de l addition des vecteurs et de la multiplication par les scalaires (qui se généralisent facilement pour les espaces R n ). Notons que la composition de deux applications linéaire est encore linéaire. Pourquoi? Une application linéaire f : R R est de la forme f(x) = ax, où a est un nombre réel appelé le coefficient directeur de f (voir le cours de lycée). Cette remarque peut être généralisé en dimension supérieure : 4

( ) a11 a En effet, à une matrice carrée A = 12 de taille 2 on peut associer a 21 a 22 l application f A : R 2 R 2 donnée par ( ) a11 x f A (x) = 1 + a 12 x 2 R 2. (1) a 21 x 1 + a 22 x 2 C est facile de remarquer qu une telle application est toujours linéaire (à vérifier). On peut écrire la formule (1) d une manière compacte en utilisant la multiplication matricielle qui est donnée par la règle ligne par colonne : La règle ligne par colonne pour la multiplication d une matrice A de type (m, n) par une matrice B de type (n, p) fait correspondre aux n éléments a i1,...,a in de la ligne i de A les n éléments a 1j,...,a nj de la colonne j de B, en respectant l ordre. On multiplie les éléments correspondants (donc on obtient les n produits a ik b kj ) et on fait la somme de ces produits. Avec les sommes obtenues c ij := n k=1 a ikb kj on forme une matrice C de type (m, p) qui, par définition, s appelle la matrice produit AB. Exercice 1.12 Écrire les formules explicites pour le produit C = AB si 1. A est de type (2,2) et B est de type (2,1), 2. A est de type (2,2) et B est de type (2,2), 3. A est de type (2,1) et B est de type (1,2), 4. A est de type (1,2) et B est de type (2,1). Remarque 1.13 1. La multiplication des matrices (la multiplication matricielle) est associative, donc (AB)C = A(BC) dès que les types des trois matrices sont choisis tels que les deux multiplications soient définies. 2. La multiplication matricielle est distributive par rapport à l addition des matrices, donc A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA, dès que les types des trois matrices sont choisis tels que les sommes et les multiplications soient définies. 3. En général la multiplication matricielle n est pas commutative (même au cas où les types sont choisis tel que les produits AB et BA sont tous les deux définis). 4. Si A est de type (m, n) alors AI n = I m A = A, où la matrice unité I n est la matrice de type (n, n) dont les éléments diagonaux sont tous 1, et les éléments non-diagonaux sont 0 : I n := 1 0... 0 0 1... 0...... 0 0... 1 5

Plus précisément les éléments de I n sont donnés par le symbole de Kronecker { 0 si i j δ i,j := 1 si i = j. 5. Le déterminant est une fonction multiplicative sur l espace des matrices carrées de taille 2, c est dire pour deux matrices A, B de ce type on a toujours det(ab) = det(a) det(b). En utilisant la multiplication matricielle on peut écrire la formule (1) sous la forme f A (x) = Ax où le symbole Ax au membre droit désigne la muliplication de cette matrice carrée par la matrice colonne x. Exercice 1.14 Démontrer que, pour deux matrices A, B carrées de taille 2, on a f A f B = f AB, donc la multiplication matricielle correspond à la composition des applications linéaires. Proposition 1.15 Toute application linéaire f : R 2 R 2 s écrit d une manière unique sous la forme f(x) = Ax, où A est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs a 1 := f(e 1 ), a 2 := f(e 2 ). Démonstration: En utilisant la condition de linéarité on obtient pour tout vecteur x R 2 : f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 f(e 1 ) + x 2 f(e 2 ) = x 1 a 1 + x 2 a 2 = ( ) ( ) ( ) a11 x 1 + a 12 x 2 a11 a = 12 x1. a 21 x 1 + a 22 x 2 a 21 a 22 x 2 La matrice A dont les colonnes sont a 1 := f(e 1 ), a 2 := f(e 2 ) s appelle la matrice associée à l application linéaire f, et est désignée d habitude par M(f) ou M f. On peut écrire donc f(x) = M(f)x x R 2 Remarque 1.16 Les applications A f A, f M(f) sont des bijections (réciproques l une à l autre) qui identifient l espace des matrices carrées de type (2,2) avec l espace des applications linéaires de R 2 à R 2. ( ) a11 a Définition 1.17 Une matrice carrée A = 12 de taille 2 est dite a 21 a 22 inversible si l une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite : 6

1. det(a) 0 2. Il existe une matrice A 1 (du même type) telle que AA 1 = A 1 A = I 2 3. Les colonnes de A forment une base de R 2. 4. Les lignes de A forme une base de R 2. 5. L application linéaire f A est inversible. Si c est le cas, alors A 1 est donnée par la formule A 1 = 1 det(a) ( ) a22 a 12 a 21 a 11 et (f A ) 1 = f A 1. L équivalence de ces 5 conditions est une proposition, dont la démonstration est proposée comme exercice. Exercice 1.18 Montrer que toute application linéaire f : R R 2 s écrit sous la forme f(t) = t a, où a R 2. Quelle est l interprétation physique d une telle application et quelle est l interprétation physique du vecteur a? Exercice 1.19 Montrer que toute application linéaire f : R 2 R s écrit sous la forme f(x) = Ax, où A est une matrice réelle de type (1,2). Définition 1.20 Une application affine de R 2 à R 2 est une application qui s écrit sous la forme ϕ(x) = f(x) + x 0, où f : R 2 R 2 est une application linéaire (appelée la partie homogène de ϕ) et x 0 R 2 est un vecteur constant. D une manière équivalente, une application affine de R 2 à R 2 est une application qui s écrit sous la forme f(x) = Ax + x 0, où A est une matrice carrée de taille 2 et x 0 R 2. 7

1.2 La structure euclidienne standard de R 2 Le produit scalaire standard sur R 2 est défini par la formule x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 = x T y = y T x. Dans ces formules, nous avons regardé x et y comme des matrices de type (2,1) et leur transposés comme des matrices de type (1,2). Le produit d une matrice de type (1,2) par une matrice de type (2,1) sera une matrice de type (1,1), qu on peut identifier évidemment avec un scalaire. Le produit scalaire définit donc une application, : R 2 R 2 R, qui est bilinéaire, c est à dire linéaire par rapport à chaque argument. Elle est aussi symétrique, c est à dire elle vérifie la condition x, y = y, x x, y R 2. Deux vecteurs x, y R 2 sont dits orthogonaux (et on écrit x y) si x, y = 0. Remarquons que pour tout x R 2 le produit scalaire x, x = x 2 1 + x 2 2 est un nombre réel positif. Pourquoi? On definit la norme euclidienne de x par la formule x = x, x = x 2 1 + x2 2. Proposition 1.21 Le norme euclidienne satisfait aux inégalités suivantes : 1. x + y x + y pour tous x, y R 2 (l inégalité triangulaire), 2. x, y x y pour tous x, y R 2 (l inégalite de Cauchy-Schwartz). La distance euclidienne entre deux points x, y R 2 est définie par d(x, y) := x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. La distance euclidienne satisfait l inégalité une version de l inégalité triangulaire, à savoir : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (x, y, z) R 2 R 2 R 2, (2) qui est une conséquence simple de l inégalité triangulaire pour la norme euclidienne. Remarquer que la norme euclidienne d un vecteur x R 2 coïncide avec la distance de x à l origine 0 R 2. L angle non-orienté (v, w) formé par deux vecteurs non-nuls v, w R 2 \ {0 R 2} est l unique angle appartenant à l intervalle [0, π] défini par la formule v, w cos( (v, w)) = v w. 8

( ) Donc (v, w) = arccos v,w v w. Remarquons que l expression à droite est bien définie parce que v, w [ 1, 1], v w d après l inégalité de Cauchy-Schwartz. Deux vecteurs v, w R 2 sont orthogonaux si et seulement si (v, w) = π 2. Proposition 1.22 (l interprétation géométrique de la valeur absolue du déterminant) La valeur absolue (v, w) du déterminant (v, w) = v 1 w 1 v 2 w 2 := v 1w 2 v 2 w 1 coïncide avec l aire du parallélogramme Π(v, w) de côtés [0 R 2 v], [0 R 2 w] (du parallélogramme engendré par les vecteurs v, w). Démonstration: L aire de Π(v, w) est donnée par la formule A = v h où h est la hauteur du parallélogramme Π(v, w) (regardé comme parallélogramme de base 0 R 2v). On obtient facilement h = w sin( (v, w)), h 2 = w 2 sin 2 ( (v, w)) = w 2 (1 cos 2 ( (v, w))) = = (w1+w 2 2) (1 2 (v 1w 1 + v 2 w 2 ) 2 ) (v1 2 + v2 2 )(w2 1 + w2 2 ) = (v2 1 + v2)(w 2 1 2 + w2) 2 (v 1 w 1 + v 2 w 2 ) 2 (v1 2 + v2 2 ) = = (v 1w 2 v 2 w 1 ) 2 (v 2 1 + v2 2 ). (Vérifier la dernière égalité!). Donc A = v1 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 v2 2 (v1 2 + v2 2 ) = v 1 w 2 v 2 w 1. Définition 1.23 Une base (v, w) de R 2 est dite orthogonale si v w. Elle s appelle orthonormale si, en plus, on a v = w = 1. Remarque 1.24 1. Une base (f 1, f 2 ) est orthonormale si et seulement si f i, f j = δ ij pour toutes les paires (i, j) 1 i, j 2. 2. Si (f 1, f 2 ) est une base orthonormale, alors por tout x R 2 on a x = x, f 1 + x, f 2, c est à dire les coordonnées de x par rapport à (f 1, f 2 ) coïncident avec les produits scalaires x, f i. 9

En effet, on peut décomposer x comme x = u 1 f 1 + u 2 f 2. On applique à gauche et à droite l opération, f 1, puis, f 2. En utilisant les conditions d orthonormalité on obtient u 1 = x, f 1, u 2 = x, f 2. Définition 1.25 Une matrice carrée A de taille 2 est dite orthogonale si l une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : 1. A T A = I 2, 2. A est inversible et A 1 = A T, 3. AA T = I 2, 4. les colonnes de A forment une base orthonormale, 5. les lignes de A forment une base orthonormale, 6. L application linéaire f A conserve le produit scalaire, c est à dire Ax, Ay = x, y x, y R 2. 7. L application linéaire f A conserve la norme euclidienne, c est à dire Ax = x x R 2. 8. L application linéaire f A conserve la distance euclidienne, c est à dire d(ax, Ay) = d(x, y) x y R 2. L équivalence de ces propriétés est un proposition qu on peut démontrer facilement : 1. 2. On sait que A T A = I 2 (l hypothèse) et A 1 A = I 2 d après la Proposition 1.17. L égalité A T A = A 1 A = I 2 implique (A T A 1 )A = 0 2,2 (pourquoi?). En multipliant à droite par A 1 on obtient A T = A 1. 2. 3. Evident. 3. 2. De la même manière que 1. 2. Donner tous les détails. Donc on a les équivalences 1. 2. 3. D autre part, puisque les lignes de A T coïncident avec les colonnes de A, en utilisant la règle de multiplication ligne par colonne on constate facilement que 1. 4. De la même manière on démontre que 2. 5. Posons x = x 1 e 1 + x 2 e 2, y = y 1 e 1 + y 2 e 2. Alors x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2, Ax, Ay = x 1 y 1 Ae 1, Ae 1 +x 1 y 2 Ae 1, Ae 2 +x 2 y 1 Ae 2, Ae 1 +x 2 y 2 Ae 2, Ae 2. Donc le propriété 6. est équivalente au système de quatre égalités : Ae 1, Ae 1 = Ae 2, Ae 2 = 1, Ae 1, Ae 2 = Ae 2, Ae 1 = 0. Expliquer en détail cette équivalence! Mais Ae i coïncide avec la i-ème colonne de A. Ce calcul montre donc que 1. 6. En prenant y = x on obtient tout de 10

suite 6. 7. 7. 8. En supposant que 7. est vrai, on a d(ax, Ay) = Ay Ax = A(y x) = y x = d(x, y). 8. 7. Il suffit de choisir y = 0 et de remarquer que d(ax, 0) = Ax, d(x, 0) = x. Pour avoir l équivalence de toutes ces propriétés il suffit de démontrer par exemple 7. 6. Mais, si 7. est vraie, alors pour tous x, y R 2 on a A(x + y), A(x + y) = A(x + y) 2 = x + y 2 Mais A(x + y), A(x + y) = Ax 2 + Ay 2 + 2 AxAy, et x + y, x + y = x 2 + y 2 + 2 x, y. Puisque Ax 2 = x 2, Ay 2 = y 2 (par la propriété 7. qui est notre hypothèse), on obtient finalement Ax, Ay = x, y. Cette proposition nous permet de classifier facilement les matrices orthogonales de taille 2. En effet, notons par a 1, a 2 les deux colonnes d une matrice orthogonale A. Le premier vecteur peut être regardé comme un point du cercle trigonométrique C (i.e. du cercle de rayon 1 et centre 0 R 2). Donc, d après les exercices de TD, on sait qu il existe θ R (unique modulo 2π!) tel que ( ) cos θ a 1 =. sin θ Quelles sont les possibilités pour la deuxième colonne a 2? Cette deuxième colonne doit être vecteur de norme 1 qui est orthogonal à a 1. Donc pour a 2, nous avons deux possibilités, à savoir les vecteurs R π (a 2 1), R π (a 2 1) obtenus en appliquant à a 1 une rotation d angle π 2 où π 2. Mais, en utilisant l interprétation complexe des rotations (voir les TD s), on obtient facilement On obtient donc R π 2 (a 1) = ( sin θ cos θ ) (, R π (a 2 1) = sin θ cos θ Théorème 1.26 Toute matrice orthogonale A de taille 2 est de l une des deux formes 1. Type I (matrices orthogonales à déterminant 1) : ( ) cos θ sin θ A =, sin θ cos θ 2. Type II (matrices orthogonales à déterminant -1) : ( ) cos θ sin θ A =. sin θ cos θ ). 11

Remarque 1.27 La formule A a 1 définit une bijection entre 1. L ensemble des matrices orthogonales de type I et le cercle C, 2. L ensemble des matrices orthogonales de type II et le cercle C. Remarque 1.28 L application linéaire f A associée à une matrice orthogonale de type I transforme la base canonique (et toute base directe) dans une base directe. L application linéaire f A associée à une matrice orthogonale de type II transforme la base canonique (et toute base directe) dans une base indirecte. En utilisant la terminologie mathématique moderne, cette remarque peut être reformulée de la manière suivante : Dans le premier cas l application f A préserve l orientation du plan ; i.e. transforme une base du plan dans une base du même type (direct ou indirect), tandis que dans le deuxième cas f A change l orientation du plan, i.e. transforme une base du plan dans une base de type différent. Proposition 1.29 Soit A une matrice orthogonale de taille 2. Si A est de type 1, alors f A est une rotation de centre 0 R 2. Si A est de type II, alors f A est une symétrie axiale (réflexion) associée à une axe qui passe par 0 R 2. ( ) cos θ sin θ Démonstration: Si A est de type 1, elle aura la forme A = sin θ cos θ donc f A ( x1 x 2 ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x1 x 2 ) ce que correspond à une rotation d angle θ autour de 0 R 2 (voir les exercices de TD). ( ) cos θ sin θ Si A est de type 2, alors elle s écrit sous la forme A =. ( ) sin θ cos θ x1 Soit x = R 2 et posons x 2 ( cos θ sin θ y = f A (x) = sin θ cos θ ) ( ) ( x1 x1 cos θ + x = 2 sin θ x 2 x 1 sin θ x 2 cos θ, ) Le milieu su segment [x, y] (le isobarycentre de la paire (x, y) s écrit donc b x = 1 ( ) ( ) x1 + x 1 cos θ + x 2 sin θ x1 (1 + cos θ) + x = 2 sin θ = 2 x 2 + x 1 sin θ x 2 cos θ x 1 sin θ + x 2 (1 cos θ) ( cos( θ 2 2 )(x 1 cos( θ 2 ) + x 2 sin( θ 2 )) ) sin( θ 2 )(x 1 cos( θ 2 ) + x 2 sin( θ 2 )) = 2(x 1 cos( θ 2 ) + x 2 sin( θ ( cos( θ 2 )) 2 ) ) sin( θ 2 ). Dans ce calcul on a utilisé les formules 1+cos θ = 2 cos 2 ( θ 2 ), 1 cos θ = 2 sin2 ( θ 2 ), sin θ = 2 sin( θ 2 ) cos( θ 2 ). 12

( cos( θ Remarquons que le vecteur v θ := 2 ) ) sin( θ 2 ) C ne dépend pas du point choisi x. Donc le milieu (l isobarycentre) du segment y se trouve sur la droite (constante) d θ qui passe par l origine et le point v θ C. Pour voir que l application f A est une symétrie, il suffit maintenant de remarquer que la droite xy est toujours orthogonale à d θ. Ceci revient à l égalité (y x), v θ = 0, qui est proposée comme exercice. 1.3 La classification des isométries planes Définition 1.30 Une isométrie du plan (isométrie plane) est une application bijective ϕ : R 2 R 2 qui conserve les distances, c est à dire une application bijective telle que d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y) pour toute paire (x, y) R 2 R 2. Remarque 1.31 L application identique id R 2 est une isométrie. Toute composition d isométries est une isométrie. L application réciproque d une isométrie est une isométrie. Au lycée on a introduit et étudié trois classes importantes d isométries : rotations, translations et symétries axiale (voir les exercices de TD). Les expressions analytiques (en coordonnées) pour ces trois classes d isométries s obtiennent facilement comme il suit : Pour une isométrie f : R 2 R 2 posons x := f(x), soit (x 1, x 2) = f(x 1, x 2 ). Nous allons exprimer x = (x 1, x 2) en fonction de x = (x 1, x 2 ) pour chacun des trois classes d isométries mentionnées ci-dessus. 1. Pour une rotation de centre c = (x 1, c 2 ) et angle θ on a ( ) x cos θ sin θ c = (x c) sin θ cos θ donc ( x cos θ sin θ = sin θ cos θ ) ( ( cos θ sin θ x + I 2 sin θ cos θ )) c. 2. Pour une translation de vecteur v : x = x + v. 3. Pour une réflexion axiale (symétrie) d axe d. Par définition la symétrie axiale S d de axe d est définie par les conditions : (a) pour tout x R 2 le milieu du segment [xx ] appartient à d. (b) pour tout x R 2 la droite d est orthogonale au vecteur xx = x x. 13

Supposons que d est ( donnée ) par l équation a 1 x 1 +a 2 x 2 = a 0, où (a 1, a 2 ) a1 (0, 0). Alors n := est un vecteur non-nul orthogonal à d et τ := a ( ) 2 a2 est un vecteur non-nul parallèle à d. Pourquoi? On obtient donc a 1 les conditions { x a 1+x 1 x 1 2 + a 2+x 2 2 2 = a 0 a 2 (x 1 x 1 ) + a 1 (x, 2 x 2 ) = 0 soit { a1 x 1 + a 2 x 2 = a 1 x 1 a 2 x 2 + 2a 0 a 2 x 1 + a 1 x 2 = a 2 x 1 + a 1 x 2 En utilisant les formules de Cramer pour résoudre ce système on obtient : a 1x 1 a 2 x 2 + 2a 0 a 2 x a 2 x 1 + a 1 x 2 a 1 1 1 = a 2 1 + = a2 2 a 2 1 + (( a 2 a2 1 + a 2 2)x 1 2a 1 a 2 x 2 + 2a 0 a 1 ) 2 a 1 a 1 x 1 a 2 x 2 + 2a 0 x a 2 a 2 x 1 + a 1 x 2 1 2 = a 2 1 + = a2 2 a 2 1 + ( 2a 1 a 2 x 1 +(a 2 a2 1 a 2 2)x 2 +2a 0 a 2 ) 2 Théorème 1.32 Toute isométrie plane est une transformation affine de la forme f(x) = Ax + x 0, où A est une matrice orthogonale. Démonstration: Etape 1. Soit ϕ une isométrie plane telle que ϕ(0 R 2) = 0 R 2. Alors pour tout x R 2 on a ϕ(x) = d(ϕ(x), 0) = d(ϕ(x), ϕ(0)) = d(x, 0) = x, c est à dire ϕ préserve la norme des vecteurs. D autre part, pour deux vecteurs x, y R 2 on a d(ϕ(x), ϕ(y)) 2 = ϕ(y) ϕ(x), ϕ(y) ϕ(x) = ϕ(x) 2 + ϕ(y) 2 2 ϕ(x), ϕ(y) d(x, y) 2 = y x, y x = x 2 + y 2 2 x, y, Donc, puisque ϕ est une isométrie (et puisque ϕ préserve la norme des vecteurs) ϕ(x), ϕ(y) = x, y, 14

qui montre que ϕ préserve aussi le produit scalaire euclidien. En particulier, la base (f 1, f 2 ) donnée par a i = ϕ(e i ) est orthonormale (pourquoi?). En utilisant la Remarque 1.24 on obtient : ϕ(x) = ϕ(x), a 1 + ϕ(x), a 2 = ϕ(x), ϕ(e 1 ) a 1 + ϕ(x), ϕ(e 2 ) a 2 = = x, e 1 a 1 + x, e 2 a 2 = x 1 a 1 + x 2 a 2. Ceci montre que ϕ coïncide avec l application linéaire f A associée à la matrice A dont les colonnes sont a 1, a 2. Puisque la base (a 1, a 2 ) est orthonormale, on conclut que cette matrice est orthogonale. Etape 2. Soit f une application linéaire arbitraire, et posons x 0 := f(0). Alors l application ϕ : R 2 R 2 donnée par ϕ(x) := f(x) x 0 est encore une isométrie (pourquoi?). Puisque ϕ(0) = 0, on déduit d après la première étape de la démonstration, que ϕ = f A, où A est la matrice orthogonale dont les colonnes sont les vecteurs a i := ϕ(e i ). Donc f(x) = f(x) f(0) + f(0) = ϕ(x) + f(0) = Ax + x 0. On peut reformuler le théorème ci-dessus de la manière suivante : Remarque 1.33 Toute isométrie plane linéaire est associée à une matrice orthogonale. Toute isométrie plane f s écrit comme la composition f = T x0 ϕ, où τ x0 est la translation de vecteur x 0 := f(0) et ϕ (la partie homogène de f) est une isométrie linéaire. Définition 1.34 Une isométrie plane f écrite sous la forme f(x) = Ax + x 0 s appelle 1. déplacement, si det(a) = 1, c est à dire A est une matrice orthogonale de type I. 2. anti-déplacement, si det(a) = 1, c est à dire A est une matrice orthogonale de type II. Si f est un déplacement, il existe une famille continue d isométries (f t ) t [0,1] telle que f(0) = id R 2 et f(1) = f. Donc, pour un sous-ensemble arbitraire E R 2 (par exemple un polygon) l image f(e) s obtient comme la position finale d une famille continue E t := f(e) de sous-ensembles isométriques l un à l autre telle que E 0 = E (le sous-ensemble de départ). Cette propriété caractérise les déplacement, donc elle n est pas vérifiés pour un anti-déplacement. Définition 1.35 Une symétrie axiale glissée est une isométrie qui s écrit sous la forme d une composition f = T v S d, où d R 2 est une droite, S d désigne la symétrie axiale par rapport à d et v R 2 \ {0} est un vecteur non-nul parallèle avec d. 15

Théorème 1.36 (Classification des isométries planes) Soit f : R 2 R 2 une isométrie. 1. Si f est un déplacement, alors f est soit une rotation soit une translation. 2. Si f est un anti-déplacement, alors f est soit une symétrie axiale, soit une symétrie axiale glissée. Démonstration: 1. Ecrivons f sous la forme f(x) = Ax + x 0, où A est une matrice orthogonale de type I, donc une matrice de la forme ( ) cos θ sin θ A = sin θ cos θ L idée est d étudier l ensemble des points fixes de f, donc des points x R 2 tels que f(x) = x. La condition f(x) = x devient (A I 2 )x = x 0. (3) Mais det(a I 2 ) = (cos θ 1) 2 + sin 2 θ = 2 2 cos θ, qui est strictement positif, sauf si θ 2Zπ (c est à dire sauf si A = I 2 ). Donc soit A = I 2 (et donc f = T x0 est évidemment une translation), soit det(a I 2 ) 0. Dans ce dernier cas A I 2 sera inversible, donc le système (3) admet une solution unique z 0 := (f A I2 ) 1 (x 0 ). Puisque f(z 0 ) = z 0 on a Az 0 + x 0 = z 0, donc f(x) z 0 = Ax + x 0 (Az 0 + x 0 ) = A(x z 0 ). Ceci montre que, pour tout x R 2, le vecteur z 0 f(x) s obient en appliquant la rotation linéaire R θ au vecteur z 0 x, donc f est une rotation de centre z 0 et angle θ. 2. Soit f un anti-déplacement écrit sous la forme f(x) = Ax + x 0, où A est une matrice orthogonale de type II : ( ) cos θ sin θ A = sin θ cos θ Nous savons d après la Proposition 1.29 que la partie homogène ϕ = f A de f est une symétrie axiale d axe d θ (voir la démonstration de la dite proposition). Considérons la droite d 0 parallèle à d θ qui passe par x 0, et d la droite parallèle à d 0 et d θ à égale distance de ces deux droites. Désignons par S d la symétrie axiale par rapport à d et posons ξ 0 := S d (0). Remarquons que ξ 0 et x 0 se trouvent tous les deux sur la droite d 0. Soit w d θ le vecteur défini par la relation x 0 = ξ 0 +w (Pourquoi a-t-on w d θ? Faire un dessin.) Remarquons maintenant que f = T w S d. En effet, le deux isométries ont la même partie homogène et envoient l origine au même point image, à savoir au point x 0 = ξ 0 + w. Si w = 0, on obtient f = S d, donc f est une symétrie axiale. Si w 0, f sera une symétrie axiale glissée, par définition. 16

1.4 Similitudes Définition 1.37 Soit k ]0, + [. Une similitude de rapport k est une application bijective f : R 2 R 2 telle que d(f(x), f(y)) = kd(x, y) pour toute paire (x, y) R 2 R 2. Une similitude f faire correspondre à tout triangle abc un triangle a b c qui est semblable à abc, c est à dire les côtes des deux triangles sont proportionnels et leurs angles sont égaux respectivement : d(a, b ) d(a, b) = d(b, c ) d(b, c) = d(a, c ) d(a, c), â b c = âbc, b c a = bca, b c a = bca. Ici on a utilisé la notation : âbc = ( ba, bc) = (b a, c a), qui fait la liaison entre la notion d angle étudiée au lycée et celle d angle nonorienté introduite dans ce cours. On peut démontrer que Proposition 1.38 Une bijection f : R 2 R 2 est une similitude si et seulement si elle conserve la mesure des angles non-orientés. La condition conserve la mesure des angles non-orientés signifie : pour tout triplet (a, b, c) de points de R 2 tels que a b, c b on a âbc = f(a)f(b)f(c). Remarquons que les isométries sont précisément les similitudes de rapport 1. Théorème 1.39 (la classification des similitudes). Soit f : R 2 R 2 une similitude, et identifions R 2 avec C par (x, y) x + iy. Alors f est donnée par une formule de l un des deux types suivants : 1. Type I (similitudes directes) : f(z) = az + b, où a C, b C. 2. Type II (similitudes indirectes) : f(z) = a z + b, a C, b C. Dans les deux cas le rapport de la similitude f est donné par la forumule k = a. 2 Théorie des groupes 2.1 Définition. Exemples Définition 2.1 Soit M un ensemble. Une loi de composition interne sur M est une application l = M M M. Notations possibles n 1 n 2 := l(n 1, n 2 ), n 1 n 2 := l(n 1, n 2 ), n 1 n 2 := l(n 1, n 2 ), n 1 +n 2 := l(n 1, n 2 )... 17

Sur un ensemble fini on peut définir une loi de composition interne à l aide d un tableau. Par exemple, sur un ensemble à trois éléments M = {a, b, c} une loi de composition interne est définie par un tableau de la forme a b c a a a a b a c b b a b b b c c c a c b c c. Par exemple on peut avoir a b c a a b c b b c a c c b c. (4) Définition 2.2 Une loi de composition interne : M M M est dite 1. commutative, si n 1 n 2 = n 2 n 1 quel que soient n 1, n 2 M, 2. associative, si n 1 (n 2 n 3 ) = (n 1 n 2 ) n 3 quel que soient n 1, n 2, n 3 M. Définition 2.3 Soit (M, ) un ensemble muni d une loi de composition interne. Un élément e M s appelle élément neutre (pour ) si e m = m e = m pour tout m M. Exercice : Est-ce que la loi de composition sur {a, b, c} définie par le tableau (4) est commutative? Est-ce qu elle est associative? Est-ce qu elle admet un élément neutre? Si oui, lequel? Remarque 2.4 Si un élément neutre existe, il est unique. Démonstration: En effet, soient e, e 1 deux éléments neutres pour la loi de composition interne. Alors e e 1 = e 1, e e 1 = e, où d abord on a utilisé le fait que e est élément neutre, puis le fait que e 1 est élément neutre. Donc e = e 1. Définition 2.5 Un ensemble muni d une loi de composition interne (M, ) s appelle groupe si les trois condition suivantes sont vérifiées : 1. est associative. 2. admet un élément neutre e M. 3. Tout élément a M admet un élément inverse a par rapport à la loi de composition interne, c est à dire un élément a M tel que a a = a a = e. 18

Si M est fini, son cardinal (le nombre d éléments) s appelle l ordre du groupe et est désigné par M. Souvent on utilise la notation a 1 au lieu de a. Mais, si on utilise cette notation, il faut comprendre qu il ne s agit pas nécessairement de l inverse usuel par rapport à la multiplication des nombres réels. Remarque 2.6 L inverse a de a est unique. Démonstration: Si a et a sont éléments inverses de a M, alors a (a a ) = a e = a, a (a a ) = (a a) a = e a = a, Donc a = a. Définition 2.7 Un groupe (G, ) est dit commutatif (ou abélien) si est commutative, donc si x : circy = y x pour tous les x, y Z. Souvent on désigne par + la loi de composition interne d un groupe abélien, et par x l inverse de x par rapport à une telle loi. Si on on utilise cette notation, il faut comprendre qu il ne s agit pas nécessairement de l addition des nombres et de l inverse par rapport à cette opération. Exemples : 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (R n, +) sont des groupes abéliens, 2. (Q, ), (R, ), (C, ) sont des groupes abéliens, 3. (GL(2), ) où GL(2) := {A M 2,2 (R) det(a) 0} est l ensemble des matrices carrées de taille 2 inversibles, ensemble muni de la multiplication matricielle est un groupe non-abélien. Ici nous avons désigné par M 2,2 (R) l ensemble des matrices réelles carrées de taille 2. L élément neutre est la matrice unité I 2. 4. (O(2), ), où O(2) désigne l ensemble des matrices orthogonales de taille 2. La loi de composition interne est de nouveau la multiplication matricielle. Ce groupe est un groupe non-abélien. Pourquoi? Par contre son sousensemble 5. SO(2) := {A O(2) det(a) = 1} muni de la multiplication matricielle devient un groupe abélien. En effet ce groupe s identifie au groupe des rotations linéaires (des rotations autour de l origine 0 R 2), donc il s identifie au groupe des nombres complexes de module 1. En écrivant une matrice A SO(2) sous la forme ( ) cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) on voit que la rotation f A associée à A est définie par la multiplication complexe avec le nombre complexe de module 1 ζ A := cos(θ) + i sin(θ). 19

La multiplication matricielle dans SO(2) correspond à la composition des isométrie planes et correspond aussi à la multiplication des nombres complexes de module 1 (qui est évidemment commutative). Donc SO(2) est bien commutatif est s identifie au groupe C C formé par les nombres complexes de module 1 (au cercle trigonométrique). 6. Le groupe des permutations d un ensemble. Soit M un ensemble. On désigne par S(M) l ensemble des applications bijectives f : M M. Si on muni cet ensemble de la loi de composition interne définie par la composition des applications bijectives, on obtient un groupe (S(M), ) qui s appelle le groupe symétrique ou le groupe des permutations de M. L élément neutre de ce groupe est l application identique, et l élément neutre d une application f S(M) est l application réciproque (inverse) f 1. Si M est fini de cardinal n (c est à dire avec n éléments), alors S(M) = n!, donc un ensemble avec n éléments a n! permutations. Par exemple pour M = {1, 2,..., n} on désigne par S(n) (ou S n, ou S(n)) le groupe des permutations de {1, 2,..., n}. On a donc S(n) = n!. Une telle permutation s écrit sous la forme ( 1 2... n i 1 i 2... i n ) où i s {1,..., n} désigne l image de s {1, 2,..., n} par l application bijective {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} considérée. Puisqu il s agit d une application injective on a i s i t pour t s. Notons que S(2) = {( 1 2 1 2 ), ( 1 2 2 1 )} {( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S(3) =,,, 1 2 3 2 1 3 1 3 2 ( ) ( )} 1 2 3 1 2 3,. 2 3 1 3 1 2. ( 1 2 3 3 2 1 Notons que S(2) est abélien, tandis que S(n) est non-abélien pour n 3. Montrer que S(3) n est pas abélien. Notons que dans la liste des éléments de S(3) le 2-me, 3-me et le 4-me éléments sont des transpositions, i.e. des permutations qui échangent deux éléments, laissant inchangés les autres. Le 5-me et le 6-me éléments sont des permutations circulaires (ou cycles). La théorie de groupes a été introduite en mathématiques par Évariste Galois, un mathématicien français génial, qui est mort en 1832 à 20 ans, suite à un duel. Galois a développé ce concept d une manière non-formalisée dans le cadre de son travail sur la résolublité des équations algébriques par les radicaux. L importance cruciale de ce travail a été reconnue quelques décennies plus tard, et actuellement ce travail est considéré comme le fondement de l algèbre moderne. ), 20

Définition 2.8 Soient (G, ), (G, ) deux groupes. Une application f : G G est dite homomorphisme (morphisme de groupes) si pour tous les x, y G on a f(x y) = f(x) f(y). Un morphisme f s appelle monomorphisme s il est injectif et épimorphisme s il est surjectif. Il s apelle isomorphisme s il est à la fois injectif et surjectif. Si c est la cas, l application réciproque f 1 sera aussi un isomorphisme. On dit que deux groupes (G, ), (G, ) sont isomorphes s il existe un isomorphisme f : G G. Notons que deux groupes isomorphes ont les même propriétés algébriques, donc ils sont algébriquement équivalents. Par exemple si l un est abélien, l autre en sera aussi. Notons aussi que toute composition de deux morphismes (monomorphismes, épimorphismes, isomorphismes) est aussi un morphisme (respectivement monomorphisme, épimorphisme, isomorphisme). Démontrer ces affirmations. Remarque 2.9 Soit e (respectivement e ) l élément neutre de G (respectivement de G ) et f : G G un morphisme de groupes. Alors 1. f(e) = e, 2. Pour tout x G on a f(x ) = (f(x)). Démonstration: En effet, f étant un morphisme de groupes on a f(e) = f(e e) = f(e) f(e). En composant les deux membres par l élément inverse f(e) et an utilisant l associativité de on obtient f(e) = e. En plus f(x ) f(x) = f(x x ) = f(e) = e, donc (en composant à droite les deux membres par f(x) ), on obtient bien f(x ) = (f(x)). Définition 2.10 Soit (G, ) un groupe. Un sous-ensemble H G s appelle sous-groupe si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. H, 2. pour tous les x, y H on a x y H. Il existe une autre manière (équivalente) de définir la notion de sous-groupe Remarque 2.11 H G est un sous-groupe si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. e H, 2. pour tous les x, y H on a x y H, 3. pour tout x H on a x H. Démonstration: Exercice. Remarquer que, si H est un sous-groupe, alors la restriction H H : H H H 21

de à H H définit une loi de composition interne sur H et, muni de cette loi de composition de interne, H devient lui-même un groupe (avec le même élément neutre e que celui de (G, )). En plus, pour x H l élément inverse de x dans le groupe (H, H H ) coïncide avec son élément inverse dans le groupe de départ (G, ). Définition 2.12 Soit f : G G un morphisme de groupes. On pose ker(f) := {x G f(x) = e }, im(f) := {f(x) x G}. Notons que ker(f) est un sous-groupe de G et im(f) est un sous-groupe de G. Exercice : Soit f : G G un morphisme de groupes. Vérifier que ker(f) est bien un sous-groupe de G et im(f) est bien un sous-groupe de G. Montrer que f est un monomorphisme (est injectif) si et seulement si ker(f) = {e}, et f est un épimorphisme (est surjectif) si et seulement si im(f) = G. Exercice : Considérons la chaîne d inclusions SO(2) O(2) GL(2) Montrer que SO(2) est un sous-groupe de O(2) et O(2) un sous-groupe de GL(2). Notons par GA(2) l ensemble des transformations affines de R 2, i.e. des bijections f : R 2 R 2 de la forme f(x) = Ax+b, où A GL(2). Notons aussi par Iso(R 2 ) le groupe des isométries planes (muni de la composition des isométries) et par Iso + (R 2 ) le sous-ensemble des isométries qui préservent l orientation. On obtient une chaîne d inclusions Iso + (R 2 ) Iso(R 2 ) GA(2) S(R 2 ), où S(R 2 ) est le groupe symétrique (le groupe des permutations) du plan R 2. Montrer que Iso + (R 2 ) est un sous-groupe de Iso(R 2 ), Iso(R 2 ) est un sous-groupe de GA(2) est GA(2) est un sous-groupe de S(R 2 ). Montrer que les applications u : SO(2) Iso + (R 2 ), v : O(2) Iso(R 2 ) définies par A f A sont des monomorphismes de groupes. Est-ce qu elles sont aussi des isomorphismes? Pourquoi? Montrer que le cercle trigonométrique C C est un sous-groupe du groupe multiplicatif C et que SO(2) est isomorphe à C (muni de la multiplication complexe). Utiliser l application SO(2) C définie par A f A (e 1 ) R 2 = C. Notons que le vecteur f A (e 1 ) coïncide avec la première colonne de A, qui correspond au nombre complexe de module 1 qui définit la même rotation que la matrice A. Exercice : Montrer que l application exponentiellle exp : R R + définit un isomorphisme de (R, +) à (R +, ). Montrer que R + est un sous-groupe du groupe multiplicatif (R, ). 22

Règles de calcul dans un groupe. Règle 1 : On a l identité (x y) = y x. Soit (G, ) un groupe. Démonstration: Nous vérifions que y x satisfait au propriétés qui caractérisent l élément symétrique de x y. En utilisant l associativité et la définition de l élément symétrique, on a (x y) (y x ) = x (y y ) x = x e x = x x = e, (y x ) (x y) = y (x x) y = y y = e. Donc y x est bien l élément symétrique de x y. Pour un élément x G et n Z on pose : } x x {{... x } si n > 0 x n n fois := e si n = 0 (x ) n = [ x n ] si n < 0. On peut démontrer par récurrence qu on a toujours Règle 2 : x n x m = x n+m. Relations d équivalence. Groupe quotient Définition 2.13 Soit M un ensemble. Une relation dans M est un sous-ensemble R M M. On convient d écrire xry au lieu de (x, y) R. Si xry on dit que x est en relation R avec y. Une relation R dans M est dite relation d équivalence si 1. R est réflexive, i.e. xrx pour tout x M, 2. R est symétrique, i.e. pour tous x, y M on a xry yrx, 3. R est transitive, i.e. pour tous x, y, z M on a (xry et yrz) xrz. Soit R M M une relation d équivalence dans M et x M. On définit la classe d équivalence de x (par rapport à R) par [x] := {y M xry} M. on utilise souvent la notation ˆx ou au lieu de [x]. Définition 2.14 L ensemble quotient de M par R est défini par M / R := {[x] x M} (donc l ensemble des classes d équivalence des éléments de M). La surjection canonique p : M M/R est définie par p(x) := [x], donc p associe à chaque élément sa classe d équivalence. 23

Notons que les classes d équivalence [x] sont à la fois sous-ensembles de M, et éléments de l ensemble quotient M/R. Remarque 2.15 Soit R une relation d équivalence dans M. Alors 1. pour tout x M on a x [x], 2. x M [x] = M. 3. deux classes d équivalence [x], [y] sont soit égales (si (x, y) R), soit disjointes (si (x, y) R). 4. l ensemble des classes d équivalence par rapport à R définit une partition de M, c est à dire une décomposition de M en réunion de sous-ensembles disjoints deux à deux. Exemple : Soit D l ensemble des droites dans le plan R 2. Dans cet ensemble nous introduisons la relation de parallélisme par d δ si (d δ = ou d = δ). Montrer que est bien une relation d équivalence dans D. Faire un dessin pour chaque situation. Les classes d équivalence par rapport à cette relation d équivalence s appellent directions. Donc deux droites sont parallèles si et seulement si elle appartiennent à la même classe d équivalence par rapport à la relation d équivalence, c est à dire si et seulement si elles ont la même direction. Exemple : La relation d équivalence congruence modulo n sur Z. On dit que deux entiers x, y Z sont congrus modulo n (et on écrit x y (mod n)) si leur différence est divisible par n, donc si y x nz. Notons que nz Z (le sous-ensemble des multiples entiers de n) est un sous-groupe du groupe abélien (Z, +). La relation (mod n) est une relation d équivalence sur Z et l ensemble quotient Z/( mod n) est désigné par Z n. On a Z n = {[0], [1],..., [n 1]}. Notons que, par rapport à la relation d équivalence (mod n), on a [n] = [0], [n + 1] = [1]. On peut définir une loi de composition interne sur Z n par [x] + [y] := [x + y]. Cette définition est cohérente, au sens que le membre droit [x + y] dépend seulement des classes [x], [y], pas des représentants x, y de ces classes. En effet, si on choisit d autres représentants x, y de ces classes (c est à dire [x ] = [x], [y ] = [y]), alors il existe k Z, l Z tels que x x = kn, y y = ln, donc (x + y ) (x + y) = (k + l)n nz, donc [x + y ] = [x + y]. Proposition 2.16 (Z n, +) est un groupe abélien d ordre n. Ce groupe s appelle le groupe cyclique d ordre n. 24

On peut généraliser cette construction de la manière suivante : Soit (G, +) un groupe abélien. Par tradition on convient de désigner par + la loi de composition d un groupe abélien (même s il se s agit pas de l addition usuelle des nombres), par 0 l élément neutre, et par x le symétrique de x par rapport à une telle loi. Soit H G un sous-groupe de G. On associe à H une relation d équivalence H dans G par x H y si x + ( y) H. Vérifier qu il s agit bien d une relation d équivalence. Cette relation s appelle la relation de congruence modulo H. La classe d équivalence [x] par rapport à H d un élément x G est x + H := {x + h h H}, et, en particulier, la classe d équivalence de l élément neutre 0 coïncide avec H lui-même. Définition 2.17 Le groupe quotient de G par H est défini par G/H := G/ H, muni de la loi de composition interne (x + H) + (y + H) := (x + y) + H. De la même manière que pour l opération + définie sur Z n on montre que cette définition est cohérente, c est à dire la classe (x + y) + H du membre droit ne dépens pas des représentants x, y des deux classes à gauche x + H, y + H. Proposition 2.18 Soit (G, +) un groupe abélien et H G un sous-groupe. Alors (G/H, +) est un groupe abélien, qui s appelle le groupe quotient de G par H. Définition 2.19 L épimorphisme canonique associé à un sous-groupe H G d un groupe abélien (G, +) est l épimorphisme p : G G/H défini par p(x) := x + H. Remarque 2.20 Le noyau de l épimorphisme canonique p : G G/H est ker(p) = H. Exercice : Montrer que l épimorphisme canonique est bien un épimorphisme. Démontrer la Remarque 2.20. Exercice : Décrire explicitement les groupes quotient R/Z (où R est muni de la loi de composition interne donnée par l addition des nombres réels +) et C /C (où C est muni de la loi de composition interne donnée par la multiplication des nombres complexes). 25

Produit direct de groupes. Soit (G, ), (G, ) deux groupes. On définit leur produit direct par (G G, ) où la loi de composition interne sur le produit cartésien G G est donnée par la formule (g, g ) (h, h ) := (g h, g h ). Exercice : Montrer que (G G, ) défini de cette manière est bien un groupe. Exemples : Le groupe (R 2, +) s identifie au produit cartésien R R muni de la loi de composition interne de produit direct des groupes (R, +), (R, +). Le groupe (R 4, +) est isomorphe au produit R R 3 (muni de la loi de composition interne de produit direct) mais il est aussi isomorphe aussi au produit R 2 R 2 (muni de la loi de composition interne de produit direct). Exercice : Construire un isomorphisme de groupes R + C C, où R + est muni de la loi de composition interne donnée par la multiplication des nombres réels, et C, C de la d loi de composition interne donnée par la multiplication des nombres complexes. 3 Équations différentielles Une équation différentielle d ordre n est une équation de la forme F (x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) = 0, (5) où F est une fonction de n + 2 variables. Une solution de l équation (5) est une fonction réelle n-fois différentiable x y(x) définie sur un intervalle ]a, b[ R, qui vérifie l équation, c est à dire telle que l égalité (5) soit vérifiée identiquement. Retener donc que, dans un équation différentielle, l inconnue est une fonction, pas un nombre! Souvent on omet l argument x de la fonction inconnue y, donc on écrit y, y,..., y (n) au lieu de y(x), y (x),..., y (n) (x). En physique la fonction inconnue est souvent l équation horaire du mouvement d un point matériel soumis à l action d un système de forces, donc c est naturel de désigner la fonction inconnue par x (l abscisse du point matériel) et son argument par t (le temps). Dans ce cas on peut utiliser les notations newtoniennes ẋ, ẍ pour les dérivées de la fonction inconnue. Exemple : Considérons l équation différentielle ẍ + kx = 0, k > 0. C est facile de vérifier que les deux fonctions données par x 1 (t) := cos kt, x 2 (t) := sin kt sont des solutions de cette équation différentielle. Puisque l équation est linéaire par rapport à la fonction inconnue, on déduit que toute combinaison linéaire x(t) = A cos( kt) + B sin( kt) (6) des deux solutions x 1, x 2 sera aussi une solution. On va voir que toute solution de cette équation est de cette forme, donc la formule (6) donne la solution générale de l équation différentielle ẍ + kx = 0. 26

Souvent on demande la solution d une équation différentielle qui satisfait à une, ou plusieurs condition(s) initiale(s). Par exemple, on peut demander la solution de l équation différentielle ẍ + kx = 0 qui satisfait aux conditions initiales x(0) = 2, ẋ(0) = 1. (7) La dérivée de la solution générale (6) est ẋ(t) = A k sin( kt)+b k cos( kt), donc les deux conditions initiales deviennent A = 2, B k = 1, donc la solution cherchée est x(t) = 2 cos( kt) + 1 k sin( kt). 3.1 Équations différentiables à variables séparables Définition 3.1 Une équation différentiable à variables séparables est une équation différentielle de la forme a(x) + b(y)y = 0. Pour une telle équation nous avons une méthode simple de résolution : on écrit l équation sous la forme a(x) = b(y)y, et on intègre les deux membres. Soient donc A (respectivement B) une primitive de la fonction a (respectivement b). On obtient A(x) + C = B(y), où C est une constante. En supposant que la fonction B est inversible, on peut utiliser cette formule pour exprimer y en fonction de x, donc d obtenir les solutions de l équation différentiable à variables séparables donnée. Exemples : 1. y = y 2. Sur un intervalle sur lequel la fonction inconnue y ne s annule pas on peut réécrire cette équation sous la forme 1 + 1 y y = 0, donc, sur un tel 2 intervalle il s agit bien d une équation à variables séparables. En écrivant formellement y = dy dx on arrive à dy y 2 = dx, et, en intégrant les deux membres, on obtient 1 y = x + C, soit y = 1 x + C. Remarquer que pour chaque constante C R on obtient une solution définie sur un intervalle qui dépend de C. Remarquer aussi que l équation admet aussi une solution qui s annule, à savoir la solution identiquement nulle y = 0 (qui a 27

été éliminée quand nous avons divisé l équation par y 2 ). Donc, en général, si on divise une équation différentielle par un expression qui contient la fonction inconnue, il faut étudier à la fin l existence des solutions qui annulent l expression par laquelle on a divisé. 2. x 2 y = e y. En remplaçant formellement y par dy dx, et en divisant les deux membres par e y x 2 (sur un intervalle inclus dans R ) on peut réécrire cette équation sous la forme e y dy = x 2 dx. Par intégration à gauche et à droite on obtient e y +C = 1 x, soit e y = 1 x +C, soit y = log ( 1 x + C ) = log ( ) x. 1 + Cx 3.2 Equations différentielles linéaires homogènes et nonhomogènes Définition 3.2 Une équation différentielle linéaire est un équation différentielle de la forme a(x)y + b(x)y + c(x) = 0, (8) où x a(x), x b(x), x c(x) sont des fonctions continues sur un intervalle. Équations linéaires homogènes. Puisque souvent le terme sans y s écrit dans le membre second (à droite) on appelle aussi ces équations équations linéaires sans second membre. En posant β(x) := b(x) a(x) (sur un intervalle sur lequel la fonction a ne s annule pas), on arrive à une équation de la forme y = β(x)y, (9) soit (sur un intervalle sur laquelle la fonction inconnue y ne s annule pas) dy y = β(x)dx, soit (par intégration des deux membres) log y = Φ(x) + C, où Φ est une primitive de la fonction β. On obtient donc y = e C e Φ(x), soit y = ± ± e C e Φ(x). Notons que e C est une constante strictement positive, tandis que k := ± ± e C est une constante réelle non-nulle (positive ou négative). Notons que la fonction nulle y 0 est aussi une solution de l équation (9), donc on obtient Proposition 3.3 La forme générale d une solution de l équation différentielle linéaire homogène y = β(x)y est y(x) = ke Φ(x), où Φ est une primitive de la fonction β, et k R une constante arbitraire. 28

Exemple : y = x 1+x y(x). Dans cas on a β(x) = x 2 1+x, et 2 xdx 1 + x 2 = 1 2xdx 2 1 + x 2 = 1 d(1 + x 2 ) 2 1 + x 2 = 1 2 log(1 + x2 ) = log 1 + x 2. On obtient donc la solution générale y(x) = ke log 1+x 2, soit y = k 1 + x 2 (où k R). Équations différentielle linéaires non-homogènes (avec second membre). En posant β(x) := b(x) c(x) a(x), γ(x) = a(x) on peut écrire l équation différentielle (8) sous la forme y β(x)y = γ(x). (10) Supposons que x y 0 (x) est une solution particulière de l équation non-homogène (avec second membre) (10). Remarquons qu une fonction différentiable de la forme y(x) = y 0 (x) + z(x) est solution de l équation (10) si et seulement si la fonction x z(x) est une solution de l équation linéaire homogène associée : y β(x)y = 0. (Pourquoi?). On obtient donc un principe très important dans la théorie des équations différentielles Principe général : La solution générale d une équation différentielle nonhomogène s écrit comme la somme d une solution particulière de cette équation et de la solution générale de l équation différentielle homogène associée. Nous avons vu dans le paragraphe précédent comment obtenir la solution générale d une équation linéaire homogène, donc il nous reste à expliquer une méthode pour trouver une solution particulière de l équation non-homogène et puis appliquer mécaniquement le principe général énoncé ci-dessus. Afin d obtenir une solution particulière de l équation non-homogène on peut utiliser la méthode de variation de la constante : dans la formule ke Φ(x) de la solution de l équation homogène associée on remplace la constante k par une fonction x k(x) et on détermine cette fonction en imposant que x k(x)e Φ(x) vérifie l équation non-homogène donnée. La résolution de notre équation différentielle linéaire non-homogène (10) non-homogène se fait donc en trois étapes : 1. Résoudre l équation linéaire homogène associée. 2. Utiliser la méthode de variation de la constante pour déterminer une solution particulière de l équation non-homogène donnée. 3. Écrire la solution générale de l équation non-homogène comme la somme de la solution particulière trouvée à l étape précédente et la solution générale de l équation homogène associée. 29

Exemple : (x 2 + 1)y xy = 3x. L équation homogène associée est (x 2 + 1)y xy = 0, soit y = x x 2 + 1 y. La fonction β est donc donnée par β(x) = x x 2 +1. Nous avons vu qu une primitive de cette fonction est Φ(x) = 1 2 log(x2 +1) = log x 2 + 1 donc la solution générale de l équation homogène associée s écrit : z(x) = ke log x 2 +1 = k x 2 + 1. Pour trouver une solution particulière z 0 avec la méthode de variation de la constante, on pose y 0 (x) = k(x) x 2 + 1. La condition que cette fonction vérifie notre équation non-homogène devient : [ (x 2 + 1) k (x) ] x 2 x + 1 + k(x) xk(x) x 2 + 1 = 3x, x2 + 1 soit Mais k (x)(x 2 + 1) 3 2 = 3x, soit k (x) = 3x(x 2 + 1) 3 2. 3x(x 2 + 1) 3 3 2 = 2 = 3 ( 2 2 1 (x 2 + 1) 3 3 2 2xdx = (x 2 + 1) 3 2 d(x 2 + 1) = 2 ) (x 2 + 1) 1 2 + C = 3 1 x2 + 1 + C. On peut prendre donc y 0 (x) = 3 1 x 2 +1 x2 + 1 = 3. Donc la solution générale de notre équation non-homogène s écrit y(x) = 3 + k x 2 + 1 k R. Remarque 3.4 En appliquant la méthode de variation de la constante on arrive toujours à un calcul de primitive. Démonstration: En effet, la fonction y 0 (x) = k(x)e Φ(x) vérifie l équation nonhomogène (10) si et seulement si k (x)e Φ(x) + k(x)φ (x)e Φ(x) β(x)k(x)e Φ(x) = γ(x). Puisque Φ (x) = β(x) cette condition est équivalente à k (x)e Φ(x) = γ(x), soit k x) = γ(x)e Φ(x). 30

3.3 Équations différentielles du second ordre à coefficients constants Il s agit d une équation différentielle de la forme ay + by + cy = 0, (11) où a, b, c sont des constantes réelles et a 0. Pour résoudre une telle équation on cherche d abord des solutions données par une fonction exponentielle, donc une solution de la forme y(x) = e rx. Pour une telle fonction on a y (x) = re rx, y (x) = r 2 e rx, donc une telle fonction vérifie note équation différentielle si et seulement si (ar 2 + br + c)e rx = 0. Puisque e rx > 0 (pour tout x R) on constate que cette condition revient à ar 2 + br + c = 0. Cette remarque justifie la Définition 3.5 Le polynôme caractéristique de l équation différentielle (11) est définie par P (X) := ax 2 + bx + c. Nous avons donc montré que Remarque 3.6 Une fonction de la forme y(x) = e rx est solution de l équation différentielle (11) si et seulement si r est une racine du polynôme caractéristique de l équation. Soit = b 2 4ac le discriminant de l équation. 1. > 0. Dans ce cas polynôme caractéristique admet deux racines réelles, à savoir r 1,2 = b± 2a. D après notre remarque on obtient donc deux solutions particulières de l équation (11) : y 1 (x) = e r1x, y 2 (x) = e r2x. On peut démontrer que toute autre solution de notre équation est une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières, donc la solution générale s écrit sous la forme y(x) = C 1 e r1x + C 2 e r2x. L espace des solutions de l équation différentielle (11) est un espace vectoriel réel de dimension 2 ayant (y 1, y 2 ) comme base. 2. = 0. Dans cette situation nous avons r 1 = r 2 = r = b 2a, mais la Remarque 3.6 fournit une seule solution, à savoir y 1 (x) = e rx. D autre par on peut montrer facilement que, dans ce cas, la fonction donnée par y 2 (x) = xe rx est aussi une solution de notre équation (Exercice. Utiliser l identité b + 2ar = 0). Donc nous avons de nouveau deux solutions linéairement indépendantes, et la solution générale sera y(x) = C 1 e rx + C 2 xe rx. 31

Dans ce cas aussi l espace des solutions de l équation différentielle (11) est un espace vectoriel réel de dimension 2 ayant (y 1, y 2 ) comme base. 3. < 0. Dans ce cas le polynôme caractéristique a deux racines complexes z 1,2 := b±i 2a, où z 2 = z 1. On peut utiliser la Remarque 3.6, mais on va obtenir comme solutions des fonctions à valeurs complexes (tandis que nous cherchons comme solutions des fonctions réelles). En écrivant les deux racines sous formes algébrique on obtient z 1 = u + iv, z 2 = u iv. Une solution complexe suggérée par la Remarque 3.6 sera donc la fonction complexe z(x) = e z1x = e (u+iv)x = e ux+ivx. Pour comprendre l exponentielle complexe qui intervient dans cette formule il faut utiliser la formule de Euler e a+ib = e a (cos(b) + i sin(b)), a R b R. Donc Ree a+ib = e a (cos(b), Ime a+ib = e a (sin(b), où Re, Im désignent la partie réelle, respectivement imaginaire d un nombre complexe. En particulier Re(z(x)) = Re(e (u+iv)x ) = e ux cos(vx), Im(z(x)) = Im(e (u+iv)x ) = e ux sin(vx). Mais c est facile de voir que la partie réelle et la partie imaginaire d une solution complexe sont des solutions réelles, donc on obtient deux solutions réelles particulières de notre équation, à savoir y 1 (x) = e ux cos(vx), y 2 (x) = e ux sin(vx), où u = Re(z 1 ) = b 2, v = Im(z 1) =. 2a La solution générale sera donnée par y(x) = C 1 e ux cos(vx) + C 2 e ux sin(vx), et dans ce cas aussi l espace des solutions de l équation différentielle (11) est un espace vectoriel réel de dimension 2 ayant (y 1, y 2 ) comme base. Exemple : Résoudre l équation différentielle y +2y 3y = 0 avec les conditions initiales y(1) = 1, y (1) = 1. Le polynôme caractéristique de l équation est X 2 + 2X 3, dont les racines sont r 1 = 1, r 2 = 3. La solution générale sera y(x) = C 1 e 3x + C 2 e x. Les conditions initiales deviennent : { C1 e 3 + C 2 e = 1 3C 1 e 3 + C 2 e = 1. Le déterminant du système est = e 3 e 3e 3 e = e 2 + 3e 2 = 4e 2. Donc 1 e 1 e C 1 = 4e 2 = 0, C 2 = e 3 1 3e 3 1 4e 2 = e 3 + 3e 3 4e 3 = e 1. 32

Équations du second ordre à coefficients constants avec second membre. Il d agit d une équation de la forme ay + by + cy = f(x), où a, b, c sont des constantes réelles comme avant, est f este une fonction réelle continue. L équation homogène associée à une telle équation est ay + by + cy, que nous avons étudié ci-dessus. Le principe général énoncé pour les équations linéaires non-homogènes est valable aussi dans ce contexte. Donc Principe général : La solution générale d une équation différentielle nonhomogène s écrit comme la somme d une solution particulière de cette équation et de la solution générale de l équation différentielle homogène associée. Le problème est donc de trouver une solution particulière y 0 de l équation nonhomogène (avec second membre) donnée. On a une règle simple qui résous le problème dans le cas particulier où f est une fonction polynomiale. Soit d le degré de f. On va chercher y 0 sous la forme d une fonction polynomiale de degré d si c 0, de degré d + 1 si c = 0 et b 0, et de degré d + 2 si c = b = 0. 3.4 Fonctions réelles de deux variables réelles Le terme fonction réelle signifie : fonction à valeurs dans R. Par exemple la fonction définie par f(x, y) = x 2 + y 2 est à valeurs réelles puisque x 2 + y 2 appartient à R, mais c est une fonction des deux variables réelles x et y. Les fonctions réelles de deux variables réelles sont donc des applications f : E R, où E est un sous-ensemble de R 2. Les définitions et théorèmes de ce paragraphe concernent ses fonctions mais se généralisent aux fonctions de m variables réelles à valeurs dans R n, quels que soient les entiers strictement positifs m et n. Dans la pratique, les champs vectoriels par exemple sont des fonctions à valeurs dans R 3 de trois variables réelles ; les champs scalaires comme la pression sont des fonctions à valeurs dans R de trois variables réelles. On va supposer que le domaine de définition E de nos fonctions est ouvert, c est a dire pour tout p = (x, y) E il existe r > 0 tel que le disque ouvert de centre p et rayon r B(p, r) := {q R 2 d(p, q) < r} est entièrement contenu dans E (donc B(p, r) E). Dans cette formule d désigne la distance euclidienne. Rappelons que la distance euclidienne d dans le plan R 2 est définie par : d((x, y), (u, v)) := (x u) 2 + (y v) 2. Un disque ouvert, un demiplan (privé de la droite frontière), le plan privé d un point, le plan privé d une droite ou d un cercle sont des exemples de sousensembles ouverts de R 2. 33

Notion de limite et de continuité. Intuitivement quand on dit qu une fonction f(x, y) tend vers une limite l quand (x, y) tend vers (x 0, y 0 ), cela signifie que : si (x, y) est proche de (x 0, y 0 ) alors f(x, y) est proche de l. Autrement dit : si (x, y) est suffisamment proche de (x 0, y 0 ) (sans coïncider avec (x 0, y 0 )) alors f(x, y) l est petit. Ceci se traduit par la définition suivante Définition 3.7 Soit f une fonction réelle de deux variables réelles ; on dit qu elle admet pour limite l quand (x, y) tend vers (x 0, y 0 ), en abrégé lim (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) f(x, y) = l, quel que soit ε > 0 il existe α > 0 tel que, si 0 < d((x, y), (x 0, y 0 )) < α, alors f(x, y) l ε. On peut alors définir la continuité : Définition 3.8 Une fonction réelle f de deux variables réelles est dite continue en (x 0, y 0 ) si f(x, y) = f(x 0, y 0 ). lim (x,y) (x 0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) Elle est dite continue si elle est continue en tout (x 0, y 0 ) de son domaine de définition. Dans la pratique on sait (et on ne redémontre pas) que les fonctions usuelles d une seule variable, c est à dire les polynômes, l exponentielle, le logarithme, les fonctions puissance, les fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses, sont continues sur leurs domaines de définition. Les fonctions d une ou plusieurs variables qui sont composées de fonction réelles (par exemple f(x, y) = ( ) x x 2 + y 2 + tan ) sont continues sur leurs y domaines de définition : c est une conséquence du théorème suivant (que nous énonçons dans le cas des fonctions de deux variables). Nous ne le démontrons pas, la démonstration étant à peu près la même que pour les fonctions d une variable. Théorème 3.9 (i) Si deux fonctions réelles f et g de deux variables réelles sont continues en (x 0, y 0 ), alors f + g, fg et (si g(x 0, y 0 ) 0) f sont continues g en (x 0, y 0 ). (ii) Une fonction composée de la forme ϕ(x, y) = f ( u(x, y), v(x, y) ) (en abrégé : f = ϕ(u, v)) est continue en (x 0, y 0 ) si u et v sont continues en ce 34

point et si f est continue au point (u 0, v 0 ) (image de (x 0, y 0 ) par le couple de fonctions (u, v)). (iii) Une fonction composée de la forme ψ(x, y) = f(g(x, y)) (où f est une fonction réelle d une variable réelle et g une fonction réelle de deux variables réelles) est continue en (x 0, y 0 ) si g est continue en ce point et si f est continue en g(x 0, y 0 ). Apparemment il n y a plus de problème, toutes les fonctions qu on peut avoir à utiliser sont continues sur leurs domaines de définition. Mais nous allons voir sur les exemples suivants que le problème se pose quand on veut prolonger les fonctions en dehors de leurs domaines de définition. x 2 y Exemples : Soit f(x, y) = x 2. Cette fonction n est pas définie en + y2 x 2 y (x, y) = (0, 0). Compte tenu que x 2 + y 2 est nul si une seule des deux variables x ou y est nulle, il est naturel de prolonger la fonction f en posant f(0, 0) = 0, elle est alors définie sur R 2 mais il faut démontrer qu elle est continue en (0, 0) parce que pour le moment on sait seulement qu elle est continue en tout (x 0, y 0 ) (0, 0). Pour cela écrivons la sous forme d un produit de deux fonctions : f(x, y) = x2 x 2 + y 2 y. La première fonction c est à dire x 2 x 2 + y 2 est comrise entre 0 et 1 parce que 0 x 2 + y 2 x2 x 2 + y 2 x2 + y 2 x 2. Donc f(x, y) est compris entre y et y et, compte + y2 tenu que y tend vers 0 quand (x, y) (0, 0), on a bien lim f(x, y) = 0 (x,y) (0,0) c est à dire lim (x,y) (0,0) f(x, y) = f(0, 0) et f est continue en (0, 0). Soit g(x, y) = xy x 2. Comme la précédente cette fonction est continue + y2 en tout (x 0, y 0 ) (0, 0) mais contrairement à la précédente on ne peut pas la prolonger en une fonction continue sur R 2 pour les raisons suivantes : même si x et y sont petits, g(x, y) ne l est pas forcément puisque si x = y on a g(x, x) = x2 2x 2 = 1 2 ; et on ne peut pas dire pour autant que la limite de g(x, y) quand (x, y) (0, 0) vaut 1 puisque, si x est petit (et non nul) et si y est nul, on a g(x, 0) = 2 0 x 2 = 0. Dérivées partielles. Soit f une fonction réelle de deux variables réelles x et y définie sur un sous-ensemble ouvert de R 2 ; pour obtenir sa dérivée partielle par rapport à x, notée f, on fait comme si y était une constante et on dérive x 35

f(x, y) par rapport à x. On définit de même la dérivée partielle de f par rapport à y, notée f y. Remarquons qu on a utilisé le symbole au lieu du symbole d ; on utilise le symbole chaque fois qu on a affaire à une fonction( de plusieurs variables. f D autre part on appelle gradient de f le vecteur x, f ). y Par exemple la fonction f(x, y) = x 2 y 3 + x 3 a pour dérivées partielles f x (x, y) = 2xy3 + 3x 2 (puisqu on a considéré y 3 comme une constante), f y (x, y) = 3x2 y 2 (parce que cette fois on a considéré x 2 et x 3 comme des constantes, et la dérivée de la constante x 3 est nulle). Différentielle. La notion de différentielle, d une fonction de deux variables par exemple, est un peu plus compliquée que celle de dérivée ou de dérivée partielle. Prenons d abord comme exemple la fonction f(x, y) = x 2 y 3 + x 3, dont les dérivées partielles sont 2xy 3 +3x 2 et 3x 2 y 2. Au point (x, y) = (1, 2) par exemple ces dérivées partielles valent 2 2 3 +3 = 19 et 3 2 2 = 12. On appelle différentielle de f au point (1, 2) la fonction de deux variables réelles ϕ(h, k) = 19h + 12k. Cette fonction est notée habituellement df(1, 2), on a donc df(1, 2)(h, k) = 19h+ 12k. Autre exemple, la fonction d une seule variable g(x) = x 2 a pour dérivée g (x) = 2x ; au point 2 par exemple, g (2) = 4. La différentielle de g au point 2 est une fonction d une variable réelle, notée dg(2) et définie par dg(2)(h) = 4h. Plus généralement la différentielle au point x 0 de toute fonction g d une seule variable est une fonction notée dg(x 0 ) et définie par dg(x 0 )(h) = hg (x 0 ). On sait que la dérivée de g au point x 0 est définie par g g(x) g(x 0 ) (x 0 ) = lim, x x 0 x x 0 ce qu on peut écrire g g(x 0 + h) g(x 0 ) (x 0 ) = lim. On a donc h 0 h g(x 0 + h) g(x 0 ) hg (x 0 ) lim = 0. (12) h 0 h Par analogie avec cette formule nous allons définir la différentielle d une fonction de deux variables : Définition 3.10 Une fonction réelle f de deux variables réelles est dite différentiable au point (x 0, y 0 ) s il existe deux constantes a et b telles que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) (ah + bk) lim = 0. (13) (h,k) (0,0) h2 + k 2 On appelle alors différentielle de f au point (x 0, y 0 ) la fonction de deux variables h et k, notée df(x 0, y 0 ) et définie par df(x 0, y 0 ) = ah + bk. (14) 36

Pour compléter l analogie entre les formules (12) et (13), le théorème suivant précise quelles sont les valeurs de a et b. Théorème 3.11 Si f est différentiable au point (x 0, y 0 ) et si df(x 0, y 0 ) = ah + bk, alors a et b sont les dérivées partielles de f en (x 0, y 0 ). Démonstration : Faisons k = 0 dans (13) ; on obtient ( ( )) f(x0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) ah lim ± = 0 h 0 h (avec le signe + si h > 0 et le signe si h < 0). Ce qui équivaut à ( ) f(x0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lim a = 0 h 0 h et à lim h 0 ( ) f(x0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = a. h Ceci prouve que a est la dérivée en x 0 de la fonction f(x, y 0 ), c est à dire la dérivée partielle en (x 0, y 0 ) de la fonction f par rapport à sa première variable. On fait de même pour la dérivée partielle de f par rapport à sa deuxième variable. Remarquons que la fonction f définie par x 2 y f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0),dont on a vérifié au paragraphe précédent qu elle est continue, n est pas différentiable en (0, 0). Si elle l était, a et b seraient ses dérivées partielles en (0, 0) ; or ces dérivées partielles sont les dérivées de f(x, 0) et de f(0, y) respectivement, et elles sont nulles parce que f(x, 0) = f(0, y) = 0. La condition (13) équivaut alors à lim (h,k) (0,0) f(h, k) h2 + k = 0, et elle n est pas vérifiée parce que f(h, h) 2 h2 + h = 2 h 3 2h 2 2h = ± 1 2 2. Pour qu elle soit différentiable en (0, 0) il aurait fallu poser 2 f(x, y) = x2 y 2 x 2 au lieu de f(x, y) = x2 y + y2 x 2 + y 2. Pour terminer donnons l interprétation géométrique de la différentielle. Pour une fonction g d une seule variable, la formule (12) a un rapport avec l équation de la tangente au point d abscisse x 0 puisque cette équation est y = g(x 0 )+(x x 0 )g (x 0 ). L existence de g (x 0 ) garantit l existence de cette tangente. Pour une fonction f de deux variables, la formule (13) a un rapport avec l équation du plan tangent au point (x 0, y 0 ) : cette équation est z = f(x 0, y 0 )+a(x x 0 )+b(y y 0 ). L existence des dérivées partielles a et b ne garantit pas l existence du plan tangent, par contre l existence de la différentielle de f au point (x 0, y 0 ) est équivalente à l existence du plan tangent. 37

Quelques théorèmes. Toute fonction de deux variables définie au moyen de fonctions usuelles, c est à dire définie par une seule formule faisant intervenir des sommes, produits, quotients et composées de fonctions usuelles, est différentiable sur tout sous-ensemble ouvert du domaine de définition de ses dérivées partielles. C est une conséquence du théorème suivant : Théorème 3.12 Soit f une fonction réelle de deux variables réelles définie sur un sous-ensemble ouvert E R 2. Si ses dérivées partielles sont définies en un point (x 0, y 0 ) et si au moins une des deux est continue en ce point, alors f est différentiable en (x 0, y 0 ). Démonstration : Il faut prouver que la condition (13) est vérifiée, en supposant par exemple que f x est continue en (x 0, y 0 ). On a f(x 0+h,y 0+k) f(x 0,y 0) (ah+bk) h 2 +k 2 = = f(x0+h,y0+k) f(x0,y0+k) ah h h + f(x0,y0+k) f(x0,y0) bk k h 2 +k 2 k h 2 +k 2 (15) où a et b sont les dérivées partielles de f au point (x 0, y 0 ). h Dans cette expression les termes h2 + k et 2 k sont compris entre h2 + k2 est le taux d ac- 1 et 1. D autre part, x 0 et y 0 étant fixés, f(x0,y0+k) f(x0,y0) k croissement de f(x 0, y) en tant que fonction de y. Il tend vers la dérivée de cette fonction, c est à dire vers f y (x 0, y 0 ) = b, et par conséquent le dernier terme dans (15) tend vers 0. La démonstration est un peu plus compliquée pour l avant dernier terme : il faut prouver que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 + k) tend vers f h x (x 0, y 0 ) = a c est à dire il faut prouver qu il a même limite que le taux d accroissement f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ). D après le théorème des accroissements finis il h existe un réel c compris entre x 0 et x 0 +h tel que f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 + k) h soit égal à la dérivée de la fonction f(x, y 0 +k) au point c, c est à dire f x (c, y 0 + k). Comme on a supposé f x continue en (x f 0, y 0 ), x (c, y 0 + k) tend vers f x (x 0, y 0 ) quand (h, k) (0, 0) (c tendant évidemment vers x 0 quand h 0). On en déduit facilement que l avant dernier terme dans (15) tend vers 0. Le théorème de Schwarz affirme qu à certaines conditions on obtient le même résultat en dérivant une fonction d abord par rapport à la première variable puis en dérivant la fonction obtenue par rapport à la deuxième variable, qu en faisant l inverse. 38

Théorème 3.13 ( ) Soit une fonction réelle de deux variables réelles. Si les dérivées ( ) partielles f x y (c est à dire la dérivée de f y par rapport à x) et f y x (c est à dire la dérivée de f x par rapport à y) existent en tout point (x, y) du domaine de définition de f, et si elles sont continues en un point (x 0, y 0 ), alors elle sont égales en ce point. ( ) ( ) f x y et f y x peuvent être différents pour certaines fonctions, par exemple celle du contrerxemple de Péano : xy ( x 2 y 2) f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) f x ( ) f y (0, 0) = 1 et f y ( ) f x (0, 0 = 1. Dérivation des fonctions composées (ou formule de dérivation en chaîne) Théorème 3.14 Soit f une fonction différentiable réelle de deux variables réelles, et soient ϕ et ψ deux fonctions dérivables réelles d une variable réelle. Soit f 1 la fonction composée, définie par Elle a pour dérivée f 1 (t) = f ( ϕ(t), ψ(t) ). f 1 (t) = f ( ) ϕ(t), ψ(t) ϕ (t) + f ( ) ϕ(t), ψ(t) ψ (t) x y (en abrégé : df dt = f x x t + f y y t ). Démonstration : Soit t 0 un élément du domaine de définition de f 1 ; on veut démontrer que f 1 (t 0 ) f ( ϕ(t0 ), ψ(t 0 ) ) ϕ (t 0 ) f ( ϕ(t0 ), ψ(t 0 ) ) ψ (t 0 ) = 0. (16) x y Compte tenu que la dérivée d une fonction est la limite de son taux d accroissement, (16) équivaut à ( f1 (t) f 1 (t 0 ) lim a ϕ(t) ϕ(t 0) b ψ(t) ψ(t ) 0) = 0 (17) t t 0 t t 0 t t 0 t t 0 où a et b sont les dérivées partielles de f au point ( ϕ(t 0 ), ψ(t 0 ) ). Pour démontrer (17) il suffit de le comparer à (13), qui est vrai puisqu on a supposé f différentiable. 39

Pour cela on pose x 0 = ϕ(t 0 ) et y 0 = ψ(t 0 ) ; on a donc f 1 (t 0 ) = f(x 0, y 0 ) ; puis, en posant h = ϕ(t) x 0 et k = ψ(t) y 0 on a f 1 (t) = f(x 0 + h, y 0 + k). Finalement la relation (17) équivaut à ( ) f(x0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) (ah + bk) lim = 0 t t 0 t t 0 et à lim t t 0 ( f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) (ah + bk) h2 + k 2 ) h2 + k 2 = 0. (18) t t 0 C est la limite d un produit ; le premier terme de ce produit tend vers 0 d après (13), et le second vaut h2 + k 2 = ± h 2 t t 0 (t t 0 ) 2 + hk 2 (t t 0 ) 2 = ± (ϕ(t) ) 2 ( ϕ(t0 ) ψ(t) ψ(t0 ) + t t 0 t t 0 et il tend vers ± (ϕ (t 0 )) + (ψ (t 0 )). Le produit des deux termes tend donc vers 0, ce qui prouve le théorème. Application : Soit f une fonction réelle de deux variables réelles x et y, qu on considère comme les coordonnées d un point M du plan. On veut calculer les dérivées partielles de f, non pas par rapport à x et y mais par rapport aux coordonnées polaires ρ et θ du point M. D abord par manque de chance le théorème ne s applique pas puisque x = ρ cos θ et y = ρ sin θ sont fonctions de deux variables, alors que dans le théorème ils sont fonctions d une seule variable. Mais comme il s agit de dérivées partielles on fixe une des deux variables, par exemple θ, et x et y sont alors fonction de la seule variable ρ. Comme les dérivées deρ cos θ et ρ sin θ par rapport à ρ sont respectivement cos θ et sin θ, on a d après le théorème f ρ = f f cos θ + x y sin θ (où on a remplacé le df f par pour tenir compte du fait que f est fonction dt ρ des deux variables ρ et θ). De même en dérivant par rapport à θ on a 3.5 Courbes f θ = f f ρ sin θ + ρ cos θ. x y a) Équation d une courbe plane (exemples). L équation d une courbe plane C donne la condition sur x et y pour que le point M(x, y) appartienne à C. Par exemple on sait que l équation de la droite de ) 2 40

pente a passant par le point B(0, b) est y = ax+b. L équation du cercle de centre Ω(x 0, y 0 ) et de rayon R peut être donnée sous la forme (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 = R 2. Prenons l exemple du cercle trigonométrique (de centre O et de rayon 1) :. M x 2 + y 2 = 1. O H Par le théorème de Pythagore, OM 2 = OH 2 + HM 2 = x 2 + y 2 = 1 donc le point M(x, y) est à distance 1 du point O c est à dire il est sur le cercle de centre O et de rayon 1. On peut aussi mettre l équation du cercle trigonométrique sous la forme y = f(x) : la relation x 2 +y 2 = 1 équivaut à y 2 = 1 x 2 c est à dire y = 1 x 2 ou 1 x 2. Faisons l étude de la fonction 1 x 2 : x 1 0 1 f(x) = 1 x 2 f x (x) = 1 x 2 f (x) f(x) 0 + 0 1 0 B. M(x,f(x)) C O A 41

D après ce tableau de variations le point A(1, 0) correspond à un minimum de la fonction f, le point B(0, 1) à un maximum et le point C( 1, 0) à un minimum. La courbe de f est un demi cercle, pour avoir le cercle entier il faudrait ajouter la courbe de la fonction g(x) = 1 x 2. Pour avoir une représentation paramétrique du cercle trigonométrique, on remarque que deux réels x et y vérifient la relation x 2 +y 2 = 1 si et seulement si il existe un réel t tel que x = cos t et y = sin t, et ces deux équations constituent une des représentation paramétrique possibles du cercle. Géométriquement, t est l angle entre le vecteur OA(1, 0) et le vecteur OM(x, y). On peut construire la courbe à partir de sa représentation paramétrique : t 0 π/2 π 3π/2 2π { x(t) = cos t y(t) = sin t { x (t) = sin t y (t) = cos t y (t) x(t) y(t) 1 0 + 0 0 + 0 0 1 1 0 1 1 0 x (t) 0 + + B M C. O t A D Le tableau de variations s interprète graphiquement de la façon suivante : comme la fonction x(t) varie entre x(π) = 1 et x(0) = x(2π) = 1, la courbe est comprise entre la droite verticale d équation x = 1 et la droite verticale d équation x = 1, et par conséquent elle est tangente à la première droite au point C(x(π), y(π)) = C( 1, 0) et à la deuxième au point A(1, 0). De même, elle admet des tangentes horizontales aux points B(0, 1) et D(0, 1). Il y a aussi l interprétation mécanique ( : t représente le temps et, dans cet exemple, il représente aussi l angle OA, OM ), par conséquent le point M se déplace à vitesse constante sur le cercle en partant du point A (au temps t = 0) pour passer par B, C, D et retourner en A (au temps t = 2π). Donnons une autre représentation paramétrique (dite rationnelle) du cercle 42

t 1 0 1 + trigonométrique : x (t) + + 0 x(t) = 1 t2 1 + t 2 y(t) = 2t 1 + t 2 x (t) = 4t (1 + t 2 ) 2 y(t) = 2(1 t2 ) (1 + t 2 ) 2 y (t) x(t) y(t) 1 0 0 + + 0 1 0 0 1 0 1 1 0 B M C O A D La courbe est un cercle parce qu on peut vérifier par le calcul que ( x(t) ) 2 ( ) 2 + y(t) vaut 1. Le point C( 1, 0) n est jamais atteint : il n existe pas t tel que (x(t), y(t)) = ( 1, 0), par contre la limite de (x(t), y(t)) quand t ± est ( 1, 0). Les points D, A, B sont atteints respectivement pour t = 1, t = 0 et t = 1. L interprétation mécanique de ce paramétrage du cercle est moins naturelle : ce n est pas le point T (intersection de la droite (OM) avec la droite verticale d équation x = 1) qui se déplace à vitesse constante mais le point T d abscisse 1 tel que ( OA, OT ) = 1 2 ( OA, OM ). { Autre exemple un peu plus compliqué : la courbe paramétrée d équations x(t) = e t 5t y(t) = e t n est pas une courbe d équation y = f(x), avec f composée 8t de fonctions usuelles. En effet il n est pas possible de calculer t en fonction de x(t) et encore moins de calculer y(t) en[ fonction uniquement de x(t). On se limitera à l intervalle t 6 5, 36 ] de façon que x(t) et y(t) ne 11 dépassent pas 10 : { x(t) = e t 5t y(t) = e t 8t { x (t) = e t 5 y (t) = e t 8 43

t 6/5 ln(5) ln(8) 36/11 x (t) 0 + + y (t) x(t) y(t) 0 + 6,3 10 2,4 3 9,9 0,2 7,9 8,6 D après le tableau de variations la courbe est incluse dans le quart de plan délimité par la droite d équation x = 5 5 ln(5) 3 (parce que x(t) 5 5 ln(5) pour tout t) et la droite d équation y = 8 8 ln(8) 8, 6 (parce que y(t) 8 8 ln(8) pour tout t). Ces deux droites sont tangentes à la courbe aux points de contacts. Au temps t = 6 le point 5 M(x(t), y(t)) a pour coordonnées 6, 3 et 9, 9, et au temps t = 36 il a pour 11 coordonnées 10 et 0, 2 ; au temps t = 0 il a pour coordonnées (1, 1) et par conséquent la courbe passe en dessous de l origine. Pour la dessiner il suffit de placer le point de coordonnées (1, 1) et les quatre points considérés dans le tableau de variations, puis de tracer une courbe la plus régulière possible qui relie ces cinq points. b) Ce qu il faut savoir sur les courbes paramétrées. Définition 3.15 La courbe paramétrée définie par deux fonctions x(t) et y(t) est l ensemble des points M(x(t), y(t)) (pour tout t dans le domaine de définition des fonctions x et y). Un point M(x(t), y(t)) est dit singulier si x (t) = y (t) = 0. On dit qu un point M est double s il existe t 1 et t 2 distincts tels que x(t 1 ) = x(t 2 ) et y(t 1 ) = y(t 2 ) soient les coordonnées de M. On dit que la courbe admet une branche infinie en t t 0 si lim x(t) ou t t0 44

lim y(t) est infini, et qu elle admet pour asymptote la droite d équation ax + t t 0 by + c = 0 si lim (ax(t) + by(t) + c) = 0. t t0 Les définitions sont analogues pour les courbes paramétrées dans l espace (appelées courbes gauches), définies par trois fonctions x(t), y(t) et z(t). Théorème 3.16 La pente de la tangente au point M(x(t), y(t)) est égale à y (t) x (t) si x (t) 0. Cette tangente est verticale si x (t) = 0 et y (t) 0. Si la courbe admet une asymptote (D) quand t t 0, alors la distance du point M(x(t), y(t)) à la droite (D) tend vers 0 quand t t 0. Supposons que les fonctions x(t) et y(t) soient définies sur R ou sur un intervalle [ a, a]. Alors la courbe est symétrique par rapport à l axe des x si x( t) = x(t) et y( t) = y(t) ; symétrique par rapport à l axe des y si x( t) = x(t) et y( t) = y(t) ; symétrique par rapport à l origine si x( t) = x(t) et y( t) = y(t). c) Quelques autres définitions et formules. On considère une courbe paramétrée, et un point M 0 de cette courbe. Remarquons d abord que tout cercle centré sur la droite orthogonale à la tangente à la courbe au point M 0, admet la même tangente en ce point ; ces cercles sont donc proches de la courbe au voisinage de M 0. Parmi eux, un seul cercle possède la propriété suivante : 45

Tangente Normale à la tangente Courbe paramétrée T M C M 0 cecc Ω Cercle osculateur le rapport CM tend vers 0 quand le point M (de la courbe paramétrée) tend CT vers M 0. Ce cercle s appelle cercle osculateur, son rayon R = ΩM 0 s appelle rayon de courbure. Ce qu on appelle courbure au point M 0 c est ρ = 1 R. Le calcul (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/courbure_d un_arc) donne ρ = x 0y 0 y 0x 0, où x v 3 0 et y 0 sont les dérivées des fonctions x et y au temps 0 t = t 0, x 0 et y 0 sont leurs dérivées secondes, et v 0 = x 02 + y 02 est la vitesse du point M au temps t = t 0. La définition géométrique du cercle osculateur est la même dans le cas d une courbe dans l espace. Le plan qui contient ce cercle s appelle plan osculateur. D autre part la longueur de la courbe parcourue par le point M ( x(t), y(t) ) t2 (x entre le temps t 1 et le temps t 2 est égale à (t) ) 2 ( + y (t) ) 2 dt. d) Classification des coniques (http://fr.wikipedia.org/wiki/conique). On appelle conique toute courbe d équation αx 2 + βxy + γy 2 + δx + εy + ϕ = 0, où α, β, γ, δ, ε, ϕ sont des constantes réelles avec (α, β, γ) (0, 0, 0). On démontre qu une telle courbe est soit une ellipse, une hyperbole ou une parabole, sauf dans des cas particuliers ou on obtient une ou deux droites, un point, ou un ensemble vide. t 1 46

Pour s en convaincre donnons trois exemples : x 2 + x + y + 1 = 0 est l équation d une parabole puisqu elle équivaut à y = x 2 x 1 ; x 2 + y 2 1 = 0 est l équation du cercle trigonométrique ; x 2 2xy + y 2 1 = 0 équivaut à (x y) 2 = 1 ce qui fait x y = 1 ou x y = 1 : on obtient deux droites, d équations y = x 1 et y = x + 1. Donnons d autres exemples plus généraux. D abord l équation du cercle de rayon R centré à l origine est x 2 + y 2 = R 2, ce qu on peut mettre sous la forme ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1. Plus généralement, quelles que soient les constantes a et b, R R ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1 est l équation de l ellipse centrée à l origine et qui passe a b par les points A(a, 0), B(0, b), C( a, 0), D(0, b) : B C A D ( x a ) 2 ( y b ) 2 = 1 est l équation de l hyperbole qui passe par les points A(a, 0) et C( a, 0) et admet pour asymptote les droites d équation y = ± b a x : B C A D En paramétrique, { x = R cos t l équation du cercle de rayon R centré à l origine est y = R sin t, l équation de l ellipse centrée à l origine et qui passe par les points A(a, 0), 47

{ x = a cos t B(0, b), C( a, 0), D(0, b) est y = b sin t, l équation de l hyperbole qui passe par les points A(a, 0) et C( a, 0) et admet pour asymptote les droites d équation y = ± b a x est x = a cosh t = a et + e t 2 y = b sinh t = b et e t. 2 48