TD1. Equations différentielles, partie 1.

TD1. Equations différentielles, partie 1. Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) y + 2y = 0 b) 2y 3y = 0 c) 5y + 2y = y + y d) y + y = 3. Exercice 2 Résoudre les équations suivantes : y + 3y = 0 2y y = 0 a) b) y(1) = 1 y(0) = 1. Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : c) y = 2y + 4 y(0) = 0. a) y +y 2y = 0, b) y = 0, c) y +2y +y = 0, d) y +9y = 0, e) y y +y = 0. Exercice 4 a) Résoudre les équations suivantes : y + y = 0 y + y 2y = 4 b) y(0) = 0, y (0) = 1. y(0) = 1, y (0) = 0. c) y 4y + 4y = 12 y(0 = 0, y (0) = 6. Exercice 5( Extrait de DS 2008) On considère une masse m accrochée à un ressort et coulissant sur une tige horizontale. On notera y l écart de cette masse à la position d équilibre. On suppose que lorsque la masse n est pas à l équilibre, il s exerce sur elle une force de rappel f 1 d intensité f 1 = λ 1 y avec λ 1 > 0, à laquelle s ajoute une force de résistance f 2 proportionnelle à la vitesse de la masse f 2 = λ 2 dy dt avec λ 2 > 0. 1. Montrer que la fonction t y(t) satisfait l équation différentielle m d2 y dt 2 = λ 1y λ 2 dy dt, dite équation des oscillations libres. De quel type est cette équation? 1/14

2. Ecrire l équation caractéristique associée. 3. Donner les solutions de cette équation lorsque : a) la force de freinage est grande : λ 2 > 2 mλ 1, b) la force de freinage est petite : λ 2 < 2 mλ 1. Quelle solution a-t-on si λ 2 = 2 mλ 1? 4. Décrire brièvement l évolution du système dans chacun des cas précédents. 5. Application numérique : Donner les solutions de l équation pour : m = 40 kg, λ 1 = 10 N/m et λ 2 = 50 N/m. Exercice 6( Extrait de DS 2006) Résoudre l équation (E) 1 3 y (t) + y(t) = 1 y(0) = 3. Exercice 7( Extrait de DS 2006) Résoudre les équations différentielles suivantes : y + 4y = 2 4y 4y + y = 3 (E 1 ) y(0) = 2 y ( π) = 4 (E 2 ) y(0) = 1 y (0) = 3. 2 2/14

TD2. Equations différentielles. Partie 2 Exercice 1 Calculer les solutions des équations différentielles suivantes : 1. y + y 6y = 0. 2. y 2y + y = 0. 3. y + 4y = 0. 4. y + y 6y = 2e 3x. 5. y 2y + y = e x cos 2x. 6. y + 4y = x 2 + 1. Exercice 2 Calculer les solutions des équations différentielles suivantes : 1. (1 + x 2 )y + xy 2x = 0. 2. (x 1)y (2x 1)y + x 2 = 0. 3. (1 + x 3 )y = x 2 y et y(1) = 2. Exercice 3 Soit l équation différentielle : y + ω 2 = y. Comment choisir ω pour que cette équation admette une solution non identiquement nulle, s annulant en x = 0 et x = π. Exercice 4 Résoudre le système f = 4f + g Exercice 5 Résoudre les équations : g = f + 4g avec f(0) = 0 g(0) = 1. a) 2y + 5y = cos x, b) y + y = e x, c) y + y = x 2 e x. 3/14

Exercice 6 Résoudre les équations : a) y + y = 2t, b) y + y = cos(2t), c) y + 2y + y = t 2, d) y + y + y = e t e) y + y + y = e t + sin(t). Exercice 7 Résoudre les équations : a) y 1 t y = 0 pour t > 0 b) y 1 t y = 0 pour t < 0 c) sin ty cos ty = 0. Exercice 8 Résoudre à l aide de la méthode de variation de la constante : a) 3y y = e 2t b) y 1 t + 1 y = t2 1, pour t > 0 c) ty + y = 1 t 2. 4/14

TD3. Trigonométrie. Exercice 1 Représenter sur le cercle trigonométrique les points M i tels que la mesure de l angle ( OA, OM i ) soit π, π, 29π 2 4 Exercice 2, 35π. 3 6 Exprimer en fonction de cos x et de sin x les expressions suivantes : ( A = cos x 5π ) ( ) 3π B = cos 2 2 2x C = sin(257π + x). Exercice 3 On pose t = tan x 1 t2. Démontrer que cos x =. En déduire l expression de sin x et 2 1+t 2 de tan x en fonction de t. Exercice 4 Déterminer a [2, 3] tel que sin(a) = 1 2. Déterminer b [4, 6] tel que cos(b) = 2 2. Exercice 5 Représenter sur le cercle trigonométrique les solutions de ces équations : 1. 4 cos 2 x = 1. 2. sin(x π 4 ) = 1 2. 3. sin(2t) = 1 2. Exercice 6 Résoudre les équations trigonométriques : a) cos x = 3 2, b) 3 cos x sin x = 3, c) sin(2x) = sin(x). Exercice 7 Résoudre les inéquations suivantes : 5/14

1. sin x 1 2. 2. cos(x + π 6 ) 1 2. 3. cos(x) sin(x). 4. sin(x + π 6 ) 1 2. Exercice 8(Extrait de DS 2008) Pour tout x R, on définit l expression f(x) = 2 + 2 cos(x) 2 2 sin(x). Le but de l exercice est de résoudre l équation f(x) = 3. 1. Montrer que cos( π) = 2+ 2. 8 2 2. En déduire la valeur exacte de sin( π). 8 3. Déterminer A > 0 et ϕ R tels que f(x) = A cos(x + ϕ). 4. Résoudre f(x) = 3. Exercice 9(Extrait de DS 2006) En justifiant la démarche, déterminer les valeurs de : sin(153 π 4 ) cos(580π 3 ). Exercice 10(Extrait de DS 2006) Soit la fonction réelle f(x) = cos(2x) sin(2x). 1. Mettre f sous la forme A cos(2x + ϕ) avec A > 0. Quelle est la valeur maximale de f? 2. Résoudre l équation f(x) = 2. Donner les solutions sur R puis sur [ π, π]. 2 Exercice 11(Extrait de DS 2005) Soit l équation (E) : 4 sin 3 (x) 2 sin(2x) sin(x) = 0. a) Montrer que (E) (cos 2 (x) cos(x) + 3 ) sin(x) = 0. 4 b) Résoudre (E) sur R. 6/14

TD4. Nombres complexes. Exercice 1 Déterminer les parties réelles et imaginaires ainsi que le module et l argument des nombres complexes suivants : 1. e i+1, 2. 4e π 4, 3. 1 2, 4. 1 i, 5. (1 + i) 5, 6. 1 1+i + 1 1 i, 7. (1 + i) 3 + (1 i) 3, 8. 1 + i tan θ, avec θ [ π 2, π 2 [, 9. 1 e iθ, avec θ [0, 2π[. Exercice 2 Quels sont parmi les nombres suivants les nombres égaux à z = 1 + i 3 : 2e i π 3 2e 11 π 3 2e 4 π 3 2e i 4π 3. Quels sont parmi les nombres suivants les nombres conjugués à z = e i π 5 : (e i π 5 ) 4 (e i π 5 ) 4 e i 9π 5. Exercice 3 1. Mettre sous forme trigonométrique le complexe 2. Calculer (1 + i 3) 2003. 1 + i 3 sin x + i cos x 2(1 i) cos x i sin x. 7/14

Exercice 4 1. Calculer le module et l argument du nombre complexe z = 1+i tan ϕ 1 i tan ϕ. 2. En déduire les expressions de sin(2ϕ), cos(2ϕ) et tan(2ϕ) en fonction de tan ϕ. 3. Application : Calculer tan( π 8 ). Exercice 5 1. Calculer les parties réelles et imaginaires, ainsi que le module et l argument des nombres complexes suivants : a) e i+1, b) 1 i, c) (1 + i)5, d) 2. Résoudre dans C l équation z 2 = 8 + 6i. 3. Résoudre dans C l équation ( 1+z 1 z ) 3 = 1 i. 1 1 + i + 1 1 i. Exercice 6 Trouver deux nombres complexes conjugués dont le produit soit égal à la somme. Exercice 7 1. Trouver z tel que z = 1 = 1 z. z 2. Qu impliquent géométriquement les relations précédentes? Exercice 8(Extrait de DS 2008) 1. Calculer le module et l argument de chacun des nombres complexes z 1 = 6 i 2 2 et z 2 = 1 i. 2. En déduire le module et l argument de z = z 1 z 2. 3. Utiliser les résultats précédents pour calculer cos( π 12 ) et sin( π 12 ). Exercice 9 1. Linéariser cos 3 x et sin 3 x. 8/14

2. En déduire cos 3x en fonction de cos x. Exercice 10 Linéariser cos 5 x et sin 3 x cos 2 x. Exercice 11 Résoudre les équations du second degré suivantes : 1. z 2 + 2iz 5 = 0, 2. z 2 2(3 2i)z + 5 20i = 0, 3. z 4 (5 14i)z 2 2(12 + 5i) = 0. Exercice 12 a) Mettre sous forme algébrique z = (1 + i) 4. b) Démontrer par récurrence que (1 + i) 4n = ( 4) n. Exercice 13(Extrait de DS 2008) 1. Résoudre dans C l équation z 3 = 3 + i. 2. (a) Résoudre dans C l équation z 2 = 8 + 6i. (b) En déduire les solutions de l équation z 2 (3 i)z + 4 3i = 0. Exercice 14 Résoudre les équations suivantes : a) z 3 = 1 + i 3, b) ( ) 3 1 + z = 1 i, c) z 4 + z 2 + 1 = 0. 1 z Exercice 15 Préciser dans chacun des cas suivants l ensemble des nombres complexes vérifiant : a) z + 2 = z + i. b) z = 1 + e iθ, où θ [0, 2π[. c) z = 2i + k(1 i), où k R. 9/14

Exercice 16 Supposons que le point M d affixe z = x + iy décrit au cercle : x 2 + y 2 2ax = 0. Qu en est il du point M d affixe Z = z 1 z+1? Exercice 17 Soit f l inversion complexe de pôle 0 et de puissance 1. 1. Soit la droite d équation x = 1 ; déterminer son image par f. 2. Soit le cercle d équation x 2 + y 2 = 1 ; déterminer son image par f. 3. Déterminer l image de la première bissectrice par f. Exercice 18(Extrait de DS 2006) 1. Résoudre dans C l équation (E 1 ) : z 2 + 8 3z + 64 = 0. Donner les solutions sous la forme algébrique et sous la forme exponentielle. 2. Résoudre dans C l équation (E 2 ) : z 4 +8 3z 2 +64 = 0. Donner les solutions sous la forme exponentielle. 3. Justifier que, pour x [0, π], cos( x) = 1+cos x et sin( x) = 1 cos x. En déduire 2 2 2 2 la valeur de cos( 5π 5π ) et sin( ). 12 12 4. Donner les solutions de (E 2 ) sous forme algébrique. 5. Choisir l une des solutions de (E 2 ) et expliquer comment la placer dans le plan complexe en utilisant la régle et le compas. Exercice 19(Extrait de DS 2006) Soit z(ω) = 1 1 i ω 3 avec ω > 0. 1. Placer, en justifiant votre démarche, les points correspondants à ω = 3 et ω = 3. 2. Représenter dans le plan complexe l ensemble des points M[z(ω)] quand ω ]0, [. Exercice 20 Soit la fonction f définie par f(z) = 2iz + 2, z C. 10/14

1. Montrer que f a un point fixe I d affixe z 0. 2. Montrer que si M est l image de M par f, il existe k R tel que IM = kim et préciser la valeur du réel k. 3. Calculer l angle (IM, IM ) et montrer que sa valeur est indépendante de M. 11/14

TD5. Vecteurs. Exercice 1 Soient u = 1(4, 3) et v = 1 (3, 4) dans le plan muni du repère orthonormé (0, ı, j). 5 5 1. Démontrer que ces vecteurs forment une base orthonormale. 2. Exprimer u et v en fonction de ı et de j. En déduire l expression de ı et j en fonction de u et v. 3. Soit M(x, y) dans (0, ı, j). Quelles sont les coordonnées de M dans la nouvelle base. Exercice 2 Soit A( 1; 3) et C le cercle de centre 0 et de rayon 1. 2 2 a) Vérifier que A C. b) Déterminer l équation de la tangente à C en A. Exercice 3 Dans l espace rapporté à une base orthonormée ( ı, j, k), soit les vecteurs A = k, B = ı + k et C = ı + j + k. 1. Calculer l expression ( A. C ) B ( A. B ) C. 2. Déterminer le vecteur V tel que V = A ( B C ). 3. Conclure. Est-ce vrai dans le cas général? Exercice 4 On se place dans l espace usuel R 3. Soit le plan P 1 passant par A( 1, 1, 2) et de vecteurs directeurs u( 1, 0, 1) et v(2, 1, 0) et soit le plan P 2 passant par les points A (1, 0, 0), B (0, 1, 0) et C (0, 0, 1). a) Donner l équation des plans P 1 et P 2. b) Etudier l intersection des plans. 12/14

Exercice 5 Soit (0, ı, j, k) un repère orthonormé direct de l espace. On pose I = 1 2 ( ı + k), J = 1 3 ( ı + j + k), K = 1 6 ( ı 2 j + k). 1. Démontrer que ( I, J, K) est une base orthonormée. 2. Calculer I J. La base est elle directe? Exercice 6 Soient A, B et C trois points non alignés de l espace orienté. 1. Montrer que AB AC = CA CB = BC BA. 2. En déduire que Exercice 7 BC sin BAC = CA sin ĈBA = Soient A, B, C, D quatre points du plan. Vérifier que Exercice 8(Extrait de DS 2008) AB sin ÂCB. DA. BC + DB. CA + DC. AB = 0. L espace est rapporté au repère orthonormal (0; ı, j, k). On considère le plan P d équation 2x+y 2z +4 = 0 et les points A de coordonnées (3, 2, 6), B de coordonnées (1, 2, 4) et C de coordonnées (4, 2, 5). 1. (a) Vérifier que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires et en déduire que les points A, B et C définissent un plan. (b) Vérifier que ce plan est le plan P. 2. (a) Montrer que le triangle ABC est rectangle. (b) Écrire l équation cartésienne de la droite passant par O et perpendiculaire au plan P. (c) Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK. (d) Calculer le volume du tétraèdre OABC. 13/14

Exercice 9(Extrait de DS 2008) Soient u et v deux vecteurs de R 3. Montrer les égalités suivantes : 1. u. v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ]. 2. u. v = 1 4 [ u + v 2 u v 2 ]. 3. u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ). Exercice 10(Extrait de DS 2006) Soit R 2 muni d un repére orthonormé, et dans ce repère les points : A( 2, 1) B(3, 1) C(3, 1). 1. Montrer qu une équation du cercle de diamètre AB est x 2 + y 2 x 7 = 0. 2. Montrer que C appartient à ce cercle. 3. Déterminer une équation de la tangente à ce cercle au point C. 4. Soit D( 2, 1). Déterminer une équation de la droite passant par C et D. Que peut-on dire de cette droite et de la tangente trouvée à la question 3? Exercice 11(Extrait de DS 2006) Soit R 3 muni d un repére orthonormé, et dans ce repère les points : A(1, 1, 1) B( 3, 1 4, 2) C(1, 1, 0) D( 3, 1, 1). 4 1. Montrer que les quatre points appartiennent à un même plan dont on déterminera une équation. 2. Montrer que ces quatre points forment un parallélogramme. 3. Déterminer l aire de ce parallélogramme. 14/14