Cours de matématiques Terminale S1 Capitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 008-009 mise à jour novembre 008 Fig. 1 Jean Dausset Fig. alliday Fig. 3 Joann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-idée de Dominique Barbolosi 1
Table des matières I Capitre 4 : Fonctions dérivables 3 I.A Nombre dérivé, fonction dérivée............................ 3 I.B Tangente et approimation affine localement au voisinage de a........... 3 I.C Dérivabilité et continuité................................ 4 I.D Dérivées successives................................... 4 I.E Règles de dérivation.................................. 4 I.E.1 Dérivées des fonctions usuelles........................ 4 I.E. Dérivées et opérations sur les fonctions.................... 5 I.E.3 Dérivée d une fonction composée....................... 6 I.E.4 Deu eemples de fonctions composées.................... 7 I.F Applications de la dérivation (étude de fonction).................. 8 I.F.1 sens de variation................................ 8 I.F. Etremum local................................. 8 I.G Eemple : étude de la fonction tangente....................... 9 Le document s inspire des nombreu livres de Terminale S des différentes éditions. Les figures de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de J-M Sarlat. L environnement bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est télécargeable ici : ttp://melusine.eu.org/syracuse/wiki/doku.pp/mc/bclogo
I Capitre 4 : Fonctions dérivables I.A Nombre dérivé, fonction dérivée Définition 1: f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. f est dérivable en a si et seulement si l une ou l autre des deu propositions équivalentes est réalisée : f(a + ) f(a) la fonction a une limite finie l en 0, ou encore f() f(a) que la fonction a pour limite l quand tend vers a. a pour tout réel tel que a + I, f(a + ) = f(a) + l + ε() avec lim ε() = 0. 0 Le nombre l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a et est noté f (a). Remarques : Le nombre f(a + ) f(a) Soit A(a;f(a)) et M(a + ;f(a + )), le quotient directeur de la droite (AM). ( 0) est appelé tau de variation de f entre a et a +. f(a + ) f(a) ( 0) est le coefficient Lorsque f est dérivable en tout point d un intervalle I inclus dans l ensemble de définition de f, on dit que f est dérivable sur I. Définition : f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f qui à tout a dans I associe f (a). I.B Tangente et approimation affine localement au voisinage de a : si C f est la courbe représentative de f dans un repère. Une équation de la tangente T à C f au point A d abscisse a est : y = f (a)( a) + f(a) f(a + ) y M : Pour tout réel tel que a + I, f(a+) = f(a)+f (a)+ε() et lim 0 ε() = 0 On remarque grapiquement ci-contre que, lorsque tend vers 0, M se rapproce de P et donc f(a)+f (a) est une approimation affine de f(a + ), pour proce de 0. f(a) +.f (a) f(a) +1 A P +1 a a + 3
I.C Dérivabilité et continuité Proposition 1: f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Démonstration On suppose que f est dérivable en a, c est à dire, pour 0 tel que a + I, f(a + ) = f(a) + f (a) + ε() avec lim ε() = 0. 0 Or lim f (a) = 0 et lim ε() = 0 donc lim f(a + ) = f(a), ce qui justifie que f est continue 0 0 0 en a. Remarque : La réciproque de la propriété est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0, mais elle n est pas dérivable en 0. De même, la fonction valeur absolue est continue en 0, mais n est pas dérivable en 0. Je vous invite à regarder, dans les deu cas, la raison pour laquelle la fonction n est pas dérivable en 0 en étudiant et interprètant grapiquement lim f() f(0) 0 I.D Dérivées successives Définition 3: f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f s appelle la fonction dérivée première (ou d ordre 1) de f. Lorsque f est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f ; f est appellée dérivée seconde (ou dérivée d ordre ) de f. De manière récurrente, pour tout entier naturel n, on définit la fonction dérivée n-ième (ou d ordre n) comme étant la fonction dérivée de la fonction d ordre n 1, f (1) = f et pour tout n, f (n) = f (n 1). Eemple 1: f : cos est dérivable sur R et on a f () = sin, f () = cos, f (3) () = sin, f (4) () = cos et ainsi de suite... I.E Règles de dérivation I.E.1 Dérivées des fonctions usuelles Voici un tableau que l on complètera plus tard dans l année. 4
f() f () f est dérivable sur l intervalle λ 0 ] ;+ [ 1 ] ;+ [ n (n N et n ) n n 1 ] ;+ [ 1/ 1/ ] ;0[ ou ]0;+ [ 1 ]0; + [ cos sin ] ;+ [ sin cos ] ;+ [ I.E. Dérivées et opérations sur les fonctions Proposition : u et v sont deu fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un réel. Alors ku, u + v et uv sont dérivables sur I et : (ku) = ku ; (u + v) = u + v ; (uv) = u v + uv Si, de plus v ne s annule pas sur I, alors 1 v et u sont dérivables sur I et : ( ) v 1 = v ( u ) u v uv v v et = v v Corollaire : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition. Eercice 1: Déterminer la fonction dérivée de cacune des fonctions suivantes : 1. f est la fonction définie sur [0;+ [ par : f() = ( 1). f est la fonction définie sur R \ { 1;0} par : f() = 4 + + + Solution : 1. f est dérivable sur ]0;+ [, et f() = u()v() avec u() = 1 et v() = On a alors u () = 1 ; v () = 1 et f = u v + uv f () = 1 + ( 1) 1 = + 1. f est dérivable sur R \ { 1;0}, et f() = u() v() avec u() = 4 + + et v() = + On a alors u () = 8 + 1 ; v () = + 1 et f = u v uv f () = (8 + 1)( + ) (4 + + )( + 1) ( + ). v 5
I.E.3 Dérivée d une fonction composée Téorème 1 g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout de I, u() appartient à J. Alors la fonction f définie par f() = g u() = g(u()) est dérivable sur I et pour tout de I, f () = u () g (u()). Démonsration : Pour tout a I, pour tout réel non nul tel que a + I, f(a + ) f(a) g(u(a + )) g(u(a)) g(u(a + )) g(u(a)) u(a + ) u(a) = = u(a + ) u(a) u(a + ) u(a) Or u est dérivable en a, d où lim = u (a). 0 De plus, u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne : lim u(a + ) = u(a). 0 On a également u(a) J et g est dérivable sur J, d où : g(x) g(u(a)) X u(a) f(a + ) f(a) 0 lim X u(a) g(u(a + )) g(u(a)) On obtient alors lim = g (u(a)). Donc lim 0 u(a + ) u(a) et g u est dérivable en a et (g u) (a) = u (a) g (u(a)). = g (u(a)). = u (a) g (u(a)) Remarque : On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g() = f(a + b), alors g () = af (a + b). Eercice : Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : ( ) 1 1. f est la fonction définie sur R \ {0} par : f() = sin.. f est la fonction définie sur R par : f() = cos( ). Solution : 1. f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout R \ {0}, f() = g u() où u() = 1 g() = sin. u () = 1 et g () = cos. On a alors f () = 1 ( ) 1 cos. et. f est dérivable sur R. Pour tout réel, f() = g u() où u() = et g() = cos. u () = et g () = sin et f () = sin( ). 6
I.E.4 Deu eemples de fonctions composées Proposition 3: u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f() = u() est dérivable sur I, et pour tout de I : f () = u () u() Dém : f() = g(u()) où g() = et g () = 1 g est dérivable sur ]0;+ [; pour tout de I, u() > 0, donc la fonction f = g u est dérivable sur I et d après la propriété sur la dérivée d une fonction composée, on obtient : f () = u () g (u()) = u () u(). Proposition 4: u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n est un entier naturel non nul. Alors la fonction f définie par f() = [u()] n est dérivable sur I et pour tout de I : f () = n[u()] n 1 u () Dém : f() = g(u()) où g() = n. Pour tout réel, g () = n n 1. Alors pour tout réel, f () = u () g (u()) = u () n[u()] n 1 = n[(u()] n 1 u (). Remarque : Cas où n < 0 et u ne s annule en aucun point de I : On a f() = [u()] n 1 =. Puisque n > 0, on peut appliquer la formule de la dérivée de [u()] n l inverse d une fonction et on obtient : f () = ([u()] n ) ([u()] n ) et ( [u()] n) = nu () [u()] n 1 donc f () = n u ()[u()] n 1 u () [u()] n = n [u()] n+1. On obtient également f () = nu ()[u()] n 1. Eercice 3: Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f est la fonction définie sur R par f() = ( + 3 + 1) 3.. g est la fonction définie sur R par g() = + + 3. Solution : 1. f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur R. On a f() = [u()] n où u() = + 3 + 1 et u () = + 3. On a alors f () = 3 ( + 3)( + 3 + 1).. Comme + + 3 > 0 sur R, la fonction f est dérivable sur R. On a g() = u() où u() = + + 3 et u () = + On a alors f () = u () u() = + + + 3 = + 1 + + 3. 7
I.F Applications de la dérivation (étude de fonction) I.F.1 sens de variation Téorème f est une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Si pour tout de I, f () > 0 sauf peut-être en quelques points où f () s annule alors f est strictement croissante sur I.. Si pour tout de I, f () < 0 sauf peut-être en quelques points où f () s annule alors f est strictement décroissante sur I. 3. Si pour tout de I, f () = 0 alors f est constante sur I. E : f est la fonction définie sur R par f() = 3. f est dérivable sur R et f () = pour tout réel. Pour tout R, f () > 0 et f (0) = 0, donc f est strictement croissante sur R. I.F. Etremum local Proposition 5: f est une fonction dérivable sur un intervalle I, c est un point de I. Dire que f(c) est un maimum local (resp. minimum local) signifie que l on peut trouver un intervalle J inclus dans I et contenant c, tel que, pour tout de J, f() f(c) (resp. f() f(c)). On appelle etremum local, un maimum ou un minimum local. Sur l eemple ci-contre, f présente un maimum local en 1 sur l intervalle [c 1 ;c ] et un minimum local en sur [c ;c 3 ] y f( 1 ) +1 c 1 1 c +1 c 3 f( ) 8
Téorème 3 f est une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert, c est un point de I. 1. Si f(c) est un etremum local, alors f (c) = 0.. Si f s annule en c en cangeant de signe, alors f(c) est un etremum local. Remarque : Lorsque f(c) est un etremum local, la tangente à la courbe représentant f en A(c;f(c)) est orizontale. I.G Eemple : étude de la fonction tangente La fonction tangente, notée tan, est définie pour tout réel tel que π tan = sin cos. Par la suite, on note D l ensemble de définition de la fonction tan. + kπ avec k Z, par Proposition 6: Pour tout de D, tan( + π) = tan. Dém : Si D, alors + π D, et tan( + π) = La fonction tan est périodique de période π. sin( + π) cos( + π) = sin = tan. cos Proposition 7: Pour tout de D, tan( ) = tan Dém : Si D, D et tan( ) = sin( ) cos( ) = sin = tan. cos La fonction tangente est alors impaire, sa courbe représentative admet donc l origine pour centre de symétrie. [ On peut ainsi se contenter d étudier la fonction tangente sur 0; π ]. Proposition 8: La fonction tangente est dérivable en tout réel de D et tan = 1 + tan = 1 cos. Dém : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur D et cos 0 sur D, donc la fonction tangente est dérivable sur D. (tan) () = cos + sin cos = 1 + tan = 1 cos.1 Tableau de variation et représentation grapique 1 Voir le TP Info 5 bis 9
[ Pour tout 0; π [, (tan) () > 0 donc la fonction tangente est strictement croissante sur [ 0;+ π [. lim sin = 1 et lim cos = 0 + π π < π lim tan = +. π < π donc Ø Ò Üµµ¼ Ü ¾ ¼ ½ Dans un repère ortogonal (O; i, [ j ), on trace la courbe qui représente la fonction tangente sur 0; π [ ], puis par symétrie par rapport à O, on obtient la courbe Γ sur π ; π [. Enfin, on applique à Γ les translations de vecteurs kπ i avec k Z. D où la représentation grapique suivante : y tan() +1-3π - π +1 π 3π 10