EXERCICE N : 6 page 5 du LIVRE : a) F est dérivable sur I et x I, on a : F'(x) = + tan x = tan x = f(x). b) F est dérivable sur I et x I, on a : F'(x) = cosx + x (- sinx) = f(x) 9 page 5 du LIVRE : corrigé dans le livre page 7. 0 page 5 du LIVRE : a) x I, on a : G(x) F(x) = (= constante) donc la réponse est OUI. b) x I, on a : G(x) F(x) = (= constante) donc la réponse est OUI. page 5 du LIVRE : On trouve que : F(0) = G(0) = 0 et F π = + = ; G π = + =. On en déduit que : (F G)(0) = 0 et (F G) π =. Par suite, F G n'est pas constante sur I et F et G ne sont donc pas deux primitives de la même fonction. EXERCICE N : page 6 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = x5 5 - x + x - x + x. b) x Y, on a : F(x) = x 9 - x + x. c) x ]0 ; + [, on a : F(x) = x + x. page 6 du LIVRE : a) x ]0 ; + [, on a : F(x) = - x. b) x ]- ; 0[, on a : F(x) = x. c) x ]0 ; + [, on a : F(x) = x x - x. 5 page 6 du LIVRE : a) x ]- ; + [, on a : F(x) = x +. b) x ] ; + [, on a : F(x) = x -. c) x ]- 6 ; [, on a : F(x) = - - x 5x + 6 x. 6 page 6 du LIVRE : a) x ]0 ; + [, on a : F(x) = x - x. b) x ] ; + [, on a : F(x) = x -. x c) x ]- ; [, on a : F(x) = - - x x. 8 page 6 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = ( + x ) 8 8 c) x ]- ; [, on a : F(x) = -. (x ) 9 page 6 du LIVRE : - a) x Y, on a : F(x) = c) x ]- ; + [, on a : F(x) = 0 page 6 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = sin(x). b) x ]- ; + [, on a : F(x) = - (x + ). x x +. b) x ]- ; [, on a : F(x) = - (x x ). - (x + 8). - cos(x). b) x Y, on a : F(x) = sin(x) + cos(x) + x. c) x Y, on a : F(x) = cos π - x
page 6 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = sin x. b) x Y, on a : F(x) = sin x sin x + 8sinx ou F(x) = sin x + cos x + 8sinx. c) x [0 ; π [, on a : F(x) = tan(x) x. EXERCICE N : 6 page 6 du LIVRE : corrigé dans le livre page 7. 7 page 6 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = ex + e. b) x Y, on a : F(x) = - e- x² + 5. c) x ] ; + [, on a : F(x) = ln(x ) + ln(x + ) ln ou F(x) = ln x. EXERCICE N : exercice page (annabac 0). Corrigé pages 58/ /6. EXERCICE N 5 : 6 page 0 du LIVRE : a) x Y, on a : F(x) = ex +. b) x Y, on a : F(x) = - e- x +. c) x ]0 ; + [, on a : F(x) = e- x x + d) x ]- ; + [, on a F(x) = e x + 67 page 0 du LIVRE : corrigé dans le livre page 7. 68 page 0 du LIVRE :. On applique la formule donnant la dérivée de f g avec : x I, f(x) = sinx et g(x) = cos x. Indication : x I, on a : g'(x) = - sinxcos x.. x I, on a : u'(x) = v(x) (tan)'(x). u'(x) + (tan)'(x) On en déduit : x I, v(x) =. On trouve : x I, V(x) = sinx cos x + tanx. 7 page 0 du LIVRE : a) x ] ; + [, on a : F(x) = ln(x ) + ln(x + ) = ln(x 9). b) x ]- ; [, on a : F(x) = ln( x) + ln(x + ) = ln(9 x ). c) x ]- ; - [, on a : F(x) = ln( x) + ln(- x ) = ln(x 9). 7 page 0 du LIVRE : x ]- ; - [, on a : f(x) = + x + + (x + ) (Indication : méthode des coefficients indéterminés). On trouve : x ]- ; - [, F(x) = x + ln(- x ) x +.
EXERCICE N 6 : 80 page du LIVRE : x Y, on a : sinx sinxcos x = sinx( cos x) = sinx( + cos x + sin x cos x) = f(x). On trouve alors : x Y, F(x) = - cosx + cos x. 8 page du LIVRE : x Y, on a : f(x) = cosx(sin x( sin x) ) = cosx(sin x sin 6 x + sin 8 x) et on a : a = ; b = - et c =. On trouve : x Y, F(x) = sin5 x 5 - sin7 x + sin9 x 7 9. 8 page du LIVRE : x Y, on a : f(x) = (cos x) = + cosx = ( + cosx + cos (x)) = + cosx + + cosx f(x) = 8 + cos(x) + cos(x) 8 On trouve : x Y, F(x) = 8 x + sin(x) + sin(x). 86 page du LIVRE : corrigé dans le livre page 7. EXERCICE N 7 : Extrait de l épreuve du concours FESIC (mai 00) a. Si ϕ est définie par ϕ(x) = x, alors quel que soit le réel a, il existe un polynôme de degré, solution de [E]. FAUX. Si a = 0 par exemple : f solution de (E) x Y, f'(x) = x. f solution de (E) x Y, f(x) = x - x + k (k Y). Dans ce cas, les solutions sont de degré, et non de degré. b. Si ϕ est définie par ϕ(x) = e x, alors quel que soit le réel a, il existe b Y tel que la fonction f, définie par f(x) = be x soit solution de [E]. FAUX. Si a = -, alors : (E) : y' y = e x. S'il existe b Y tel que : x Y, f(x) = be x alors : x Y, f'(x) = be x et on a alors : x Y, f'(x) f(x) = be x - be x = 0 e x. Si a -, alors on prend b = + a (qui existe vu que a - ) tel que : x Y, f(x) = bex. e x ex x Y, on a alors : f(x) = et f'(x) = + a + a = f(x). e x On en déduit que : x Y, f'(x) + af(x) = f(x) + af(x) = ( + a)f(x) = ( + a) + a = ex = ϕ(x). Conclusion : si a -, alors il existe b Y (b = + a ) tel que f définie sur Y par f(x) = bex soit solution de (E). Mais si a = -, b n'existe pas. c. Si ϕ est la fonction constante nulle et si f est une solution de [E], alors la courbe représentant f possède au point d abscisse 0 une tangente d équation y = ( ax)f(0). VRAI. f solution de (E) x Y, f'(x) = - af(x)
f'(0) = - af(0) et T 0 : y = f'(0)(x 0) + f(0) soit T 0 : y = - af(0) x + f(0) ou y = f(0)(- ax + ). d. Si a = 0, alors quelle que soit la fonction ϕ définie et continue sur Y, [E] possède une solution. VRAI. Pour a = 0, (E) x Y, f'(x) = ϕ(x) f est une primitive de ϕ sur Y. Comme ϕ est continue sur Y, alors ϕ admet des primitives sur Y. EXERCICE N 8 : Extrait de Antilles-Guyane (septembre 008) Soit f la fonction définie sur Y par : f (x) = x + e x +. On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ) d unité graphique cm.. a. lim e x = 0 + (cours), donc par produit : lim ( ) = 0 e x = 0 + (cours), donc par somme : lim (e x + ) =. lim Par quotient des deux limites précédentes, on en déduit que : lim e x + = 0. lim (x + ) = -, donc par somme : lim f(x) = -. b. x Y, on a : f(x) (x + ) = e x +. Étude au voisinage de (- ) : Or, d'après. a., on a : lim e x + = 0. D'où : lim (f(x) (x + )) = 0, ce qui prouve que la droite D d équation y = x + est asymptote à la courbe C au voisinage de (- ). Étude au voisinage de (+ ) : x Y, on a : e x + = e x e x + = e x + e x. lim = et lim e x = + (cours), donc par quotient : lim x + x + Par somme, on en déduit que : lim x + e x lim (f(x) (x + )) = lim x + x + asymptote à la courbe C au voisinage de (+ ). c. x Y, on a : f(x) (x + ) = x + e x = 0. + e x = et par quotient, on obtient : lim x + + =. e x + = - 0, donc la droite D d équation y = x + n'est pas e x +. Comme : x Y, e x > 0 ; e x + > 0 et > 0, alors par quotient : e x + > 0 et par suite : - e x + < 0. x Y, on a : f(x) (x + ) < 0, ce qui prouve que la courbe C est en dessous de son asymptote D au voisinage de (- ).. a. Comme : x Y, e x + > 0, le dénominateur dans e x ne s'annule jamais. +
La fonction f est donc dérivable sur Y comme quotient (dont le dénominateur ne s'annule jamais) et somme de fonctions dérivables sur Y. x Y, on a : f'(x) = ex (e x + ) - e x e x (e x + ) = (e x + ) = (ex + ) e x (e x + ) = ex 6e x + 9 (e x + ) = (ex ) (e x + ) = e x e x + b. x Y, on a : e x 0 soit f'(x) 0. e x + f'(x) = 0 ex e x + = 0 ex = 0 e x = x = ln. Comme f'(x) > 0 sur Y \{ln} et f'(ln) = 0, on en déduit que la fonction f est strictement croissante sur Y. On a : lim (x + ) = + et lim x + lim f(x) = +. x + x + Tableau de variations de la fonction f : x - ln + f'(x) + 0 + + f ln - e x + = - (cf question. b.), par somme, on en déduit que : 5 e ln f(ln) = ln() + e ln + = ln() + = ln() + = ln() + = ln(). + 6. a. On a : f'(x) = 0 x = ln (cf question ci-dessus). Comme f'(ln) = 0, alors la courbe C admet une tangente horizontale au point I d abscisse ln. La tangente D à la courbe C au point I d abscisse ln est donc horizontale. Par ailleurs, on a : f(ln ) = ln donc l'équation de la tangente D est : y = ln. b. * Si x < ln, alors puisque la fonction f est strictement croissante sur Y, on en déduit que : f(x) < f(ln) soit f(x) < ln, ce qui prouve que la courbe C est en dessous de la droite D sur ]- ; ln[. * Si x > ln, alors puisque la fonction f est strictement croissante sur Y, on en déduit que : f(x) > f(ln) soit f(x) > ln, ce qui prouve que la courbe C est au-dessus de la droite D sur ]ln ; + [. * Si x = ln, alors la courbe C et la droite D ont un point en commun, le point I(ln ; ln).. a. D : y = f'(0)(x 0) + f(0). f(0) = 0 + + = = et f'(0) = + = - =. On en déduit que : D : y = x + b. On doit étudier sur ]- ; ln] le signe de la différence d(x) = f(x) x +. La fonction d : x f(x) x + est dérivable sur ]- ; ln] comme différence de fonctions dérivables sur ]- ; ln] et x ]- ; ln], on a : d'(x) = f'(x). La fonction d : x f'(x) est dérivable sur ]- ; ln] comme différence de fonctions dérivables sur ]- ; ln] et x ]- ; ln], on a : d''(x) = f''(x).
x ]- ; ln], on a : d''(x) = f''(x) = e x e x + (e x + ) (e x - ) e x (e x + ) = e x e x + 6e x (e x + ) = ex (e x ) (e x + ). x ]- ; ln], on a : e x > 0 et (e x + ) > 0 et e x 0. Par quotient, on en déduit que : f''(x) 0. x ]- ; ln], on a : d''(x) 0, donc la fonction d' est décroissante sur ]- ; ln]. x - 0 ln d''(x) - 0 d'(x) 0-6 d'(ln) = f'(ln) = 0 = -. lim e x = 0 (cours), donc par somme ou différence, on en déduit que : (e x ) = - et lim (e x + ) =. lim Par quotient, on obtient que : lim Par suite : lim d'(x) =. Enfin : d'(0) = f'(0) = - = 0. e x e x + = - et lim f'(x) =. Puisque d' est décroissante sur ]- ; ln], on en déduit que : si x 0, alors d'(x) d'(0) soit d'(x) 0 et si 0 x ln, alors d'(x) d'(0) soit d'(x) 0. Par suite : puisque d'(x) 0 sur ]- ; 0], alors d est croissante sur ]- ; 0] ; puisque d'(x) 0 sur [0 ; ln], alors d est décroissante sur [0 ; ln]. x - 0 ln d'(x) + 0-0 d Puisque la fonction d est croissante sur ]- ; 0] et est décroissante sur [0 ; ln], on en déduit que la fonction d admet un maximum en 0 qui vaut d(0). d(0) = f(0) = = 0. Conclusion : x ]- ; ln], on a d(x) 0 soit f(x) x + 0 f(x) x +. Ceci signifie que la courbe C est en dessous de la tangente D sur l intervalle ] ; ln ]. 5. VOIR feuille 7. 6. g est continue sur Y comme somme et quotient (de dénominateur non nul) de fonctions continues sur Y. x Y, on pose : u(x) = e x +. On a : x Y, u'(x) = e x. x Y, on a : g(x) = u'(x) u(x). On en déduit qu'une primitive G de la fonction g est définie sur Y par : G(x) = ln u(x). Or : x Y, u(x) = e x + = e x + vu que, x Y, e x + > 0. Une primitive G de g sur Y est donc définie par : x Y, G(x) = ln(e x + ).
5. 7 C ln D D D