Algèbre linéaire. Chapitre L espace vectoriel K n et ses sous espaces vectoriels L espace vectoriel K n

Chapitre 2 Algèbre linéaire 2 L espace vectoriel K n et ses sous espaces vectoriels Dans tout ce chapitre la lettre K désignera le corps des nombres réels R ou le corps des nombres complees C 2 L espace vectoriel K n Eemple (R 2 L ensemble R 2 est l ensemble des couples {( R 2 a = b On munit classiquement R 2 d une addition : On note l application sous la forme ( a b ( a b avec a et b réels } avec a R,b R ( c + d ( a + c := b + d + : ( R 2 ( R 2 R ( 2 a c a, b d b ( c + d ( a + c := b + d On considère la multiplication ( a λ b ( λa := λb où λ est un réel On note cette application sous la forme Vocabulaire : les applications + et sont appelées lois : R R 2 R 2 ( a λ, (a, b λ b ( λa := λb 2 La multiplication utilise un réel et un élément de R 2 on dit que cette loi est eterne 3 L addition n agit que sur des éléments de R 2 on dit que la loi est interne 4 On dit que R 2 muni des lois + et est un R-espace vectoriel

Définition Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels R ou complees C On note K n = i K, pour tout i {,,n} n On définit sur l ensemble K n deu opérations : l addition et la multiplication par un scalaire Addition sur K n + : K n K n K n n, n n + n := + n + n Multiplication par un scalaire sur K n : K K n K n λ, n λ n := λ λ n Le triplet (K n,+, est appelé K-espace vectoriel Définition 2 (Vecteurs, scalaires et combinaisons linéaires Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels R ou le corps des nombres complees C Les éléments de K n sont appellés vecteurs Les éléments de K sont appelés scalaires Soit,, n des vecteurs de K n Le vecteur λ + + λ n n est appelé combinaison linéaire de K n 22 Sous espaces vectoriels de K n Définition et eemple Définition 3 (Sous espace vectoriel Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels R ou le corps des nombres complees C Soit F une partie de K n On dit que la partie F est un sous-espace vectoriel de K n si elle vérifie les aiomes appartient à F En particulier F est non vide! 2 Stabilité sous la loi + :, F, + F 3 Stabilité sous la loi : λ K, F, λ F De manière équivalente, un sous-espace vectoriel est non vide et stable par combinaisons linéaires Eemple 2 (Sous espace vectoriel de R 2 Montrons par eemple que la droite D : {( } D = R 2 avec = 3 est un sous-espace vectoriel de R ( ( Par définition de D un vecteur u = appartient à D si et seulement si u = 3 ( On vérifie que appartient bien à D 2

( Soit u = et v = 3 appartient donc à D ( 3 deu vecteurs de D Le vecteur somme u + v = ( λ Pour tout réel λ, le vecteur λ u = appartient à D 3(λ Par définition la droite D est un sous-espace vectoriel Contre-eemple La droite {( D = } R 2 avec = 2 + ( + 3( + est du même tpe, il n est pas un sous-espace vectoriel de R 2 ( ( En effet, tout élément de D est de la forme est réciproquement Le vecteur n appartient donc pas à D 2 + Notons aussi que la somme de deu éléments de D ou le multiple d un élément de D par un scalaire n appartient pas à D Eemple 3 (Sous espace vectoriel R 3 Le plan P = est un sous-espace vectoriel de R 3 En effet, appartient à P Soit u = et u 2 = 2 2 2 et les coordonnées de ce vecteur vérifient R 3 avec + + = deu vecteurs de P Nous avons u + u 2 = + 2 + 2 + 2 ( + 2 + ( + 2 + ( + 2 = ( + + + ( 2 + 2 + 2 = + = Par conséquent le vecteur somme appartient bien à P Soit λ R, u = P Nous avons et les coordonnées de ce vecteur vérifient λ u = λ λ λ λ + λ + λ = Par conséquent λ u appartient bien à P On conclut donc que la partie P est un sous-espace vectoriel de R 3 Contre-eemple 2 Le plan P = R 3 avec + + = n est pas un sous-espace vectoriel Par eemple, n appartient pas à P 3

Opérations sur les sous-espaces vectoriels Eemple 4 Dans R 3 on considère F = R 3 avec + + = et G = Les ensembles F et G sont des sous-espaces vectoriels de R 3 L intersection F G est l ensemble F G = R 3 avec = et + + = = qui est un sous-espace vectoriel de R 3 Géométriquement, F et G sont deu plans et leur intersection F G est une droite Ce phénomène est général : R 3 avec = R 3 avec R Proposition (Intersection de deu sous-espaces vectoriels de K n Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F et G deu sous espaces vectoriels de K n L intersection de F et de G est un sous-espace vectoriel de K n Démonstration On vérifie les aiomes F G = { K n F et G} F et G sont deu sous espaces vectoriels de K n donc le vecteur nul appartient à la fois à F et à G, donc il appartient à F G 2 Soit et deu vecteurs appartenant à F et à G F et G étant des sous espaces vectoriels de K n, le vecteur + appartient à F et à G, il appartient donc à F G 3 Soit un vecteur appartenant à F et à G, soit λ un élément de K F et G étant des sous espaces vectoriels de K n, le vecteur λ appartient à F et à G, il appartient donc à F G Par définition, F G est un sous espace vectoriel de K n La réunion de deu sous-espaces vectoriels n est pas un sous-espace vectoriel en général! Prendre la réunion de deu droites distinctes dans le plan Celle-ci n est pas stable par addition! Fort de cette remarque on peut alors se demander quel est le plus petit sous-espace vectoriel qui contienne une partie donnée (par eemple, la réunion de deu droites C est la notion de sous-espace engendré Définition 4 (Sous-espace vectoriel engendré par une partie Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit X une partie de K n Le sous-espace vectoriel engendré par la partie X est l intersection de tous les sous-espaces vectoriels de K n contenant X On le note Vect X Remarque 3 Le sous-espace vectoriel engendré Vect X est le plus petit sous-espace vectoriel de K n contenant X Remarque 4 Si P et Q sont deu parties de K n, avec P Q alors Vect (P Vect (Q ( Eemple 5 On se place dans R 2, le sous-espace engendré par le vecteur u = est la droite passant par et dirigée par ce vecteur : { ( ( } λ D = λ = avec λ R λ Remarquons tout d abord qu une telle droite est bien un sous espace vectoriel : 4

( le vecteur nul 2 Soit λ,µ R, on a 3 Soit λ,µ R, on a appartient à D ( λ ( + µ ( ( λ µ ( = (λ + µ ( = (λµ D D Remarquons ensuite que si F est un sous-espace vectoriel de R 2 contenant le vecteur u, ce sous-espace contient par définition tous les λ u pour λ R Il contient donc la droite D Cette droite est donc le plus petit sous-espace vectoriel de R 2 contenant le vecteur u c est à dire le sous espace vectoriel engendré par le vecteur u Eemple 6 On se place dans R 2, on considère le cercle trigonométrique C Le sous espace vectoriel engendré par le cercle C est l ensemble R 2 En effet, un sous espace vectoriel de R 2 contenant le cercle C doit contenir toutes les droites engendrées par les vecteurs de C autrement dit toutes les droites de R 2, ce sous espace vectoriel est donc R 2 Proposition 2 Soit n un entier positif non nul Soit X une partie de K n Le sous-espace vectoriel engendré Vect X est l ensemble des combinaisons linéaires formées à partir des vecteurs de X Démonstration Par définition, la somme de deu combinaisons linéaires et le produit par un scalaire d une combinaison linéaire sont des combinaisons linéaires Par conséquent, l ensemble des combinaisons linéaires formées à partir des vecteurs de X est un sous-espace vectoriel de K n qui contient X Il contient donc le sous-espace engendré Vect X Or Vect X est un sous-vectoriel de K n qui contient X donc il contient par définition toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de X Ces deu ensembles sont donc égau Eemple 7 Le sous-espace vectoriel engendré par n vecteurs u,, u n est F = Vect ( u,, u n = {λ u + + λ n u n (λ,,λ n R n } Définition 5 (Somme de deu sous-espaces vectoriels Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n On appelle somme de F et de G, notée F + G, le sous espace vectoriel engendré par l union F G : F + G = Vect (F G = { + F, G} ( C est donc le plus petit sous-espace vectoriel qui contienne F et G Eemple 8 Le sous-espace vectoriel F de R 2 engendré par les vecteurs u = F = λ 2 + µ 3 Observons alors que le sous-espace F est la somme deu droites F = R 2 + R Plus généralement, 2 avec λ,µ R 2 3 Eemple 9 Le sous-espace vectoriel engendré par n vecteurs u,, u n est et v = F = Vect ( u,, u n = {λ u + + λ n u n (λ,,λ n R n } = R u + + R u n 3 est 5

Définition 6 (Somme directe et sous-espaces supplémentaires Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n On dit que F et G sont en somme directe si F G = {} 2 On dit que F et G sont supplémentaires si F G = {} et K n = F + G en ce cas on écrit et on dit que K n est somme directe de F et de G K n = F G Ne pas confondre être en somme directe et être d intersection vide L intersection F G n est jamais vide! elle contient toujours le vecteur nul Eemple Considérons la droite vectorielle D = λ Considérons le plan vectoriel L intersection P = avec λ R avec + = D P = { } en effet si u est un vecteur de l intersection, ce vecteur est colinéaire au vecteur il est donc de la forme obtient alors λ + λ λ = λ qui est nul si et seulement si λ = Les sous espaces D et P sont donc en somme directe Sont-ils supplémentaires? Il s agit de vérifier que D + P = R 3 Notons que P = avec + = = avec, R + c est à dire Par conséquent nous avons P = Remarquons que l on peut écrire + P + D = R avec, R = R = = = + R + + 6 + R + + + R,, λ λ λ On

Nous constatons que les trois vecteurs e =,e 2 =, e 3 = appartiennent à la somme P + D donc leurs combinaisons linéaires appartiennent à P + D Or par définition tout vecteur de R 3 est combinaison linéaire de e, e 2 et e 3 : = e + e 2 + e 3 Donc R 3 P + D R 3 c est à dire P + D = R 3 On peut donc conclure que P et D sont supplémentaires dans R 3 : P Q = R 3 Eemple On considère les deu plans vectoriels F = R 3 avec = et G = L intersection F G = R 3 avec R = R R 3 avec = {} Les sous-espaces F et G ne sont pas en somme directe Néanmoins leur somme est R 3 En effet avec les notations précédentes, e appartient à F G, e 2 appartient à F et e 3 appartient à G Ces trois vecteurs appartiennent donc à F + G donc par le raisonnement précédent F + G = R 3 Proposition 3 Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n Si K n = F + G alors tout vecteur de de K n se décompose sous la forme = F + G avec F F et G G 2 Si K n = F G alors tout vecteur de de K n se décompose de manière unique sous la forme = F + G avec F F et G G Démonstration Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n Si K n = F + G alors par définition même de F + G tout vecteur de de K n se décompose sous la forme = F + G avec F F et G G Si on suppose de plus que la somme est directe alors cette décomposition est unique En effet si l on a deu décompositions alors donc F = F et G = G = F + G = F + G F F = G G F G = {} Eemple 2 Reprenons l eemple précédent du plan P et de la droite D Vérifions que tout vecteur u = se décompose de manière unique sous la forme u = u P + u D où u P P et u D D sont de la forme α λ u P = β avec α + β γ = et u D = λ γ λ 7

Nécessairement nous avons On obtient alors D où la décomposition = = α + λ, = β + λ, = α + β + λ α =,β =,λ = + 2 + + + + = u P + u D Eemple 3 Considérons l eemple précédent où F a pour équation = et G a pour équation = Nous avons vu que ces espaces ne sont pas en somme directe Nous allons vérifier que le vecteur u = ne se décompose pas de manière unique sous la forme u = u F + u G En effet supposons que l on ait une telle décomposition avec u F = α β et u G = λ µ Nécessairement on a = α + λ, = β, = µ donc Notons que pour tout α réel on a = α α + F et α α G Ce qui montre bien que la décomposition n est pas unique Le paramètre d ajustement est précisément le vecteur qui dirige l intersection de P et D Remarque 5 De manière générale si F et G ont une intersection non nulle, pour tout vecteur u F, v G et w F G, le vecteur u w appartient à F et v + w appartient à G avec ce qui montre que a une infinité de décompositions! := u + v = ( u w + ( v + w, Définition 7 Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F,,F n des sous-espaces vectoriels de K n On dira que ces sous-espaces sont en somme directes si pour tout vecteur appartenant à la somme F + + F n, il eiste un unique n-uplet de vecteurs F,, n F n tels que = + + n La somme est dans ce cas notée F F n α Proposition 4 Soit n un entier positif non nul et K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complees C Soit F,,F n des sous-espaces vectoriels de K n Ces sous-espaces sont en somme directe si F,, n F n, si + + n = alors = = n = 8

Démonstration Si les espaces sont en somme directe alors le vecteur nul admet une unique décomposition, la décomposition triviale = + + Autrement dit, F,, n F n, si + + n = alors = = n = Réciproquement,si pour un vecteur appartenant à la somme F + + F n nous avons deu décompositions = + + n = + + n où pour tout i, i et i appartiennent à F i alors la différence donne ce qui par hpothèse entraîne pour tout i, i = i Eemple 4 Les droites sont en somme directe Dans le plan R 2 les droites R d intersection nulle! ( D = R (, R ( + ( n n =,D 2 = R (, R,D 3 = R ne sont pas en somme directe, bien qu elles soient deu à deu 9

22 Familles libres, liées, génératrices, base Comme dans la section précédente, la lettre K désignera le corps des nombres réels ou les corps des nombres complees On fie un entier n et on travaille sur l espace vectoriel K n 22 Familles libres ou liées Définition 8 (Combinaison linéaire de vecteurs Soit,, p des vecteurs de K n Le vecteur λ + + λ p p est appelé combinaison linéaire de K n Définition 9 Une famille finie (,, p d éléments de K n est dite libre si et seulement si la seule combinaison linéaire des vecteurs,, p qui soit nulle est celle dont les coefficients sont nuls, c est à dire : λ,,λ p K, λ + + λ p p = λ = = λ p = On dira en ce cas que les vecteurs,, p n ont pas de dépendance linéaire ou encore qu ils sont linéairement indépendants Dans le cas contraire on dit que les vecteurs sont liés ou linéairement dépendants La famille de vecteurs sera alors dites liée c est à dire : (α,,α p K p, α + α p p = et (α,,α p (,, Eemple 5 Donnons quelques eemples : ( ( 3 Les vecteurs u = et v = sont liés par la relation v = 3 u 2 6 2 Les vecteurs u = forment ils une famille libre de R 3? Cherchons les triplets (α,β,γ R 3 tels que Cela signifie :, v = α u + β v + γ w =, w = α + γ = α + β + 2γ = α β = Nous obtenons alors α = β = γ Par eemple si nous prenons α = nous obtenons la relation suivante u+ v w = Ceci montre que la famille des vecteurs ( u, v, w est liée 3 Les vecteurs u = i, v = + i, w = forment ils une famille libre de C 3? Cherchons les triplets (α,β,γ C 3 tels que Cela signifie : α u + β v + γ w = α + β = ( + iβ + 2γ = iα β + γ = Par conséquent nous obtenons α = β = 2 +iγ et la relation : ( 2i + i i + i + γ = qui force donc γ = β = α = et prouve donc que la famille ( u, v, w est libre 2 2

On déduit de la définition les propriétés suivantes Proposition 5 (Propriétés immédiates Dans l espace vectoriel K n : la famille à un élément { } est libre si et seulement si, 2 toute famille contenue dans une famille libre est libre, 3 toute famille contenant une famille liée est liée, 4 toute famille contenant le vecteur nul est liée, 5 une famille (,, p de vecteurs de K n est liée si et seulement si l un au moins des i est combinaison linéaire des p autres Démonstration La famille à un élément { } est libre si et seulement si En effet si = alors pour tout scalaire λ nous avons λ = ce qui montre que le vecteur nul ne constitue pas une famille libre Réciproquement supposons qu il eiste λ K avec λ tel que λ = Comme λ on peut multiplier par λ et obtenir λ (λ = λ = et λ (λ = (λ λ = = Ceci montre donc que = Noter l utilisation des aiomes! 2 Toute famille de K n contenue dans une famille libre est libre En effet considérons une famille libre de vecteurs u,, u k contenue dans une famille libre u,, u n Si la famille u,, u k était liée alors il eisterait des scalaires λ,,λ k dans K non tous nuls tels que λ u + + λ k u k = Par conséquent nous aurions la relation λ u + + λ k u k + u k+ + + u n = avec (λ,,λ k,,, (,, ce qui montre que la famille ( u,, u n serait liée 3 Toute famille contenant une famille liée est liée En effet, si une famille contenant une famille liée était libre cela rentrerait en contradiction avec le fait que toute famille contenue dans une famille libre est libre 4 Toute famille contenant le vecteur nul est liée En effet si l on considère la famille (, u 2,, u n nous avons la relation qui est vérifiée et montre que la famille est liée + u 2 + + u n = 5 Une famille (,, p de vecteurs de K n est liée si et seulement si l un au moins des i est combinaison linéaire des p autres C est la définition! 222 Familles génératrices Définition (Famille génératrice Soit n un entier Soit F un sous espace vectoriel de K n Une famille finie (,, p d éléments de F est dite génératrice si et seulement si pour tout vecteur u f, il eiste un p-uplet (λ,,λ p K p tel que On dit que la famille (,, p engendre F λ + + λ p p = u Eemple 6 La famille u =, v = 2 w =

est elle génératrice de l espace vectoriel R 3? Considérons un vecteur a = Cherchons les triplets (α,β,γ R 3 tels que α u + β v + γ w = a c est à dire α + γ = α + β γ = α + 2β = En ce cas nous avons α = 3 (2 + 2, β = 3 ( + 2, γ = ( 2 + 3 c est à dire = 3 (2 + 2 + 3 ( + 2 2 + 3 ( 2 + Ceci montre l eistence (et l unicité! d un tel triplet La famille ( u, v, w est une famille génératrice de R 3 Nous verrons ci-dessous que la famille ( u, v, w est une base de R 3 Eemple 7 La famille u =, v = 2 w = est elle génératrice de l espace vectoriel R 3? On procède de même, considérons un vecteur a = Cherchons les triplets (α,β,γ R 3 tels que α u + β v + γ w = a c est à dire α + γ = α + β + 2γ = α + 2β + 3γ = Ce sstème admet des solutions si et seulement si 2 + = Si tel est le cas alors = ( γ + ( γ 2 2 3 + γ Notons qu il n a pas unicité de la décomposition du vecteur a suivant la famille ( u, v, w : 2 3 α β γ = γ γ γ convient : Si 2 + alors il n a pas eistence de la décomposition du vecteur a suivant la famille ( u, v, w ce qui montre que cette famille n est pas génératrice 223 Bases d un espace vectoriel de dimension finie Définition Soit n un entier et F un sous espace vectoriel de K n On appelle base de F toute famille de vecteurs de F à la fois libre et génératrice Remarque 6 Dans le cas où F est le sous espace vectoriel réduit au vecteur nul, une base est la famille vide En effet cette famille est libre (car un énoncé de la forme, pour tout appartenant au vide est toujours vrai, elle est aussi génératrice car par convention une somme vide de vecteur est égal au vecteur 2

Eemple 8 (Base canonique de K n Pour tout n, la famille de vecteurs e = est une base de K n appellée base canonique de K n Eemple 9 La famille u =, e 2 =, v =,, e n = 2 w = est une base de l espace vectoriel R 3 Considérons un vecteur a = α u + β v + γ w = a c est à dire En ce cas nous avons α + γ = α + β + γ = α + 2β = α = 3 (2 + 2, β = 3 ( + 2, γ = ( 2 + 3 Cherchons les triplets (α,β,γ R 3 tels que Ceci montre l eistence et l unicité d un tel triplet La famille ( u, v, w est donc une famille génératrice de R 3 De plus si on considère le cas a = le seul triplet possible est (α,β,γ = (,, ce qui montre la liberté de la famille ( u, v, w La famille ( u, v, w est une base de R 3 Coordonnées d un vecteur dans une base Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B = ( e,, e n une base de E La famille B étant génératrice, pour tout vecteur de E, il eiste n scalaires λ,, λ n appartenant à K tels que = λ e + + λ n e n La liberté de la famille B induira qu une telle décomposition est unique En effet, supposons que l on dispose d une deuième décomposition = µ e + + µ n e n Par différence nous obtenons : Par liberté de la famille nous obtenons : (λ µ e + + (λ n µ n e n = λ = µ,,λ n = µ n Ce raisonnement montre que tout vecteur de E se décompose de manière unique sur la base B sous la forme = λ e + + λ n e n Le n-uplet de scalaires (λ,,λ n est appelé coordonnées du vecteur dans la base B On notera ce n-uplet sous la forme [] B = 3 λ λ n

Par eemple, les coordonnées dans la base B du ième vecteur de base e i sont [ e i ] B =, où est placé à la i-ième position Eemple 2 La famille de vecteurs u =, v =, k = est une base de R 3 Montrons que cette famille est libre : soit α, β et γ trois scalaires tels que α u + β v + γ w = Cela conduit au sstème ce qui conduit à α = β = γ = Cette famille est libre α = α + β = α + β + γ = Montrons que ( u, v, w est une famille génératrice de R 3 Soit a le vecteur ( u, v, w alors il eiste α, β, γ réels tel que a = α u + β v + γ w = on en déduit α =, β =, γ = Ainsi, = Les coordonnées de a dans la base ( u, v, w sont + ( [ a] ( u, v, w = α = α + β = α + β + γ = + ( Si a se décompose sur la famille Les coordonnées de a dans la base canonique sont [ a] ( i, j, k = Eemple 2 La famille i =, j =, k = 4

est une base de R 3 Les coordonnées du vecteur a = Nous avons donc La famille u = dans la base ( i, j, k sont, et car a = i + j + k [a] ( i, j, k =, v = est aussi une base de R 3 Nous avons vu précédemment que cést à dire = 3 (2 + 2 2 w = a = α u + β v + γ w + 3 ( + 2 2 + 3 ( 2 + Les coordonnées du vecteur a dans la base ( u, v, w sont donc ( 2 + 2,, + 2 Nous avons donc 3 (2 + 2 [ a] ( u, v, w = 3 ( + 2 ( 2 + On vérifie notre calcul en testant Propriétés fondamentales des bases [ u] ( u, v, w = 3,[ v] ( u, v, w =,[ w] ( u, v, w = Lemme 7 (Propriété fondamentale Soit n un entier Soit F un sous espace vectoriel de K n Une famille libre de vecteurs de F ne peut avoir plus d éléments qu une famille génératrice de F Démonstration Supposons que ( g,, g m soit une famille génératrice de F Supposons que l on dispose d une famille libre ( l,, l m+ de F Montrons par récurrence que pour tout k {,,m} la famille ( l,, l k, g k+,, g m est génératrice de F Nous en déduirons que ( l,, l m sera génératrice, par conséquent l m+ sera combinaison linéaire de l,, l m ce qui contredira la liberté de la famille ( l,, l m+ Comme la famille ( g,, g m est génératrice, on peut écrire l = α g + + α m g m avec les α i non tous nuls En particulier α (quitte à permuter les indices On a donc g = α l α 2 α g 2 α m α g m Toute combinaison linéaire de ( g,, g m est combinaison linéaire de ( l, g 2,, g m ce qui montre que la famille ( l, g 2,, g m est génératrice Supposons que la famille ( l,, l k, g k+,, g m soit génératrice Montrons que la famille ( l,, l k+, g k+2,, g m est génératrice Il suffit d écrire l k+ = α l + + α k l k + α k+ g k+ + + α m g m 5

Si tous les coefficients α k+,,α m sont nuls alors le vecteur l k+ est combinaison linéaire des vecteurs l,, l k ce qui montre que la famille ( l,, l m+ est liée et mène à une contradiction Là encore quitte à réindicer on peut supposer que α k+ On obtient alors g k+ = α l α k l k + l k+ α k+2 g k+2 α m g m α k+ α k+ α k+ α k+ α k+ Toute combinaison linéaire de ( l,, l k, g k+,, g m est donc combinaison linéaire de ( l,, l k+, g k+2,, g m qui par conséquent est génératrice Par récurrence, on peut conclure que ( l,, l m est génératrice, par conséquent l m+ est combinaison linéaire de l,, l m ce qui contredit la liberté de la famille ( l,, l m+ Théorème 8 (Eistence et cardinal d une base d un sous espace vectoriel de K n Soit F un sous espace vectoriel de K n F possède des bases 2 Toutes les bases de F ont le même nombre d éléments, appelé dimension de F et noté dimf Eemple 22 La base canonique (Eemple 8 de K n aant n éléments, la dimension de K n est n Définition 2 On appelle droite de K n tout sous espace vectoriel de K n de dimension On appelle hperplan de K n tout sous espace vectoriel de dimension n Démonstration Montrons que F admet une base Si F est le sous espace vectoriel, il a une unique base qui est la famille vide Par conséquent la dimension de F est Supposons F non réduit au vecteur Par définition, il eiste un vecteur f non nul (a Si F = Vect( f alors le vecteur f est une base de F et F est de dimension finie égale à (b Si F Vect( f alors il eiste f 2 F \Vect( f Les vecteurs f et f 2 sont non colinéaires, ils forment une famille libre de F i Si F = Vect( f, f 2 alors ( f, f 2 est une base de F, F est donc de dimension finie égale à 2 ii Sinon il eiste f 3 F \Vect( f, f 2 etc Le processus s arrête car on construit par récurrence, une famille de vecteurs f, f 2, qui est une famille libre de F et donc de K n Or la base canonique de K n a n éléments et toute famille libre de K n a moins d éléments qu une famille génératrice de K n (propriété fondamentale Donc la famille ( f i construite a au plus n eléments Ceci montre qu à une étape p, la famille ( f,, f p libre de F est aussi génératrice, c est une base de F 2 Considérons deu bases B et B de F La base B est une famille libre donc elle a moins d éléments que la base B qui est une famille génératrice Réciproquement la base B est une famille libre donc elle a moins d éléments que la base B qui est une famille génératrice Elles ont donc le même nombre d éléments La notion de dimension dépend de K! Eemple 23 L ensemble C est à la fois un C-espace vectoriel de dimension dont une base est, mais aussi un R-espace vectoriel de dimension 2 dont une base est (,i Théorème 9 Soit F un sous espace vectoriel de dimension p de K n Toute famille libre de F a au plus p éléments 2 Toute famille génératrice de F a au moins p éléments 3 Toute famille libre de F à p éléments est une base 4 Toute famille génératrice de F à p éléments est une base Démonstration Soit F un sous espace vectoriel de dimension p Soit B une base de F elle a p éléments Toute famille libre a moins d éléments que la famille génératrice B par conséquent elle a au plus p éléments 2 De même toute famille génératrice a plus d éléments que la famille libre B par conséquent elle a au moins p éléments 6

3 Toute famille libre à p éléments est une base Sinon cette famille n est pas génératrice et il eiste donc un élément non engendré que l on peut adjoindre à la famille tout en conservant sa liberté Ceci contredit alors le fait qu une famille libre a au plus p éléments 4 Toute famille génératrice à p éléments est une base, sinon cette famille est liée et un de ses éléments est combinaison linéaire des autres éléments Nous obtenons alors une famille génératrice à p éléments ce qui contredit le fait qu une famille génératrice a au moins p éléments Théorème (Théorème de la base incomplète Soit F un sous espace vectoriel de K n Toute famille génératrice de F contient une base de F 2 Toute famille libre de F peut être prolongée en une base de F Démonstration Soit F un sous espace vectoriel de dimension finie p de K n Une famille génératrice a au moins p éléments Si cette famille est liée l un au moins de ses éléments est combinaison linéaire des autres éléments de la famille On peut donc l ôter tout en conservant une famille génératrice La famille restante est génératrice Si elle est aussi libre c est une base Sinon elle est liée et l on applique le même raisonnement On peut ainsi retirer des éléments de la famille jusqu a ce qu elle devienne une base 2 Si une famille est libre et non génératrice, il eiste un élément de E non engendré On l adjoint à la famille, celle-ci reste libre par construction On itère le processus jusqu à ce que la famille devienne une base, cela se fait en au plus n étapes Théorème Soit F et G deu sous-espace vectoriels de K n Si F G et dimf = dimg alors F = G Démonstration Supposons dimf = dimg = p Si ( f,, f p est une base F alors c est une famille libre à p éléments de F, donc de G car F G, c est donc une base de G car dimf = dimg = p, c est donc une famille génératrice de G donc F = Vect ( f,, f p = G Proposition 6 (Eistence d un supplémentaire Soit F un sous-espace vectoriel de K n Il eiste un supplémentaire G de F dans K n Démonstration Soit F un sous-espace vectoriel de K n Par la proposition précédente, le sous espace F est de dimension finie notée d et admet une base B formée des vecteurs f,, f d Par le théorème de la base incomplète, il eiste des vecteurs g d+,, g n tels que la famille ( e,, e d, f d+,, f n soit une base de K n Montrons que le sous-espace vectoriel Vect( g d+,, g n, noté G, est un sous espace supplémentaire de F dans K n Montrons que F + G = K n Soit u E La famille ( f,, f d, g d+,, g n étant une base il eiste des scalaires λ,,λ d,µ d+,,µ n tels que u = λ f + + λ d f d + µ d+ g d+ + + µ n g n = u F + u G avec et u F = λ f + + λ d f d F u G = µ d+ g d+ + + µ n g n G Donc F + G = K n 7

Montrons que F G = {} Soit u F G Par conséquent il eiste des scalaires λ,,λ d,µ d+,,µ n tels que u = λ f + + λ d f d = µ d+ g d+ + + µ n g n Or la famille ( f,, f d, g d+,, g n est libre car c est une base, donc donc u = Par définition K n = F G Rang d une famille de vecteurs λ = = λ d = µ d+ = = µ n =, Définition 3 On appelle rang d une famille (,, p de p vecteurs de K n, la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille On a donc rg(,, p p car (,, p est une famille génératrice de Vect(,, p 2 rg(,, p n car Vect(,, p est un sous-espace vectoriel de K n On en déduit que rg(,, p min(p,n 3 rg(,, p = p (,, p est une famille libre de K n 4 rg(,, p = n (,, p est une famille génératrice de K n Dimension et sous-espaces supplémentaires Théorème 2 Deu sous-espaces vectoriels F et G de K n sont supplémentaires si et seulement si dimf + dimg = n et F G = { } Démonstration Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n On suppose F et G supplémentaires c est à dire F G = { } et F + G = K n Montrons l égalité dimf + dimg = n Nous allons montrer que l union d une base B F = ( f,, f dimf de F avec une base B G = ( g,, g dimg de G est une base de E On en déduira le résultat par définition de la dimension Commençons par montrer que la famille B F B G est une famille génératrice de K n Par hpothèse F + G = K n donc pour tout vecteur u de K n, il eiste u F F et u G G tels que u = u F + u G Or B F et B G sont des bases de F et G respectivement, donc il eiste des scalaires λ,,λ dimf et µ,, µ dimg tels que donc u F = λ f + + λ dimf f dimf et u G = µ g + + µ dimg g dimg, u = λ f + + λ dimf f dimf + µ g + + µ dimg g dimg, ce qui montre que l union des deu bases est une famille génératrice Montrons que l union de ces deu bases est une famille libre de K n Considérons pour cela des scalaires λ,,λ dimf et µ,, µ dimg tels que λ f + + λ dimf f dimf + µ g + + µ dimg g dimg = Par conséquent nous avons λ f + + λ dimf f dimf = µ g µ dimg g dimg F G = { } 8

Nous obtenons donc deu équations λ f + + λ dimf f dimf = et µ g + + µ dimg g dimg = Or les familles B F et B G sont libres car ce sont des bases donc nous obtenons λ = = λ dimf = µ = = µ dimg = Ceci montre que la famille B F B G est une famille libre de K n Conclusion Nous avons précédemment montré que cette famille est une famille génératice de E On peut donc conclure que c est une base de K n Par définition, la dimension de K n est le cardinal d une de ses bases donc 2 Supposons que nous aons les relations n = dimf + dimg dimf + dimg = n et F G = { }, montrons que F + G = K n Soit B F et B G deu bases de F et G respectivement Par le raisonnement précédent, nous observons que B F B G est une base de F + G, donc dim(f + G = dimf + dimg Par hpothèse nous avons donc dim(f +G = n et F +G est un sous-espace vectoriel de K n Par le théorème précédent nous concluons que F + G = K n et donc que F et G sont supplémentaires Dimension d une somme de sous-espaces vectoriels directe, le théorème précédent fournit l égalité Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n Si la somme est Plus généralement nous avons le théorème suivant dim(f G = dimf + dimg Théorème 3 Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n La dimension de la somme F +G est donnée par la formule : dim(f + G = dim(f + dim(g dim(f G Démonstration Soit F et G deu sous-espaces vectoriels de K n Par ce qui précède, le sous espace F G est de dimension finie et admet une base On considère une base de F G notée B F G = ( e,, e dimf G Par le théorème de la base incomplète on complète B F G en une base B F de F et B F G en une base B G de G : et B F = ( e,, e dimf G, f dimf G+,, f dimf B G = ( e,, e dimf G, g dimf G+,, g dimg On note F le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs f dimf G+,, f dimf : F = Vect( f dimf G+,, f dimf On note G le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs g dimf G+,, g dimg : G = Vect( g dimf G+,, g dimg Montrons que : (F G F = F et (F G G = G Soit u F, il eiste des scalaires λ,,λ dimf G et µ dimf G+,,µ dimf tels que u = λ e + + λ dimf G e dimf G + µ dimf G+ f dimf G+ + + µ dimf f dimf = u F G + u F 9

avec et u F G = λ e + + λ dimf G e dimf G F G u F = µ dimf G+ f dimf G+ + + µ dimf f dimf F Ceci montre l égalité F G + F = F Soit u (F G F, il eiste des scalaires λ,,λ dimf G et µ dimf G+,,µ dimf tels que λ e + + λ dimf G e dimf G = µ dimf G+ f dimf G+ + + µ dimf f dimf = u or la famille ( e,, e dimf G, f dimf G+,, f dimf est libre donc λ = = λ dimf G = µ dimf G+ = = µ dimg = donc u = Ceci montre que les espaces F G et F sont en somme directe et leur somme est F Par le même raisonnement, les sous espaces F G et G sont en somme directe et leur somme est G Montrons que F + G = F G L inclusion G G entraîne directement l inclusion F + G F + G Soit u = f + g F + G avec f F et g G Il eiste g F G F G et g G G tels que g = g F G + g G Par conséquent u = ( f + g F G + g G avec f + g F G F Ceci montre l égalité F + G = F + G Soit u F G alors u F G donc u F G G = { }, donc les sous espaces F et G sont en somme directe et leur somme est F + G Par le théorème précédent nous avons dimf + G = dimf + dim G et On obtient donc la formule dim G = dimg dimf G dimf + G = dimf + dimg dimf G Eemple 24 Dans R 3, on considère les sous espaces vectoriels F = ; = et G = Le sous espace vectoriel F admet une base formée des vecteurs j = ; = Cette famille est libre : si il eiste deu scalaires λ et µ tels que λ i + µ j = alors Cette famille est génératrice car tout vecteur et k = λ µ F se décompose sous la forme Le sous-espace vectoriel F est de dimension 2, on dit que c est un plan 2 = donc λ = µ = = j + k

De même le sous espace vectoriel G est de dimension 2, une base est formée des vecteurs i = Nous avons Par conséquent nous avons F G = ; R = Vect ( k dimf + G = dimf + dimg dim(f G = 2 + 2 = 3 et k Donc F + G a la même dimension que R 3 donc F + G = R 3 Remarquons qu il n a pas été nécessaire de décomposer tout vecteur de R 3 comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G! 23 Applications linéaires Dans toute la suite K désigne le corps des réels R ou le corps des nombres complees C 23 Définition et eemples Définition 4 Soit n et m deu entiers Une application f de K m dans K n est dite linéaire si et seulement si : et Ces deu conditions sont équivalentes à la condition L application linéaire f vérifie les deu propriétés suivantes f ( = 2 K m, f ( = f (, K m, f ( + = f ( + f ( K m, λ K, f (λ = λ f ( K m, K m, λ K, f (λ + = λ f ( + f ( L ensemble des applications linéaires de K m dans K n est noté L(K m,k n Remarque 4 Une application linéaire respecte les lois et les échange : L image de la somme de deu vecteurs de K m est la somme dans K n des images des vecteurs L image de la multiplication d un vecteur de K m par un scalaire λ est la multiplication par le scalaire λ de l image Eemple 25 L application est une application linéaire : Soit et dans R nous avons Soit dans R et λ dans R nous avons On peut aussi dire directement : f : R R 2 f ( + = 2( + = 2 + 2 = f ( + f ( f (λ = 2(λ = λ(2 = λ f ( 2

Soit et dans R et λ dans R nous f (λ + = 2(λ + = 2λ + 2 = λ2 + 2 = λ f ( + f ( Eemple 26 L application est une application ( linéaire : Soit u = et v = ( t f : R 2 ( R 2 u = f ( u = En effet, nous avons f ( u + v = f ( + +t ( 2 + 3 +, donc donc ( 2( + + 3( +t f ( u + v = ( + + ( +t ( 2 + 3 f ( u + v = + ( De même pour tout λ R, pour tout u = f (λ u = f ( λ λ ( 2 + 2 + 3 + 3t = + + +t nous avons ( 2 + 3t + +t ( 2λ + 3λ = λ + λ ( (2 + 3 + (2 + 3t = ( + + ( +t = f ( u + f ( v ( 2 + 3 = λ + = λ f ( u Eemple 27 L application f : R 3 R u = f ( u = + + 2 est une application linéaire En effet pour tout vecteur u = et u 2 = 2 2, pour tout λ R nous avons f (λ u + u 2 = (λ + 2 + (λ + 2 + (λ + 2 = λ( + + + ( 2 + 2 + 2 = λ f ( u + f ( u 2 232 Opérations sur les applications linéaires Proposition 7 L ensemble L(K m,k n des applications linéaires entre les espaces K m et K n est un sous espace vectoriel du K-espace vectoriel des fonctions de K m dans K n, noté (K m Kn pour les lois + : (K n Km (K n Km (K n Km ( f,g f + g : f ( + g( : K (K n Km (K n Km (K n Km (λ, f λ f : λ f ( Démonstration Soit f et g deu applications linéaires de K m dans K n Soit λ un scalaire Montrons que la fonction λ f + g est une application linéaire Soit, K m et µ un scalaire Par la définition des applications + et entre fonctions rappelée plus haut, nous avons les égalités : (λ f + g(µ + = λ f (µ + + g(µ + Par linéarité de f et g nous avons donc (λ f + g(µ + = λµ f ( + λ f ( + µg( + g(, 22

que l on réécrit sous la forme (λ f + g(µ + = µ(λ f ( + g( + (λ f ( + g( = µ(λ f + g( + (λ f + g( ce qui montre que λ f + g est une application linéaire de K m dans K n Proposition 8 Soit l, m et n trois entiers Soit f : K l K m et g : K m K n deu applications linéaires La composée g f : E G est une application linéaire Démonstration Il suffit de vérifier la définition Soit u et v deu vecteurs de K l, soit λ un scalaire Nous avons par linéarité de f : f (λ u + v = λ f ( u + f ( v De même par linéarité de l application g nous avons Par conséquent nous avons obtenu : ce qui montre la linéarité de g f g(λ f ( u + f ( v = λg( f ( u + g( f ( v (g f (λ u + v = g( f (λ u + v = λg( f ( u + g( f ( v = λ(g f ( u + (g f ( v, Proposition 9 (Distributivité Soit l, m et n trois entiers Les lois + et vérifient les propriétés de distributivité suivantes : α K, ( f, f 2 L(K l,k m, g L(K m,k n, g (α f + f 2 = α(g f + (g f 2 2 α K, (g,g 2 L(F,G, f L(E,F, (αg + g 2 f = αg f + g 2 f Démonstration La preuve résulte directement des définitions Soit α K, soit ( f, f 2 L(K l,k m, soit g L(K m,k n Soit K l Par définition de l addition et multiplication eterne sur les fonctions, puis par linéarité de g nous avons les égalités g (α f + f 2 ( = g(α f ( + f 2 ( = αg( f ( + g( f 2 ( = α(g f ( + (g f 2 ( = [α(g f + (g f 2 ]( 2 Soit α K, soit g,g 2 L(K m,k n, soit f L(K l,k m Soit K m Par définition de l addition et de la multiplication eterne sur les fonctions, nous avons [(αg + g 2 f ]( = (αg + g 2 ( f ( = αg ( f ( + g 2 ( f ( = [αg f + g 2 f ]( Remarquons que dans ce cas, la linéarité de f et celle de g ne sont pas utilisées Remarque 5 Par ce qui précède nous déduisons que le triplet (L(K l,+, est un anneau L élément neutre pour la loi est l identité de K l Vocabulaire On appelle Endomorphisme de K n, une application linéaire de K n dans K n L ensemble des endomorphismes de K n est noté L(K n C est un sous espace vectoriel de (K n Kn Isomorphisme toute application linéaire bijective Automorphisme tout endomorphisme bijectif Forme linéaire toute application linéaire d un K-espace vectoriel K n dans K n 23

233 Image d une application linéaire, critère de surjectivité Définition 5 Soit m et n deu entiers Soit f une application linéaire de K m dans K n On appelle image de f la partie Im( f = { f ( K n K m } Proposition Soit f une application linéaire de K m dans K n L image de f est un sous-espace vectoriel de K n Plus généralement, l image par f d un sous espace vectoriel de K m est un sous espace vectoriel de K n Démonstration Soit F un sous espace vectoriel de K m Montrons que f (F est un sous-espace vectoriel de K n Soit et 2 deu éléments de f (F Soit λ K Montrons que λ + 2 appartient à f (F Par définition, il eiste et 2 appartenant à K n tels que = f ( et 2 = f ( 2 Nous avons λ + 2 = λ f ( + f ( 2 = f (λ + 2 par linéarité de f, ce qui montre que λ + 2 appartient à f (F et donc que f (F est un sous espace vectoriel de K n Par définition de la surjectivité d une application nous avons le critère suivant : Critère de surjectivité Im ( f = K m Soit f une application linéaire de K m vers K n L application f est surjective si et seulement si Rappelons que par définition, f : K m K n est surjective, si et seulement si pour tout vecteurs appartenant à K m, il eiste un vecteur appartenant à K m tel que f ( = 234 Noau d une application, critère d injectivité Rappelons qu une application f entre deu ensembles E et F est injective si et seulement si, E, f ( = f ( = Remarque 6 Supposons maintenant que l application f soit linéaire entre K m et K n Nous avons l équivalence suivante : En effet, f est injective pour tout vecteur u de K m, si f ( u = alors u = supposons que f est injective Nous savons qu une application linéaire vérifie f ( = Soit u un vecteur de K m Si f ( u = alors par injectivité u = 2 supposons que pour tout vecteur u de K m, si f ( u = alors u = Montrons que f est injective Soit et deu vecteurs de K m tels que f ( = f ( Par linéarité nous avons f ( = et par hpothèse nous déduisons = De cette remarque nous introduisons la définition Définition 6 (Noau d une application linéaire Soit f une application linéaire entre deu espaces vectoriels K m et K n On appelle noau de f l ensemble Ker ( f = { K m f ( = } = f ( Proposition Soit f une application linéaire entre deu espaces vectoriels K m et K n Le noau de f est un sous espace vectoriel de K m Plus généralement, l image réciproque d un sous-espace vectoriel de K n par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de K m Démonstration Fions G un sous-espace vectoriel de K n, montrons que f (G = { K m f ( G} est un sous espace vectoriel de E On applique pour cela la définition Soit, 2 deu vecteurs de f (G, soit λ K, montrons que λ + 2 appartient à f (G Par définition f ( et f ( 2 appartiennent à G, de plus G est un sous-espace vectoriel de F donc λ f ( + f ( 2 appartient à G, donc par linéarité de f, λ + 2 appartient à f (G Le noau de f est donc un sous-espace vectoriel de K m comme image réciproque du sous-espace vectoriel { F } 24

Critère d injectivité : Par la remarque précédente, une application linéaire f est injective si et seulement si Ker( f = {} Pour montrer qu une partie d un espace vectoriel K m est un sous-espace vectoriel de K m on peut montrer que cette partie est le noau ou l image d une application linéaire Eemple 28 L ensemble est le noau de l application linéaire {( F = } R 2 ; 2 + 3 = f : ( R 2 R 2 + 3 L ensemble F est un sous espace vectoriel de R 2, comme noau de l application linéaire f : R 2 R (, 2 + 3 Une application linéaire est totalement déterminée par l image d une base Remarque 7 (Fondamentale Soit m Soit B une base de K m Soit f : K m K n une application linéaire Si l on connaît l image de f sur les vecteurs de la base B alors on connaît f En effet tout vecteur de K m se décompose de manière unique sur la base e,, e m sous la forme : = e + + m e m Par linéarité de f nous avons f ( = f ( e + + m f ( e m ce qui montre que la connaissance des images f ( e,, f ( e m suffit pour connaître f En particulier l image de f est engendrée par les vecteurs f ( e,, f ( e m Plus généralement on a le théorème suivant : Théorème 8 Soit m Soit B = ( e,, e m une base de K m Soit n un entier Pour toute famille,, m de vecteurs de K n, il eiste une unique application linéaire f de K m dans K n telle que i {,,m} f ( e i = i Démonstration Ce théorème résulte de la remarque ci-dessus Détaillons Eistence Soit m un entier et B = ( e,, e m une base Soit n un entier Soit,, m des vecteurs de K n Construisons une application linéaire f telle que pour tout i {,,m} nous aons f ( e i = i (a Analse du problème, condition nécessaire Soit K m La famille e,, e m étant une base de K m, il eiste un unique m-uplet de scalaires (λ,,λ m tel que = λ e + + λ m e m Si une telle application eiste alors par linéarité f ( est totalement déterminée f ( = f (λ e + + λ m e m = λ f ( e + + λ m f ( e m = λ + + λ m m (b Snthèse Soit K m La famille e,, e m étant une base de K m, il eiste un unique m-uplet de scalaires (λ,,λ m tel que = λ e + + λ m e m On définit alors l application f par f ( = f (λ e + + λ m e m = λ f ( e + + λ m f ( e m = λ + + λ m m Par construction pour tout i {,,m}, f ( e i = i Montrons que cette application est linéaire Soit = λ e + + λ m e m et = µ e + + µ m e m K m 25

Soit α un scalaire Nous en déduisons la décomposition de α + sur la base e,, e m : α + = (αλ + µ e + + (αλ m + µ m e m Par conséquent, f (α + = (αλ + µ f ( + + (αλ m + µ m f ( m = α f ( + f ( ce qui montre que l application est linéaire 2 Unicité L unicité résulte de la remarque précédente Rang d une application linéaire Définition 7 (Rang d une application linéaire Soit m et n deu entiers et f une application linéaire de K m dans K n On appelle rang de f la dimension de l image de f Remarque 9 Soit p un entier Soit ( e,, e p une base de K p Soit l un entier et f une application linéaire de K p dans K l Par la remarque précédente, nous avons observé que l image d une application linéaire était engendrée par les vecteurs f ( e,, f ( e p Par conséquent, le rang de f est le rang de la famille des vecteurs ( f ( e,, f ( e p Théorème 2 Soit p un entier et B = ( e,, e p une base de K p Soit n un entier et f : K p K n une application linéaire f est injective la famille f ( e,, f ( e p est une famille libre de K n rg( f = p 2 f est surjective la famille f ( e,, f ( e p est une famille génératrice de K n rg( f = n 3 f est bijective la famille f ( e,, f ( e p est une base de F rg( f = n = p Démonstration (a Supposons f injective Son noau est réduit à { } Soit λ,,λ p des scalaires tels que par linéarité nous avons or le noau de f est réduit à donc or la famille ( e,, e p est libre donc ce qui montre que la famille f ( e,, f ( e p est libre λ f ( e + + λ p f ( e p = f (λ e + + λ p e p = λ e + + λ p e p = λ = = λ p =, (b L image de f est engendrée par l image des vecteurs de la base B : f ( e,, f ( e p Si de plus cette famille est libre, c est une base donc la dimension de Im ( f est p, donc rg( f = p (c Si le rg( f = p alors la dimension de l image de f est p par définition Or la famille f ( e,, f ( e p est une famille génératrice de cardinal p, c est donc une base, elle est donc libre Montrons que l application f est injective Soit un élément du noau alors il eiste des scalaires λ,,λ p tels que Donc, Or la famille f ( e,, f ( e p est libre donc = λ e + + λ p e p f ( = λ f ( e + + λ p f ( e p = λ = = λ p = donc = Cela montre que le noau de f est réduit à { } donc f est injective 26

2 L image de f est engendré par l image des vecteurs de base : Vect( f ( e,, f ( e p = Im ( f On déduit immédiatement les équivalences à partir des définitions 3 On déduit des équivalences précédentes et des définitions : f est bijective la famille f ( e,, f ( e p est une base de F rg( f = n = p Corollaire 2 Soit n un entier Une application linéaire f : K n K n est bijective si et seulement si elle est injective ou surjective Quelques conséquences fondamentales : Un endomorphisme f de K n est un isomorphisme si et seulement si son noau est réduit au vecteur nul Un endomorphisme f de K n est un isomorphisme si et seulement si il admet un inverse à gauche (l application est donc injective ou à droite (l application est donc surjective Corollaire 22 Soit n p deu entiers Tout sous espace vectoriel F de dimension p de K n est isomorphe à K p Démonstration Le sous espace vectoriel F admet une base ( e,, e p On considère l application linéaire f définie par f ( e i = le i-ème vecteur de la base canonique de Kp Par ce qui précède l application f est un isomorphisme Théorème 23 (Théorème du rang Soit n et m deu entiers Soit f une application linéaire de K m dans K n Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f dans K m 2 dimker f + dimim f = m Démonstration Par la proposition 6, soit H un supplémentaire de Ker f dans K m Montrons que l application restreinte f H : H Im ( f K n est un isomorphisme La restriction d une application linéaire est toujours linéaire par définition de la linéarité Il s agit de montrer que cette application est injective et surjective (a Surjectivité Par définition Im ( f H Im ( f Montrons que l application restreinte f H est bien surjective sur Im( f Soit Im( f, montrons qu il eiste h H tel que f ( h = Par définition il eiste E tel que f ( = L espace K m se décompose en somme directe sous la forme K m = Ker( f H Il eiste donc Ker( f et h H tels que f ( = f ( + h = f ( + f ( h = f ( h = ce qu il fallait démontrer L application restreinte f H est bien surjective sur Im ( f (b Injectivité Montrons que l application restreinte f H est injective On eamine pour cela le noau de f Soit Ker f H Nous avons f H ( = f ( = donc H Ker f = { } Ceci montre que f H est injective 2 Comme l espace K m est somme directe du noau de f et du supplémentaire H nous avons l égalité K m = Ker f H On en déduit donc l égalité des dimensions dimk m = dimker f + dimh Par isomorphisme entre H et Im f nous obtenons l égalité dimh = dimim f On peut donc conclure : m = dimker f + dimim f 27

24 Sstèmes linéaires et matrices 24 Résolution de sstèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss Nous avons vu dans les paragraphes précédents l utilisation quasi-sstématique des sstèmes linéaires Les eemples proposés étaient élémentaires, le but était avant tout d illustrer les définitions ou les théorèmes sans être géné par la technique Le but de ce paragraphe est de présenter la méthode du pivot de Gauss Nous redonnerons à la fin de ce paragraphe les questions naturelles d algèbre linéaire que l on résout par une résolution de sstème linéaire Définition 8 On appelle sstème d équations linéaires à coefficients dans K = R ou K = C un sstème du tpe a, + a,2 2 + + a,n n = b a 2, + a 2,2 2 + + a 2,n n = b 2 a p, + a p,2 2 + + a p,n n = b p Les i sont les inconnues du sstème, les a i, j sont les coefficients du sstème et appartiennent à K La méthode du pivot est fondée sur les remarques suivantes : Remarque 24 L ensemble des solutions d un sstème linéaire ne change pas si l on effectue sur les équations les opérations élémentaires suivantes : changer l ordre des équations, 2 mutliplier une équation (premier et second membre par un scalaire non nul, 3 ajouter à une équation une combinaison linéaire des autres équations Nous epliquons la méthode sur un eemple Eemple 29 Résoudre dans R 4 le sstème linéaire d équations +t = 3 + +t = 2 + 2 + + 3t = 2 4 + t = 2 On choisit un ordre sur les variables Dans notre cas on choisit,,,t On commence tout d abord par choisir un pivot, c est à dire une équation dont le coefficient en est non nul, par eemple prenons l équation 2 + 2 + + 3t = 2 On la place en première position ce qui nous donne le sstème équivalent au précédent : 2 + 2 + + 3t = 2 +t = 3 + +t = 4 + t = 2 Pour chaque ligne L i on effectue l opération élémentaire L i := L i a i, a, L Dans notre cas nous faisons : L 2 := L 2, L 3 := L 3 3 2 L, L 4 := L 4 4 2 L nous obtenons alors le sstème équivalent au précédent : 2 + 2 + + 3t = 2 +t = 2 3 2 7 2 t = 3 4 7t = 2 28