REPERAGE - EQUATIONS DE DROITES I) REPERE D UNE DROITE DEFINITION : Soit (d) une droite, O et I deux points distincts de cette droite, alors (O, I) est appelé repère de la droite (d). La longueur OI est l unité du repère et O est appelé origine du repère. PROPRIETE : Soit (d) une droite munie du repère (O, I), alors tout point M de la droite est associé à un unique nombre défini par : é Exemple : Sur la droite (d) ci-dessous, les points O et I sont distincts donc (O, I) est un repère de (d). M [OI) est tel que donc son abscisse est 4. ) est tel que donc son abscisse est 1,5. (d) II) REPERE D UN PLAN DEFINITION : Soit P un plan, O, I et J trois points non alignés de ce plan, alors (O, I, J) est appelé repère du plan. O est appelé origine du repère, et les droites (OI) et (OJ) sont appelés axes du repère. Soit P un plan muni du repère (O, I, J), alors tout point M du plan, il existe deux uniques points tels que ( ) ( ) é (on l admettra). On note l abscisse de sur la droite (OI) et l abscisse de sur la droite (OJ) munie du repère (O, I, J). 1
On en déduit la propriété suivante : PROPRIETE : (admis) Soit P un plan muni d un repère (O I J) alors tout point M de ce plan est associé à un unique couple ( ) défini ci-dessus, appelé coordonnées de M. est appelé abscisse de M et est appelé ordonnée de M. DIFFERENTS TYPES DE REPERES DEFINITION : Soit P un plan muni d un repère (O I J). Si le triangle OIJ est quelconque, le repère est dit quelconque. Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère est dit orthogonal. Si le triangle OIJ est isocèle en O, le repère est dit normé. Si le triangle OIJ est rectangle isocèle en O, le repère est dit orthonormé. Dans un repère orthonormé : 2
III) COORDONNEES DU MILIEU D UN SEGMENT 1) Activité préparatoire Sur la figure ci-dessous : a) Donner graphiquement les coordonnées de A, B, C et D. b) Placer les points M(3 ; 1), N( 1 ; 1,5), P( 2 ; 1) et Q(3 ; 1). c) En faisant quelques essais, conjecturer le lien entre les coordonnées de deux points et les coordonnées du milieu de ces deux points. 2) Propriété Soit P un plan muni d un repère quelconque. Soit ( ) ( ) ( ). Preuve 3
IV) DISTANCE ENTRE DEUX POINTS DANS UN REPERE ORTHONORME Soit P un plan muni d un repère orthonormé. Soit A et B deux points du plan P de coordonnées respectives ( ) ( ). Alors la distance AB est donnée par : ( ) ( ) Preuve REMARQUE : La longueur a pour unité l unité du repère. Si l unité est le centimètre alors la longueur sera en centimètre. EXERCICE : Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0 ; 4), B(4 ; 2 et C( 2 ; 0). 1) Calculer les longueurs AB, AC et BC 2) Démontrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en A. 3) Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [BC]. 4) Construire le symétrique D du point A par rapport à I. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? V) LES DROITES 1) Définitions Une droite (AB) est l ensemble des points ( ) du plan qui sont alignés avec A et B. Tous les points M de cette droite ont des coordonnées qui vérifient toutes les mêmes relations. Cette relation entre s appelle équation cartésienne de (AB). DEFINITION 1 : L équation cartésienne d une droite est la relation algébrique entre les abscisses et les ordonnées qui est vérifiée par les coordonnées de tous ses points. L équation cartésienne d une droite est donc de la forme : avec é. DEFINITION 2 : L équation réduite d une droite est la relation algébrique entre les abscisses et les ordonnées de la forme : si avec é et avec é. REMARQUES : on utilisera souvent l équation réduite au lieu de l équation cartésienne car elle est unique, et tous les élèves trouveront la même alors qu il y a plusieurs équations cartésiennes différentes pour une même droite. Lien entre les deux équations EXEMPLE : ( ) a pour équation cartésienne, donner son équation réduite. 4
VOCABULAIRE : Si une droite a pour équation réduite, alors est le coefficient directeur ou la pente de la droite, et p est l ordonnée à l origine de la droite. 2) Tracer une droite connaissant son équation réduite Soit la droite d équation. METHODE GRAPHIQUE : On place le point de coordonnées ( ). On utilise le coefficient directeur comme l indique la figure ci-dessous : Droite d équation ( ) METHODE ALGEBRIQUE : voir chapitre sur les fonctions affines. Si la droite a pour équation réduite le point de coordonnées ( ) alors la droite est parallèle à l axe des ordonnées passant par 3) Positions relatives de droites Préliminaire : Tracer les trois droites suivantes ( ) : ( ) : ( ) : Que remarquez-vous? Quelles conjectures pouvez-vous faire? Conclusion : On note ( ) la droite d équation réduite et ( ) la droite d équation. 5
4) Alignements Pour montrer que trois points ( ) ( ) ( ) sont alignés, voici plusieurs méthodes : Si on connait l équation d une droite passant par deux de ces points alors il suffit de vérifier que les coordonnées du troisième point vérifient cette équation. On peut montrer que les droites(ab) et (AC) ont le même coefficient directeur et donc montrer que Si on connait l équation réduite de (AB) et (AC) il suffit de montrer que. A voir suivant l exercice à résoudre. EXEMPLE : è ( ) ( ) ( ) ( ). 1) Les points A, B et C sont-ils alignés? 2) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? 5) Point d intersection On note (D) la droite d équation réduite et (D ) celle d équation réduite. On cherche à déterminer algébriquement les coordonnées du point d intersection entre les deux droites si celui-ci existe. On note ( ) ce point d intersection. Les coordonnées du point vérifient les deux équations donc on doit résoudre le système suivant : EXEMPLE : Déterminer les coordonnées du point d intersection des droites d équations : ( ) ( ) : 6