Chapitre : Exercices BAC Terminale S, 014, Lycée Lapérouse Exercice 1. Nouvelle Calédonie novembre 01 Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v). On note C l ensemble des nombres complexes. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Proposition : Pour tout entier naturel n : (1+i) 4n = ( 4) n.. Soit (E) l équation (z 4)(z 4z +8) = 0 où z désigne un nombre complexe. Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans C, de (E) sont les sommets d un triangle d aire 8.. Proposition : Pour tout nombre réel α, 1+e iα = e iα cos(α). 4. Soit A le point d affixe z A = 1 (1+i) et M n le point d affixe (z A ) n où n désigne un entier naturel supérieur ou égal à. Proposition : si n 1 est divisible par 4, alors les points O, A et M n sont alignés. 5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d argument π. Proposition : 1+j+j = 0. Exercice. Nouvelle calédonie mars 014 Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n est demandée. Aucun point n est enlevé en l absence de réponse ou en cas de réponse fausse. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v). Soit z un nombre complexe de la forme x+iy, où x et y sont des réels. 1. Soit z le nombre complexe d affixe (1+i) 4. L écriture exponentielle de z est : a. e iπ b. 4e iπ c. e iπ 4 d. 4e iπ 4. L ensemble des points M du plan d affixe z = x+iy tels que z 1+i = i a pour équation : a. (x 1) +(y +1) = b. (x+1) +(y 1) = c. (x 1) +(y +1) = 4 d. y = x+ 1. On considère la suite de nombres complexes (Z n ) définie pour tout entier naturel n par Z 0 = 1+i et Z n+1 = 1+i Z n. On note M n le point du plan d affixe Z n. a. Pour tout entier naturel n, le point M n appartient au cercle de centre O et de rayon. 1/5
b. Pour tout entier naturel n, le triangle OM n M n+1 est équilatéral. c. La suite (U n ) définie par U n = Z n est convergente. d. Pour tout entier naturel n, un argument de Z n+1 Z n Z n est π. 4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d affixes respectives : On pose Z = Z C Z A Z B Z A. a. Z est un nombre réel. b. Le triangle ABC est isocèle en A. Z A = 1 i ; Z B = i et Z C = 1+5i. c. Le triangle ABC est rectangle en A. d. Le point M d affixe Z appartient à la médiatrice du segment [BC]. Exercice. Métropole septembre 011 Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct (O; u, v). On désigne par A le point d affixe i et par f l application du plan dans lui-même qui à tout point M d affixe z, distincte de i, associe le point M d affixe z telle que : z = z i z +i. 1. Calculer l affixe du point B, image du point B d affixe i par l application f. Placer les points B et B sur une figure que l on fera sur la copie.. Démontrer que l application f n admet pas de point invariant. On rappelle qu un point invariant est un point confondu avec son image.. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z i = z +i. b. Démontrer que OM = 1 et interpréter géométriquement ce résultat. c. Démontrer que pour tout point M distinct de A, ( u ) ( ; OM = u ; AM )+kπ oùk est un entier relatif. d. En déduire une méthode de construction de l image M d un point quelconque M distinct de A. 4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur w d affixe e iπ 6. a. Dessiner la droite (d). b. Déterminer l image par l application f de la droite (d) privée du point A. Exercice 4. Pondichery 01 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v). On note i le nombre complexe tel que i = 1. On considère le point A d affixe z A = 1 et le point B d affixe z B = i. À tout point M d affixe z M = x + iy, avec x et y deux réels tels que y 0, on associe le point M d affixe z M = iz M. On désigne par I le milieu du segment [AM]. /5
Le but de l exercice est de montrer que pour tout point M n appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM (propriété 1) et que BM = OI (propriété ). 1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z M = e iπ. a. Déterminer la forme algébrique de z M. b. Montrer que z M = i. Déterminer le module et un argument de z M. c. Placer les points A, B, M,M et I dans le repère (O; u, v) en prenant cm pour unité graphique. Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et à l aide du graphique.. On revient au cas général en prenant z M = x+iy avec y 0. a. Déterminer l affixe du point I en fonction de x et y. b. Déterminer l affixe du point M en fonction de x et y. c. Écrire les coordonnées des points I, B et M. d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM. e. Montrer que BM = OI. Exercice 5. Amérique du sud novembre 01 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l équation (E) : z z +4 = 0. 1. Résoudre l équation (E) dans l ensemble C des nombres complexes.. On considère la suite (M n ) des points d affixes z n = n e i( 1)n π 6, définie pour n 1. a. Vérifier que z 1 est une solution de (E). b. Écrire z et z sous forme algébrique. c. Placer les points M 1, M, M et M 4 sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments [M 1,M ], [M,M ] et [M,M 4 ]. ( ). Montrer que, pour tout entier n 1, z n = n + ( 1)n i. 4. Calculer les longueurs M 1 M et M M. Pour la suite de l exercice, on admet que, pour tout entier n 1, M n M n+1 = n. 5. On note l n = M 1 M +M M + +M n M n+1. a. Montrer que, pour tout entier n 1, l n = ( n 1). b. Déterminer le plus petit entier n tel que l n 1000. /5
8 6 4 O 4 6 8 10 1 14 16 4 6 8 Exercice 6. Antilles septembre 011 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O; u, v) d unité graphique 4 cm. Partie A : On note P le point d affixe p = 1 +i, Q le point d affixe q = 1 i, et K le point d affixe 1. 1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1. b. Faire une figure et construire les points P et Q.. a. Déterminer l ensemble D des points M d affixe z tels que z = z +1. Représenter cet ensemble sur la figure. b. Montrer que P et Q sont les points d intersection de l ensemble D et du cercle Γ. Partie B : On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d affixes respectives a, b et c. On suppose que l origine O du repère (O; u, v) est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. 1. a. Montrer que a = b = c. En déduire que b a = c = 1. a b. Montrer que a+b+c = 0. c. Montrer que b a = b a +1 = 1. 4/5
d. En utilisant la partie A, en déduire que b a = p ou b a = q.. Dans cette question, on admet que b a = p et c a = q. a. Montrer que q 1 p 1 = eiπ. b. Montrer que q 1 p 1 = c a b a. c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC. Exercice 7. Liban 014 On considère la suite de nombres complexes (z n ) définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = (1+i)z n. Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n. 1. Calculer u 0.. Démontrer que (u n ) est la suite géométrique de raison et de premier terme.. Pour tout entier naturel n, exprimer u n en fonction de n. 4. Déterminer la limite de la suite (u n ). 5. Étant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l aide d un algorithme, la plus petite valeur de l entier naturel n telle que u n > p. Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l entier n. Partie B Variables : u est un réel p est un réel n est un entier Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur Entrée : Demander la valeur de p Traitement : Sortie : 1. Déterminer la forme algébrique de z 1.. Déterminer la forme exponentielle de z 0 et de 1+i. En déduire la forme exponentielle de z 1. ( π. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos 1) L. JAUNATRE Terminale S, Chapitre : Exercices BAC 5/5