1 Formalisme de la Mécanique Quantique

Théorie Spectrale et Mécanique Quantique Christian Gérard Département de Mathématiques, Bât. 425 UMR 8628 du CNRS Université de Paris-Sud F-91405 Orsay Cédex FRANCE email : Christian.Gerard@math.u-psud.fr October 16, 2003 1 Formalisme de la Mécanique Quantique Nous décrivons brièvement dans ce chapitre le formalisme mathématique de la Mécanique quantique. 1.1 Espaces de Hilbert, états A un système physique on associe un espace de Hilbert (complexe) H, avec un produit scalaire (, ). Nous suivrons la convention des physiciens et le produit scalaire (u, v) sera linéaire par rapport à v et antilinéaire par rapport à u. L état du système est décrit par un vecteur ψ H, ψ = 1. De tels vecteurs sont appelés des états purs. Les états purs correspondent à des situations où l état du système quantique est (en principe) complétement déterminé. On verra dans la suite la notion d états mélangés, utilisés en physique statistique quantique. 1.2 Observables A chaque grandeur physiquement mesurable sur le système on associe un opérateur A sur H, appelé une observable. Si le système est dans l état ψ, la valeur moyenne de la mesure de la grandeur correspondant à A est (ψ, Aψ). Comme on ne mesure que des nombres réels, on obtient (ψ, Aψ) = (Aψ, ψ) =: (ψ, A ψ) i.e. par polarisation A = A. Les observables sont donc (au moins formellement) des opérateurs autoadjoints. Notons qu il peut arriver que les opérateurs autoadjoints sur H ne soient pas tous associés à des grandeurs physiquement mesurables (ce phénomène est connu en physique sous le nom de règles de superselection). 1

La valeur moyenne (ψ, Aψ) n est pas nécessairement bornée uniformément sur tous les états. Des exemples typiques sont les observables correspondant à la position, au moment ou à l énergie d une particule quantique. La traduction mathématique de ce fait est que l opérateur A peut être non borné i.e. défini seulement sur un sous-espace linéaire dense D(A) de H, appelé domaine de A. La condition traduisant le caractère réel de (ψ, Aψ) prend la forme plus forte suivante : 1) (ψ 1, Aψ 2 ) = (Aψ 1, ψ 2 ), ψ 1, ψ 2 D(A) (on dit alors que A est symétrique). 2) Si (ψ 1, Aψ 2 ) c ψ 2, ψ 2 D(A), alors ψ 1 D(A). De tels opérateurs sont dits auto-adjoints. On en déduit le postulat suivant: Les quantités physiques mesurables sont associées à des opérateurs auto-adjoints sur H. Exemple 1: une particule quantique sur la droite réelle H = L 2 (R), état ψ = fonction de carré intégrable avec ψ(x) 2 dx = 1. Observables position : x : ψ xψ (xψ)(x) = xψ(x). moment : D x : ψ D x ψ = 1 i Energie cinétique: D(x) = {ψ L 2 (R) xψ L 2 (R)}. ψ x D(D x ) = {ψ L 2 (R) D x ψ L 2 (R)} = H 1 (R). H 0 = 1 2 D2 x : ψ 2 ψ x 2 D(H 0 ) = {ψ L 2 (R) 2 ψ } x 2 L2 (R) = H 2 (R). Remarque [D x, ix] = 1 au sens que (D x v, ixu) (xv, i D x u) = (v, u), u, v D(x) D(D x ). Exemple 2: une particule quantique dans une boˆite H = L 2 ([0, 1]), état ψ = fonction de carré intégrable avec 1 0 ψ(x) 2 dx = 1. Observables position : x : ψ xψ, D(x) = H (x devient un opérateur borné). moment : il n existe pas d opérateurs p auto-adjoint sur H tel que [p, ix] = 1. (Il en existe par contre des symétriques). Energie cinétique : H 0 = 1 2 D2 x D(H 0 ) = {ψ H 2 (R) ψ(0) = ψ(1) = 0}. Le choix du domaine traduit la réflection de la particule sur les parois de la boˆite. 2

1.3 Mesure en Mécanique Quantique Nous décrivons maintenant le phénomène de la mesure en mécanique quantique, suivant linterprétation de Born, qui conduit à la notion mathématique de mesure spectrale d un opérateur autoadjoint. Dans les exemples 1 et 2, soit Ω R (resp. Ω [0, 1]) un borélien (par exemple un intervalle). La quantité Ω ψ(x) 2 dx représente la probabilité de trouver la particule dans l état ψ dans l ensemble Ω. On peut réécrire l intégrale comme : ψ(x)1l Ω (x) ψ(x) dx =: (ψ, 1l Ω (x) ψ), où 1l Ω (x) est l opérateur de multiplication par la fonction 1l Ω (x). On remarque les faits suivants : 1) 1l Ω (x) est une projection orthogonale : 1l Ω (x) = 1l Ω (x), 1l Ω (x) 2 = 1l Ω (x), 2) 1l Ω1 (x) 1l Ω2 (x) = 1l Ω1 Ω 2 (x), 3) si Ω = 1 Ω n, Ω n disjoints deux à deux: 1l Ω (x) ψ = 1l Ωi (x) ψ, 1 4) 1l φ (x) = 0, 1l R (x) = 1l. Une application qui a tout borélien Ω R associe une projection 1l Ω avec les propriétés 1)... 4) est appelée une mesure à valeurs projections ; ou une mesure spectrale. Le théorème spectral de Von Neumann associe à tout opérateur auto-adjoint une mesure spectrale et réciproquement. Le théorème spectral est une généralisation de la diagonalisation des matrices hermitiennes : en effet supposons que A est un opérateur auto-adjoint, diagonalisable avec les valeurs propres {λ j } j N et espaces propres {E j } j N. On associe alors à A la mesure spectrale : Ω λ j Ω P j P j projection orthogonale sur E j. Il est agréable pour des raisons de notation d introduire l élément d intégration de λ défini formellement par de λ := 1l Ω (A) que l on peut écrire de λ = j N P j δ λj. Remarquer que P j = 1l {λj }(A), et on peut écrire (formellement pour le moment) Ω A = λ j P j = R λde λ. A l aide du théorème spectral, on obtient le postulat suivant: si A est une observable, ψ H un état, Ω R un borélien, (ψ, 1l Ω (A)ψ) représente la probabilité d obtenir un résultat dans Ω pour la mesure de l observable A dans l état ψ. 3

1.4 Rayons Pour étudier l action sur un système physique d un groupe de transformations, il est utile d introduire la notion de rayons, qui généralise la notion d états. On peut associer un état à tout vecteur ψ 0 de H, en considérant le vecteur normalisé ψ ψ. Les probabilités, valeurs moyennes, etc. deviennent (ψ, 1l Ω (A)ψ) ψ 2, (ψ, Aψ) ψ 2. On voit que ces quantités ne changent pas si on remplace ψ par λψ, λ C \ {0}. On appelle alors rayon l espace unidimensionel ˆψ := {λψ, λ C}. L ensemble des rayons est l espace projectif P H, noté Ĥ. On munit Ĥ de la topologie quotient. On postule alors qu il y a une bijection entre les états du système et les éléments de Ĥ. Si ˆφ 1, ˆφ 2 sont deux rayons, la probabilité de transition de ˆφ 1 à ˆφ 2 est : où φ i ˆφ, φ i = 1, i = 1, 2. ˆφ 2, ˆφ 1 = (φ 2, φ 1 ) 2 1.5 Symétries, théorème de Bargmann-Wigner Definition 1.1 Une bijection T : Ĥ Ĥ est une symétrie si ˆφ 1, ˆφ 2 Ĥ T ˆφ 1, T ˆφ 2 = ˆφ 1, ˆφ 2. Une symétrie est donc une transformation sur les rayons qui préserve les probabilités de transitions. Exemples Rappels : une application U : H H est unitaire si U est C linéaire et U = U 1, i.e. U bijective et (Uψ, Uφ) = (ψ, φ) une application U : H H est anti-unitaire si U est C anti-linéaire (U(αψ + βφ) = αuψ + β Uφ) et U bijective, (Uψ, Uφ) = (φ, ψ). A une transformation U, H H qui est linéaire ou anti-linéaire on peut associer Û : Ĥ Ĥ par passage au quotient : Û ˆψ := Ûψ. On dit que Û est implémentée par U. Si U est unitaire ou anti-unitaire, Û est une symétrie. Théorème 1 (Bargmann-Wigner) Toute symétrie T de unitaire ou anti-unitaire. Si Û1 = Û2 = T, alors U 2 = e iθ U 1, θ R. Ĥ est de la forme T = Û pour U Notons qu il existe des symétries implémentées par des opérateurs anti-unitaires, comme le renversement du temps. Représentation projectives L ensemble des symétries de Ĥ forme évidemment un groupe pour la composition. Soit maintenant G un groupe de Lie d élément neutre e. 4

Definition 1.2 Une représentation projective de G dans Ĥ est une application: ρ : G g ρ(g) telle que: i) ρ(g) est une symétrie de Ĥ, ii)ρ(e) = ˆ1l, ρ(g 1 g 2 ) = ρ(g 1 )ρ(g 2 ), g i G, (i.e ρ est un homomorphisme de groupes) iii) si g n g dans G, alors ρ(g n ) ρ(g), fortement i.e. ρ(g n ) ˆψ ρ(g) ˆψ, ˆψ Ĥ. Si ρ(g) = π (g) où π(g) est unitaire, g G, ρ est appelée une représentation unitaire projective. Théorème 2 Si G est connexe, toute représentation projective de G est une représentation unitaire projective. Démonstration Comme G est connexe, tout élément g de G appartient à un sous groupe à un paramètre {h(t) t IR}. Si g = h(t 0 ), t 0 R on a g = g1 2 pour g 1 = h( t 0 2 ) et donc ρ(g) = ρ(g 1 ) 2, g 1 = h( t 0 2 ). Par le théorème de Bargmann-Wigner on a : ρ(g) = π(g) = π (g 1 ) 2 i.e. π(g) = π(g 1 ) 2 e iθ. Par le théorème de Bergmann-Wigner, π(g 1 ) est unitaire ou anti-unitaire, donc π(g) = e iθ π(g 1 ) 2 est unitaire. Remarque Si ρ est une représentation unitaire projective on a π(g 1 )π(g 2 ) = e iθ(g 1,g 2 ) π(g 1, g 2 ). Definition 1.3 Une représentation projective G g ρ(g) admet un relèvement si il existe une représentation unitaire (usuelle) G g π(g) U(H) telle que ρ(g) = π (g), g G. Théorème 3 (Bergmann) Soit G = R d. relèvement. Toute représentation projective de G admet un 1.6 Evolution temporelle, équation de Schrödinger On considère l évolution temporelle d un système quantique isolé. On décrit l évolution par une représentation projective de IR : ρ(t) : ˆψ ˆψ(t), où si ˆψ est létat du système à l instant 0 et ˆψ(t) est l état du système à l instant t. Par le théorème plus haut, il existe une représentation unitaire π qui relève ρ. Ceci signifie qu il existe une application: IR t U(t) U(H), U(0) = 1l, U(t)U(s) = U(t + s), et IR t U(t)ψ H est continu, ψ H. Ici U(H) désigne le groupe des opérateurs unitaires sur H. Une telle application s appelle un groupe unitaire (fortement continu) à un paramètre. On considère l opérateur sur H défini par: D(H) := {ψ H t U(t)ψ est différentiable en t = 0} H ψ := i du(t) ψ t=0. dt 5

H est appelé générateur infinitésimal du groupe U(t), on écrit U(t) = e ith. H est auto-adjoint et il y a une bijection entre opérateurs auto-adjoints et groupes unitaires (théorème de Stone). En physique H s appelle le hamiltonien du système. Pour ψ D(H), ψ t = e ith ψ vérifie l équation de Schrödinger: { i dψt dt = Hψ t ψ 0 = ψ. Exemples 1. Particule libre en dimension 1: H = 1 2 D2 x. 2. Particule dans un potentiel : H = 1 2 D2 x + V (x) V L (R). 3. Particule dans un intervalle : H = 1 2 D (Laplacien de Dirichlet). 1.7 Evolution des observables, équation de Heisenberg, états stationnaires On peut adopter la version duale où ce sont les observables qui évoluent et les états restent fixes: si A est une observable, ψ H, on a : ( ) (ψ t, Aψ t ) = e ith ψ, Ae ith ψ = (ψ, A t ψ), pour A t := e ith Ae ith. La fonction R t A t vérifie l équation de Heisenberg: { At t = [H, ia t ] A 0 = A. Etats stationnaires Soit ψ D(H) un vecteur propre de H, i.e. Hψ = λψ, λ IR. On a alors : ψ t = e ith ψ = e itλ ψ et pour A une observable : (ψ t, Aψ t ) = (e itλ ψ, Ae itλ ψ) = (ψ, Aψ). Les états propres de l Hamiltonien sont appelés états stationnaires, la valeur moyenne et les distributions de probabilité de toute observable dans un état stationnaire sont indépendantes du temps. 1.8 Quantification Nous décrivons maintenant rapidement la construction du hamiltonien décrivant l évolution d un système physique, procédure qui porte le nom de quantification. La relation entre groupes unitaires à un paramètre et opérateurs auto-adjoints est analogue à celle entre flots (groupes à un paramètre de difféomorphismes) sur une variété M et champs de vecteurs sur M. 6

Dans la pratique il est plus facile d écrire un Hamiltonien sur un espace de Hilbert ou un champ de vecteurs sur une variété qu un groupe unitaire ou un flot. La procédure habituelle pour décrire un système quantique est donc la suivante : on part d un opérateur symétrique H sur H. On construit un opérateur (encore noté H) qui étend H et qui est auto-adjoint. (Il peut y avoir plusieurs extensions différentes, le choix est alors dicté par la physique du problème). Puis par le théorème de Stone, on obtient un groupe unitaire e ith, qui contient en principe toute l information sur le système et son évolution. Choix de l Hamiltonien associé à un système quantique donné La plupart des systèmes quantiques possèdent un système classique associé. Dans le cas le plus simple un système hamiltonien classique (à un nombre fini de degrés de liberté) est décrit de la manière suivante : soit IR n un espace de configuration, T IR n = IR n IR n l espace de phases associé. L état du système est décrit par un point X = (x, ξ) T IR n, x correspondant à la position et ξ au moment de la particule. Les observables sont des fonctions a à valeurs réelles sur T IR n, la valeur d une observable a dans l état X étant complètement déterminée et égale à a(x). L évolution du système classique est décrite à l aide d une fonction h sur T R n à valeurs réelles, appelée Hamiltonien. Le système évolue selon les équations de Hamilton: { dx dt dξ dt = h ξ (x, ξ) = h x (x, ξ), qui sont associées au champ Hamiltonien H h := h ξ x h x ξ analogues à l équation de Schrödinger. Les équations de Hamilton engendrent un flot φ t, analogue au groupe unitaire. La valeur d une observable à l instant t est: a(φ t (X)) =: a t (X) a t := a φ t, et on a l équation de Liouville, analogue à l équation de Heisenberg: où {b, a} est le crochet de Poisson: a t {b, a} := b x = {h, a} a ξ b ξ a x, analogue au commutateur[a, ib] de deux observables. On remarque que si on considère les fonctions coordonnées sur T IR n : on a: x i : X x i, ξ j : X ξ j, 1 i, j n, {ξ j, x k } = δ jk, {x j, x k } = {ξ j, ξ k } = 0. La règle formelle pour construire le système quantique associé est alors la suivante: 7

Etape 1: on construit un espace de Hilbert H, des opérateurs auto-adjoints q j, p j, 1 j n sur H tels que : [p j, iq k ] = δ jk 1l H, [p j, ip k ] = [q j, iq k ] = 0, 1 j, k n. Il y a essentiellement une seule manière de faire cette construction (un théorème de Murray- V. Neumann): pour toute famille (H, q j, p k ), 1 j, k n vérifiant les propriétés ci dessus, il existe un espace de Hilbert auxillaire K, et une transformation unitaire U : H L 2 (IR n, dx) K telle que: U q j U 1 = x j, D(x j ) = {ψ L 2 (IR n ) K x j ψ L 2 (IR n ) K}, U p j U 1 = D xj := 1 i x j, D(D xj ) = {ψ L 2 (IR n ) K ψ L 2 (IR n ) K}. x j Ce résultat n est plus vrai quand le nombre de degrés de liberté est infini i.e. quand le système classique décrit par exemple un champ classique (équation des ondes, équation de Maxwell), le système quantique associé est alors un modèle de théorème quantique des champs, dont la construction est beaucoup plus difficile. Etape 2: on essaie de donner un sens à l expression H = h(x, D x ) comme opérateur symétrique sur L 2 (IR n ) (quantification). Exemple h(x, ξ) = 1 2 ξ2 + V (x), V potentiel réel H = 1 2 D2 x + V (x) = 1 2 x + V (x) opérateur de Schrödinger. Dans des cas plus généraux, on peut utiliser le calcul pseudodifférentiel pour donner un sens à h(x, D x ). 1.9 Mécanique quantique statistique, matrices densité On peut considérer aussi des situations où l état du système n est pas connu exactement, mais seulement de manière probabiliste. Par exemple on peut supposer que le système est dans létat {ψ j } j N avec probabilité {p j } j N où ψ j ψ k, j k, 0 p j 1, p j = 1. Un tel état s appelle un état mélangé. On décrit alors ce système par une matrice densité: ρ := p j ψ j ψ j. 0 Remarques La projection ψ j ψ j ne dépend que du rayon ˆψ j. ρ est un opérateur borné ( ρ = sup p j 1), auto-adjoint, positif i.e ((ψ, ρψ) 0, ψ H) j de valeurs propres {p j } j N, de trace p j = 1. 0 Les matrices densité sont donc tous les opérateurs ρ B(H), ρ = ρ, ρ 0, Tr ρ = 1. Pour une observable (bornée) A B(H), la valeur moyenne de A dans l état ρ est: A ρ := p j (ψ j, Aψ j ) = Tr (Aρ). 0 0 8