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Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes qui les prooquent.
NOTION DE REPÈRE Point matériel Un point matériel est un objet infiniment petit deant les distances caractéristiques du mouement pour être considéré comme ponctuel. D D 3
NOTION DE REPÈRE z y terre soleil x 4
NOTION DE REPÈRE Pour repérer la position d un point matériel dans l espace, on se donne un repère d espace, c est-à-dire: - un point O origine des coordonnées - trois axes de coordonnées orientés et munis d une unité de mesure (par exemple le mètre) Pour des raisons de commodité, on choisit un repère orthonormé O, i, j, k direct Un point M de l espace est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que: OM xi yj zk 5
NOTION DE MOUVEMENT La notion de mouement est relatie. En effet un point peut être en mouement par rapport à un repère R Et au repos par rapport à un second repère R Un objet est mouement par rapport à un autre si sa position change au cours du temps Un point M est dit fixe par rapport au repère R(O, x, y, z) si ses coordonnées ne changent pas. Le point M est en mouement si au moins une de ses coordonnées change dans le temps. 6
NOTION DE MOUVEMENT On distingue essentiellement trois type de mouements : Translation Rotation Vibration Ou une combinaison de deux de ces mouements 7
NOTION DE TRAJECTOIRE Définition : C est le lieu géométrique des positions successies occupées par le point matériel au cours du temps Exemple : un mobile est repéré par les coordonnées suiantes : x (t) = A cos wt y (t) = A sin wt En supprimant le temps, on obtient : x y A La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A L équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du point entre elles 8
MOUVEMENT RECTILIGNE La trajectoire d un mouement rectiligne est une droite. Vecteur position OM C est le ecteur point O pris comme origine. x() t i qui désigne la distance qui sépare le mobile M du O i OM 1 M 1 OM M OM 3 M 3 x x(t) est appelée équation horaire du mouement 9
Notion de diagramme des espaces Si on reporte les positions successies du mobile en fonction du temps, on obtient une courbe appelée : Diagramme des espaces x(m) + + + + + t(s) Remarque: Il ne faut pas confondre trajectoire et diagramme des espaces 10
Vecteur déplacement (m): A l instant t 1 le éhicule est à la position M 1 qui correspond au ecteur position : OM A l instant t le éhicule est à la position M qui correspond au ecteur position : OM x i 1 1 x i O i OM 1 M 1 OM OM M x Le ecteur déplacement est la distance parcourue entre deux instants t 1 et t M M OM OM OM ( x x ) i 1 1 1 11
Vecteur itesse (m/s): Vecteur itesse moyenne: t t t 1 Si est le temps mis entre et, la itesse moyenne est : 1 M M Ou encore : m M M OM OM OM t t t t 1 1 1 ( x x ) x 1 m i i ( t t1) t 1
Vecteur itesse instantanée: Si on diminue l interalle de temps, on obtient la itesse instantanée : OM dom x dx i lim ou i lim i i t 0 t 0 t t dx Le terme possède deux significations : dx 1- Si on a l expression de x(t), alors désigne la dériée de x(t): Exemple: 3 x( t) 3x x 5 dx ( t) 9x 4x 13
Vecteur itesse instantanée: dx - Si on a le graphe de x(t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe x(t) Exemple: Problème!!! x(m) + A + dx tan AC BC + + + B t C t(s) 14
Vecteur itesse instantanée: On a donc calculer la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne Il y a deux cas ou la itesse moyenne est confondue aec la itesse moyenne 1 er cas: Mouement rectiligne uniforme: x x1 x(m) t1 t t(s) m x x x t t t 1 1 dx x x tan t t 1 1 m 15
ème cas: mouement rectiligne quelconque: On calcule la itesse instantanée à l instant t. x(m) =pente de la tangente m =pente de la corde + m1 m m3 t t t 1 ( ) m1 t m t 1 m m3 + + m4 m4 + + + + + V(t) t(s) t1 t3 t5 t7 t t8 t6 t4 t Conclusion : La itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t 16
Vecteur accélération (m/s ): Vecteur accélération moyenne: A l instant t 1 le éhicule possède une itesse 1 A l instant t le éhicule possède une itesse O i OM 1 M 1 OM M 1 x Le ecteur accélération moyenne est donné par la relation: a m am et t t t 1 1 1 :Sont dans le même sens et direction 1 Pour cela on doit d abord déterminer le ecteur ariation de itesse 17
Vecteur accélération instantanée: d ai lim t 0 t d a d Comme pour la itesse le terme possède deux significations : 1- Si a l expression de (t), alors désigne la dériée de (t): Exemple: Le ecteur accélération instantané est donné par la relation : a x t x x 3 ( ) 3 5 dx ( t) 9x 4x d d x a( t) 18x 4 18
Vecteur accélération instantanée: d - Si on a le graphe de (t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe (t) (m/s) En procédant de la même façon que pour la itesse : -On calcule la pente de la tangente -On calcule la pente de la corde B A C a t t t 1 ( ) a t m t 1 t t(s) Conclusion : L accélération instantanée à l instant t est assimilée à l accélération moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t 19
Différents types de mouements rectilignes a- Mouement rectiligne uniforme : cons tan te et a 0 b- Mouement rectiligne uniformément accéléré : a cons tan te et a. 0 c- Mouement rectiligne uniformément retardé ou décéléré : a cons tan te et a. 0 0
Exemple d application: Soit une oiture se déplaçant sur une route rectiligne repérée par les positions M1, M, M3 et M4 aux instants t1= 0s, t=s, t3 = 4s et t4= 5s respectiement tel que : OM1 1i, OM 10i, OM OM 4 i 3 i et 1- Calculer les ecteurs déplacements : MM, 1 MM 3 et MM 3 4 - Déterminer les ecteurs itesses moyennes entre M1 et M et entre M3 et M4 3- Déterminer le ecteur accélération moyenne entre et 6 s, (s) = 4m/s et (6s) = m/s 1
Corrigé de l exemple d application: MM 3 4 M 1 M M 3 OM 4 i M 4 x OM 1 OM3 OM O MM MM 1 3 1- Calculer les ecteurs déplacements : 1 1 1 MM MM 1, MM 3 et 3 4 M M OM OM ( x x ) i ( 10 ( 1)) i i M M OM OM ( x x ) i ( ( 10)) i 1i 3 3 3 M M OM OM ( x x ) i ( ()) i 4i 3 4 4 3 4 3
Corrigé de l exemple d application: - Déterminer les ecteurs itesses moyennes entre M 1 et M et entre M 3 et M 4 M M1 M 3 MM 3 4 i M 4 x MM 1 MM 3 O m1 M M ( x x ) m 1 1 m 1 i i i m s t ( t t1) ( 0) ( / ) M M ( x x ) 4 3 4 4 3 m i i i m s t ( t4 t3) (5 4) 4 ( / ) 3
Corrigé de l exemple d application: 3- Déterminer le ecteur accélération moyenne entre et 6 s si on a : (s) = 4m/s et (6s) = m/s O i OM 1 M 1 OM 3 M 3 ( s ) (6 s) x (6 s) ( s) (6 s) ( ( s)) 1 1 a m (6 s) ( s) ( (6 s) ( s)) ( 4) 1 am i 0.5 i ( m / s ) t ( t t1) (6 ) 4
Calcul Intégral: Jusqu à présent on a u comment passer de la position x(t) à la itesse (t) puis à l accélération a(t) Nous maintenant on a étudier le problème inerse pour passer de l accélération à la itesse puis à la position Passage de la itesse à la position: 1 er Cas: Mouement uniforme (m/s) Dans ce cas: x x x m t t t 1 1 x x ( t t ) 1 1 Et donc: x ( t t ) x 1 1 t1 t t(s) x ( t t1) correspond à l aire sous la courbe (t) 5
ème Cas général : (m/s) On dispose du graphe de la itesse en fonction du temps On partage l interalle entre t1 et t en plusieurs petits =cte dx dx = aire sous la courbe (t) sur l interalle x En faisant la somme des petits interalles entre t1 et t : t1 t t(s) x x dx x 1 t1 t alors: t 1 x x t1 x est donc l aire sous la courbe (t) entre t1 et t. Remarque : Il ne faut pas confondre entre position et distance parcourue -La position est l aire sous (t) en aleur algébrique -La distance parcourue est l aire sous (t) en aleur absolue 6
Exemple d application : 10 Le graphe de la itesse d un mobile en fonction du temps est donné ci-dessous: 1- Déterminer la position du mobile à t = 40 s - Déterminer la distance parcourue entre 0 et 40 s (m/s) Sachant qu à t=0 s, x = 0 m -10 0 40 t(s) Corrigé de l exemple: x 1- position du mobile: 40 x dx 10(0 0) 10(40 0) 0 m x(40 s) 0m 0 0 - distance parcourue par le mobile: D x1 x 10(0 0) 10(40 0) 40m
Passage de l accélération à la itesse: a( m / s ) On dispose du graphe de l accélération en fonction du temps On partage en plusieurs interalle a=cte d a d a = aire sous la courbe a(t) Pour calculer la itesse à l instant t on intègre : t1 t t(s) d a 1 t1 t est donc l aire sous la courbe a(t) entre t1 et t. 8
Étude de quelques mouements particuliers Mouement rectiligne uniforme: a( m / s ) Graphiquement ts () aire sous a( t) 0 0 Analytiquement d a () t a ( m/ s) 0 cons tan te 0 xm ( ) ts () a 0 ( t) a cons tante dx dx dx 0 x aire sous () t t x t x 0 0 0 x( t) x t x( t) t x 0 0 0 0 x 0 ts () x() t est une droite 9
Mouement rectiligne uniformément arié: a=cte, t = 0s, 0 et x0 a a( m / s ) Graphiquement a cons tan te Analytiquement d a d a 0 ( m/ s) A t ts () aire sous a() t at at () t est une droite x aire sous () t A A 1 0 On calcule la itesse (t): at 0 t t 0 0 0 () t at a t On calcule la position x(t) x 0 A1 xm ( ) t ts () A1 0t 1 1 1 A ( 0 ) t (( at 0 ) 0) t at 1 x x x0 at 0t ts () dx dx 1 t t 0 0 0 0 x x( t) x ( at ) x() t at 0t x0 30
Relation entre a, et x: La relation entre et a est : d a d a On multiplie chaque membre par d a d adx On intègre de chaque côté x x d adx a dx x x 0 0 0 1 ( 0 ) ( 0 ) a x x 0 a( x x0) 31
Exemples d étude de mouement 3
Mouement dans l espace ou curiligne : Position d un point : On peut définir la position d un point dans l espace de deux manières - A : En repérant le point par rapport à un repère orthonormé z r 1 x i k j y r r 3 r 4 Le ecteur position s écrit : OM ( t) r( t) 33
- B : En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine MM 0 1 On parle d abscisse curiligne notée : s() t M M 0 1 La loi décriant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire 34
Vecteur déplacement : C est la distance pour aller du point M1 au point M. z k MM 1 x i j y M1M OM OM1 OM () t M M r ( t t) r ( t) r ( t) 1 1 35
Vecteur itesse d un point : Vecteur itesse moyenne : m m MM 1 OM ( t) r ( t) t t t z k x i j y Le ecteur itesse moyenne est parallèle au ecteur déplacement Vecteur itesse instantanée : OM ( t) r ( t) dr lim lim t0 t t0 t 36
Construction géométrique de et m : On calcule la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne m1 m1 m MM t 10 MM t ' 3 9 m m3 MM t " 4 8 m3 m4 m4 MM t ''' 5 7 Conclusion: la itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne entre deux instants t1 et t, tel que t est milieu de [t1, t] et t petit. 37
Vecteur accélération : Accélération moyenne : Elle caractérise la ariation du ecteur itesse a m a m t t t 1 1 a le même sens et direction que Accélération instantanée : a ai lim t 0 t d On peut confondre l accélération instantanée et l accélération moyenne au milieu de l interalle de temps si est très petit. t 38
Construction géométrique de aet a : m On cherche l accélération à t7 =0.6 s (correspond au point 7) aec t= 0.1 s m 7 6 5 m 9 8 7 a 7 t 8 6 t ( ) 8 6 8 6 a 7 6 m 7 5 6 m 9 7 8
Étude du mouement dans différents systèmes de coordonnées : Coordonnées cartésiennes : Vecteur position : OM xi yj zk x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques du mouement Vecteur itesse : Vitesse moyenne: OM r x y z m i j k mxi my j mzk t t t t t Vitesse instantanée: m dom dr dx i dy j dz k xi y j zk 40
Coordonnées cartésiennes : Vecteur accélération : Accélération moyenne : x y z am i j k amxi amy j amzk t t t t Accélération instantanée : d d d d x y z a i j k axi ay j azk 41
Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Abscisse curiligne: u T OM s() t u N Vecteur itesse : On définit deux ecteurs unitaires: u T: porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif: u : porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée ers l intérieur N Donc : ds ut u T u T un 4
Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Vecteur accélération : a N Or: u N u T a T a dut d un a d d d a u u a u a u Donc: T N T T N N d( u T ) d a ut du T Aec: a T d et a N d 43
Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Vecteur accélération : u T ds La relation entre l abscisse curiligne et angulaire est: u N ds rd r d En diisant par de chaque côté on a: Et donc: ds d r On peut l écrire sous la forme: d 1 ds r r d an r 44
Coordonnées polaires : u Vecteur position: y On repère le point M par la distance OM=r et l angle M j OM r() t O u r i x OM rt () () t r(t) et (t) sont les équations paramétriques en coordonnées polaires On prend deux ecteurs noueaux unitaires ur et u OM r() t u r 45
Coordonnées polaires : Vecteur itesse: Nous dérions le ecteur position dom d( r( t) u r ) dr() t dur ur r Et comme : dur d u y Alors : dr() t d ur r u On décompose la itesse suiant les deux axes : Par identification on a : u u r r r dr et u j OM r() t O d r u r i M 46 r x
Coordonnées polaires : Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse d a a dr() t d d( ur r u ) d r dr dur dr d d d du a u r u r u r Or on sait que : dur d u et du d u r 47
Coordonnées polaires : d r dr d dr d d d d r a u u u r u r u d r d dr d a r u d r r u On décompose l accélération suiant les deux axes: Par identification on a: Vecteur accélération: a a u a u r r r a r d r d r a dr d r d 48
Coordonnées polaires : Exercice d application : En coordonnées polaires le mouement d un mobile est décrit par les équations OM t rt () () t t 4 Déterminer et représenter les ecteurs position, itesse et accélération à t = 1s Corrigé de l exercice d application : dr t d r 1 d d 0 4 49
Coordonnées polaires : Vecteur itesse: Corrigé de l exercice d application : dr r t d t r 8 Vecteur accélération: a d r d ar r ar 1 t dr d d t a r a 3
Coordonnées polaires : À t = 1s Vecteur position: 1 r( t) 0.5 m OM (1 s) () t 4 Vecteur itesse: Vecteur accélération: r (1 s) 1 m / s (1 s) (1) 0.39 m / s 8 a(1 s) Corrigé de l exercice d application : a a r 0.69 m / s 1.57 m / s y O a (1 s) (1 s) (1 s) r (1 s) u M a (1 s) j OM r() t i 4 Echelles: 1 cm 0. m 1 cm 0.4 m/s 1 cm 0.7 m/s a(1 s) u r r x 51
Coordonnées cylindriques : P est la projection de P dans le plan xoy Vecteur position: Vecteur itesse: OM u zk dom d( u zk ) d d dz u u k u u k z 5
Coordonnées cylindriques : Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse et on a: d d d d dz a u u k d d d d d d z a u u k a a u a u a k z 53
Coordonnées sphériques : Vecteur position: On écrit les différents ecteurs en fonction de r, et x rsincos OM y r sinsin z rcos OM ru r http://www.sciences.uni-nantes.fr/sites/geneiee_tulloue/meca/cinematique/coord_spheriques.php 54
Coordonnées sphériques : Vecteur itesse: 55
Coordonnées sphériques : Vecteur accélération: 56
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur position: On décrit le mouement du ballon par rapport aux deux repères R et R, la position s écrit: OM OO ' O' M x x k j i x x ' k ' i x ' j ' ' x ' Dans R, la position du ballon s écrit: Dans R, la position du ballon s écrit: OM xi yj zk O' M x' i ' y' j ' z ' k ' 57
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: La itesse dans R est dite absolue et notée a = M/R La itesse dans R est dite relatie et notée r = M/R Vitesse absolue: Vitesse relatie : Calcul de la itesse : dom dx dy dz a i j k dx ' dy ' dz ' r i ' j ' k ' dom doo ' do' M 58
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: On dérie le ecteur position: doo ' do' M doo ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') Dans le repère R les ecteurs unitaires ne sont pas immobiles donc: doo ' dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' i ' x' j ' y ' k ' z ' En regroupant les termes identiques on obtient: dx ' dy ' dz ' doo ' di ' dj ' dk ' i ' j ' k ' x' y ' z ' 59
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: dx ' dy ' dz ' doo ' di ' dj ' dk ' i ' j ' k ' x' y ' z ' On pose pour cela: Vitesse Relatie: Vitesse d entrainement: Vitesse absolue s écrit donc : dx ' dy ' dz ' r i ' j ' k ' doo ' di ' dj ' dk ' e x' y ' z ' a r e Ou encore: M / R M / R' R/ R' 60
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: Cas particuliers: a r e M / R M / R' R/ R' * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: di ' dj ' dk ' 0 e doo ' *Si R et R se déplacent à la même itesse : a r 61
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse: a d a d d dx ' dy ' dz ' d doo ' di ' dj ' dk ' a i ' j ' k ' x' y ' z ' 6
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: En tenant compte du fait que les ecteurs unitaires de R sont en mouement donc leur dériées ne sont pas nulle et en regroupant les termes identiques on a: d x ' d y ' d z ' a i ' j ' k ' ' ' ' ' x ' y ' z ' d OO d i d j d k dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' 63
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: Accélération relatie: Accélération entrainement: Accélération Coriolis: Dans l expression précédente on pose : Accélération prend enfin la forme : d x' d y ' d z ' ar i ' j ' k ' d OO ' d i ' d j ' d k ' ae x' y ' z ' a c dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' aa ar ae ac ou encore a a a a : M / R M / R' R'/ R c 64
Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: Cas particuliers: aa ar ae ac * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: d OO ' ae et a *Si en plus le mouement de R est uniforme alors : c 0 a 0 et a 0 a a e c a r 65