BREVET BLANC : février 01 Epreuve de mathématiques Durée : heures Calculatrice autorisée. Présentation : 1 pt exercice n 1 : 6 pts Pour chacune des questions cidessous, écrire les étapes des calculs. n d identification : 5 1 1 1) On pose A = + : 5 + 7 7. Calculer A. Présenter le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 1 7 ) On pose B = 7 ( ) Calculer B. Donner l écriture scientifique et décimale.. ) On pose C = 50 5 8 + 00. Ecrire C sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible. exercice n : 4 pts 1) Calculer le PGCD de 65 et 4650 en précisant la méthode utilisée. ) 65 fourmis noires et 4650 fourmis rouges décident de s allier pour combattre les termites. a) Pour cela, la reine des fourmis souhaite constituer, en utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront composées toutes de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires. Quel est le nombre maximal d équipes que la reine peut ainsi former? b) Quelle est la composition de chaque équipe? exercice n : 5,5 pts On considère l expression : = ( x + ) ( 7 x)( x + ) 1) Développer puis réduire A. ) Factoriser A. x + (x 4) = 0 ) Résoudre l équation ( ) A. exercice n 4 : 5 pts On considère le programme de calcul cidessous. Programme de calcul : Choisir un nombre de départ Ajouter 1 Calculer le carré du résultat obtenu Lui soustraire le carré du nombre de départ Écrire le résultat final. 1) a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient au résultat final. b) Lorsque le nombre de départ est, quel résultat final obtienton? c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final noté P en fonction de x. Développer puis réduire l expression P. ) Quel nombre de départ doiton choisir pour obtenir un résultat final égal à 15?
exercice n 5 : 4,5 pts Sur la figure cicontre, on sait que : (C) est un cercle de centre O ; B et D sont des points du cercle (C) ; [DE] est un diamètre du cercle ( C ) ; ABOD est un losange. Démontrer chacune des affirmations suivantes. 1) Le triangle DBE est rectangle en B. ) Les droites (OA) et (BD) sont perpendiculaires. ) Les droites (OA) et (EB) sont parallèles. exercice n 6 : 6,5 pts 1) Construire un triangle RST rectangle en R tel que ST = 8 cm et RT = 4,8 cm. ) Montrer que RS = 6,4 cm. Justifier. ) Sur la demidroite [RT), placer le point U tel que : RU = 6 cm. Sur la demidroite [RS), placer le point V tel que : RV = 8 cm. a) Montrer que les droites (TS) et (UV) sont parallèles. b) Calculer UV. Justifier. exercice n 7 :,5 pts Calculer le volume d une sphère de diamètre 1 cm. On donnera la valeur exacte sous la forme simplifiée puis la valeur arrondie au mm. exercice n 8 : 5 pts SABC est une pyramide ayant pour base le triangle ABC et pour hauteur SA. AB = 7, cm ; BC = SA = 9,6 cm ; AC = 1 cm. 1) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B. ) Calculer le volume V de la pyramide SABC. ) I est un point de [SA] tel que SI =, cm. On coupe la pyramide SABC par le plan passant par I et parallèle à la base de la pyramide. a) Quelle est la nature du triangle IJK? Justifier. b) Calculer le coefficient de réduction. c) En déduire le volume V de la pyramide SIJK. S K I J C A B
exercice n 1 : 6 pts 5 1 1 1) A = + : 5 + 7 7 5 1 1 A = + : + 7 7 5 1 11 A = + : 7 7 Correction du brevet blanc : février 01 ) 1 7 B = 7 ( ) 5 ( ) ) C = 50 5 8 + 00. présentation : 1 pt 7 1 7 B = C = 5 4 + 0. 7 7 B = C = 5 5 4 + 0. ( ) 5 5 1 7 A = + B = 6 7 7 11 5 C = +. 5 1 ( 6) A = + B = 1 7 7 11 C = + 0. 11 + ( + 6) A = + B = 1 7 11 77 C = 0 pts 55 1 4 A = + B =,1 77 77 57 1 4 A = pts B =,1 77 B =,1 B = 0,00 1 pts exercice n : 4 pts 1) On applique l algorithme d Euclide. 6 5 1 0 4 6 5 0 4 6 5 0 1 8 6 0 1 Comme 90 est le dernier reste non nul alors PGCD( 65 ;4650) = 90. pts ) a) Le nombre d équipes doit diviser les nombres 65 et 4650 donc c est un diviseur commun à ces deux nombres. De plus, on cherche le nombre d équipes le plus grand possible donc le nombre cherché est le PGCD de 65 et 4650.D après la question 1) : PGCD( 65 ;4650) = 90, donc la reine pourra former 90 équipes. 1 pt 65 4650 b ) = 7 = 5 90 90 Dans chaque équipe, il y aura 7 fourmis noires et 5 fourmis rouges. 1 pt exercice n : 5,5 pts = x + 7 x x + A = x + 7 x x + 1) A ( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ) A = [(x) + x + ²] [7 x + 7 x x x ] A = ( x + ) (x + ) ( 7 x)( x + ) A = [4x + 1x + 9] [14 x + 1 x² x] A = ( x + )[( x + ) ( 7 x)] A 4x + 1x + 9 14x 1+ x² + x = A = ( x + )[ x + 7 + x] A = 6x + x 1 pts A = ( x + )(x 4) 1,5 pt ) (x +)(x 4) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu au moins un des facteurs est nul. donc x + = 0 ou x 4 = 0 x + = 0 x 4 + 4 = 0 + 4 x = x = 4 x = x = 4 6 5 0 1 8 6 0 7 0 9 0 x 4 = 4 x = 4 1 8 6 0 9 0 1 8 6 0 0 Les solutions de l équation sont et 4. pts
exercice n 4 : 5 pts 1) a) (1 +1)² 1² = ² 1 = 4 1 = 0,5 pt b) ( +1)² ()² = (1)² 4 = 1 4 = 1 pt c) P = (x +1)² x². P = x² + x 1 + 1² x². P = x² + x + 1 x². P = x + 1 pts ) P = 15 x + 1 = 15 x + 1 1 = 15 1 x = 14 x = 14 Pour obtenir un résultat final égal à 15, il faut choisir au départ le nombre 7. 1,5 pt exercice n 5 : 4,5 pts 1) On sait que B appartient au cercle de diamètre [ED] Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un des côtés alors ce triangle est rectangle. donc le triangle DBE est rectangle en B. 1,5 pt ) On sait que ABOD est un losange Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires (et de même milieu). donc (OA) (BD). 1,5 pt ) Comme le triangle DBE est rectangle en B alors (EB) (BD). On sait que (OA) (BD) et (EB) (BD) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles. donc (OA) // (EB). 1,5 pt exercice n 6 : 6,5 pts 1) figure : 1 pt ) On sait que le triangle RST est rectangle en R donc d après le théorème de Pythagore on a : ST² = RS² + RT² RS² = 40,96 8² = RS² + 4,8² RS est une longueur donc RS 0 RS² = 8² 4,8² RS = 40,96 RS = 6,4 cm 1,5 pt ) a) RS RV = 6,4 8 Comme RS RV = RT RU RS RV = 0,8 RT RU = 4,8 6 RT RU = 0,8 x = 7 et les points R, S, V et R,T, U sont alignés dans le même ordre alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, (TS) // (UV). pts b) On sait que les points R, S, V et R,T, U sont alignés et (TS) // (UV) donc d après le théorème de Thalès, on a : RS RV = RT RU = ST UV d où 6,4 8 = 4,8 6 = 8 UV en particulier : 4,8 6 = 8 UV UV = cm pts donc UV = 6 8 4,8 exercice n 7 :,5 pts 4 V = π r 4 V = 6 π V = 88 π cm 1,5 pts V 904,779 cm Le volume de la sphère est environ égal à 904,779 cm. 1 pt
exercice n 8: 5 pts 1) Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC]. AC² = 1² AB² + CB² = 7,² + 9,6² AC² = 144 AB² + CB² = 144 Comme AC²=AB²+CB² alors d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B.1,5 pt ) V = B h AB CB SA V = 7, 9,6 9,6 V = V = 1,59 cm ) a) Comme le triangle IJK est une réduction du triangle ABC et que le triangle ABC est rectangle en B alors le triangle IJK est rectangle en J. 1 pt b) On note k le coefficient de réduction. k = SI SA k =, k = 1 0,5 pt 9,6 c) Comme la pyramide SIJK est une réduction de la pyramide SABC dan le rapport k = 1 alors V = k V V = ( 1 ) 1,59 V = 4,096 cm 1 pt 1 pt