Eercice Tale SVT - Contrôle n 4 de mathématiques 8,75 points + Le but de cet eercice est d'étudier la fonction f définie sur ] ; [ ] ; + [ par f() = On désigne par c la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Partie A - Asymptotes ) Montrer que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe c. ) Calculer f(). En déduire l'équation d'une asymptote à c. Partie B - Etude d'une fonction auiliaire Soit g la fonction définie sur Y par g() = 4 ) Calculer g(). ) Etudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation (la ite de g en + sera indiquée sans la moindre justification). ) a) Montrer que l'équation g() = 0 admet une unique solution α dans Y (la justification doit être parfaitement rédigée). b) Donner une valeur approchée de α à 0 près. 4) Dresser un tableau donnant le signe de g() en fonction de. Partie C - Etude des variations de la fonction f ) Calculer f () et justifier que f () a le même signe que g(). ) Dresser le tableau de variation de la fonction f (les ites de f au bornes de son domaine de définition seront indiquées sans justification complémentaire). Partie D - Tangente Soit la tangente à c au point d'abscisse. Calculer une équation de. Eercice,5 points + Soit f la fonction définie sur ] ; + [ par f() = f() = ) Calculer les ites de f au bornes de son domaine de définition (en détaillant bien le raisonnement). ) Calculer f () ) Justifier le signe de f () et dresser le tableau de variation de la fonction f sur ] ; + [ Eercice points En reconnaissant un tau d'accroissement, calculer π sin() π Eercice 4,5 point f est une fonction définie sur Y telle que, pour tout appartient à Y, on a: f() On considère la fonction g définie sur Y * f () + par: g() = Calculer g().
Eercice 5,5 points Soit f la fonction définie sur Y par f() = 5. Soit c la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Soit la droite d équation y = 7 +. Montrer qu il eiste une droite (T) tangente à c et parallèle à. Déterminer alors les coordonnées du point de contact entre (T) et c et l équation réduite de (T). Eercice 6 points Dans un repère, c est la courbe représentative de la fonction f: et A est le point de coordonnées (; ). Soit d la tangente à c au point d'abscisse a (a désignant un réel quelconque). Est-il possible que d passe par le point A? Eercice 5,5 points Soit f la fonction définie sur Y par f() = 5. Soit c la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Soit la droite d équation y = 7 +. Montrer qu il eiste une droite (T) tangente à c et parallèle à. Déterminer alors les coordonnées du point de contact entre (T) et c et l équation réduite de (T). Eercice 6 points Dans un repère, c est la courbe représentative de la fonction f: et A est le point de coordonnées (; ). Soit d la tangente à c au point d'abscisse a (a désignant un réel quelconque). Est-il possible que d passe par le point A? Eercice 5,5 points Soit f la fonction définie sur Y par f() = 5. Soit c la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Soit la droite d équation y = 7 +. Montrer qu il eiste une droite (T) tangente à c et parallèle à. Déterminer alors les coordonnées du point de contact entre (T) et c et l équation réduite de (T). Eercice 6 points Dans un repère, c est la courbe représentative de la fonction f: et A est le point de coordonnées (; ). Soit d la tangente à c au point d'abscisse a (a désignant un réel quelconque). Est-il possible que d passe par le point A?
Tale SVT - Correction du contrôle n 4 de mathématiques Eercice Partie A - Asymptotes On calcule f(): Forme indéterminée du type + + f() = = = et = + donc, par produit, De plus, + = donc, par quotient, f() = 0 = + On en déduit que la droite d'équation y = 0 est asymptote à c en + (de la même façon, on peut montrer que la droite d'équation y = 0 est asymptote à c en ) ) ( + ) = et ( ) = 0 + donc, par quotient, f() = + La droite d'équation = est donc asymptote à la courbe c. Partie B - Etude d'une fonction auiliaire ) forme indéterminée du type g() = 4 4 = 4 et = donc, par produit, ) g'() = 4 = 6 = ( 6) On en déduit le tableau suivant: g() = + α 0 + signe de g'() 0 + 0 variation de g + 0 9 4 ) a) g est décroissante et continue sur l'intervalle ; 0 appartient à l'intervalle g ; g() = 9 ; + 4 On en déduit que l'équation g() = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle ;
Le maimum de la fonction g est égal à sur l'intervalle ; + solution dans cet intervalle. donc l'équation g() = 0 n'a pas de Conclusion: On a bien montré que l'équation g() = 0 admet une unique solution α dans Y. b) On utilise la calculatrice et on trouve: α =,4 à 4) On a le tableau suivant: 0 près. α + signe de g() + 0 Partie C - Etude des variations de la fonction f f est de la forme u v donc f est de la forme u 'v uv' avec: u() = + u'() = v v() = v'() = ( ) ( + ) 6 4 g( ) donc f () = = = = ( ) ( ) ( ) On sait que pour tout ] ; [ ] ; + [, on a ( ) ) On a le tableau suivant: ( ) > 0 donc f () et g() sont du même signe. α + signe de f () + 0 variation de f f(α) + Partie D - Tangente L'équation de est: y = f ( )( + ) + f( ) f ( ) = f( ) = ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) + + = = ( ) 4 4 = = 4 + + 4 y = + 4 4 y = + 4 4 d'où: y = ( ) L'équation de est: y = Eercice ) Limite en + 4 4 0 0
( + ) = et () = 0 donc, par quotient, De plus, = + donc, par composition, f() = + + = + Limite en + + + + = = 8 8 4 + 4 + + = et 8 4 + = 4 donc, par quotient, De plus, 4 = donc, par composition, f() = u ' ) f est de la forme u donc f est de la forme u avec u() = + ( ) ( 4)( + ) 4 8 4 + 4 4 et u'() = = = ( ) ( ) ( ) 4 Donc f () = ( ) + ( ) ( ) + = 4 4 = = + + ) Pour tout ] ; + [, on a: déduit que f () < 0 On a le tableau suivant: > 0 et ( ) > 0 donc, d'après la règle des signes, on en + + variation de f + Eercice ( ) ( ) ( π) sin f f = π π avec f() = sin() et f ( π ) = sin ( π ) = 0 f ( ) f ( π) π La fonction f est dérivable sur Y et = f (π) π f est de la forme sin(u) donc f est de la forme u'cos(u) avec u() = et u'() = Donc f () = cos() sin ( ) = f (π) = cos(π) = = π π Eercice 4
Pour tout Y *, on a: f() f() 4 f() + 5 f ( ) + 5 car 5 g ( ) = 0 et Eercice 5 5 > 0 = 0 donc, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que g() = 0 Deu droites (non parallèles à l'ae des ordonnées) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Le coefficient directeur de est égal à 7. Le coefficient directeur d'une tangente à la courbe c est égal au nombre dérivé. On résout donc l'équation: f () = 7 6 5 = 7 6 = = Il eiste donc bien une droite (T) tangente à c et parallèle à. Le point de contact entre (T) et a pour abscisse et pour ordonnée f() = 5 = Les coordonnées de ce point sont donc (; ) L'équation réduite de (T) est: y = f ()( ) + f() y = 7( ) + y = 7 4 + y = 7 Eercice 6 L'équation réduite de d est: A d équivaut à: = a a a + a + = 0 = 4 ( ) = 4 + 8 = y = f (a) ( a) + f(a) y = a( a) + a y = a a + a y = a a > 0 donc l'équation a deu solutions égales à + + = = ( ) et + Il eiste donc deu tangentes à la courbe c passant par le point A. Ces deu droites sont tangentes à c au points d'abscisses et + Remarque: Calculer + et n'était pas demandé, il suffisait de savoir que est supérieur strictement à 0 pour conclure qu'il eiste deu tangentes qui répondent à la question.