Utiliser l inverse d une mtrice pour résoudre un système d équtions & coures polynomiles Exercice : Dns une ferme, il y des lpins et des poules. On dénomre 58 têtes et 60 pttes. Comien y -t-il de lpins de moins que de poules? On choisit les deux inconnues : x le nomre de lpins ; y le nomre de poules. Le nomre de têtes étnt de 58, on l églité : x + y 58 Le nomres de pttes étnt de 60, on l églité : 4x + 2y 60 On otient insi le système : { x + y 58 4x + 2y 60 Ce système peut se trduire sous l forme mtricielle AX B vec : A ( ), X 4 2 ( ) ( ) x 58 et B y 60 Il reste à vérifier que l mtrice du système A est inversile, uquel cs on urit : AX B X A B A l clcultrice, on otient : ( ) 0, 5 A 2 0, 5 On effectue le clcul : ( ) ( ) 0, 5 58 X A B 2 0, 5 60 ( ) 58 + 0, 5 60 2 58 0, 5 60 ( ) 22 36 Donc x 22 et y 36. Finlement, il y 36 22 4 lpins de moins que de poules. Exercice 2 : Stères de ois D près BAC Pro Mintennce de mtériels 2008 Pour mesurer l quntité de ois de chuffge, on utilise comme unité le stère. Lorsqu un stère de ois est coupé en ûches, il occupe un volume qui dépend de l longueur de coupe comme indiqué ci-dessous : un stère de ûches de longueur mètre occupe un volume de m 3 ; Gérldine Ménéxidis Pge / 5
un stère de ûches de longueur 0,5 mètre occupe un volume de 0, 8m 3 ; un stère de ûches de longueur 0,33 mètre occupe un volume d environ 0, 68m 3. Pour une longueur L de ûches donnée, le nomre de stères n est proportionnel u volume V occupé pr le ois rngé. Le coefficient de proportionnlité k L, dont l vleur dépend de l longueur de coupe, vérifie l reltion n k L V. Pour des longueurs de ûches L comprises entre 0,20 m et m, le coefficient de proportionnlité k L peut être clculé à l ide de l formule suivnte : k L L 3 + L 2 + cl + d où,, c et d sont des réels à déterminer.. Avec les données fournies, déterminer les vleurs exctes de k et k 0,5. Pour k, on : k donc : k. Pour k 0, 5, on : k 0, 5 0, 8 donc k 0, 5,. 0,8. En dmettnt que k 0,8, et que k 0,2, 76, à l ide de l question, déterminer un système vérifié pr les inconnues,, c et d. k donc + + c + d. k 0, 5, 5 donc 0, + 0, + 0, 5c + d,. k 0, 8, donc 0, 52 + 0, 64 + 0, 8c + d,. k 0, 2, 76 donc 0, 008 + 0, 04 + 0, 2c + d, 76. On donc le système : + + c + d 0, + 0, + 0, 5c + d, 0, 52 + 0, 64 + 0, 8c + d, 0, 008 + 0, 04 + 0, 2c + d, 76 c. Résoudre le système précédent à l ide d un clcul mtriciel. En déduire l expression de k L en fonction de L. Le système d équtions précédent s écrit sous forme mtricielle : AX B vec : On cherche A à l clcultrice : 0, 0, 0, 5 A 0, 52 0, 64 0, 8, X c et B,, 0, 008 0, 04 0, 2 d, 76 2 75 400 4 33 4 32 200 0 4 232 200 8 575 36 4 36 Gérldine Ménéxidis Pge 2 / 5
On détermine X pr :X c A B d Finlement : k L 2, 5L 3 + 5, 75L 2 4, 75L + 2, 5. 2, 5 5, 75 4, 75 2, 5 d. Déterminer vec ce qui précède l vleur de k 0,6. Déterminer lors le volume occupé pr un stère de ois coupé en ûches de 0,60 m (donner le résultt rrondi u centième). k 0, 6, 8 donc le volume occupé pr un stère de ois coupé en ûches de 0,6 m est de : V,8, soit environ 0, 85m3. Exercice 3 : On considère l fonction f définie sur R pr f (x) x 2 + x + c, où, et c sont des coefficients réels. On donne f (-0,5)7, f ()4 et f (,5)5.. Montrer que les informtions sur f se trduisent sous l forme AX B où X deux mtrices à préciser. et A et B c f(0, 5) 7 0, 0, 5 + c 7 f() 4 + + c 4 f(, 5) 5 2, +, 5 + c 5 Les données précédentes se trduisent sous forme mtricielle pr : 7 AX B vecx et B 4 c 5. 0, 0, 5 7 4 2,, 5 c 5. En déduire les coefficients, et c. Gérldine Ménéxidis Pge 3 / 5
A l clcultrice, on otient : A 4 3 3 5 6 4 3 2 2 7 2 2 On otient donc l inconnue X A 4 3 c 5 5 Pour tout réel x : f(x) 2x 2 3x + 5. Exercice 4 : D près BAC Pro Aéronutique 2008 Après rrêt d un moteur turo propulseur, l hélice d un vion continue à tourner lirement jusqu à son rrêt. Son mouvement est un mouvement de rottion uniforme décéléré. Le nomre de tours N effectués en fonction du temps t (en secondes) est donné pr Nf (t) t 2 + t, où et sont des réels à déterminer et t [0; 72, 5].. Schnt que l hélice étudiée effectue 0 tours en 20 secondes et 50 tours en une minute, déterminer le système d équtions d inconnues et correspondnt à ces données. f(20) 0 400 + 20 0 f(60) 50 3600 + 60 50 Comme dns l exercice précédent, les données précédentes se trduisent sous l forme mtricielle : ( 400 20 3600 60 )( ) ( ) 0 50. Résoudre ce système à l ide d un clcul mtriciel et en déduire l expression de f (t). AX B X A B ( ) A l ide de l clcultrice : A 800 2400 3. ( ) 40 20 0, On trouve : X A B 4, 5 Donc pour t [0; 72, 5] : f(t) 0, t 2 + 4, 5t. c. On dmet que l fréquence de rottion de l hélice est donnée pr l dérivée f de l fonction f. Déterminer f (t) pour t [0; 72, 5], puis déterminer le nomre de tours effectués pr l hélice jusqu à son rrêt (rrondir à l unité). Gérldine Ménéxidis Pge 4 / 5
Pour t [0; 72, 5], f (t) 0, 2t + 4, 5. Lorsque l on rrête le moteur : f (t) 0 t 4,5 72, 5. 0,2 L hélice ur lors effectué f(72,5) tours, soit environ 526 tours. Gérldine Ménéxidis Pge 5 / 5