Les figures planes. 1. Les triangles : a. Classement des triangles : D après la longueur des côtés : - Le triangle scalène : triangle dont tous les côtés sont de longueurs différentes. - Le triangle isocèle : triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. - Le triangle équilatéral : triangle dont tous les côtés sont de même longueur. D après l amplitude des angles : - Le triangle acutangle : triangle dont tous les angles sont aigus. - Le triangle obtusangle : triangle dont un angle est obtus. - Le triangle rectangle : triangle dont un angle est droit. b. Aire et périmètre d un triangle : c. Droites remarquables : Bh. A P C C C 2 1 2 3 La médiane d un triangle est une droite qui passe par un des sommets du triangle et le milieu du côté opposé. La hauteur d un triangle est une droite qui passe par un des sommets du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement. La médiatrice d un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un des côtés du triangle et qui passe par le milieu de ce côté. La bissectrice d un triangle est une droite qui partage un angle en deux angles de même amplitude. Remarque : un triangle possède trois médianes, trois hauteurs, trois bissectrices et trois médiatrices. d. Points particuliers : L orthocentre d un triangle est le point d intersection des trois hauteurs du triangle. Le centre de gravité d un triangle est le point d intersection des trois médianes du triangle.
2. Les quadrilatères : a. Carré : Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés de même longueur et ses quatre angles droits. La formule d aire d un carré est côté côté ou côté au carré. La formule de périmètre d un carré est 4 côté. Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Les diagonales d un carré sont perpendiculaires et bissectrices des angles. Les médianes et les diagonales d un carré se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit au carré. b. Rectangle : Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur et dont les quatre angles sont droits. La formule d aire d un rectangle est longueur largeur. La formule de périmètre d un rectangle est 2 (longueur + largeur). Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Dans un rectangle, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes et les diagonales d un rectangle se coupent en un même point qui est le centre du cercle circonscrit au rectangle. c. Parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. La formule d aire d un parallélogramme est base hauteur. La formule de périmètre d un parallélogramme est 2 (longueur + largeur). Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes d un parallélogramme sont parallèles aux côtés. Les médianes et les diagonales d un parallélogramme se coupent en un même point.
d. Losange : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Un losange est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. La formule d aire d un losange est grande diagonale petite diagonale. 2 La formule de périmètre d un losange est 4 côté. Les diagonales d un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Les diagonales d un losange sont bissectrices des angles. Dans un losange, les angles opposés ont la même amplitude et les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait 180 ). Les médianes d un losange sont parallèles aux côtés. Les médianes et les diagonales d un losange se coupent en un même point. e. Trapèze isocèle : Un trapèze isocèle est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Les côtés non parallèles d un trapèze isocèle sont de même longueur. La formule d aire d un trapèze isocèle est petite base grande base hauteur. 2 La formule de périmètre d un trapèze isocèle est la somme des quatre côtés. Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents à une même base ont la même amplitude. Les diagonales d un trapèze isocèle ont la même longueur. 3. Le disque : A r P r d 2. 2...
Les solides. 1. Définitions et classification : Solides : figures géométriques qui possèdent un volume. Polyèdres : formes géométriques à trois dimensions limitées par des faces planes qui sont des polygones. Non-polyèdres ou corps ronds : solides qui ont au moins une face qui n est pas plane. Un polyèdre possède des faces, des arêtes et des sommets. Si on prolonge une face dans tous les sens, on obtient un plan. Une face est donc une partie de plan. Une face est un polygone qui se note par ses sommets, donc par des lettres majuscules (ou par une lettre grecque). Un sommet est un point et se note donc par une lettre majuscule. Si on prolonge une arête dans les deux sens, on obtient une droite. Une arête est donc un segment de droite et se note par deux lettres majuscules (ou une lettre minuscule). L'intersection de deux faces est une arête. L'intersection de deux arêtes est un sommet. 2. Positions relatives de deux droites et de deux plans : a. Positions relatives de deux droites : Deux droites parallèles distinctes sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui n ont aucun point commun. [AD] // [BE] Deux droites parallèles confondues sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui ont tous leurs points en commun. Deux droites sécantes sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui se coupent en un point en formant un angle différent de 90. [AB] // [BC] Deux droites perpendiculaires sont deux droites situées (incluses) dans un même plan et qui se coupent en un point en formant un angle droit. AD DE Deux droites gauches sont deux droites qui ne sont pas situées (non-incluses) dans un même plan. [AD] G [BC]
b. Positions relatives de deux plans : Deux plans parallèles distincts n ont aucun point en commun. C 90 A B G E ABC // EFG. F Deux plans parallèles confondus ont tous leurs points en commun. Deux plans sécants peuvent être perpendiculaires ou non. A B C D 90 A B F C E D ABD BDF ABC // BCD 3. Définitions, caractéristiques, représentations et développements de certains polyèdres : Définition : a. Le parallélépipède rectangle : Un parallélépipède rectangle, aussi appelé pavé droit, est un polyèdre dont toutes les faces sont des rectangles. Caractéristiques : Un parallélépipède rectangle a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces. Développement : Le développement d un solide est une figure plane obtenue en dépliant un polyèdre. Perspective cavalière : En perspective cavalière, deux segments parallèles et de même longueur sont représentés par deux segments parallèles et de même longueur. Par contre, deux segments perpendiculaires et de même longueur ne sont par représentés par deux segments perpendiculaires et de même longueur. La perspective cavalière conserve le parallélisme et les rapports de mesures. Cas particulier : le cube : Un cube est un parallélépipède rectangle particulier et possède donc les mêmes caractéristiques.
Définition : b. Le prisme droit : Un prisme droit est un solide qui a 2 faces polygonales superposables appelées bases du prisme. Les autres faces sont des rectangles. Caractéristiques : Les bases d un prisme sont parallèles et isométriques. Les arêtes latérales ont la même longueur : cette longueur commune est appelée hauteur du prisme. Les arêtes latérales sont parallèles entre elles. Les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases. Dénombrement : Si la base d'un prisme a n côtés, ce prisme a 2n sommets, 3n arêtes et n + 2 faces. c. La pyramide droite : Une pyramide est un solide constitué à partir d un polygone de base et d un sommet. En joignant chaque sommet du polygone au sommet de la pyramide, on obtient un solide limité par le polygone de base et par autant de triangles que le polygone a de côtés. L ensemble de ces triangles constitue la surface latérale de la pyramide. Le segment abaissé depuis le sommet perpendiculairement à la base est la hauteur de la pyramide.
Les transformations du plan. I. Rappel des trois transformations du plan vues en 1 ère année : 1. Les symétries orthogonales : Par une symétrie orthogonale, une figure se déplace en se retournant. Une symétrie orthogonale est caractérisée par une droite appelée axe de symétrie. Une symétrie orthogonale est une transformation du plan qui envoie tout point : - de l autre côté de l axe, - sur la droite perpendiculaire à l axe et passant par ce point, - à une même distance de l axe. A est l image du point A par une symétrie orthogonale d axe m se note S ( A) A'. 2. Les symétries centrales : Par une symétrie centrale, une figure se déplace en tournant d un demi-tour. Une symétrie centrale est caractérisée par un point appelé centre de symétrie. Une symétrie centrale est une transformation du plan qui envoie tout point : - de l autre côté du centre, - sur la droite passant par le point et le centre, - à une même distance du centre. B est l image du point B par une symétrie centrale de centre A se note ' 3. Les translations : Par une translation, une figure se déplace en glissant. Une translation est caractérisée par une flèche appelée vecteur. Une translation est une transformation du plan qui déplace tout point : - dans une même direction, - dans un même sens, - d une même distance. A m S B B. T C C. C est l image du point C par une translation de vecteur AB se note ' AB
II. Nouvelle transformation du plan : la rotation : Par une rotation, tout point tourne : - autour du centre, en restant à une même distance de celui-ci, - d une même amplitude, - dans le même sens. La rotation de centre O et d amplitude 40 se note r. O,40 A est l image de A par la rotation de centre O et d amplitude 40 se note r ( ) ' O,40 A A. La rotation de centre O et d amplitude se note ro,. III. Les invariants : Les isométries conservent : - L alignement des points. - L amplitude des angles. - La longueur des segments. - Le parallélisme des droites. - La perpendicularité des droites. - Le milieu des segments. - Le périmètre et l aire des figures. IV. Polygones, axes et centres de symétrie : 1. Axes et centres de symétrie des figures usuelles : a. Définitions : Une droite m est axe de symétrie d'une figure si la figure est sa propre image par la symétrie orthogonale d'axe m. Un point M est centre de symétrie d'une figure si la figure est sa propre image par la symétrie centrale de centre M. b. Axes et centres de symétrie des figures usuelles : Un parallélogramme possède : - 1 centre de symétrie : le point d intersection des diagonales. - 0 axe(s) de symétrie : /. Un rectangle possède : - 1 centre de symétrie : le point d intersection des diagonales ou des médianes. - 2 axe(s) de symétrie : les médianes. Un losange possède : - 1 centre de symétrie : le point d intersection des diagonales. - 2 axe(s) de symétrie : les diagonales.
Un carré possède : - 1 centre de symétrie : le point d intersection des diagonales ou des médianes. - 4 axe(s) de symétrie : les médianes et les diagonales. Un triangle isocèle possède : - 0 centre de symétrie : /. - 1 axe(s) de symétrie : la médiatrice de la base. Un triangle équilatéral possède : - 0 centre de symétrie : /. - 3 axe(s) de symétrie : les médianes. 2. Polygones réguliers : Un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles intérieurs ont la même amplitude. Les polygones réguliers les plus utilisés sont : - Le triangle équilatéral. - Le carré. - Le pentagone. - L hexagone. - L octogone. Un polygone régulier possède un centre de symétrie s il a un nombre pair de côtés. Un polygone régulier possède autant d axes de symétrie que de côtés. Pour construire les axes de symétrie d un polygone régulier ayant un nombre pair de côtés, on trace toutes les droites joignant les sommets opposés et toutes les droites joignant les milieux des côtés opposés. Pour construire les axes de symétrie d un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés, on trace toutes les droites joignant un sommet au milieu du côté opposé. 3. Critères d'existence des quadrilatères : a. Un quadrilatère est un parallélogramme : S'il a les côtés opposés parallèles. S'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur. S'il a un centre de symétrie. Si ses diagonales se coupent en leur milieu. b. Un quadrilatère est un rectangle : S'il a ses côtés opposés parallèles et un angle droit. S'il a ses angles droits. Si ses médianes sont des axes de symétrie. Si ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
c. Un quadrilatère est un losange : S'il a ses côtés de même longueur. S'il a ses côtés opposés parallèles et deux côtés consécutifs de même longueur. Si ses diagonales sont des axes de symétrie. Si ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. d. Un quadrilatère est un carré : S'il a ses côtés de même longueur et un angle droit. S'il a ses angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur. S'il a quatre axes de symétrie. Si ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur. S'il existe une rotation de 90 qui l'applique sur lui-même. 4. Critères d'existence des triangles : a. Un triangle est isocèle : S'il a deux côtés de même longueur. S'il a deux angles de même amplitude. S'il a un axe de symétrie. b. Un triangle est équilatéral : S'il a ses côtés de même longueur. S'il a ses angles de même amplitude. S'il a trois axes de symétrie. S'il existe une rotation de 120'qui l'applique sur lui-même. c. Un triangle est rectangle : S'il a un angle droit. S'il est inscriptible dans un demi-cercle.
V. Coordonnées : Les transformations du plan ci-dessous s effectuent dans un repère cartésien d axes x et y perpendiculaires en O. 1. Effet d une symétrie orthogonale sur les coordonnées d un point : - Par une symétrie orthogonale d axe x, un point et son image ont la même abscisse et des ordonnées opposées. Règle de transformation de la symétrie orthogonale d axe x : (x ; y) (x ; -y). - Par une symétrie orthogonale d axe y, un point et son image ont la même ordonnée et des abscisses opposées. Règle de transformation de la symétrie orthogonale d axe y : (x ; y) (-x ; y). 2. Effet d une symétrie centrale sur les coordonnées d un point : Par une symétrie centrale de centre O, un point et son image ont des abscisses et des ordonnées opposées. Règle de transformation de la symétrie centrale de centre O: (x ; y) (-x ; -y). 3. Effet d une translation sur les coordonnées d un point : Pour trouver les coordonnées de l image d un point par la translation qui applique O (0 ; 0) sur P (a ; b), il suffit d ajouter a à l abscisse du point initial et b à son ordonnée. Règle de transformation de la translation qui applique O (0 ; 0) sur P (a ; b) : (x ; y) (x + a ; y + b). 4. Effet d une rotation de centre O et d amplitude 90 sur les coordonnées d un point : - Par la rotation de centre O et d amplitude 90, l image d un point a pour abscisse l opposé de l ordonnée de ce point et pour ordonnée son abscisse. Règle de transformation de la rotation de centre O et d amplitude 90 : (x ; y) (-y ; x). - Par la rotation de centre O et d amplitude -90, l image d un point a pour abscisse l ordonnée de ce point et pour ordonnée l opposé de son abscisse. Règle de transformation de la rotation de centre O et d amplitude -90 : (x ; y) (y ; -x).
Les angles. I. Angles particuliers : 1. Deux angles peuvent être : Des angles adjacents ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d autre de ce côté commun. Des angles complémentaires sont deux angles dont la somme des amplitudes vaut 90. Des angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des amplitudes vaut 180. 2. Angles formés par 2 droites sécantes : Deux angles opposés par le sommet ont : Le même sommet. Leurs côtés dans le prolongement l un de l autre. Même amplitude. Deux angles opposés par le sommet sont image l un de l autre par une symétrie centrale. 3. Angles formés par deux droites parallèles coupées par une droite sécante : A 1 Deux angles correspondants sont deux angles situés du même côté de la sécante, l un à l intérieur et l autre à l extérieur des parallèles. B 1 Deux angles correspondants sont image l un de l autre par une translation. 1 A Deux angles alternes internes sont deux angles situés de part et d autre de la sécante et à l intérieur des parallèles. 1 B B 1 A 1 Deux angles alternes internes sont image l un de l autre par une symétrie centrale. Deux angles alternes externes sont deux angles situés de part et d autre de la sécante et à l extérieur des parallèles. Deux angles alternes externes sont image l un de l autre par une symétrie centrale.
II. Angles d un triangle : 1. Angles intérieurs d un triangle : Thèse 1 : La somme des amplitudes des angles intérieurs d un triangle vaut 180. Thèse 2 : A1 B C 180. Dessin : 3 A 1 2 Hypothèse : ABC est un triangle quelconque. C B A 1, B, C sont les angles intérieurs de ABC. Démonstration : Par A, je construis la droite parallèle à BC ; les angles A2 et A 3 apparaissent. Par cette construction, B et A2 sont alternes internes B = A 2 (1). C et A 3 sont alternes internes C = A 3 (2). Les angles A 1, A2 et A3 forment un angle plat A 1 + A 2 + A 3 = 180 (3). En remplaçant A2 par B et A 3 par C, l égalité (3) devient A1 B C 180. Cqfd. 2. Angle extérieur d un triangle : Thèse 1 : L amplitude d un angle extérieur d un triangle est égale à la somme des amplitudes des angles intérieurs non adjacents. 3 2 Thèse 2 : A2 1 C B A Dessin : C 2 A 1 B Hypothèse : ABC est un triangle quelconque. A2 est un angle extérieur à ABC. C B Démonstration : La somme des amplitudes des angles intérieurs d un triangle vaut 180 A 1 B C 180. A1 et A2 sont deux angles adjacents supplémentaires A 1 + A 2 = 180. En comparant les deux égalités, on a : 1 A + 2 A = 1 A B C 2 A B C. Cqfd.
III. Angles d un polygone : Pour déterminer la somme des amplitudes des angles intérieurs d un polygone ayant n côtés, il faut utiliser la formule : (n 2).180.
Les distances. I. Problèmes de distance entre deux points : 1. Distance entre deux points : La distance entre deux points est la mesure du segment de droite qui les joints. La distance de A à B est notée AB,, d A B ou AB. C est aussi la longueur du segment AB. Une distance est toujours positive. On l exprime donc à l aide des nombres réels positifs notés. Une distance dépend de l unité de longueur choisie. La distance entre A et B est la même que la distance entre B et A. 2. Cercle : Le cercle de centre O et de rayon r est un ensemble de points situé à une même distance (r) du centre (O). On appelle : - Rayon d un cercle, tout segment dont les extrémités sont le centre et un point du cercle. - Diamètre d un cercle, tout segment qui comprend le centre et dont les extrémités appartiennent au cercle. Il vaut le double du rayon. - Corde d un cercle, tout segment dont les extrémités appartiennent au cercle. - Arc de cercle, une partie de cercle comprise entre deux points du cercle. r
3. Inégalité triangulaire : Pour qu un triangle soit constructible, il faut que la longueur de chaque côté soit strictement inférieur à la somme des longueurs des deux autres côtés et supérieur à leur différence positive. Cette propriété est appelée l inégalité triangulaire. 4. Positions relatives de deux cercles : Deux cercles sont extérieurs si la distance entre leurs deux centres est supérieure à la somme des mesures de leurs deux rayons. Ils ont 0 point commun. OO 1 2 > r 1 + r 2. Deux cercles sont tangents extérieurs si la distance entre leurs deux centres est égale à la somme des mesures de leurs deux rayons. Ils ont 1 point commun. OO 1 2 = r 1 + r 2. Deux cercles sont tangents intérieurs si la distance entre leurs deux centres est égale à la différence des mesures de leurs deux rayons. Ils ont 1 point commun. OO 1 2 = r 2 - r 1. Deux cercles sont intérieurs si la distance entre leurs deux centres est inférieure à la différence des mesures de leurs deux rayons. Ils ont 0 point commun. OO 1 2 < r 2 - r 1. Deux cercles sont sécants si la distance entre leurs deux centres est comprise entre la somme des mesures de leurs deux rayons et la différence des mesures de leurs rayons. Ils ont 2 points communs. r 2 - r 1 < OO 1 2 < r 1 + r 2. Deux cercles sont concentriques si la distance entre leurs deux centres est nulle. Ils ont le même centre. OO 1 2 0. 5. La médiatrice d un segment : La médiatrice d un segment de droite est l ensemble des points du plan équidistants des extrémités de ce segment. AP < BP
6. Cercle circonscrit à un triangle : Les médiatrices d un triangle se coupent en un point qui est équidistant des trois sommets. Par trois points non alignés passe un et un seul cercle dont le centre est le point d intersection des médiatrices des côtés du triangle et dont le rayon est la distance de ce centre à un des sommets du triangle? Le cercle qui passe par les trois sommets d un triangle est appelé le cercle circonscrit au triangle. II. Problèmes de distance d un point à une droite : 1. Distance d un point à une droite : La distance d un point à une droite est la distance entre le point et le pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point. La distance du point X à la droite de a se note : d (a ; X). 2. Distance entre deux droites parallèles : La distance entre deux droites parallèles est la longueur d un segment de droite perpendiculaire à ces droites et limité à celles-ci. d(a,b) = XY
3. Positions relatives d une droite et d un cercle : - Une droite est extérieure à un cercle si la distance qui la sépare du centre du cercle est supérieure à la longueur du rayon du cercle. Elle a 0 point commun avec le cercle. OH > r - Une droite est tangente à un cercle si la distance qui la sépare du centre du cercle est égale à la longueur du rayon du cercle. Elle a 1 point commun avec le cercle. OH = r - Une droite est sécante à un cercle si la distance qui la sépare du centre du cercle est inférieure à la longueur du rayon du cercle. Elle a 2 points communs avec le cercle. OH < r
4. La tangente : Une tangente à un cercle est une droite qui rencontre le cercle en un point. On appelle ce point le point de tangence. Une tangente au cercle en un point A est perpendiculaire au rayon du cercle. 5. La bissectrice d un angle : La bissectrice d un angle est l ensemble des points du plan équidistants des côtés de l angle ou de leurs prolongements. 6. Cercle inscrit à un triangle : Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux côtés du triangle. Le centre O de ce cercle est le point d intersection des bissectrices du triangle et son rayon est le segment délimité par le centre et par le pied de la droite passant par le centre perpendiculairement à l un des côtés du triangle. C 4 3 O A X B