FICHE G - CONFIGURATIONS du PLAN (théorèmes importants) A savoir : On peut remplacer une définition par une équivalence : «A B». Le triangle: droites et points remarquables.. Hauteurs et orthocentre. Définition: Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Propriété: Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. Propriété: Si ABC est rectangle en C alors C est son orthocentre. Médianes et centre de gravité. Définition: Une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé. Propriété: Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Propriété: Le centre de gravité d'un triangle est situé sur chaque médiane aux deux tiers en partant du sommet. (AH) est une hauteur de ABC (AH) (BC) H est orthocentre d'un triangle H est le point d'intersection de hauteurs du triangle ( ) est la médiane d'un triangle ( ) passe par un sommet et le milieu du côté opposé. G est le centre de gravité d'un triangle G est le point d'intersection de médianes du triangle AG 3 AA' CG 3 CC ' BG 3 BB'.3 Médiatrices et centre du cercle circonscrit. Définition: La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Propriété: Un point est équidistant des extrémités d'un segment il est sur sa médiatrice. Propriété: Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O qui le centre du cercle circonscrit au triangle. Définition : le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les 3 sommets du triangle. On dit alors que le triangle est inscrit dans le cercle..4 Bissectrices et centre du cercle inscrit ( ) est la médiatrice de [AB] { coupe [ AB] en son milieu et AB C est sur la médiatrice de [AB] CACB. Ne pasconfondreavec l'équivalencesuivante: C est le milieu de [AB] { CACB et A, B etc sont alignés Définition: la bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Propriété: Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point I qui le centre du cercle inscrit dans le triangle. Définition : le cercle inscrit dans un triangle est le cercle tangent aux 3 côtés du triangle..5 Triangles particuliers :. Si un triangle est isocèle alors sa hauteur issue du sommet principal est confondue avec la médiane, la bissectrice issues du même sommet, et avec la médiatrice de la base.. Si un triangle a une hauteur confondue avec une médiane (ou une médiatrice ou une bissectrice) alors il est isocèle. 3. Si un triangle est équilatéral alors ses 3 hauteurs sont confondues avec les médianes, les médiatrices et les bissectrices.
.Le triangle rectangle Les diagonales d'un carré de côté a mesurent a. Théorème de Pythagore Théorème: Si un triangle est rectangle alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Réciproque : Si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle Les hauteurs d'un triangle équilatéral de côté a mesurent a 3 ABC est rectangle en A BC AB AC. Triangle rectangle et cercle circonscrit: 3 formulations pour un même théorème Formulation : un triangle ABC est rectangle en A A est sur le cercle de diamètre [BC]..3 Trigonométrie dans le triangle rectangle : cos sin tan côté adjacent hypoténuse côté opposé hypoténuse côté opposé côté adjacent CB CA AB AC AB BC cos sin et tan sin cos Valeurs remarquables à retenir ou à savoir retrouver avec les formules du tableau précédent : α en degré 30 45 60 cos α sin α tan α Utilisation de la calculatrice : la régler en degrés : 3 3 3 3 3 3 Retrouver la mesure des angles dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente: cos ABC 0,45 donc ABC Formulation : un triangle ABC est rectangle en A le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Formulation 3: un triangle ABC est rectangle en A la médiane issue de A mesure la moitié de [BC]. Calculer et donner une valeur arrondie au centième: cos sin 47 tan (00 ) sin ABC 3 tan ABC 3 8 donc ABC donc ABC
3.Triangles et sécantes 4.Angles Dans un triangle la somme des angles vaut 80. Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360. 3. Théorèmes des milieux Théorème : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de côtés, alors il est parallèle au 3 ème côté et en mesure la moitié. Théorème : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté en étant parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le 3 ème côté en son milieu. (et le segment qui joint les milieux mesure la moitié de ce 3 ème côté) 3. théorème de Thalès Théorème : Si dans triangles ABC et N on a : A, M et B sont alignés ainsi que A, N et C et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. alors AB AN AC MN BC Dans le triangle ABC, si { I milieu de[ AB ] alors{ J milieu de[ AC ] IJ BC IJ BC I milieu de[ AB ] IJ BC si{ alors{ J AC J milieu de[ AC ] IJ BC Théorème (qui n'es pas tout à fait la réciproque): Si dans triangles ABC et N on a A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C et AB AN AC alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. (et on a donc aussi AB AN AC MN BC ) ; 4. Angles opposés par le sommet Théorème: Si deux droites sont sécantes alors elles forment des angles opposés par le sommet égaux. 4. angles alterne-internes, correspondants Définition: Deux droites (d) et (d') coupées par une sécante ( ) forment des angles alternes-internes ( d et f, ou c et e) et correspondants (b et f, ou c et g, ou a et e, ou d et h). Théorème : Deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes égaux elles sont parallèles. Théorème : Deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles correspondants égaux elles sont parallèles. 4.3 angles dans un cercle : angles inscrits, angles au centre Théorème :si dans un cercle un angle inscrit intercepte le même arc qu'un angle au centre alors il en mesure la moitié. Conséquence (théorème ): si dans un cercle deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux. Définitions : un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle. Un angle au centre d'un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle. B et ANB sont angles inscrits dans le cercle ; ils interceptent l'arc AB. AOB est un angle au centre qui intercepte le même arc AB. Donc et B AOB B ANB
5. Les quadrilatères 5. Parallélogramme quelconque Théorème: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors - ses diagonales se coupent en leur milieu, - ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur à, - ses angles opposés sont égaux à, et - il a un centre de symétrie. Autre formulation : Tout parallélogramme a - ses diagonales qui se coupent en leur milieu, - ses côtés opposés parallèles et de même longueur à. - ses angles opposés égaux à, et - un centre de symétrie. Théorème: Si un quadrilatère a - ses diagonales qui se coupent en leur milieu, OU - ses côtés opposés parallèles à, OU - ses côtés opposés de même longueur à, OU - côtés parallèles et de même longueur, OU - ses angles opposés égaux à, alors c'est un parallélogramme. 5.3 Rectangle Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. ABCD a 4 angles droits ABCD est un rectangle remarque : 3 angles droits suffisent pour qu'un quadrilatère soit un rectangle. Théorème: Tout rectangle a ses diagonales de même longueur, un centre de symétrie et axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés). Théorème: Si un parallélogramme a - ses diagonales de même longueur, OU - un angle droit, alors c'est un rectangle. 6. Les cercles 5. Losange Définition : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux. ABCD a 4 côtés égaux ABCD est un losange Théorème: Tout losange a ses diagonales perpendiculaires, un centre de symétrie et axes de symétrie (ses diagonales) Théorème: Si un parallélogramme a - ses diagonales perpendiculaires, OU - côtés consécutifs égaux, alors c'est un losange. 5.4 Carré Définition : Un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés égaux et 4 angles droits ABCD a 4 côtés égaux et 4 angles droits ABCD est un carré Théorème: Un quadrilatère est un carré c'est à la fois un rectangle et un losange. On peut alors, à partir des théorèmes sur le rectangle et le losange, reconstituer 4 théorèmes du type : «Si un parallèlogramme a... alors c'est un carré». ex : Si un parallèlogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré Définition : A est un point d'un cercle de centre O. La droite tangente au cercle en A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire au rayon [OA]. Définition : Deux cercles tangents en un point B sont deux cercles qui ont la même tangente en B.