Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 2012-2013 VECTEURS Exercice 1 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O ;I ;J). On considère les points A 2 ; 5 2 B 6 ; 9 2 C 3 ; 3 2. 1) Placer ces points dans un repère. 2) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 3) Déterminer les coordonnées du point D image du point C par la translation de vecteur u(2 ;0). 4) Soit E le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées de E, puis montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires. 5) Soit F le point tel que EF = DE. Quelle est la nature du quadrilatère ADBF? 6) Démontrer que les points A, B, C, D et F appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Exercice 2 : Dire pour chaque affirmation, si elle est vraie ou fausse. 1) ABCD est un parallélogramme a) AB = CD Vrai Faux b) BC = AD Vrai Faux c) AC = BD Vrai Faux 2) La translation qui transforme en E en F, transforme aussi G en H. a) EFGH est un parallélogramme Vrai Faux b) [EG] et [FH] ont le même milieu Vrai Faux c) EF = GH Vrai Faux Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme. I est le symétrique de B par rapport à A et J est le symétrique de D par rapport à C. Démontrer AICJ est un parallélogramme en utilisant un raisonnement utilisant les vecteurs. 1
Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 2012-2013 Exercice 4 :somme de vecteurs Construire les points I, J, K, L et M tels que : EI = AB EJ = AB + CD AK = CD - DE DL = DE + CD et DM = DE + DE. Exercice 5 ABCD et BEFC sont des parallélogrammes avec B milieu de [AE]. Compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : CB + CF = C. DB + EF = A. CB CD =. 2
Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 2012-2013 Exercice 1: FONCTIONS ET EXPRESSIONS ALGEBRIQUES PARTIE A : Soient f et g, deux fonctions définies sur, telles que : f(x) = (2x + 1)² - (3x 5)(2x + 1) g(x) = 2x² - 12x + 18 1) Développer puis réduire f(x). 2) Factoriser, le plus possible, f(x) et g(x). 3) En choisissant la forme la plus adaptée de f(x) ou g(x), répondre aux questions suivantes : a) Calculer l image de 3 par la fonction f. b) Déterminer le, ou les antécédents éventuels de 18 par la fonction g. c) Déterminer les coordonnées du, ou des points d intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l axe des abscisses. 4) Tracer la courbe représentative de la fonction g sur l intervalle [0 ; 6]. (unités : 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée). Soit h, la fonction définie sur par : h(x) = 1 (f(x) + g(x)) 4 PARTIE B : 1) a) Montrer que, pour tout nombre réel x, h(x) = - 1 4 x + 6 b) En déduire la nature de la fonction h 2) Dresser le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction h 3) Dans le repère ci-dessus, tracer la courbe représentative de la fonction h sur l intervalle [0 ; 6 4) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d intersection I et J de et sur l intervalle [0 ; 6]. 3
VECTEURS Exercice 1 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O ;I ;J). On considère les points A 2 ; 5 2 B 6 ; 9 2 C 3 ; 3 2. 1) Placer ces points dans un repère. 2) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 3) Déterminer les coordonnées du point D image du point C par la translation de vecteur u(2 ;0). 4) Soit E le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées de E, puis montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires. 5) Soit F le point tel que EF = DE. Quelle est la nature du quadrilatère ADBF? 6) Démontrer que les points A, B, C, D et F appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 1) 4
2) AB² = (x B x A )² + (y B y A )² = (6 2)² + 9 2-5 2 ² = 16 + 4 = 20 AC² = (3 2)² + 3 2 5 2 ² = 1 + 1 = 2 BC² = (3 6)² + 3 2-9 2 ² = 9 + 9 = 18 On a AB² = AC² + BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. 3) On a, par définition d une translation : CD = u x D 3 = 2 et y D 3 2 = 0 Donc D 5 ; 3 2 4) E a pour coordonnées : x A + x B ; y A + y B 2 2 Soit E 4 ; 7 2 Montrons que le triangle BDE est rectangle isocèle en E. BE = AB AB² BE² = 2 4 = 5 ED² = (5 4)² + 3 2 7 2 ² = 1 + 4 = 5 BD² = (5 6)² + 3 2 9 2 ² = 1 + 9 = 10 On a donc BD² = ED² + BD² et BE = ED = 5 Donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle BED est bien rectangle et isocèle en E. Donc les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires. 5
E est le milieu de [DF]. Le quadrilatère ADBF a ses diagonales qui se coupent en leur milieu E et qui sont perpendiculaires : ADBF est donc un losange. AB = 2 BE et FD = 2 ED Or : BE = DE Donc AB = DF Donc les diagonales du losange ADBF sont de même longueur : donc ADBF est un carré. 5) Le carré ADBF est inscrit dans le cercle de centre E et de rayon BE = 5 en tant que polygone régulier (et car EF = EB = EA = ED) Le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en C a pour centre E (le milieu de l hypoténuse [AB]) et pour rayon BE (la moitié de AB). Donc C appartient aussi au cercle de centre E et de rayon 5. Donc les points A, B, C, D et F sont bien cocycliques. 6
Exercice 2 Dire pour chaque affirmation, si elle est vraie ou fausse. 1) ABCD est un parallélogramme a) AB = CD Vrai Faux b) c) BC = AD Vrai Faux AC = BD Vrai Faux 2) La translation qui transforme en E en F, transforme aussi G en H. a) EFGH est un parallélogramme Vrai Faux b) [EG] et [FH] ont le même milieu Vrai Faux c) EF = GH Vrai Faux Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme. I est le symétrique de B par rapport à A et J est le symétrique de D par rapport à C. Démontrer AICJ est un parallélogramme en utilisant un raisonnement utilisant les vecteurs. I est le symétrique de B par rapport à A. Donc IA = AB J est le symétrique de D par rapport à C. Donc CJ = DC ABCD est un parallélogramme donc AB = DC On en déduit que IA= CJ et donc que AICJ est un parallélogramme. Exercice 4 : somme de vecteurs Construire les points I, J, K, L et M tels que : EI = AB EJ = AB + CD AK = CD - DE DL = DE + CD et DM = DE + DE. 7
Exercice 5 ABCD et BEFC sont des parallélogrammes avec B milieu de [AE]. Compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : CB + CF = CE DB + EF = AB CB CD = CE (ou DB) 8
Exercice 1: FONCTIONS ET EXPRESSIONS ALGEBRIQUES PARTIE A : Soient f et g, deux fonctions définies sur, telles que : f(x) = (2x + 1)² - (3x 5)(2x + 1) g(x) = 2x² - 12x + 18 1) Développer puis réduire f(x). f(x) = 4x² + 4x + 1 (6x² + 3x 10x 5) f(x) = 4x² + 4x + 1 (6x² - 7x 5) f(x) = 4x² + 4x + 1 6x² + 7x + 5 f(x) = -2x² + 11x + 6 /2 2) Factoriser, le plus possible, f(x) et g(x). /3 f(x) = (2x + 1)[(2x + 1) (3x 5)] f(x) = (2x + 1)(-x + 6) g(x) = 2(x² - 6x + 9) g(x) = 2(x 3)² 3) En choisissant la forme la plus adaptée de f(x) ou g(x), répondre aux questions suivantes : a) Calculer l image de 3 par la fonction f. /0,5 f( 3) = -2 3 + 11 3 + 6 = 11 3 b) Déterminer le, ou les antécédents éventuels de 18 par la fonction g. /1 On résout l'équation g(x) = 18 g(x) = 18 2(x 3)² = 18 (x 3)² = 3² x 3 = -3 ou x 3 = 3 x = 0 ou x = 6 Les antécédents de 18 par g sont 0 et 6. 9
c) Déterminer les coordonnées du, ou des points d intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l axe des abscisses. /2 On résout l'équation f(x) = 0 f(x) = 0 (2x + 1)(-x + 6) = 0 2x + 1 = 0 ou x + 6 = 0 x = - 1 2 ou x = 6 Les points d'intersection de la courbe représentative f avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées : - 1 2 ;0 et (6;0). 4) Tracer la courbe représentative de la fonction g sur l intervalle [0 ; 6]. (unités : 2 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonnée). /1 Soit h, la fonction définie sur par : h(x) = 1 (f(x) + g(x)) 4 10
1) a) Montrer que, pour tout nombre réel x, h(x) = - 1 4 x + 6. /2 h(x) = 1 4 (-2x² + 11x + 6 + 2x² - 12x + 18) = 1 4 (-x + 24) = - 1 4 x + 6 b) En déduire la nature de la fonction h. /0,5 h(x) étant de la forme ax + b alors h est une fonction affine. 2) Dresser le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction h. /2 x - 24 + + 0 - x - + f(x) 3) Dans le repère ci-dessus, tracer la courbe représentative de la fonction h sur l intervalle [0 ; 6]. /1 4) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d intersection I et J de et sur l intervalle [0 ; 6]. /1 I(1,3; 5,6) J(4,6; 4,9) 11