n 6 page 212 1) ABCDEFGH est un cube donc l'arête [HG] est perpendiculaire à la face ADHE ; et comme [HA] est sur la face ADHE, [HA] est donc perpendiculaire à [HG] donc AHG est rectangle en H. 2) Voici les étapes de la construction : * tracer en vraie grandeur un carré ADHE avec AD = 5 cm ; on a donc [AH] en vraie grandeur sans calcul. * tracer la perpendiculaire à [AH] qui passe par H. * sur cette droite, placer un point G tel que GH = 5 cm * tracer le segment [GA] pour obtenir AHG ) [AH] étant une diagonale du carré ADHE, ADH est rectangle en D donc, d'après le théorème de Pythagore, AH²=AD²+DH² donc AH²=2 (5 cm)²=2 25 cm²=50 cm² donc AH= 50 cm Par ailleurs, on a montré que AHG est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, AG²=AH²+HG² on a vu que AH²=50 cm² donc AG²=50 cm²+(5 cm)²=50 cm²+25 cm²=75 cm² donc AG= 75 cm On sait que AHG est rectangle en H donc cos( ce qui donne cos( donc ĤAG )= AH AG 50 ĤAG )= 75 = 2 25 25 = 5 2 5 = 2 2 ĤAG =Acs( ) 5, (arrondi au dixième) Exercice 1 page 26 1) [SD] étant la hauteur de la pyramide SABCD, [SD] est perpendiculaire à la base ABCD et comme [CD] est dans la base, [SD] est perpendiculaire à [CD] donc SDC est rectangle en D. De même, SDA est rectangle en D, SDB est rectangle en D. Enfin, ABCD est un rectangle donc ADC est rectangle en D et DCB est rectangle en C. 2) [SD] étant la hauteur de la pyramide SABCD, SD est la distance du point S au plan de la base ABCD donc SD est plus petite que chaque distance SA, SB et SC. ) Le volume d'une pyramide est obtenu en prenant le tiers du produit de la hauteur par l'aire de la base. ABCD étant un rectangle, le volume de la pyramide SABCD est donc donné par SD AB BC 5 cm 4 cm cm = =20 cm³. Exercice 2 page 26 1) A étant un point du cercle de centre O et de rayon cm, OA= cm. Par ailleurs, S étant le sommet du cône dont la base est ce cercle, [AS] est une génératrice du cône. 2) [OS] étant la hauteur du cône, [OS] est perpendiculaire à la base donc à [OA] donc AOS est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore, OS²=AS² OA²=(7 cm)² ( cm)²=49 cm² 9 cm²=40 cm² donc OS= 40 cm = 2 10 cm 6, mm ) Le volume d'un cône est le tiers du produit de sa hauteur par l'aire de sa base, ce qui donne OS π OA² 2 10cm π ( cm)² 2 10 π 9 cm² = = = 6 π 10 cm³ la calculatrice donne environ 59,608 cm³ (arrondi au mm³).
n 1 page 241 * OA = OB = 4 cm car A et B sont sur c 1 qui est un grand cercle de la sphère de centre O et de rayon 4 cm. * OC = OD = 4 cm car C et D sont sur c 2 qui est aussi un grand cercle de cette sphère. * AB < 8 cm car [CD] est une corde du cercle c 1 de diamètre 8 cm et on sait qu'une corde est plus petite que le diamètre * CD = 8 cm car [CD] est un diamètre du grand cercle c 2 * on ne peut déterminer OF et OE car on ne dispose d'aucune information concernant ces points ; par exemple, ils peuvent être loin derrière la sphère n 2 page 261 Voici les différentes sections demandées en représentation en perspective. n page 241 Le point B n'appartient ni à la boule, ni à la sphère car il est à l'extérieur de cette boule. Le point C appartient à la boule mais pas à la sphère car il est à l'intérieur de la boule. Pour le point D, d > cm car il est à l'extérieur de la boule. Pour le point E, d < cm car il est à l'intérieur de la boule. F est un point de la sphère et donc de la boule. G est le point O : il appartient à la boule mais pas à la sphère. n 4 page 241 1) Puisque [AB] et [CD] sont des diamètres de la sphère s de centre O, ils se coupent en O : il suffit donc de tracer les deux segments ; le point O est l'intersection de ces deux segments. 2) À vous de vous exercer ;-) Il y a une petite erreur dans l'énoncé car il y a plusieurs grands cercles qui passent par E. ) Il suffit de tracer le symétrique de E par rapport à O : c'est le point F puisque O est le milieu du diamètre [EF]. D'ailleurs, cela peut vous aider pour tracer un grand cercle qui passe par E. n 5 page 241 L'aire d'une sphère est obtenue en multipliant 4 fois le nombre π par le carré du rayon de cette sphère. a) avec R = 9,1 cm, a(sphère) = 4π (9,1 cm)² = 1,24 π cm² 1040,6 cm² (arrondi au dixième) b) avec R = 4 cm, a(sphère) = 4π (4 cm)² = 4 624 π cm² 14 526,7 cm² (arrondi au dixième)
n 6 page 241 Le volume d'une boule est obtenu en prenant les quatre tiers du produit de π par le cube du rayon de cette boule. a) avec R = 6 dm, v(boule) = 4 π (6dm) b) avec R = 8 cm, v(boule) = 4 π (8cm) =288 π dm³ 905 dm³ (arrondi à l'unité) 219 488 = π cm³ 20 dm³ (arrondi à l'unité) n 17 page 24 1) H étant le centre de la section par le plan p, (OH) est perpendiculaire au plan p et comme M est un point du plan p, (OH) est perpendiculaire à (HM) donc OHM est rectangle en H 2) On connaît OH=4,cm et HM=6,2cm (rayon de la boule) On trace [OH] puis la perpendiculaire à [OH] passant par H puis on place un point M sur cette perpendiculaire à 6,2cm du point H. ) OHM est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, OM²=OH²+HM²=(4,cm)²+(6,2cm)²=18,49cm²+8,44cm²=56,9cm² donc R = OM = 56,96 cm 7,5 cm (arrondi au mm) n 9 page 242 L'aire d'une sphère est obtenue en multipliant 4 fois le nombre π par le carré du rayon de cette sphère donc pour la coupole qui a la forme d'une demi-sphère, il suffit de remplacer 4 par 2 dans cette formule. a(coupole) = 2π (18 m)² = 648π m² 2 05,75 m² (arrondi au centième) n 19 page 24 A et B étant sur la boule de centre O, on a OA=OB=5cm (car le diamètre de la boule est 10cm) donc AOB est isocèle en O donc, pour le triangle AOB, la hauteur issue de O est aussi la médiatrice de [AB] donc O 1 est le milieu de [AB] et AOO 1 est rectangle en O 1 donc, d'après le théorème de Pythagore, OA²=OO 1 ²+AO 1 ² on a OA=5cm et AO 1 =AB 2=5cm 2=2,5cm OO 1 ²=(5cm)² (2,5cm)²=25cm² 6,25cm²=18,75cm² donc h=oo 1 = 18,75 cm 4, cm (arrondi au dixième) On doit donc réaliser la découpe à environ 4,cm (arrondi au mm) du centre de la boule. n 5 page 261 1) Le plan (HGF) étant parallèle à l'arête [BC] du pavé droit, la section EFGH est donc un rectangle. 2) HKE est rectangle en K avec KE=15cm et HK=20cm donc, d'après le théorème de Pythagore, HE²=HK²+KE²=(20cm)²+(15cm)²=400cm²+225cm²=625cm² donc HE = 625 cm = 25 cm car 25 25=625 ) EFGH est un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux car HE = 25 cm et HG = 25 cm donc EFGH est un carré.
n 7 page 262 1) OO'=AA'=BB'=6cm (la hauteur) OA=OB=O'A'=O'B'=4cm (le rayon) OH=2cm (la distance du plan p à l'axe du cylindre) 2) OA=OB donc AOB est isocèle en O ) AOB est isocèle en O donc (OH) qui est la hauteur issue de O, est aussi la médiatrice de [AB] donc H est le milieu de [AB] 4) On trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm puis on trace un rayon sur lequel on place le point H tel que OH=2cm puis on trace la perpendiculaire à (OH) passant par H : elle coupe le cercle en A et B. 5) Le plan p étant parallèle à l'axe (OO') du cylindre, la section ABB'A' est un rectangle. 6) On a AA'=6cm et on reporte la longueur AB à partir de la figure obtenue à la partie 4). On trace alors le rectangle ABB'A' avec ces dimensions. n 8 page 262 1) On pourra faire une représentation en perspective analogue de celle qui est proposée à l'exercice n 7 page 262. 2) Le plan p étant parallèle à l'axe (OO') du cylindre, la section ABB'A' est un rectangle. ) On a AA'=8cm (la hauteur du cylindre) Pour AB, on reprends le raisonnement du n 7 page 262 : AOB est isocèle en O (car AO=BO) et donc H est le milieu de [AB] avec OH = 1,8cm et OAH rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, OA²=OH²+AH² donc AH² = (,4cm)² (1,8cm)² = 11,56cm²,24cm² = 8,2 cm² donc AH = 8,2 cm 2,9 cm (arrondi au dixième) On a donc AB = 2 AH 2 2,9 cm 5,8 cm (arrondi au dixième) n 21 page 264 1) ABCD est un rectangle donc ABC est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, AC²=AB²+BC²=(8cm)²+(6cm)² AC²=64cm²+6cm²=100cm² donc AC = 100 cm = 10 cm car 10 10 = 100 H étant l'intersection des diagonales du rectangle ABCD, H est le milieu de [AC] donc AH=AC 2 =10cm 2 = 5 cm 2) SABCD est une pyramide de base le rectangle ABCD donc v(sabcd) = SH AB BC = 12cm 8cm 6cm = 192 cm³ ) [SH] étant la hauteur de la pyramide SABCD, SAH est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, SA²=AH²+SH² SA²=(5cm)²+(12cm)²=25cm²+144cm²=169cm² donc SA = 169 cm = 1 cm car 1 1=169 4) k = SA',25 cm = SA 1 cm = 1 4 On a donc A'B' = AB 4 =8cm 4=2cm et B'C' = BC 4 =6cm 4=1,5cm v(sa'b'c'd') = k³ v(sabcd) = 0,25³ 192cm³ = cm³ 5) soit k' le facteur de réduction : on a donc k'³= 1 puisque le volume 8 réduit est 8 fois plus petit que celui de la pyramide SABCD. donc k' = 1 2 ainsi, SE = SA 2 car 2³=8 = 1cm 2 = 7,5 cm.
n 22 page 264 1) le volume du cône est obtenu avec la formule πr2 h hauteur et R le rayon de la base. π R 2 h = π (7cm)2 (12cm) = 196 π cm³ où h est la 2) le facteur de réduction est k= SA' SA = cm 12 cm = 1 4 d'où le volume du petit cône : k³ 196 π cm³=0,25³ 196 π cm³=,0625 π cm³ 10cm³(arrondi à l'unité).