1. concours général 1992 - exercice 3 énoncé Soit ABCD un tétraèdre inscrit dans une sphère de centre O. On note G l isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre et I le centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Les deux points O et G sont confondus. 2. Les quatre faces du tétraèdre sont isométriques. 3. Les deux points O et I sont confondus. Page 1 de 5
2. concours général 1992 - exercice 3 On va démontrer 1 2 puis 2 3 1 2 : On note I, J, K, L les milieux respectifs de [AB], [CD], [BC] et [AD]. Par associativité du barycentre, G est le milieu de [IJ] et de [KL] 1:2 D après le théorème de la médiane : AB 2 = 2(GA 2 + GB 2 2GI 2 ) et CD 2 = 2(GC 2 + GD 2 2GJ 2 ) Or G = O donc GA = GB = GC = GD et G est milieu de [IJ] ; on en déduit AB = CD On démontre de même : BC = AD et BD = CA. ABCD est donc équifacial. 2:1 : Le théorème de la médiane permet d écrire : Page 2 de 5 JA 2 = 1 2 (AC2 + AD 2 CD2 2 ) JB 2 = 1 2 (BC2 + BD 2 CD2 2 ) Or ABCD étant équifacial, AC = BD et BC = AD, d où JA = JB. JAB est donc isocèle et (IJ) est la médiatrice de [AB]. Or G milieu de [IJ] est sur (IJ) donc GA = GB.
On démontre de même GA = GC, GA = GB. On en déduit GA = GB = GC = GD : G est donc le centre de la sphère circonscrite à ABCD : G = O A L I G D J Page 3 de 5 B K 2:3 : ABCD est équifacial, donc les aires de ses faces sont égales. On a démontré 2:1. Donc G et O sont confondus. DE plus, les aires des faces du tétraèdre étant égales, les distances aux faces opposées de chacun des sommets sont égales. Notons h cette distance commune. Pour démontrer O = I, il suffit de démontrer que la distance de O à chacune des faces ne dépend pas de la face. Soit H la projection orthogonale de G sur (BCD) A la projection orthogonale de A sur (BCD) C
g l isobarycentre de BCD. Par associativité du barycentre, on a gg = 1 4gA. (AA ) et (GH) étant parallèles, on a, d après Thalès GH = 1 4 AA = h 4. La distance de G ( ou de D) à chacune des faces est donc h 4. Conclusion : G = O = I. 3:2 : O et I sont confondus. On note R le rayon de la sphère circonscrite à ABCD. On note r le rayon de la sphère inscrite à ABCD. Soient A, B, C, et D les projections orthogonales de O respectivement sur (BCD), (ACD), (ABD) et (ABC). On a : A G 2 + A C 2 = GC 2 soit A C 2 = R 2 r 2 On montrerait de même : A C 2 = A B 2 = A D 2 = B C 2 = B A 2 = B D 2 = C A 2 = C D 2 = C B 2 = D A 2 = D B 2 = D C 2 = R 2 r 2 Les centres des cercles circonscrits aux triangles BCD, ACD, ABD et ABC sont donc, respectivement les points A, B, C et D. D autre part, O étant strictement intérieur au tétraèdre, ces points sont strictement intérieurs aux faces. Donc les triangles des faces ont les angles aigus. Page 4 de 5
Représentons dans un même cercle les triangles BCA et BCD : d a a Ω d On { a abc isométrique à ABC bdc isométrique à BDC On trace a image de a par la réflexion d axe (Ωc), d image d par la réflexion d axe (Ωb). b c Le triangle ADC est aussi inscriptible dans ce cercle et AC = ac, DC = dc. De plus ADC a les angles aigus ; on en déduit que AD = a d ( au lieu de ad). On a de même AD = ad. Donc âbd = â cd ; or âbd = âcd : les deux angles interceptant l arc ad. donc dbω = â cω puis bωd = ĉωd donc bd = ac soit BD = AC. On démontre de même que BC = AD et AB = CD ; donc ABCD est équifacial. ) Page 5 de 5