Vecters dans le plan 1. Définition d n vecter : (classe de seconde) Soient A et B dex points d plan. La translation transformant A en B est la transformation qi transforme tot point M en n point M tel qe les segments et ont le même milie. Définition : La translation qi transforme A en B est appelée translation de vecter. Définition : Dex vecters et sont égax ssi la translation de vecter transforme le point C en le point D. Remarqes : Dex vecters et sont égax ssi le qadrilatère DC est n parallélogramme : on note alors. Si la translation de vecter transforme A en B alors on pet noter :. La translation transformant tot point en li-même est la translation de vecter nl noté, on a donc por tot point M,. Coordonnées de vecters Soit (O ;I ;J)n repère d plan et translation de vecter. n vecter d plan. Le point M image de l origine O d repère par la Définition : les coordonnées d vecter repére (O ;I ;J). dans le repére (O ;I ;J) sont les coordonnées d point M dans le On note et et on note sovent le repère avec et 1
Vecters dans le plan Propriété : Dex vecters sont égax ssi ils ont les mêmes coordonnées dans n repère. Si : Proprièté : dans n repère, soient et alors : Le vecter nl a por coordonnées Application : Soient A(2 ;3), B(-2 ;6), C(2 ;2) et D(6 ;-1).Le qadrilatère CD est-il n parallélogramme? 3. Egalité de vecters 1) Détermination d'n vecter Un vecter non nl est déterminé par : sa direction son sens sa longer o sa norme Exemple : a la direction de la droite () ; le sens de A vers B ; sa norme est. 2
Vecters dans le plan Exemple : et CD n'ont pas la même direction : ils ne pevent donc pas avoir le même sens. et FE ont la même direction mais pas le même sens. et GH ont la même direction et le même sens. A est l'origine d vecter et B est l'extrémité d vecter 2) Vecters égax Propriété 1 : Si = CD alors le qadrilatère DC est n parallélogramme. Propriété 2 : Si le qadrilatère CD est n parallélogramme alors DC et AD BC 3) Notation CD On pose alors : CD EF, CD et EF sont représentants d vecter Notation : la norme d vecter est notée Si est n représentant d vecter, alors 3
Vecters dans le plan 2. Somme et différence de vecters 1) Relation de Chasles Qels qe soient les points A, B et C, on a : BC AC 2) Règle d parallélogramme Les points A, B et C étant donnés, AC AD DC est n parallélogramme. 3) Propriété Por tos vecters et v, on a : v v. 4) Vecter nl Tot vecter ayant son extrémité confonde avec son origine est appelé vecter nl. Il est noté : 0. On a : AA BB 0 Propriétés : Sa norme est nlle, sa direction et son sens ne sont pas définis. 5) Opposé d'n vecter D'après la relation de Chasles, BA AA 0 ; posons On écrit qe : BA On dit qe : le vecter BA est l'opposé d vecter. Le vecter est l'opposé d vecter. Propriétés : Dex vecters opposés (non nls) ont la même direction, la même norme et sont de sens contraire. 6) Différence de dex vecters On note v le vecter somme ( v) Por constrire le vecter (opposé de v ) pis constrire la somme ( v) 3. Mltiplication d n vecter par n réel 1) Définition est n vecter non nl et k n réel non nl. v, il fat donc commencer par représenter le vecter v Le prodit d vecter par le réel k, est le vecter noté k. - de même direction qe - de même sens qe si k > 0 et de sens contraire si k < 0. 4
Vecters dans le plan - De longer égale à k fois celle de. Si 0 o k = 0, on convient qe k0 0 et 0 0 2) Règles de calcl Por tos vecters et v, et por tos réel k et k, on a : 1 1 1 k ( v) k k' k k k ( k' ) ( kk' ) kv k' k 0 éqivat à k = 0 o 0 3) Colinéarité de dex vecters Dex vecters et v sont colinéaires ssi il existe n nombre réel k tel qe kv Critère de colinéarité : nombres x et y. x et y x' v sont colinéaires ssi les nombres x et y sont proportionnels ax y' x et y x' v sont colinéaires ssi xy ' x' y 0 y' 4. Critère d alignement de trois points Trois points A, B et C sont alignés ssi et AC sont colinéaires. Application : Les points A(-4 ;-2), B(-2 ;-1) et C(15 ;7) sont-ils alignés? 5. Critère de parallélisme de dex droites : Dex droites () et (CD) sont parallèles ssi les vecters et CD sont colinéaires. Application : A(-5 ;2) B(4 ;8), C(16 ;5) et D(-8 ;-9). Le qadrilatère CD est-il n trapèze? 5