- 1 9 1 126 9 10 10 0, 0, 1 1 12 1 728 12 3 3 0,25 0,75 0,25-25 25 5 5 5 72 72 8 9 8 1 1 12 12 12 36 36 9 Thème N 12: EQUTION (2) TRINGLE RETNGLE (2) ( le cosinus ) - EPE (2) ( le cône ) Résoudre des équations de la forme a ou a b b 12 1,2 12 1,2 1, 2, 9, 2, 9, 22,56 12 1 12 1 12 17 3 17 3 51 10 0,1 10 100 0, 1 36 36 12 3 12 1 0,1 1 10 0, 1 121 121 11 11 11 TIVITE 1 : Vocabulaire : ôté adjacent 1 ) Le triangle est rectangle en. Hypoténuse ôté adjacent à l'angle " oeuil " Quel est le côté opposé à l angle : le côté [] Dans un triangle rectangle en, on dit que : [] est le côté adjacent à l angle [] est le côté opposé à l angle [] est l hypoténuse
2 ) E [EG] est l hypoténuse Le côté adjacent à l angle E est [EF] F G Le côté adjacent à l angle G est [FG] 3 ) E D F G H I Le côté adjacent à l angle F est [] Le côté adjacent à l angle HID est [HI] Le côté adjacent à l angle GF est [G] Le côté adjacent à l angle F est [] Le côté adjacent à l angle GF est [FG] Le côté adjacent à l angle DH est [DH] TIVITE 2 : Découvrir le cosinus d un angle Les perpendiculaires en,, et D à la demi-droite [O) coupent la demi-droite [Oy) respectivement en,, et D. figure 1 D' y ' ' ' ' figure 2 ' ' D' y O D O D
1. omplète le tableau ci-dessous : Figure 1 : O 19 mm O 2 mm O 39 mm OD 67 mm O 2 mm O 30 mm O 8 mm OD 8 mm O O O OD 0,79 0,80 0,81 0,80 O' O' O' Figure 2 : O 29 mm O 39 mm O 68 mm OD 83 mm O 30 mm O 1 mm O 72 mm OD 87 mm O O O OD 0,97 0,95 0,9 0,95 O' O' O' O O O OD O O O OD 2. Que dire des rapports ; ; ; O' O' O' O' O' O' es rapports dépendent-ils des points,, et D choisis sur la demi-droite [O) Non. De quoi dépendent-ils alors : De l angle Oy. 3. Mesure l angle Oy : (figure 1) : Oy 37 (figure 2) : Oy 18 Tape sur ta calculatrice en faisant attention que tu soit en mode degré cos Oy avec pour mesurée ci-dessus: (figure 1) cos Oy 0,8 (figure 2) cos Oy 0,95 Oy la valeur Que remarques-tu : cos Oy O O O OD O' O' O'. omplète en remplaçant par: " longueur du côté adjacent à l'angle l hypoténuse " Longueur du côté adjacent à l'angle Oy cos Oy Longueur de l' hypoténuse Oy "et " longueur de
Eercice n 1 : oit FGH un triangle rectangle en H tel que : FG 6,5 cm et GFH 0. Détermine FH à 1 mm près. Dans le triangle FHG rectangle en H, on a : FH cos 0. 6,5 FH 6,5 cos 0 FH,979 onclusion : FH 5 cm FH cos HFG. FG F 0 6,5 cm G H Eercice n 2 : 1. onstruis un triangle UM rectangle en U tel que : M cm et UM 65. 2. alcule U ( arrondir au mm ). Dans le triangle MU rectangle en U, on a : U cos65 5 U 5 cos65 U 2,11 onclusion : U 2,1 cm cos UM U M 65 5 cm M U Eercice n 3 : oit M un triangle rectangle en M tel que : M cm et M 35 Détermine à 1 mm près. Dans le triangle M rectangle en M, on a : cos 35,88 cos35 onclusion :,9 cm cos M M 35 cm M Eercice n : onstruis un triangle RF rectangle d hypoténuse [RF] tel que : F 3 cm et RF 5 alcule RF à 1 mm près.
Dans le triangle RF rectangle en, on a : 3 cos 5 RF 3 RF 5,103 cos 5 onclusion : RF 5,1 cm cos FR F RF F 5 3 cm R Eercice n 5: oit le cône de révolution de sommet, de hauteur H et de génératrice. achant que H 30 et H 15 cm, calcule la longueur de la génératrice du cône, le résultat étant donné à 0,1 près par ecès. H Dans le triangle H rectangle en H, on a : cos H cos 30 15 15 17,32 cos30 onclusion : La longueur de la génératrice mesure environ 17, cm par ecès. 15 cm H 30 Eercice n 6 : oit le cône de révolution de sommet, de hauteur H et de génératrice. achant que H 65 et 30 cm, calcule la longueur de la hauteur du cône, le résultat étant donné à 0,1 près par ecès. alcul de H : omme H est un triangle rectangle, alors les angles aigus sont 25 complémentaires : 30 cm Donc H + H 90 H 90 H 90 65 25 D où : H 25 alcul de H : Dans le triangle H rectangle en H, on a : cos H H H cos 25 ; H 30 cos 25 27, 189. 30 onclusion : La longueur de la hauteur du cône mesure 27,2 par ecès. H 65 Eercice n 7 : Jérémie et lain doivent déterminer l'arrondi au mm de dans le triangle rectangle représenté ci-dessous: 1 ) Jérémie a utilisé le théorème de Pythagore. Rédiger sa solution. cm 3 cm
2 ) Hélas pour lain, la touche de sa calculatrice ne fonctionne plus! Il a donc choisi une autre méthode: il a d'abord calculé à 1 près, puis en a déduit, et enfin. Rédiger la solution de lain, puis comparer les résultats que les deu camarades ont trouvés. 1 ) Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : ² ² + ² ² ² + 3² ² 16 9 ² 7 7 2,65 onclusion: 2,6 cm 2 ) alcul de à 1 près. Dans le triangle rectangle en, on a : oit cos 3 0, 75 et 1, cos onclusion : 1 alcul de à 1 degré près omme est un triangle rectangle, alors les angles aigus sont complémentaires : Donc + 90 90 D où : 9 90 1 9 alcul de : Dans le triangle rectangle en, on a : cos cos 9 ; cos 9 2, 62. onclusion : 2,6 cm Eercice n 8: alcule les angles aigus de chacun des deu triangles ci-dessous. Figure 1 : alcul de TR à 1 près. Dans le triangle TR rectangle en T, on a : cos TR RT 7 cm R oit cos TR 7 5 et TR, 1 onclusion : TR R 5 cm T
alcul de TR à 1 degré près omme TR est un triangle rectangle, alors les angles aigus sont complémentaires : Donc TR + TR 90 TR 90 TR D où : TR 6 90 6 Figure 2 : alcul de D à 1 près. Dans le triangle D rectangle en, on a : oit cos D 6 et D 8,18 cos D onclusion : D 8 alcul de D à 1 degré près omme D est un triangle rectangle, alors les angles aigus sont complémentaires : Donc D + D 90 D 90 D D où : D 2 90 8 2 D cm 6 cm D Figure 3 : alcul de KJ Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : KJ² KI² + JI² KJ² 8² + 6² KJ² 6 + 36 KJ² 100 KJ 100 KJ 10 onclusion: KJ 10 cm 8 cm I K 6 cm J alcul de IKJ à 1 près. Dans le triangle IKJ rectangle en I, on a : cos oit cos 0, 8 10 8 IKJ et IKJ 36, 87 IKJ onclusion : IKJ 37 alcul de IJK à 1 degré près omme IJK est un triangle rectangle, alors les angles aigus sont complémentaires : Donc IJK + IKJ 90 IJK 90 IKJ D où : IJK 53 90 37 53 IK KJ
Eercice n 9: ur les berges de la rivière, deu points remarquables et se font face. En partant de, perpendiculairement à (), on parcourt 50 m et on arrive ainsi au point. De là, on voit le segment [] sous un angle de 21. a. alcule la longueur à 1 dm près. b. En déduire le calcul de la largeur de la rivière, à 1 dm près. a. alcul de : Dans le triangle rectangle en, on a : cos. 50 50 cos 21 ; 53, 557 cos 21 onclusion : 53,6 m 50 m b. alcul de : Dans le triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : ² ² + ² 53,6² ² + 50² ² 53,6² 50² 372,96 19,31 onclusion : 19,3 m 21 Eercice n 10: l'aide d'un théodolite, il est possible de mesurer l'angle que fait (Y) avec l'horizontale passant par Y.vec les données de la figure, calcule la hauteur de l'arbre, supposé vertical. alcul de Y Dans le triangle HY rectangle en H, on a : 30 30 cos 31 ; Y 3, 99 Y cos31 onclusion : Y 35 m cos HY HY Y H 30 m 31 Y alcul de H Dans le triangle HY rectangle en H, d après le théorème de Pythagore, on a :
Y ² H ² + HY ² 35² H ² + 30² H ² 35² 30² H 325 H 18,02 onclusion : H 18 m alcul de la hauteur de l arbre On a : 18 + 1,80 19,80 onclusion : La hauteur de l arbre s élève à 19,80 m environ.