Géométrie dans le plan et dans l espace. 26 juin 2019

Géométrie dans le plan et dans l espace. 26 juin 2019

Table des matières 1 Introduction. 2 1.1 Des vecteurs................................................ 2 1.2 Repères, coordonnées........................................... 2 1.3 Calculs sur les vecteurs.......................................... 4 1.4 Norme d un vecteur........................................... 5 1.5 Vecteurs colinéaires............................................ 5 2 Produit scalaire. 6 2.1 Définition.................................................. 6 2.2 Propriétés.................................................. 7 2.3 Projection orthogonale.......................................... 8 3 Droites et cercles du plan. 10 3.1 Vecteur directeur, représentation paramétrique d une droite...................... 10 3.2 Equation cartésienne d une droite, vecteur normal........................... 10 3.3 Equation cartésienne d un cercle du plan................................ 10 3.4 Représentation paramétrique d un cercle du plan............................ 10 4 Droites et plans de l espace. 11 4.1 Vecteur directeur, représentation paramétrique d une droite...................... 11 4.2 ase d un plan, représentation paramétrique d un plan........................ 11 4.3 Vecteur normal et équation cartésienne d un plan........................... 12 4.4 Système d équations cartésiennes définissant une droite........................ 12 5 arycentres. 13 5.1 Introduction................................................ 13 5.2 Définition.................................................. 13 5.3 Propriétés.................................................. 13 5.4 Dans un repère............................................... 14 5.5 arycentre de deux points pondérés................................... 14 5.6 arycentre de trois points pondérés................................... 15 1

1 Introduction. 1.1 Des vecteurs. La translation de vecteur A est la transformation du plan (ou de l espace) qui à tout point M associe l unique point M telle que : MM = A. La translation de vecteur nul est l identité du plan (ou de l espace). Pour quatre points A,, C, D du plan (ou de l espace) : A = DC équivaut à ACD est un parallélogramme. Pour quatre points A,, C, D du plan (ou de l espace) : A = DC équivaut à [AC] et [D] ont même milieu. Un vecteur non nul est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur a une infinité de représentants : on peut représenter un vecteur à partir de tout point de l espace : Quel que soit le vecteur u et le point A, il existe un unique point tel que A = u. 1.2 Repères, coordonnées. On se place ici dans le plan et l espace géométrique usuels munis chacun d un repère orthonormal. On note P le plan et R = (O, ı, j) un repère orthonormal. ( x on écrit M pour indiquer que M est le point de coordonnées (x,y) dans le repère R, autrement dit y) R l unique point M vérifiant : OM = x ı+y j ( a on écrit u pour indiquer que u est le vecteur de coordonnées (a,b) dans la base, autrement dit b) l unique point M vérifiant : u = a ı+b j On note E l espace et R = (O, ı, j, k) un repère orthonormal. on écrit M x y pour indiquer que M est le point de coordonnées (x,y,z) dans le repère R, autrement dit z R l unique point M vérifiant : OM = x ı+y j+z k on écrit u a b c pour indiquer que u est le vecteur de coordonnées (a,b,c) dans la base, autrement dit l unique point M vérifiant : u = a ı+b j+c k Une fois ce repère fixé, L application qui à (x,y,z) associe x ı+y j+z k est une bijection, l image de (x,y,z) est le vecteur de coordonnées (x,y,z) dans la base = ( ı, j, k) 2

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1.3 Calculs sur les vecteurs. On définit deux opérations sur l ensemble des vecteurs. La définition de la somme est la relation de Chasles : A + C = AC A = AM + M On définit alors deux opérations sur R 3 compatibles avec les opérations sur les vecteurs : (x,y,z)+(x,y,z ) = (x+x,y +y,z +z ) et k(x,y,z) = (kx,ky,kz) Si A(x A,y A,z A ) et (x,y,z ), alors les coordonnées du vecteur A sont : (x x A,y y A,z z A ) L ensemble des vecteurs du plan (ou de l espace) est un espace vectoriel (voir cours du 2ième semestre). Soient u, v et w trois vecteurs, a et b deux scalaires, on a alors : 1. ( u+ v)+ w = u+( v + w) 2. 0 u+ 0 = 0+ u = u 3. u u+ u = 0 (on note : v = v ) 4. u+ v = v + u 5. a( u+ v) = a u+a v 6. (a+b) u = a u+b u 7. (ab) u = a(b u) 8. 0 u = 0 9. 1 u = u Généralisation de la relation de Chasles avec A 0,A 1,...,A n des points de l espace. A k 1 A k = A 0 A n 4

1.4 Norme d un vecteur Soient A et deux points de l espace, la norme du vecteur A est la longueur A. A = A = (x x A ) 2 +(y y A ) 2 +(z z A ) 2 Si u est vecteur de l espace de coordonnées (x,y,z) alors : u = x 2 +y 2 +z 2 Propositions : ➀ u 0 ➁ u = 0 u = 0 ➂ λ u = λ. u ➃ u+ v u + v 1.5 Vecteurs colinéaires. Définition : Dire que u et v sont colinéaires signifie qu il existe (a,b) (0,0) tel que : a u+b v = 0 Remarques : - Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. - u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe k R tel que : u = k v ou v = k u. Définition (famille libre de deux vecteurs). u et v sont non colinéaires si, et seulement si, (a,b) R 2, a u+b v = 0 = a = b = 0. Proposition : Condition (CNS) de colinéarité. Démonstration : Soient u(x,y) et v(x,y ) deux vecteurs du plan, = On suppose u et v sont colinéaires, (x,y ) = k(x,y) il existe alors k R tel que ou (x,y) = k(x,y ) u et v sont colinéaires si, et seulement si, xy x y = 0 ce qui donne (x,y ) = (kx,ky) ou (x,y) = (kx,ky ) xy x y = xky kxy donc ou et dans les deux cas xy x y = 0. xy x y = kx y x ky = On suppose xy x y = 0, Si x 0, alors (x,y ) = x (x,y) donc u et v sont colinéaires, x Si y 0, même raisonnement. (Si y 0, alors (x, y ) = y (x, y) donc u et v sont colinéaires), y Si x = 0 et y = 0 alors (x,y) = 0(x,y ) donc u et v sont colinéaires. dans tous les cas on a bien : u et v sont colinéaires. Définition : Soient u(x,y) et v(x,y ), on appelle déterminant de u et v le réel : x x y y = xy x y. 5

2 Produit scalaire. 2.1 Définition. Soient u et v deux vecteurs de l espace respectivement de coordonnées (x,y,z) et (x,y,z ) Le produit scalaire des vecteurs u et v est le réel : On remarque que : u 2 = u. u u. v = xx +yy +zz Définition similaire pour le produit scalaire de deux vecteurs du plan. D autres moyens de calculer le produit scalaire de deux vecteurs. avec les normes : u v = 1 ( u+ v 2 u 2 v 2) 2 A AC = 1 ( A 2 +AC 2 C 2) 2 avec le cosinus : Soient u et v sont non nuls, u v = u v cos( u, v) Soient A, et C tels que A et A C, A AC = A AC cos( AC) avec le projeté orthogonal : Soient A, et C tels que A, on note H est le projeté orthogonal de C sur (A), si A etah ont le même sens A AC = A AH sinon A AC = A AH Orthogonalité. Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u v = 0 Les droites (A) et (DC) sont orthogonales si, et seulement si, A AC = 0. Deux droites sont perpendiculaires si, et seulement si, elles sont sécantes et orthogonales. 6

2.2 Propriétés. Propositions : ➀ u E, u 0 = 0 u = 0 ➁ ( u, v) E 2, u v = v u ➂ (α,β) R 2, ( u 1, u 2, v) E 3, (α u 1 +β u 2 ) v = α u 1 v +β u 2 v ➃ ( u 1, u 2, v 1, v 2 ) E 4, ( u 1 + u 2 ) ( v 1 + v 2 ) = u 1 v 1 + u 1 v 2 + u 2 v 1 + u 2 v 2 Propositions : ➀ u = u. u ➁ u 2 = u. u (aussi noté u 2 ) ➂ ( u+ v) 2 = u 2 +2 u v + v 2 ➃ ( u v) 2 = u 2 2 u v + v 2 ➄ ( u+ v) ( u v) = u 2 v 2 7

2.3 Projection orthogonale. Projection orthogonale d un vecteur sur une droite. (dans le plan ou dans l espace). Définition : Soient u un vecteur (du plan ou de l espace) et une droite de vecteur directeur v. Le projeté orthogonal de u sur est : l unique vecteur p ( u) colinéaire à v tel que u p ( u) soit orthogonal à v Proposition : Le projeté orthogonal de u sur est : p ( u) = u. v v 2 v Démonstration : Remarque : Si v est unitaire alors : p ( u) = ( u. v) v 8

Projection orthogonale d un vecteur sur un plan. (dans l espace). Définition : Soient u un vecteur (de l espace) et Π un plan de vecteur normal n. Le projeté orthogonal de u sur Π est : Proposition : l unique vecteur p π ( u) dans la direction du plan tel que u p π ( u) soit orthogonal au plan. Le projeté orthogonal de u sur Π est : p π ( u) = u u. n n 2 n Démonstration : Remarque : Si n est unitaire alors : p ( u) = u ( u. n) n 9

3 Droites et cercles du plan. 3.1 Vecteur directeur, représentation paramétrique d une droite. Soient A un point du plan et u un vecteur non nul du plan. La droite D passant par A et dirigée par u (vecteur directeur) est l ensemble : (noté D(A, u) ) { M P t R, AM } = t u ( ) xa Soit A y A R { x = xa +at y = y A +bt ( a et u un vecteur non nul de P b) ( x M y) R D(A, u) t R, { x = xa +ta y = y A +tb (t R) est une représentation paramétrique de la droite de D(A, u) 3.2 Equation cartésienne d une droite, vecteur normal. Définition : Soit D une droite passant par le point A, Dire que v est une vecteur normal de D signifie que M D AM. v = 0 Proposition : ( a ➀ Le vecteur n est un vecteur normal de la droite D d équation cartésienne ax+by = c b) ( ) b ➁ Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite D d équation cartésienne ax+by = c a 3.3 Equation cartésienne d un cercle du plan. ( ) xω Soient Ω y Ω R, R R + et C le cercle de centre Ω et de rayon R. ( x M C (x x y) Ω ) 2 +(y y Ω ) 2 = R 2 R 3.4 Représentation paramétrique d un cercle du plan. ( ) xω Soient Ω y Ω R, R R + et C le cercle de centre Ω et de rayon R. ( x M C t [0;2π[, y) R { x = xω +Rcos(t) y = y Ω +Rsin(t) 10

4 Droites et plans de l espace. 4.1 Vecteur directeur, représentation paramétrique d une droite. Soient A un point de l espace et u un vecteur non nul de l espace. La droite D passant par A et dirigée par u (vecteur directeur) est l ensemble : (noté D(A, u) ) { M E t R, AM } = t u Dans l espace muni d un repère R = (O, ı, j, k), (On note la base ( ı, j, k). Soient A x A y A et u a b un vecteur non nul. z A c R x = x A +at y = y A +bt z = z A +ct M x y z R D(A, u) t R, x = x A +ta y = y A +tb z = z A +tc (t R) est une représentation paramétrique de la droite D(A, u) 4.2 ase d un plan, représentation paramétrique d un plan. Soient A un point, u et v deux vecteurs non colinéaires de l espace. Le plan passant par A et dirigée par ( u, v) (base du plan) est l ensemble : { M E (t,t ) R 2, AM = t u+t v On notera Π(A, u, v) ce plan. Soient A x A y A, u a b c z A R et v a b c deux vecteurs non colinéaires. M x y Π(A, u, v) (t,t ) R 2, z } x = x A +ta+t a y = y A +tb+t b z = z A +tc+t c x = x A +ta+t a y = y A +tb+t b ((t,t ) R 2 ) est une représentation paramétrique du plan Π(A, u, v). z = z A +tc+t c 11

4.3 Vecteur normal et équation cartésienne d un plan. Soit P un plan passant par le point A, Dire que n est une vecteur normal de P signifie que M P AM. n = 0 Remarques : Les vecteurs normaux d un plan de l espace sont non nuls. Si P : ax+by +cx = d alors le vecteur n = a b c Si le vecteur n = a b c est un vecteur normal à P. est un vecteur normal à P alors il existe d tel que P : ax+by +cx = d L équation : ax+by +cz = d est appelée équation cartésienne du plan Π dans le repère R. 4.4 Système d équations cartésiennes définissant une droite. Toute droite de l espace peut s exprimer comme l intersection de deux plans sécants. On obtient alors une caractérisation des points M(x, y, z) d une droite par un système d équations linéaires. Remarque : : { ax + by +cz = d a x+b y +c z = d Le vecteur non nul u est un vecteur directeur de si, et seulement si, u n 1 (a,b,c) et u n 2 (a,b,c ). 12

5 arycentres. 5.1 Introduction. Centre d inertie. Centre de masse. Centre de gravité. Point moyen d un nuage de points. Diagramme binaire, diagramme ternaire, fractions massiques. 5.2 Définition. Définition du barycentre de n points pondérés. Soient A 1, A 2... A n n points de l espace, et a 1, a 2... et a n n réels vérifiant : Il existe un unique point G vérifiant : a k GA k = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré ((A k,a k )) 1 k n. a k 0. Démonstration. (Ce point existe et est unique) Définition : Soient A 1, A 2,..., A n n points de l espace, On appelle l isobarycentre des points A 1, A 2,..., A n le barycentre du système ((A k,1)) 1 k n 5.3 Propriétés. Propositions : Soient A 1, A 2,..., A n n points de l espace, et a 1, a 2... et a n n réels vérifiant : ➊ Changer l ordre des points pondérés ne changent pas la définition de G. ➋ (Homogénéité) a k 0. Si α un réel non nul, alors bar(((a k,a k )) 1 k n ) =bar(((a k,αa k )) 1 k n ). On ne change pas le barycentre de plusieurs points en multipliant tous les coefficients par un réel non nul. ➌ (G est un point moyen.) Quel que soit le point O de l espace, G = bar(((a k,a k )) 1 k n ) si, et seulement si, OG = 1 a k ( n ) a k OA k 13

➍ (Réduction) Quel que soit le point M de l espace, G = bar(((a k,a k )) 1 k n ) si, et seulement si, ( n ) a k MA k = a k MG ➎ (Associativité) Si pour un entier p on a : p a k 0 alors : (( bar(((a k,a k )) 1 k n ) = bar bar(((a k, a k )) 1 k p ), ) ) p a k,((a k,a k )) p+1 k n On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d entre-eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants. 5.4 Dans un repère. On munit l espace d un repère (O, ı, j, k). Théorème. Soient A 1 (x 1,y 1,z 1 ),..., A n (x n,y n,z n ) n points de l espace avec leurs coordonnées et (a 1,...,a n ) R n tels que a i 0. i=1 les coordonnées du barycentre G du système : ((A i,a i )) 1 i n sont : x G = 1 i=1 i=1 a i a ix i y G = 1 i=1 i=1 a i a iy i z G = 1 i=1 i=1 a i a iz i Remarque : les coordonnées de G sont les moyennes pondérées ( de celles des points A k affectées des a k. Démonstration : Cela vient de la relation : OG = 1 n ) a k OA k 5.5 arycentre de deux points pondérés. Définition. Soient A et deux points de l espace, et a et b deux réels vérifiant a+b 0. Il existe un unique point G vérifiant : aga +b G = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré ((A,a); (,b)). a k Remarques : Quels que soient les points O et M de l espace, G = bar((a,a);(,b)) si, et seulement si, : OG = 1 ( aoa +b ) O a+b AG = b A a+b Soient A(x A,y A,z A ), (x,y,z ) et (a,b) R 2 tel que a+b 0 les coordonnées du barycentre G du système : ((A;a);(;b)) sont : Démonstration : x G = ax A +bx a+b y G = ay A +by a+b z G = az A +bz a+b ama +bm = (a+b) MG Savoir construire le barycentre de deux points pondérés. 14

Proposition : Pour A et deux points distincts, ➊ Tout barycentre de deux points A et est sur la droite (A). ➋ Tout point de la droite (A) est un barycentre des points A et. ➌ Le segment [A] est égal à : { bar((a,a),(,b)) (a,b) R 2 + \{(0,0)} } Autrement dit (➊ et ➋ ) : La droite (A) est l ensemble des barycentres des points A et. Démonstration : Rappel : L isobarycentre de A et est le barycentre du système ((A;1);(;1)). Proposition. Le milieu du segment [A] est l isobarycentre des points A et. Démonstration : 5.6 arycentre de trois points pondérés. Définition. Remarques : Soient A, et C trois points de l espace, et a, b et c trois réels vérifiant a+b+c 0. Il existe un unique point G vérifiant aga +b G +cgc = 0 Ce point G est appelé barycentre du système pondéré ((A,a); (,b); (C,c)). Quel que soit le point O de l espace, G = bar((a,a);(,b);(c,c)) si, et seulement si, : OG = 1 a+b+c ( aoa +b ) O +coc AG = 1 a+b+c Quel que soit le point M de l espace, G = bar((a,a);(,b);(c,c)) si, et seulement si, : ama +bm +cmc = (a+b+c) MG si b+c 0, en notant G 1 = bar((,b);(c,c)) on a alors : bar((a,a);(,b);(c,c)) = bar((a,a);(g 1,b+c)) ( b ) A +cac Soient A(x A,y A,z A ), (x,y,z ), C(x C,y C,z C ) et (a,b,c) R 3 tel que a+b+c 0 les coordonnées du barycentre G du système : ((A;a);(;b);(C;c)) sont x G = ax A +bx +cx C a+b+c y G = ay A +by +cy C a+b+c z G = az A +bz +cz C a+b+c Démonstrations : Savoir construire le barycentre de trois points pondérés. 15

Proposition : ➊ Le barycentre d un système pondéré de trois points est dans le plan (AC) ➋ Tout point du plan (AC) est un barycentre des points A, et C. ➌ L ensemble des points intérieurs au triangle AC est égal à : { bar((a,a),(,b),(c,c)) (a,b,c) R 3 + \{(0,0,0)} } Démonstration : Rappel : L isobarycentre de A,, C est le barycentre du système ((A;1);(;1);(C;1)). Proposition. L isobarycentre des points A,, C est l intersection des médianes du triangle AC. Démonstration : (Faite en classe.) On note G l isobarycentre de AC, on a alors : GA + G + GC = 0 ou encore 3GA + A + AC = 0 et en notant I le milieu de [C] il vient : 3GA +2AI = 0 ce qui donne AG = 2 3 G est sur la médiane de AC issue de A. on montre de même que : G est sur les médianes de AC issues de et de C. en conclusion : (on a montré que les trois médianes sont concourantes et) L isobarycentre de AC est l intersection des médianes de AC. Remarque : Dans cette démonstration on retrouve : G est au deux-tiers de la médiane : AI et AG = 2 AI 3 16