- Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants

- Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants M1/UE CSy - module P2 (1ère partie) 214-215

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Avant-propos 3 Avant-propos Le cours d automatique situé en M1 a été structuré en 2 modules : P2 Modélisation, Analyse et Commande des Systèmes Linéaires Continus (avec TP) P8 Projet de commande/simulation sous MATLAB (*) Les modules marqués d une (*) sont des modules au choix. Le présent support de cours concerne la 1ère partie du module P2. Il est incomplet mais il a semblé à l auteur qu il avait néammoins le mérite d exister... Les étudiants sont vivement encouragés à émettre toutes les critiques qu ils jugeront nécessaires pour en améliorer le contenu tant sur le plan de la forme que du fond. Enfin, ce support de cours ne dispense ni de la présence en cours et TD, ni de la lecture des ouvrages de base dont la liste (non exhaustive) est fournie dans l annexe bibliographique.

Table des matières I Notions générales 8 1 Introduction 9 1.1 Objet de l automatique........................... 9 1.2 Classification des systèmes......................... 9 1.2.1 Systèmes continus ou systèmes discrets.............. 9 1.2.2 Systèmes linéaires ou non linéaires................ 9 1.2.3 Systèmes variants ou invariants.................. 1 1.3 Finalité d un système de commande.................... 1 1.3.1 Exemple............................... 1 2 Outils Mathématiques 11 2.1 Rappels sur les nombres complexes.................... 11 2.1.1 Définition.............................. 11 2.1.2 Propriétés des nombres complexes................. 12 2.1.3 Représentation d un nombre complexe dans le plan réel..... 12 2.1.4 Représentation trigonométrique d un nombre complexe..... 12 2.1.5 Représentation exponentielle d un nombre complexe....... 13 2.2 Transformation de Laplace......................... 13 4

Table des matières 5 2.2.1 Définition.............................. 13 2.2.2 Propriétés.............................. 15 2.2.3 Transformée de Laplace de signaux usuels............ 17 2.2.4 Table des transformées de Laplace usuelles............ 2 2.2.5 Inversion de la transformée de Laplace.............. 22 II Représentation des systèmes par fonction de transfert 23 3 Fonction de transfert d un système linéaire stationnaire 24 3.1 Définition.................................. 24 3.2 Exemples.................................. 26 3.2.1 Exemple électrique......................... 26 3.2.2 Exemple mécanique......................... 26 3.2.3 Exemple thermique......................... 26 3.2.4 Exemple hydraulique........................ 27 3.3 Utilisation de variables d écart....................... 27 3.3.1 Exemple............................... 27 3.4 Interprétation physique de la fonction de transfert............ 3 3.5 Classe et gain d un système........................ 3 3.6 Structure et stabilité de la réponse d un système............. 31 3.6.1 Etude de 3.6.2 Etude de A p a, a R..................... 32 Ap + B (p a) 2 + b2, a R et b R............ 32 3.6.3 Généralisation............................ 34 3.6.4 Règle de stabilité.......................... 34

6 Table des matières 3.7 Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires................. 36 3.7.1 Analyse temporelle......................... 36 3.7.2 Analyse fréquentielle........................ 36 4 Système du 1er ordre 38 4.1 Définition.................................. 38 4.2 Analyse temporelle............................. 38 4.2.1 Impulsion de Dirac......................... 38 4.2.2 Echelon de position......................... 4 4.2.3 Exercice : Créneau......................... 41 4.2.4 Echelon de vitesse.......................... 45 4.2.5 Signal sinusoïdal.......................... 47 4.3 Analyse fréquentielle............................ 49 4.3.1 Plan de Nyquist........................... 49 4.3.2 Plan de Black-Nichols....................... 5 4.3.3 Plan de Bode............................ 52 4.4 Influence d une variation de τ....................... 57 4.4.1 Analyse temporelle......................... 57 4.4.2 Analyse fréquentielle........................ 57 4.5 Relation entre tr 5% et BP( 3dB)..................... 57 4.5.1 Exemple 1 : oscilloscope...................... 57 4.5.2 Exemple 2 : table traçante..................... 58 5 Système du second ordre 59 5.1 Définition.................................. 59

Table des matières 7 5.2 Analyse temporelle............................. 6 5.2.1 Echelon de position......................... 6 5.2.2 Echelon de vitesse.......................... 66 5.2.3 Signal sinusoïdal.......................... 67 5.3 Analyse fréquentielle............................ 67 5.3.1 Lieu de transfert dans le plan de Bode.............. 68 5.3.2 Le coefficient de surtension Q................... 72 5.4 Comparaison d un système du 1er ordre et du second ordre....... 73 6 Autres systèmes 74 6.1 Retard pur.................................. 74 6.1.1 Analyse temporelle......................... 74 6.1.2 Analyse fréquentielle........................ 74 6.2 Systèmes d ordre quelconque........................ 76 6.3 Exemple................................... 77 6.4 Systèmes avec zéro............................. 77 7 Stabilité 8 7.1 Critère de Routh.............................. 81

Première partie Notions générales 8

Chapitre 1 Introduction 1.1 Objet de l automatique L automatique a pour objet l étude des méthodes permettant d assurer, dans des conditions données, la commande d un système quelconque. Le terme «commande»désigne toute action exercée sur un système pour influencer son évolution dynamique. 1.2 Classification des systèmes 1.2.1 Systèmes continus ou systèmes discrets Dans un système continu, les grandeurs caractérisant ce système sont présentes à tout instant. Dans un système discret une grandeur au moins n est connue que pour certaines valeurs du temps (instants d échantillonnage). On rencontre cette dernière classe de systèmes dès que l on insère un calculateur numérique dans une boucle. 1.2.2 Systèmes linéaires ou non linéaires Dans un système linéaire, on peut appliquer le principe de superposition. Si e 1 (t) s 1 (t) et e 2 (t) s 2 (t) alors e 1 (t) + e 2 (t) s 1 (t) + s 2 (t) 9

1 1.3. Finalité d un système de commande Les systèmes décrits par des équations différentielles linéaires homogènes et à coefficients constants sont linéaires. 1.2.3 Systèmes variants ou invariants Un système variant est tel que l équation différentielle qui le décrit a des coefficients fonction du temps alors que les coefficients sont constants pour un système invariant. 1.3 Finalité d un système de commande Commander un système consiste à choisir un système de commande qui exerce une loi de commande afin que la sortie évolue pour répondre à un certain but. Ce signal de commande u(t) sera fourni à partir de la loi de commande en fonction du but poursuivi. But poursuivi Système de commande signal de commande u(t) SYSTÈME sortie Fig. 1.1 1.3.1 Exemple (voir cours)

Chapitre 2 Outils Mathématiques 2.1 Rappels sur les nombres complexes 2.1.1 Définition C : corps des nombres complexes. z C z = (a, b) = a + j b j est le nombre complexe (, 1) tel que j 2 = 1 On appelle : a la partie réelle de z notée Re(z). b la partie imaginaire de z notée Im(z). On rappelle que C est muni : d une loi additive : z 1 + z 2 = z 3 (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) d une loi multiplicative : z 1.z 2 = z 3 (a 1, b 1 ).(a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 11

12 2.1. Rappels sur les nombres complexes 2.1.2 Propriétés des nombres complexes conjugué de z : z z = a + j b z = a j b module de z : A = z = z z = a 2 + b 2 argument de z : ϕ = Arg(z) défini modulo 2 π si A sin ϕ = b A cosϕ = a A tanϕ = b a (2 des 3 relations précédentes suffisent à définir ϕ sans ambiguïté) module et argument du produit de 2 nombres complexes z et z : z z = z z Arg(z z ) = Arg(z) + Arg(z ) module et argument du quotient de 2 nombres complexes z et z : z z = z z ( ) z Arg = Arg(z) Arg(z ) z 2.1.3 Représentation d un nombre complexe dans le plan réel La représentation d un nombre complexe (et du nombre complexe conjugué) dans le plan réel est donnée sur la Figure 2.1. Plan complexe = Plan de Nyquist (en automatique) 2.1.4 Représentation trigonométrique d un nombre complexe z = a + j b = A cos ϕ + j A sin ϕ = A (cosϕ + j sin ϕ)

2.2. Transformation de Laplace 13 Im(z) b M d affixe z ϕ ϕ a Re(z) b M d affixe z Fig. 2.1 2.1.5 Représentation exponentielle d un nombre complexe cosϕ = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6! + sinϕ = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7! + cosϕ + j sinϕ = 1 + j ϕ ϕ2 2! j ϕ3 3! + ϕ4 4! + j ϕ5 5! + = 1 + j ϕ + = e jϕ (j ϕ)2 2! + (j ϕ)3 3! + (j ϕ)4 4! + z = a + j b = A e j ϕ 2.2 Transformation de Laplace 2.2.1 Définition Soit f une fonction réelle de la variable t. t R f f(t)

14 2.2. Transformation de Laplace ( ) f croit moins vite qu une exponentielle quand t lim f(t) t + e pt =. On appelle transformation de Laplace (monolatère) l application telle que : f(t) + L L[f(t)] = F(p) = f(t) e pt dt p C La fonction F, de la variable complexe p 1, est appelée transformée de Laplace de f. Remarque : Cette intégrale converge si Re(p) > σ appelé rayon de convergence. Exemple Considérons le signal suivant, appelé échelon de Heaviside (ou échelon de position unité) et calculons sa transformée de Laplace. 1 échelon unité t Fig. 2.2 f(t) = 1 pour t [, + [ F(p) = + e pt dt = [ 1p ] + e pt = 1 p Remarque : Nous verrons plus loin que dans le cas de signaux «simples», le calcul de la transformée de Laplace peut être effectué sans recourir au calcul intégral, à la condition de connaître la transformée de Laplace de quelques signaux de base. 1 les anglophones désignent par s la variable de Laplace.

2.2. Transformation de Laplace 15 2.2.2 Propriétés L est linéaire : L[a f 1 + b f 2 ] = a L[f 1 ] + b L[f 2 ] = a F 1 + b F 2 Calcul de L [ ] df dt Considérons une fonction f continue et dérivable pour t (elle admet une limite à droite quand t + ) Posons : En intégrant par partie : [ ] df(t) L = dt F(p) = L[f(t)] + df(t) dt e pt dt v = e pt dv = p e pt dt du = df(t) dt dt u = f L [ ] df dt = [f(t) e pt ] + + p + f(t) e pt dt = lim f(t) e pt lim f(t) e pt + p F(p) t + t } {{ } = L [ ] df = p F(p) f() dt En tant que fonction f() = lim t + f(t) = f(+ ). Attention : Dans le cas d un signal que l on ne peut plus considérer comme une fonction (Cf. théorie des distributions), on montre, et nous l admettrons, que pour prendre en compte une éventuelle discontinuité en t = la formule précédente devient : L [ ] df = p F(p) f( ) dt

16 2.2. Transformation de Laplace [ t ] Calcul de L f(ξ) dξ Posons g(t) = t f(ξ) dξ Intégrons par partie : L[g(t)] = + g(t) e pt dt v = g(t) dv = f(t) dt du = e pt dt u = 1 p e pt [ t ] L f(ξ) dξ = = [ [ = 1 p 1 p e pt g(t) ] + 1 t p e pt f(ξ) dξ + ] + } {{ } = + e pt f(t) dt 1 p e pt f(t) dt + 1 p e pt f(t) dt [ t ] L f(ξ) dξ = F(p) p Théorème du retard : On suppose que f(t) = pour t <. Considérons un retard de τ (τ > ) appliqué au signal f(t). f(t) f(t-τ) τ τ t Fig. 2.3 L[f(t τ) u(t τ)] = On fait le changement de variable : t = t τ + f(t τ) e pt dt

2.2. Transformation de Laplace 17 L[f(t τ) u(t τ)] = + τ = e pτ = e pτ F(p) f(t ) e p(t +τ) dt + e pt f(t ) dt +e pτ f(t ) e pt dt τ } {{ } = L[f(t τ) u(t τ)] = e pτ L[f(t) u(t)] Théorème de la valeur initiale : f( + ) = lim p + p F(p) F(p) Théorème de la valeur finale : f(+ ) = lim p p F(p) valable que si p F(p) a tous ses pôles à partie réelle strictement négative. 2.2.3 Transformée de Laplace de signaux usuels Impulsion de Dirac Soit le signal δ τ (t) représenté sur la Figure 2.4. 1 τ τ t Fig. 2.4 On définit l impulsion de Dirac δ(t) comme la limite de δ τ (t) lorsque τ tend vers. + δ(t) dt = 1 Nous démontrerons plus loin que : L[δ(t)] = 1

18 2.2. Transformation de Laplace Echelon de position unité On considère l échelon de position unité u(t) représenté sur la Figure 2.5. 1 échelon unité t Fig. 2.5 L[u(t)] = 1 p Echelon de vitesse unité (ou rampe de vitesse de pente 1) r(t) = t u(t) 1 rampe 1 t Fig. 2.6 L[r(t)] = 1 p 2 Exercice Cet exercice est destiné à montrer comment le calcul de la transformée de Laplace peut être simplifié dans le cas de signaux «simples» Soit à calculer la transformée de Laplace du signal f(t) représenté sur la Figure 2.7.

2.2. Transformation de Laplace 19 f(t) 1 τ t Fig. 2.7 Ce signal peut être considéré comme résultant de la somme de 2 signaux f 1 (t) et f 2 (t) comme indiqué sur la Figure 2.8. 1 f(t) f 1(t) τ t f 2 (t) Fig. 2.8 Ces 2 signaux possèdent des transformées de Laplace «connues» : f 1 (t) est un échelon de vitesse de pente 1 τ. L[f 1 (t)] = 1 τ p 2 f 2 (t) est un échelon de vitesse de pente 1 décalé de τ (on applique le théorème du τ retard). L[f 2 (t)] = 1 τ p 2 e pτ On en déduit la transformée de Laplace de f(t) : L[f(t)] = 1 τ p 2 (1 e pτ )

2 2.2. Transformation de Laplace 2.2.4 Table des transformées de Laplace usuelles Cf. Figure 2.9.

2.2. Transformation de Laplace 21 Fig. 2.9 Table des transformées de Laplace usuelles

22 2.2. Transformation de Laplace 2.2.5 Inversion de la transformée de Laplace Il existe essentiellement 3 techniques : 1) consulter une table de transformées de Laplace (Cf. Figure 2.9). 2) décomposer en éléments simples si la transformée de Laplace est une fraction rationnelle (voir exemples en cours). 3) utiliser la formule de Bramwich.

Deuxième partie Représentation des systèmes par fonction de transfert 23

Chapitre 3 Fonction de transfert d un système linéaire stationnaire 3.1 Définition e(t) SYSTÈME s(t) Fig. 3.1 Le système est linéaire stationnaire et e(t) et s(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène de type : d m e a m dt + a d m 1 e m m 1 dt + + a de m 1 1 dt + a d n s e = b n dt + b d n 1 s n n 1 dt + + b ds n 1 1 dt + b s a) Cas des conditions initiales nulles. Les hypothèses : e( ) =, de dt ( ) =,..., d m 1 e dt m 1 ( ) = et : s( ) =, permettent d écrire que : ds dt ( ) =,..., 24 d n 1 s dt n 1 ( ) =

3.1. Définition 25 et : e(t) d i e dt i s(t) d j s dt j L E(p) L p i E(p) L S(p) L p j S(p) i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n La transformée de Laplace de l équation différentielle s écrit alors : donc : a m p m E(p) + a m 1 p m 1 E(p) + + a 1 p E(p) + a E(p) = b n p n S(p) + b n 1 p n 1 S(p) + + b 1 p S(p) + b S(p) S(p) E(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n = T(p) T(p) est la fonction de transfert du système. b) Cas des conditions initiales non nulles. Si les hypothèses précédentes ne sont pas satisfaites : de dt d 2 e dt 2. d m e dt m L p E(p) e( ) L L p [p E(p) e( )] de dt ( ) = p 2 E(p) p e( ) de dt ( ). p m E(p) + P m 1 (p) avec P m 1 (p) un polynôme de degré (m 1) fonction des conditions initiales. En remplaçant dans l équation différentielle, il vient : S(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n E(p)+ I(p) b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n avec I(p) polynôme de degré (m 1) fonction des conditions initiales.

26 3.2. Exemples On retiendra que dans le cas général : S(p) = N(p) D(p) } {{ } T(p) E(p) + I(p) D(p) I(p) dépend de l état initial du signal de sortie et du signal d entrée. Remarque : Si les conditions initiales sont nulles : I(p) = = S(p) = N(p) S(p) E(p) = D(p) E(p) = N(p) D(p) = T(p) 3.2 Exemples 3.2.1 Exemple électrique Circuit CR (voir cours) 3.2.2 Exemple mécanique Chariot (voir cours) 3.2.3 Exemple thermique Enceinte (voir cours)

3.3. Utilisation de variables d écart 27 3.2.4 Exemple hydraulique Cuve (voir cours) 3.3 Utilisation de variables d écart La présence de conditions initiales non nulles peu poser des problèmes dans l utilisation de la transformation de Laplace. Une manière élégante de contourner le problème est de travailler avec des variables dites d écart qui représentent la différence entre une grandeur donnée x(t) et sa valeur initiale x( ). Par exemple, si θ(t) désigne une température et θ( ) désigne la valeur initiale de cette température, nous désignerons par θ (t) = θ(t) θ( ) la variable d écart associée. En utilisant les variables d écart, on se ramène à un système à conditions initiales nulles (dans l exemple précédent θ ( ) = ), ce qui simplifie la mise en œuvre de la transformation de Laplace. De plus, nous verrons en TD que l on est parfois confronté au cas de systèmes non linéaires que l on linéarise autour d un point de fonctionnement (état d équilibre) en utilisant des variables d écart par rapport au point de fonctionnement. 3.3.1 Exemple On considère le système régi par l équation différentielle : ds(t) dt + 2 s(t) = e(t) (3.1) On suppose que l entrée e(t) varie en échelon comme indiqué sur la figure 3.2. Première partie : résolution classique. 1) Calculer S(p) en fonction de E(p) et des conditions initiales. 2) Calculer E(p) et en déduire S(p). 3) Calculer s(t).

28 3.3. Utilisation de variables d écart e(t) e( + ) e( ) Fig. 3.2 Deuxième partie : résolution en utilisant les variables d écart. On définit les variables dites d écart : e (t) = e(t) e( ) s (t) = s(t) s( ) 4) À partir de l équation (3.1), calculer l équation différentielle reliant les variables d écart e (t) et s (t). 5) Calculer S (p) en fonction de E (p). 6) Calculer E (p). 7) Calculer s (t) et en déduire s(t). 8) Comparer les résultats de 3) et 7). Solution : 1) ds dt + 2 s(t) = e(t) p S(p) s( ) + 2 S(p) = E(p) S(p) = E(p) p + 2 + s( ) p + 2 2) E(p) = e(+ ) p

3.3. Utilisation de variables d écart 29 S(p) = e(+ ) p(p + 2) + s( ) p + 2 3) s(t) = e(+ ) (1 e 2t ) + s( ) e 2t 2 4) ds dt + 2 s(t) = e(t) ds dt + 2 (s (t) + s( )) = e (t) + e( ) ds dt + 2 s (t) = e (t) + e( ) 2 s( ) } {{ } = NB : 2 s( ) = e( ) car l équation (3.1) est vraie aussi en régime permanent (à t =, ds dt = ). Finalement : ds dt + 2 s (t) = e (t) 5) p S (p) + 2 S (p) = E (p) S (p) = E (p) p + 2 NB : on trouve la fonction de transfert du système. 6) E (p) = e(+ ) e( ) p (attention à l amplitude de l échelon!!) S (p) = e(+ ) e( ) p(p + 2)

3 3.4. Interprétation physique de la fonction de transfert 7) s (t) = e(+ ) e( ) (1 e 2t ) 2 s(t) = s (t) + s( ) = e(+ ) e( ) (1 e 2t ) + s( ) 2 8) En utilisant la relation s( ) = e( ) fournie par le régime permanent, on montre 2 que les résultats 3) et 7) sont identiques. 3.4 Interprétation physique de la fonction de transfert Considérons la réponse du système à une impulsion de Dirac. e(t) = δ(t) L E(p) = 1 S(p) = T(p) E(p) = T(p) La fonction de transfert d un système est égale à sa réponse impulsionnelle. 3.5 Classe et gain d un système T(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n On peut écrire T(p) sous la forme canonique : T(p) = K p r 1 + α 1 p + 1 + β 1 p + r N n ordre du système (degré du dénominateur) r classe du système K gain du système

3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 31 Si r =, on dit que le système ne possède pas d intégration. Si r, on dit que le système possède r intégrations. 3.6 Structure et stabilité de la réponse d un système Nous avons vu au 3.1 que dans le cas général : S(p) = N(p) D(p) } {{ } T(p) E(p) + I(p) D(p) I(p) dépend de l état initial du signal de sortie et du signal d entrée. On peut écrire : S(p) = N(p) D(p) E(p) I(p) + D(p) } {{ } } {{ } solution forcée solution libre La solution forcée S F (p) = N(p) E(p) est provoquée par l entrée. D(p) La solution libre S L (p) = I(p) D(p) s annule avec les conditions initiales. On démontre que le comportement du système en régime permanent peut être étudié en se limitant à la réponse libre. La stabilité du système, c est-à-dire la capacité du système à «rejoindre» une consigne d entrée, est déterminée par le comportement du système placé dans des conditions initiales non nulles et laissé libre. Le terme I(p) D(p) A p a peut être décomposé en éléments simples du type : ou Ap + B (p a) 2 + b 2 et puissances successives avec : a R et b R

32 3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système Pôles de I(p) D(p) : Ils sont donnés par l équation D(p) = qui a pour solutions : p = a p = a + j b p = a j b 3.6.1 Etude de A p a, a R Si S L (p) = A p a alors s L (t) = A e at u(t) 1) cas : a > le système est instable (il part à l infini) 2) cas : a < le système est stable (il tend à retrouver son état d équilibre) (voir cours) 3.6.2 Etude de Ap + B (p a) 2 + b2, a R et b R On suppose que S L (p) se réduit à Ap + B (p a) 2 + b 2 S L (p) = = Ap + B [p (a + j b)][p (a j b)] α p (a + j b) + β p (a j b) Pour trouver α, on multiplie par [p (a + j b)], ce qui conduit à l expression :

3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 33 Ap + B p (a j b) = α + β[p (a + j b)] p (a j b) et on pose p = a + j b, ce qui conduit à : α = A(a + j b) + B a + j b (a j b) = (Aa + B) + j Ab 2j b α = A 2 j Aa + B 2b Le même type de calcul pour β conduit à : β = A 2 + j Aa + B 2b = α S L (p) = α p (a + j b) + α p (a j b) On posera par la suite α = r + j i, avec r = A 2 et i = Aa + B 2b s L (t) = α e at e j bt + α e at j bt e = e at [(r + j i)e j bt + (r j i)e j bt ] = e at [r(e j bt + e j bt ) + j i(e j bt e j bt )] = e at [2r cos(bt) + j i(2j sin(bt))] = 2e at [r cos(bt) i sin(bt)] s L (t) = 2 [ ] r 2 + i 2 e at r r2 + i cos(bt) i 2 r2 + i sin(bt) 2 On pose : r r2 + i 2 = cosϕ i r2 + i 2 = sin ϕ

34 3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système α = r + j i = α e jϕ s L (t) = 2 α e at [cos(bt) cosϕ sin(bt) sin ϕ] s L (t) = 2 α e at cos(bt + ϕ) = A e at cos(bt + ϕ) Ae at s L (t) Ae at 1) cas : a < et b quelconque. Le système atteint naturellement une position d équilibre 2) cas : a > et b quelconque. Le système est instable 3) cas : a = et b quelconque. Le système est oscillatoire (voir cours) 3.6.3 Généralisation (voir cours) 3.6.4 Règle de stabilité Un système est stable si sa solution libre ne tend pas vers lorsque t On montre qu un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative.

3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 35 Fig. 3.3 Structure de la réponse en fonction de la position des pôles

3.7. Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse 36 fréquentielle des sytèmes linéaires 3.7 Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires 3.7.1 Analyse temporelle On soumet le système à des entrées types (échelon de position, échelon de vitesse) et l on calcule la réponse temporelle s(t). avantages caractère visuel de la sortie très clair; régime transitoire comme régime permanent. inconvénients méthode lourde, parfois complexe si l ordre est supérieur à 3. conclusion méthode employée dans le but d identifier un système, par comparaison avec certaines réponses types pré-établies. 3.7.2 Analyse fréquentielle On soumet le système à l entrée sinusoïdale de pulsation w variable. On démontrera plus tard que, en régime permanent : Si e(t) = e sin(wt) u(t) alors s(t) = s O sin(wt + ϕ) u(t) même pulsation w pour les signaux d entrée et de sortie. déphasage ϕ entre l entrée et la sortie. L analyse fréquentielle va consister à évaluer le rapport s e (w) (appelé gain du système) de l amplitude de la sortie à l amplitude de l entrée et le déphasage ϕ(w) de la sortie par rapport à l entrée en fonction de w. avantages cette méthode permet l étude des performances de précision, de rapidité et de stabilité du système. inconvénients méthode peu «visuelle». conclusion méthode très utile et très employée car très pratique. elle permet de plus la synthèse des réseaux correcteurs.

3.7. Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires 37 Expressions du gain et du déphasage e(t) = e sin(wt) u(t) L E(p) = e w p 2 + w 2 s(t) = s sin(wt + ϕ) u(t) = s (sin(wt) cosϕ + sin ϕ cos(wt)) u(t) S(p) = s [cosϕ ] w p 2 + w + sin ϕ p 2 p 2 + w 2 [ w S(p) = s cosϕ + p sin ϕ ] p 2 + w 2 w S(p) = s [ E(p) cos ϕ + p sin ϕ ] e w Si on pose p = jw, l expression précédente s écrit : S(jw) = s e E(jw)(cosϕ + j sin ϕ) S(jw) = s e E(jw) e jϕ S(jw) E(jw) = T(jw) = s e e jϕ On retiendra le résultat important : s e = T(jw) : gain du système à la pulsation w. ϕ = Arg[T(jw)] : déphasage entrée/sortie à la pulsation w.

Chapitre 4 Système du 1er ordre 4.1 Définition Le système du 1 er ordre a pour fonction de transfert : T(p) = K 1 + τ p { K gain statique τ constante de temps 4.2 Analyse temporelle 4.2.1 Impulsion de Dirac e(t) = δ(t) L E(p) = 1 S(p) = T(p) E(p) si s( ) = S(p) = T(p) = K 1 + τp = K τ 1 p + 1 τ s(t) = K τ e t τ u(t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.1 38

4.2. Analyse temporelle 39 K/τ,37 K/τ s(t) τ t Fig. 4.1 Cherchons l équation de la tangente au point (t = +, s( + ) = K τ ) Cette équation est de la forme : y = a t + b. b = s( + ) = K τ a = ds dt (+ ) ds dt = K τ ( 1 ) τ e t τ ds a = lim t + dt = K τ 2 L équation de la tangente s écrit donc : y = K τ ( 1 t ) τ Cherchons le point d intersection de la tangente avec l axe des temps : y = pour 1 t τ = t = τ pour t = τ s(τ) = K τ e 1, 37 K τ

4 4.2. Analyse temporelle pour t = 3τ s(3τ) = K τ e 3, 5 K τ Au bout de 3τ, le système du premier ordre a atteint la valeur finale (s(+ ) = ) à 5% près. Plus τ augmente, plus le système met du temps à atteindre sa valeur finale. 4.2.2 Echelon de position e(t) = e u(t) L E(p) = e p S(p) = T(p) E(p) = Ke p(1 + τp) ( 1 = Ke p 1 ) p + 1 τ On en déduit : s(t) = Ke (1 e t τ ) u(t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.2 Ke,63Ke s(t) τ t Fig. 4.2 Cherchons l équation de la tangente au point (t = +, s( + ) = )

4.2. Analyse temporelle 41 Cette équation est de la forme : y = a t + b. b = s( + ) = a = ds dt (+ ) ds dt = Ke ( ) 1 t τ e τ ds a = lim t + dt = Ke τ L équation de la tangente s écrit donc : y = Ke τ t La tangente passe par le point (t = τ, y(τ) = Ke ). pour t = 3τ s(3τ) =, 95Ke Le système a atteint la valeur finale (s(+ ) = Ke ) à 5% près. 4.2.3 Exercice : Créneau Soit le circuit RC représenté sur la Figure 4.3 On suppose que le condensateur est initialement déchargé et que s( ) =. Calculer et représenter s(t) pour le signal d entrée représenté sur la Figure 4.4. On a : e(t) s(t) = R i(t) i(t) = C ds(t) dt L équation différentielle régissant le comportement du circuit s écrit : e(t) = R C ds(t) dt + s(t)

42 4.2. Analyse temporelle R i(t) e(t) C s(t) Fig. 4.3 e(t) e t τ Fig. 4.4 En prenant la transformée de Laplace de cette équation et en posant θ = RC, il vient : E(p) = θ(p S(p) s( )) + S(p) Puisque s( ) =, il vient : S(p) = 1 1 + θp E(p) T(p) = S(p) E(p) = 1 1 + θp On reconnaît la forme caractéristique du système du 1 er ordre. θ = RC, est appelée constante de temps du système. 1ère étape : calculer la transformée de Laplace E(p) du signal d entrée. On pourrait utiliser la définition de la transformée de Laplace qui fait appel au calcul intégral.

4.2. Analyse temporelle 43 On va plutôt utiliser la méthode de superposition, qui est beaucoup plus rapide (Cf. 2.2.3). Le signal e(t) (un créneau) peut être considéré comme résultant de la somme de 2 signaux e 1 (t) et e 2 (t) comme indiqué sur la Figure 4.5. e e(t) e 1 (t) τ t e e 2 (t) Fig. 4.5 La transformée de Laplace en découle naturellement : L[e(t)] = e p e p e τp = e ( ) 1 e τp p 2 ième étape : en déduire S(p). S(p) = 1 1 + θp e p ( 1 e τp ) S(p) = e p(1 + θp) e p(1 + θp) e τp (4.1) 3 ième étape : calculer la transformée de Laplace inverse de S(p). On va d abord calculer la transformée de Laplace inverse du terme : effectuant sa décomposition en éléments simples. 1 p(1 + θp), en Posons : F(p) = 1 p(1 + θp) F(p) = 1 p θ 1 + θp On en déduit : f(t) = (1 e t θ ) u(t)

44 4.2. Analyse temporelle L équation (4.1) s écrit : S(p) = e F(p) e F(p) e τp En appliquant le théorème du retard, il vient : s(t) = e f(t) u(t) e f(t τ) u(t τ) s(t) = e (1 e t θ ) u(t) e (1 e (t τ) θ ) u(t τ) Si t [, τ] : s(t) = e (1 e t θ ) Si t [τ, + [ : s(t) = e (1 e t θ ) e (1 e (t τ) θ ) = e (e (t τ) θ e t θ ) = e (1 e τ θ ) e (t τ) θ En remarquant que : s(τ) = e (1 e τ θ ) On peut écrire : s(t) = s(τ) e (t τ) θ La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.6 Remarque : Ce résultat pouvait être obtenue sans aucun calcul (ou presque), en examinant ce qui se passe physiquement. Entre et τ, il s agit de la charge d un condensateur (initialement déchargé) avec la constante de temps θ sous une tension appliquée e. s(t) = e (1 e t θ ) Cette charge se poursuit jusqu à l instant τ, et à cet instant précis, la tension au bornes du condensateur est de : s(τ) = e (1 e τ θ )

4.2. Analyse temporelle 45 e e(t) s(t) θ τ θ+τ t Fig. 4.6 A partir de l instant τ, le condensateur se décharge dans la résistance. La décharge d un condensateur (de tension initiale v ) à partir de t = est donnée par : s(t) = v e t θ On en déduit l équation de décharge d un condensateur de tension initiale s(τ) à partir de l instant τ (on applique pour cela le théorème du retard). s(t) = s(τ) e (t τ) θ On retrouve le résultat obtenu par le calcul. 4.2.4 Echelon de vitesse e(t) = e t u(t) L E(p) = e p 2 S(p) = T(p) E(p) = Ke p 2 (1 + τp) On effectue la décomposition en éléments simples : Ke p 2 (1 + τp) = A p + B p + C 2 1 + τp

46 4.2. Analyse temporelle on trouve : d où : On en déduit : A = Ke τ B = Ke C = Ke τ 2 S(p) = Ke [ τ p + 1 p 2 + τ p + 1 τ s(t) = Ke ( τ + t + τe t τ ) u(t) ] s(t) = (Ke (t τ)) u(t) + ( ) Ke τe t τ u(t) } {{ } } {{ } s 1 (t) s 2 (t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.7 s(t) Keτ s 2 (t) -Keτ τ s1(t) t Fig. 4.7 Remarques : a) b) s(t) lim = Ke t + t lim s(t) Ke t = Ke τ t + On en déduit que la droite d équation y = Ke (t τ) est une asymptote oblique à la courbe. On a, en régime permanent : ε(t) = Ke(t) s(t) = Ke τ(1 e t τ ) u(t) ε(+ ) = Ke(+ ) s(+ ) = Ke τ appelé erreur de trainage

4.2. Analyse temporelle 47 4.2.5 Signal sinusoïdal L w e(t) = e sin(wt) u(t) E(p) = e p 2 + w 2 S(p) = T(p) E(p) = Ke w (p 2 + w 2 )(1 + τp) On décompose en éléments simples : S(p) = A 1 + τp + Bp + C p 2 + w 2 ou A 1 + τp + B p jw + C p + jw On trouve : A = Ke wτ 2 1 + w 2 τ 2 B = Ke τw 1 + w 2 τ 2 C = Ke w 1 + w 2 τ 2 wτ 1 S(p) = Ke 1 + w 2 τ 2 p + 1 τ + wτ p + 1 + w 2 τ 2 p 2 + w } {{ 2 } cos wt 1 w 1 + w 2 τ 2 p 2 + w } {{ 2 } sin wt s(t) = Ke w t sin wt 1 + w 2 τ 2[τe τ + w τ coswt] or : sin(wt) τw cos(wt) = 1 1 + w 2 τ 2 [ 1 + w2 τ sin(wt) wτ 2 1 + w2 τ cos(wt)] 2 On pose : cosϕ = sin ϕ = 1 1 + w2 τ 2 wτ 1 + w2 τ 2 [ ] wτ t 1 s(t) = Ke 1 + w 2 τ 2e τ + 1 + w2 τ sin(wt + ϕ) 2 u(t)

48 4.2. Analyse temporelle Ke w τ 1+w 2 τ 2 τ s(t) t Fig. 4.8 La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.8 On vérifiera que : s( + ) = et s ( + ) = Au bout de 3 à 5τ, la sortie du système est purement sinusoïdale. On retrouve que, si e(t) = e sin(wt) u(t) alors s(t) = s sin(wt + ϕ) u(t), en régime permanent. Remarques : a) En régime permanent : s(t) = s e = Ke sin(wt + ϕ) 1 + w2 τ2 s = Ke 1 + w2 τ 2 K 1 + w2 τ 2 = T(jw) b) la sortie est en retard par rapport à l entrée. En effet, cosϕ et sin ϕ conduisent à : π 2 ϕ tan ϕ = wτ ϕ = arctan(wτ) or : Arg[T(jw)] = Arg[K] Arg[1 + jwτ] = arctan(wτ) on retrouve le résultat vu au 3.7.2 : ϕ = Arg[T(jw)]

4.3. Analyse fréquentielle 49 4.3 Analyse fréquentielle L analyse fréquentielle va consister à étudier T(jw) = pulsation w (Cf. Figure 4.9). K 1 + jτw en fonction de la e(t) = e sin(wt) K 1 + τp s(t) = s sin(wt + ϕ) Fig. 4.9 (on rappelle que s et ϕ sont des fonctions de w) On définit ce que l on appelle le lieu de transfert du système qui n est autre que la représentation graphique des variations de T(jw) en fonction de w. Pour cela, on va utiliser différentes représentations. 4.3.1 Plan de Nyquist Il s agit du plan complexe : en abscisse : Re[T(jw)] en ordonnée : Im[T(jw)] Im[T(jw)] Plan de Nyquist Re[T(jw)] Fig. 4.1 Plan de Nyquist Posons : { X = Re[T(jw)] Y = Im[T(jw)]

5 4.3. Analyse fréquentielle T(jw) = X + jy X = K 1 + w 2 τ 2 Y = Kwτ 1 + w 2 τ 2 (4.2) Y X = wτ X = K 1 + ( Y X ) 2 X 2 + Y 2 = KX ( X K ) 2 + Y 2 = K2 2 4 C est l équation d un cercle de centre ( ) K 2, et de rayon K 2. En fait, seul le demi cercle inférieur convient car, d après (4.2), on a la relation Y <. Quelques points sur le lieu de transfert pour w = point (K, ) pour w = 1 ( ) K point τ 2, K 2 pour w = point (, ) Le lieu de transfert de Nyquist (Cf. Figure 4.11) est gradué et orienté dans le sens des w croissants. 4.3.2 Plan de Black-Nichols Il s agit du plan tel que : en abscisse : Arg[T(jw)] (en degrés) en ordonnée : 2 log T(jw)

4.3. Analyse fréquentielle 51 Im[T(jw)] w = + K 2 ϕ K Re[T(jw)] w = M(w) w = 1 τ Fig. 4.11 Lieu de transfert dans le plan de Nyquist T(jw) (en décibels) Plan de Black-Nichols Arg[T(jw)] (en degrés) Fig. 4.12 Plan de Black-Nichols déphasage ϕ = Arg[T(jw)] = arctan(wτ) gain linéaire A = T(jw) = K 1 + w2 τ 2 gain logarithmique A db = 2 loga = 2 log T(jw) = 2 log K 1 + w2 τ 2

52 4.3. Analyse fréquentielle A db = 2 log K 2 log[ 1 + w 2 τ 2 ] A db = 2 logk 1 log[1 + w 2 τ 2 ] Quelques points sur le lieu de transfert pour w = ϕ = A db = 2 log K pour w = 1 ϕ = 45 o A db = 2 log K 1 log 2 τ } {{ } 3dB pour w = ϕ = 9 o A db = 3dB T(jw) (en décibels) w = 1 τ w = 2 log K -9 o -45 o Arg[T(jw)] (en degrés) w Fig. 4.13 Lieu de transfert dans le plan de Black-Nichols Le lieu de transfert de Black-Nichols (Cf. 4.13) est gradué et orienté dans le sens des w croissants. 4.3.3 Plan de Bode (Très utilisé) La représentation dans le plan de Bode est constituée de 2 courbes : la courbe de gain : en abscisse : log w en ordonnée : 2 log T(jw) la courbe de phase : en abscisse : log w en ordonnée : Arg[T(jw)] (en degré)

si w 1 τ : wτ 1 w 2 τ 2 1 4.3. Analyse fréquentielle 53 T(jw) (en décibels) Diagramme de gain w (échelle logarithmique) Arg[T(jw)] (en degrés) Diagramme de phase w (échelle logarithmique) Echelle logarithmique des pulsations Fig. 4.14 Plan de Bode on appelle décade un intervalle de pulsation [w 1, w 2 ] tel que : w 2 w 1 = 1 on appelle octave un intervalle de pulsation [w 1, w 2 ] tel que : w 2 w 1 = 2 Courbe de gain asymptotique (elle permet d obtenir une allure sommaire de la courbe de gain)

54 4.3. Analyse fréquentielle A db 2 log K 1 log 1 } {{ } = si w 1 τ : wτ 1 w 2 τ 2 1 A db 2 log K 1 log w 2 τ 2 2 log K 2 log τ 2 log w c est l équation d une droite sur du papier semi-logarithmique (A db = f(log w)) A db (w 2 ) A db (w 1 ) = 2 log w 2 + 2 log w 1 = 2 log w 2 w 1 si w 2 w 1 = 1 si w 2 w 1 = 2 A db (w 2 ) A db (w 1 ) = 2 A db (w 2 ) A db (w 1 ) = 6 Si w 1 la courbe de gain asymptotique est donc une droite de pente égale à τ 2 db par décade ou 6 db par octave. T(jw) (en décibels) 2 log K pente -2 db / décade w (échelle logarithmique) w = 1 τ Fig. 4.15 Courbe de gain asymptotique dans le plan de Bode

4.3. Analyse fréquentielle 55 Courbe de gain réel pour w = pour w = 1 2τ A db = 2 log K A db = 2 log K 1 log 5 4 2 log K 1 db pour w = 1 τ pour w = 2 τ pour w = A db = 2 log K 1 log 2 2 log K 3 db A db = 2 log K 1 log 5 2 log K 7 db A db = Remarque : Pour w = 2, le gain asymptotique vaut : τ A db = 2 log K 1 log4 = 2 log K 2 log 2 = 2 logk 6 db Courbe de phase pour w = ϕ = pour w = 1 2τ pour w = 1 τ pour w = 2 τ pour w = ϕ = 26, 5 o ϕ = 45 o ϕ = 63, 5 o ϕ = 9 o Bande passante à 3dB du système du 1er ordre C est la bande de pulsation [, w 3dB ] telle que : 2 log K A db 2 log K 3dB w 3dB est telle que : 2 logk 3dB = 2 log K 1 + w 2 3dB τ 2

56 4.3. Analyse fréquentielle T(jw) (en décibels) w = 1 τ Arg[T(jw)] (en degrés) w (échelle logarithmique) w (échelle logarithmique) -45 o -9 o Fig. 4.16 Lieu de transfert dans le plan de Bode On trouve : w 3dB = 1 τ Remarque : s (w) = Ke 1 + w2 τ 2 si w augmente, s diminue. En basse fréquence : s = Ke pour w = 1 τ s = Ke 2

4.4. Influence d une variation de τ 57 4.4 Influence d une variation de τ 4.4.1 Analyse temporelle Si τ augmente, tr 5% = 3τ augmente. 4.4.2 Analyse fréquentielle Si τ augmente, w 3dB = 1 τ diminue. Règle générale : rapidité du système augmente Bande Passante augmente 4.5 Relation entre tr 5% et BP( 3dB) w 3dB = 1 τ f 3dB = w 3dB 2π = 1 2πτ tr 5% = 3τ f 3dB tr 5% = 3 2π, 6 4.5.1 Exemple 1 : oscilloscope On considère un oscilloscope ayant la caractéristique : f 3dB = 1MHz On fait l hypothèse (raisonnable) que l entrée de l oscilloscope se comporte comme un circuit du 1 er ordre. On calcule son temps de réponse à 5% : tr 5% = 3 2πf 3dB = 3 2π1 7 5ns Si on avait un oscilloscope tel que : f 3dB = 1MHz, son temps de réponse à 5% serait de 5ns. La donnée de f 3dB traduit la qualité de l oscilloscope.

58 4.5. Relation entre tr 5% et BP( 3dB) A,95A 5ms Fig. 4.17 4.5.2 Exemple 2 : table traçante On considère une table traçante ayant la caractéristique : tr 5% =, 2s. Calculons sa bande-passante : f 3dB = 3 2πtr 5% = 3, 4π 2, 5Hz Pour f 3dB, le signal représenté sur le support ne représente que 7% du signal d entrée (atténuation de 2). En pratique, on utilisera des fréquences inférieures à f 3dB 1. Par exemple, pour f =, 25Hz, on calcule que : T(jw) = K 1 + w2 τ 2 = K, 995K 1 + 4π2 f 2 τ2 L atténuation est à peine de,5%.

Chapitre 5 Système du second ordre 5.1 Définition Le système du second ordre a pour fonction de transfert : T(p) = K 1 + ap + bp 2 Il est stable 1 si : a et b > Dans ces conditions, on pose : a = 2z w n et b = 1 w 2 n { z : coefficient d amortissement des oscillations amorties w n > : pulsation des oscillations non-amorties La fonction de transfert du système du second ordre s écrit alors sous sa forme canonique : T(p) = K 1 + 2z w n p + p2 w 2 n Les pôles de T(p) sont donnés par l équation : p 2 + 2zw n p + w 2 n = dont le discriminant réduit vaut = z 2 w 2 n w2 n = w2 n (z2 1) 1 Les problèmes de stabilité sont traités au chapitre 7. 59

6 5.2. Analyse temporelle 1 er cas z > 1 (régime apériodique) On a 2 pôles réels négatifs (somme négative, produit positif). { p1 = zw n + w n z2 1 p 2 = zw n w n z2 1 T(p) = Kw 2 n (p p 1 )(p p 2 ) avec : p 1 p 2 = w 2 n et p 1 + p 2 = 2z w n 2ème cas z = 1 (régime apériodique critique) On a une racine double p = w n T(p) = Kw2 n (p p ) 2 3ème cas z < 1 (régime oscillatoire) On a 2 pôles complexes conjugés. { p1 = zw n + jw n 1 z 2 p 2 = zw n jw n 1 z 2 On pose : w p = w n 1 z2, que l on appelle pulsation des oscillations amorties. T(p) = Kw 2 n (p p 1 )(p p 2 ) 5.2 Analyse temporelle 5.2.1 Echelon de position e(t) = e u(t) S(p) = T(p) E(p) = T(p) e p

5.2. Analyse temporelle 61 1 er cas z > 1 S(p) = Ke w 2 n p(p p 1 )(p p 2 ) Effectuons la décomposition en éléments simples de S(p) : On trouve : A = S(p) = A + B + C p p 1 p p 2 p Ke w 2 n (p 1 p 2 )p 1 B = Ke w 2 n (p 2 p 1 )p 2 C = Ke w 2 n p 1 p 2 = Ke s(t) = Ke w 2 n s(t) = Ae p 1t + Be p 2t + C [ e p 1t e p 2t + 1 ] (p 1 p 2 )p 1 (p 1 p 2 )p 2 p 1 p 2 u(t) s(t) = Ke [1 + w 2 n (p 1 p 2 ) [ e p 1 t p 1 ep2t p 2 ]] u(t) s(t) = Ke [1 + 1 ( p2 e p1t p 1 e )] p 2t u(t) (p 1 p 2 ) On vérifiera que : s( + ) = et s ( + ) = (Cf. Figures 5.2 et 5.3) 2ème cas z = 1 S(p) = Ke w 2 n p(p + w n ) 2 S(p) = A (p + w n ) 2 + B p + w n + C p On trouve : A = Ke w n B = Ke w n C = Ke S(p) = Ke [ 1 p w n (p + w n ) 1 ] 2 p + w n

62 5.2. Analyse temporelle s(t) = Ke [ 1 wn te wnt e wnt] u(t) s(t) = Ke [ 1 e w nt (1 + w n t) ] u(t) On vérifiera que : s( + ) = et s ( + ) = (Cf. Figures 5.2 et 5.3) 3ème cas z < 1 S(p) = Ke w 2 n p(p p 1 )(p p 2 ) D aprés le cas z > 1 déjà étudié, on peut écrire : s(t) = Ke [1 + 1 ( p2 e p1t p 1 e )] p 2t u(t) (p 1 p 2 ) avec : p 1 p 2 = 2jw n 1 z2 = 2jw p 1 [ s(t) = Ke 1 + ( zwn jw 2jw n 1 z 2 n 1 z2 )e zwnt e jwn 1 z 2 t ( zw n + jw n 1 z2 )e zwnt e ] jwn 1 z 2 t u(t) e s(t) = Ke 1 zwnt [ ( + zwn 2jw n 1 z 2 e jw n 1 z 2 t e ) jwn 1 z 2 t ( jw n 1 z 2 e jw n 1 z 2 t e )] jwn 1 z 2 t u(t) s(t) = Ke 1 + e zwnt ( zwn sin(w w n 1 z 2 n 1 z2 t) w n 1 z2 cos(w n 1 z2 t) ) u(t) s(t) = Ke 1 e zwnt ( 1 z 2 z sin(wn 1 z2 t) (5.1) + 1 z 2 cos(w n 1 z2 t) ) u(t)

5.2. Analyse temporelle 63 On a la relation : z 2 + ( 1 z 2 ) 2 = 1 On pose : { cosϕ = z sin ϕ = 1 z 2 [ s(t) = Ke Ke e zwnt ] sin(w 1 z 2 n 1 z2 t + ϕ) u(t) On vérifiera que : s( + ) = et s ( + ) = w p = w n 1 z 2 est appelé pulsation des oscillations amorties (w p = w n sin ϕ) Remarque : si z =, alors w p = w n et le système oscille à la pulsation w n. Fig. 5.1 Valeur du premier dépassement On montre, en dérivant l équation (5.1), que la valeur du premier dépassement est obtenue pour sin(w p t) = soit w p t = π s max ( ) π = s w p = Ke [1 ( )] 1 π π 1 z 2 e zwn wp sin w p + ϕ w p

64 5.2. Analyse temporelle 1.4 z=.3 1.2 z=.7 1.8 z=1 z=2.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Fig. 5.2 Réponse pour différentes valeurs de z 1 = Ke [1 1 z 2 e ( = Ke 1 + e πz 1 z 2 ) πz 1 z 2 sin(π + ϕ) ] ( s max = Ke 1 + e πz 1 z 2 ) On définit la valeur du premier dépassement D 1 comme la quantité : D 1 = s max s(+ ) s(+ ) D 1 = e πz 1 z 2 Les variations de D 1 en fonction de z sont illustrées sur la Figure 5.4. Pour z = 1 2 D 1 = e π 4%

5.2. Analyse temporelle 65 1.4 w=1 w=5 w=2 w=1 1.2 1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Fig. 5.3 Réponse pour différentes valeurs de w 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1.2.4.6.8 1 Fig. 5.4 Les variations de D 1 en fonction de z Remarque : On verra que pour z 1 2, le système du second ordre ne présente pas de phénomène

66 5.2. Analyse temporelle de résonance. Par ailleurs, nous avons vu que pour z = 1 2 le premier dépassement est égal à 4%. Enfin, on montre que pour cette valeur de z, le temps de réponse à 5% est minimal. Pour toutes ces raisons, la valeur z = 1 2 est prise souvent comme valeur de réglage pour le système du second ordre. La réponse temporelle d un système du second ordre peut être «synthétisée» par un certain nombre de paramètres indiqués sur la Figure 5.6 : Le temps de montée : t m = 1 w n π arccosz 1 z 2 La Figure 5.5 montre les variations de w n t m en fonction de z. (pi -acos z) / sqrt(1-z^2) 21 2 19 18 17 16 15 14 13 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2.2.4.6.8 1 z Fig. 5.5 Le temps de pic : t pic = π w p Le temps de réponse à n% (pour z <.7) : t r 1 ( ) 1 w n z ln n en appelant σ = w n z la partie réelle des pôles. 1 ( ) 1 σ ln n On utilisera pratiquement le temps de réponse à 5% qui est donné par : t r 3 σ. Il se mesure lorsque s(t) rentre dans une bande [, 95 s(+ ); 1, 5 s(+ )] autour de la valeur finale s(+ ) et n en ressort plus. Le premier dépassement : D 1 = e πz 1 z 2 5.2.2 Echelon de vitesse e(t) = e t u(t) Calculons l écart de trainage en régime permanent ε(+ ) = K e(+ ) s(+ ).

5.3. Analyse fréquentielle 67 (voir cours) Fig. 5.6 5.2.3 Signal sinusoïdal On pourrait montrer que lorsque le système est en régime permanent (lorsque t est supérieur à 3 ou 5 fois le temps de réponse à 5% par exemple), s(t) = s sin(wt+ϕ)u(t) pour une entrée sinusoïdale e(t) = e sin(wt) u(t). 5.3 Analyse fréquentielle T(p) = K 1 + 2z w n p + p2 w 2 n A = T(jw) ϕ = Arg[T(jw)] T(jw) = K 1 + 2jzw w n w2 wn 2 = K ( ) 1 w 2 + 2jzw wn 2 w n

68 5.3. Analyse fréquentielle A = T(jw) = K (1 ) w 2 2 ( ) 2 + 2zw w n w 2 n ϕ = Arg[K] Arg [( ) 1 w2 wn 2 + 2jzw ] w n ( ) cosϕ = α 1 w2 wn 2 sin ϕ = α 2zw w n avec : α = 1 (1 ) w 2 2 ( ) 2 + 2zw w n w 2 n Attention de NE PAS ECRIRE que : 2zw w n ϕ = arctan (1 ) w 2 w 2 n car le déphasage d un système du second ordre est compris ] dans l intervalle ] π, ] et la fonction arctan renvoit un argument sur l intervalle π 2, π [. 2 5.3.1 Lieu de transfert dans le plan de Bode Courbe de gain asymptotique Si w w n : A K A db 2 log K Si w w n : A K ( w wn) 2 A db 2 log K 4 logw + 4 log w n

5.3. Analyse fréquentielle 69 A db (w 2 ) A db (w 1 ) 4 log w 2 w 1 si w 2 w 1 = 1 si w 2 w 1 = 2 A db (w 2 ) A db (w 1 ) = 4 A db (w 2 ) A db (w 1 ) = 12 Si w w n la courbe de gain asymptotique est donc une droite de pente égale à 4dB par décade ou 12 db par octave. Courbe de gain réel Existe-t-il un extremum? Si A db passe par un extremum, alors A passe aussi par un extremum car la fonction log() est monotone croissante. On peut écrire : avec : A(w) = N(w) D(w) ( ) 2 ( N(w) = K D(w) = 1 w2 2zw + wn 2 w n ) 2 da dw = 1 D 2 (w) dn D(w) N(w) dd }{{} dw dw = Posons : f(w) = ( ) 2 1 w2 + wn 2 da dw ( ) 2zw 2. w n = = dd dw = D(w) = f(w)

7 5.3. Analyse fréquentielle dd dw = 1 df 2 f(w) dw [ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ] = 2 1 w2 2w 2zw 2z + 2 2 f(w) wn 2 wn 2 w n w n [( ) ( 2 ) ( ) 1 w ] = 1 w2 2z + 2z f(w) w n wn 2 w n w n [ ] 1 2w = 1 + w2 + 2z 2 f(w) wn 2 wn 2 [ ] dd dw = 1 2w w 2 (1 2z 2 ) f(w) wn 2 wn 2 dd dw = w = w 2 wn 2 (1 2z 2 ) = w = est vrai z w 2 wn 2 (1 2z 2 ) = { w = wn 1 2z 2 1 2z 2 En conclusion, on voit que la courbe de gain présentera un extremum dans le cas d un système du second ordre pour lequel z < 1. 2 Il s agit là du phénomène de résonance qui se produit pour la pulsation dite pulsation de résonance dont nous avons établi la valeur : w r = w n 1 2z 2 La Figure 5.7 montre les courbes de gain et de phase obtenues pour différentes valeurs de z. Remarque : Pour les systèmes du second ordre nous avons vu apparaître 3 pulsations différentes qui ne doivent pas être confondues :

5.3. Analyse fréquentielle 71 Fig. 5.7 Courbes de gain et de phase

72 5.3. Analyse fréquentielle w n : pulsation propre du système non amorti (c est à cette pulsation qu oscille un système du second ordre pour lequel z = ). w p = w n 1 z2 : pulsation des oscillations amorties de la réponse du système. w r = w n 1 2z2 : pulsation de résonance (dans le cas où z 1 2 ). On se souviendra que : T(jw n ) = K 2z T(jw r ) = K 2z 1 z 2 5.3.2 Le coefficient de surtension Q Dans le cas d un système du second ordre présentant le phénomène de résonance (z 1 2 ), on définit le coefficient de surtension Q (appelé aussi facteur de résonance) par la quantité : Q = A(w = w r) A(w = ) = K 2z 1 1 z 2 K Q = 1 2z 1 z 2 Q db = 2 log(2z 1 z 2 ) L amortissement d un système du second ordre est d autant plus faible que son facteur de résonance est élevé.

5.4. Comparaison d un système du 1er ordre et du second ordre 73 5.4 Comparaison d un système du 1er ordre et du second ordre 1 er ordre 2ème ordre déphasage [ 9 o, o ] [ 18 o, o ] pente de la courbe de gain en HF -2 db/décade -4 db/décade résonance jamais parfois régime transitoire oscillatoire jamais parfois tangente à l instant t = + > =

Chapitre 6 Autres systèmes 6.1 Retard pur T(p) = e τp S(p) = T(p) E(p) = e τp E(p) Rappel : Si f(t) u(t) alors f(t τ) u(t τ) L L F(p) F(p) e τp s(t) = e(t τ) fonction «retard pur» 6.1.1 Analyse temporelle La fonction «retard pur» est représentée sur la Figure 6.1. 6.1.2 Analyse fréquentielle T(jw) = e jτw 74

6.1. Retard pur 75 e(t) e(t-τ) τ t Fig. 6.1 T(jw) = 1 Arg[T(jw)] = τw A db db logw ϕ(w) logw Fig. 6.2 Remarque : Le gain d un système de type «retard pur» restant égal à 1 quelque soit la fréquence, il est impossible de réaliser physiquement un tel système. Par contre sur une plage de fréquence limitée, il est possible d approximer ce système. Si w < 1 τ Alors le lieu de transfert d un système du 1 er ordre et du retard pur sont voisins. donc : e τp 1 1 + τp si w < 1 τ Approximation de Padé (au premier ou deuxième ordre) :

76 6.2. Systèmes d ordre quelconque e θp 1 θ 2 p 1 + θ 2 p ou e θp 1 θ 2 p + θ2 12 p2 1 + θ 2 p + θ2 12 p2 6.2 Systèmes d ordre quelconque La fonction de transfert d un système d ordre quelconque peut toujours être décomposée sous la forme canonique suivante : T(p) = K p α i(1 + τ i p) j(1 + 2z jp w nj + p2 ) wnj 2 k(1 + τ k p) l(1 + 2z lp w nl + p2 ) e τp wnl 2 T(jw) = K (jw) α i N 1i (jw) j N 2j (jw) k D 1k (jw) l D 2l (jw) e jτw module A = T(jw) = K (jw) α i N 1i (jw) j N 2j (jw) k D 1i (jw) l D 2j (jw) A db = K db + i A 1idB + j A 2jdB k A 1kdB l A 2ldB 2 α log w Le passage aux décibels permet de transformer le produit en somme et le quotient en différence. phase ϕ = Arg[T(jw)] = Arg[(jw) α + i Arg[N 1i (jw)] + j Arg[N 2j (jw)] k Arg[D 1k (jw)] l Arg[D 2l (jw)]

6.3. Exemple 77 En conséquence, ces formules traduisent le fait que pour tracer le lieu de transfert d un système d ordre quelconque, il suffit de savoir tracer les lieux de transfert correspondant à : e τp K p α α N 1 + τ i p 1 + 2z jp + p2 w nj wnj 2 1 1 + τ k p 1 1 + 2z jp w nj + p2 wnj 2 et d effectuer la «somme graphique» de ces différents lieux. 6.3 Exemple Soit à tracer les lieux dans le plan de Bode de la fonction de transfert : T(p) = 1 p(1 + 2p)(1 +, 5p) (voir cours) 6.4 Systèmes avec zéro Considérons la fonction de transfert : 1 + τ a p G(p) = K (1 + τ 1 p)(1 + τ 2 p) Ce système comporte 2 pôles à partie réelle négative, et un zéro : p 1 = 1 τ 1 p 2 = 1 τ 2 z a = 1 τ a

78 6.4. Systèmes avec zéro 2.5 La réponse de ce système à un échelon présente trois allures différentes (Cf. Figure 6.3) suivant la valeur relative des pôles et du zéro de la fonction de transfert (on supposera que τ 1 > τ 2 ) : cas 1 : τ a > τ 1 : La réponse présente un dépassement, d autant plus grand que le zéro est proche de l origine. cas 2 : τ 1 τ a > : La réponse présente la même allure que dans le cas d une fonction de transfert sans zéro. cas 3 : τ a < : Le système évolue avec une réponse inverse, i.e. que la réponse démarre dans le sens opposé de la valeur finale. 2 (e) 1.5 1 (d) (c).5 (b) (a).5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Fig. 6.3 Réponse du système à un échelon pour différentes valeurs du zéro de la fonction de transfert : (a) τ a = 1, (b) τ a =, (c) τ a = 1, (d) τ a = 15, (e) τ a = 5, avec (τ 1 = 15, τ 2 = 5) Comme le montre la Figure 6.3, les allures des réponses sont très différentes en fonction de la valeur du zéro. Si certaines propriétés comme la stabilité, que nous détaillerons

6.4. Systèmes avec zéro 79 plus loin, dépendent uniquement des pôles du système, la réponse dynamique à une entrée dépend aussi des zéros.

Chapitre 7 Stabilité L étude de la structure et de la stabilité de la réponse d un système a été faite au 3.6. Nous rappelerons ici les principaux résultats. Un système est dit stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée. Une condition nécessaire et suffisante de stabilité d un système linéaire est que tous les pôles de sa fonction de transfert aient une partie réelle négative. Remarque : Nous avons vu que : S(p) = N(p) D(p) } {{ } T(p) E(p) } {{ } réponse forcée provoquée par l entrée + I(p) D(p) } {{ } réponse libre On remarquera que les pôles de la réponse forcée et ceux de la réponse libre sont les mêmes. Cela conduit à dire que la stabilité d un système est une propriété intrinsèque au système (elle ne dépend pas du signal appliqué à l entrée). La stabilité d un système est déduite du comportement du système placé dans des conditions initiales non nulles et laissé «libre». La traduction directe de la CNS énoncée précédemment est généralement difficile car si l ordre du système est élevé la recherche des pôles est inextricable (dans ce cas il 8

7.1. Critère de Routh 81 faut faire appel à des algorithmes de calcul des zéros d une équation polynomiale). En pratique, ce critère n est pas utilisé. On emploie des critères permettant de vérifier si cette condition de stabilité est satisfaite sans avoir à calculer les pôles de la fonction de transfert. Les principaux critères employés sont : des critères algébriques tel que le critère de Routh. des critères graphiques tel que le critère du revers (valable pour les systèmes à déphasage minimal) ou le critère de Nyquist (général). le tracé du lieu des pôles de la fonction de transfert (méthode du lieu d Evans). Seul le critère de Routh sera décrit dans ce chapitre. Les critères graphiques seront décrits lors de l étude des asservissements. 7.1 Critère de Routh On se bornera à indiquer sans justification les règles d application de ce critère. Soit un système de fonction de transfert : H(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n Condition nécessaire et suffisante (CNS) de stabilité Il faut et il suffit, pour que le système soit stable, que les racines de l équation caractéristique b n p n + + b 1 p + b = aient leurs parties réelles négatives. Traduction de cette CNS par le critère de Routh Il faut et il suffit : 1) que tous les coefficients b i soient présents et de même signe, 2) que tous les termes de la 1ère colonne du tableau ci-dessous (tableau de Routh) soient positifs. p n b n b n 2 b n 4 p n 1 b n 1 b n 3 b n 5 p n 2 b n 1 b n 2 b n b n 3 b n 1 b n 1 b n 4 b n b n 5 b n 1 b n 1 b n 6 b n b n 7 b n 1

82 7.1. Critère de Routh Le coefficient b n 1 est le pivot de la troisième ligne. La quatrième ligne s obtient, comme la troisième, en multipliant en diagonale les termes de la deuxième et de la troisième ligne, les termes obtenus étant tous divisés par le pivot de la quatrième ligne (terme de la première colonne de la ligne précédente), et ainsi de suite. Remarques : s il y a n changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh, l équation caractéristique possède n racines à parties réelles positives. si tous les coefficients d une ligne sont nuls, l équation caractéristique possède des racines imaginaires pures conjuguées et le système est juste oscillant. Exemples (voir cours) Inconvénients du critère 1) il exige la connaissance algébrique de la fonction de transfert. 2) il ne donne aucune indication sur la marge de stabilité.

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