Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier : Outil Physique et Géophysique 2 Le champ électrostatique E k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr E MAISON DES GÉOSCIENCES UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER T 04 76 82 80 42 Page 1 de 44
Les charges électriques Interaction électromagnétique entre les particules et les corps chargés. Exemple: Baguette de caoutchouc que l on frotte sur un morceau de tissu. Première partie du cours: charges ponctuelles : particules chargées dont les dimensions sont petites devant les distances qui séparent les charges. Interaction électrostatique: Interaction électromagnétiques correspondant aux situations où les charges ponctuelles sont immobiles dans le référentiel du laboratoire considéré. Page 2 de 44
Les charges électriques Charges positives, négatives, neutres. Exemple: atome. Corps chargé: à l échelle macroscopique Q = (n + n ) e Q charge totale du corps considéré. n + nombre de charges + élémentaires. n nombre de charges élémentaires. e = 1.6 10 19 Coulomb (unité de charge) Page 3 de 44
Les charges électriques Exercice: Calculer la force électrostatique s exerçant entre deux charges q A = q B = 1C séparées de 1 m. F 9 10 9 N (Il faut 2.3 10 5 g de Cuivre pour avoir une charge de 1 C). Le poids d un corps de 1 kg soumis à l attraction gravitationnelle est 9.8 N. Calculer la force gravitationnelle s exerçant entre deux masses m A = m B = 1 kg séparées de 1 mètre. F 6.7 10 11 N Conclusions F E 10 20 F g Page 4 de 44 Pourquoi??
: Expression de la force électrostatique s appliquant entre deux charges séparé d une distance r F A B = 1 q A q B u 4πɛ 0 r 2 A B = F B A F A B : force exercée par la charge q A sur la charge q B. u A B r F A B F A B q A q B q A q B < 0 q A q B > 0 Page 5 de 44 Conditions : Le vide existe entre les deux charges. la taille de q A et q B r.
F A B = 1 q A q B u A B = F B A 4πɛ 0 r 2 Champ électrostatique E A = 1 4πɛ 0 q A r 2 u A B F B=q B E A Page 6 de 44
Principe de superposition : F A B = 1 q A q B u 4πɛ 0 r 2 A B = F B A Principe de superposition: F B = N i=1 1 q i q B u 4πɛ 0 r 2 i B Page 7 de 44 E B = N i=1 1 4πɛ 0 q i r 2 u i B
On peut aussi écrire les forces électrostatiques F E sous des formes intégrales afin de ne pas considérer que des charges ponctuelles mais plutôt des corps chargé (en surface, en volume etc...). Densité de charge Considérons un corps chargé, de volume V. On considère un petit élément de volume τ, grand devant l échelle atomique. Par définition, on dit que le rapport entre la somme des charges Q contenue dans le volume τ et le volume lui-même : Q τ = ρ(m) où M est le point situé au centre de τ et ρ est la densité volumique de charge électrostatique. ρ(m) est le champ scalaire qui sert à caractériser la distribution volumique macroscopique de la charge à l échelle microscopique. Q = ρ(m) dτ V Page 8 de 44
De la même manière, on peut considérer une distribution superficielle de charge électrostatique dans le cas où les charges sont concentrées sur une très faible épaisseur vis-à-vis de la taille du corps. Q s = σ(m) où M est le point situé au centre de la petite surface s et σ est la densité superficielle de charge électrostatique. σ(m) caractérise la distribution surfacique macroscopique de la charge à l échelle microscopique. Q = σ(m) ds A considérer aussi la distribution linéïque de charge: Q l S = λ(m) où M est le point situé au centre de la petite longueur l et λ est la densité linéïque de charge électrostatique. Q = λ(m) dl L Page 9 de 44
de E (M) Avec les densités de charge, on peut réécrire le champ électrostatique E q (M) = 1 4πɛ 0 q r 2 u q M Pour une distribution volumique de charge V ρ dv u M E (M) = V 1 ρ(r) u 4πɛ 0 r 2 Pour une distribution surfacique ou superficielle de charge E (M) = S 1 σ(r) u 4πɛ 0 r 2 ds Pour une distribution linéïque de charge 1 λ(r) u E (M) = dl 4πɛ 0 r 2 L dτ Page 10 de 44
Démarche dans les exercices 1. Lire complètement l énoncé. 2. Choisir un système de coordonnées approprié au problème. 3. Regarder les symétries du problème. Règle de base: Un plan est appelé plan de symétrie d un problème si, après une symétrie par rapport à ce plan, les sources du champ sont inchangées. Le champ électrostatique E appartient nécessairement à tout plan de symétrie des charges. 4. Écrire la formule intégrale du champ E soit linéïque, surfacique ou volumique. En général on est amené à exprimer un élément linéïque, surfacique, volumique. 5. Calculer ensuite composante par composante le champ électrostatique E. En général on projette E de la manière suivante: E i (M) = E e i = de e i ce qui amène à calculer des produits scalaires entre u et les vecteurs unitaires des systèmes de coordonnées considérés... 6. Vérifier le calcul avec l homogénéité des formules d une part, des cas connus de répartitions de charge d autre part. V Page 11 de 44
Premier exemple: E pour un segment de longueur finie L 1. Énoncé: Calculer le champ électrostatique au point M (y = 0, figure ci-dessous) pour une distribution de charge linéïque λ constante sur un segment de longueur finie L. y=l dl r Page 12 de 44 e y y=0 e x a θ de M
y=l dl r e y y=0 e x a θ de M 2. On choisit un système de coordonnées cartésiennes, en particulier (O, x, y). 3. Symétrie de révolution autour de (O, y). Au point M (y = 0, x, z) le champ E est nécessairement contenu dans la plan (O, x, y) : E x et E y à calculer. Page 13 de 44
y=l dl e y y=0 e x r a θ de 4. M E (M) = à calculer L dq = λdl 1 λ u 4πɛ 0 r 2 dl 5. Calcul de la composante E x : E x (M) = E 1 λ u e x e x = dl = L 4πɛ 0 r 2 puisque u e x = cos θ et dl = dy. L 0 1 λ cos θ dy 4πɛ 0 r 2 Page 14 de 44
y=l dl e y y=0 e x r a L 1 λ cos θ E x (M) = dy 0 4πɛ 0 r 2 On doit intégrer sur une variable or ici, on a 3 variables: θ, y et r. On choisit d exprimer y et r en fonction de θ: θ de tan θ = sin θ cos θ = y, y = tan θ a, dy = a a cos θ = a r, r = a cos θ M cos 2 θ dθ Page 15 de 44 E x (M) = L O 1 λ cos θ dy = 4πɛ 0 r 2 θ=θl θ=0 1 λ cos θ cos2 θ a dθ 4πɛ 0 a 2 cos 2 θ
y=l dl r e y y=0 e x a θ de M E x (M) = L O 1 λ cos θ dy = 4πɛ 0 r 2 θ=θl θ=0 1 λ cos θ cos2 θ a dθ 4πɛ 0 a 2 cos 2 θ Page 16 de 44 E x (M) = λ 4πɛ 0 E x (M) = θl 0 λ 1 4πɛ 0 a cos θ a dθ = L a2 + L 2 λ 1 4πɛ 0 a sin θ L
E x (M) = λ 1 4πɛ 0 a L a2 + L 2 y=l 5. Calcul de la composante E y : dl e y y=0 e x r a θ de M E y (M) = E y (M) = E e y L O 1 λ sin θ dy 4πɛ 0 r 2 puisque u e y = sin θ. E y (M) = λ 4πɛ 0 θ=θl θ=0 E y (M) = sin θ a dθ = λ 1 4πɛ 0 a (cos θ L cos 0) λ ( ) 1 a 4πɛ 0 a a2 + L 1 2 Page 17 de 44
E pour L y=l dl e y y=0 e x r a 6. Vérification des résultats. θ On a obtenu: de E x et E y sont homogènes. E x (M) = λ 1 4πɛ 0 a E y (M) = λ ( 1 4πɛ 0 a M ( ) L a2 + L 2 ) a a2 + L 1 2 Faisons croître a telle que a L. On devrait alors voir le segment L comme une charge ponctuelle de charge électrique λl???. Page 18 de 44
On a E x (M) = λ 1 4πɛ 0 a E y (M) = λ ( 1 4πɛ 0 a Si a L, alors on peut poser ε = L a Pour E x, Pour E y, Or E x (M) = λ 1 4πɛ 0 a 2 ( ) L a2 + L 2 ) a a2 + L 1 2 ( ) L 1 + ε 2 lim E x = 1 λ L = 1 Q ε 0 4πɛ 0 a 2 4πɛ 0 a 2 E y (M) = λ ( ) 1 1 4πɛ 0 a 1 1 + ε 2 lim (1 + ε 0 ε)n 1 + nε + O(ε 2 ) Page 19 de 44
Pour E y, lim E y (M) = ε 0 E y (M) = λ ( ) 1 1 4πɛ 0 a 1 1 + ε 2 lim (1 + ε 0 ε)n 1 + nε + O(ε 2 ) λ ( ) 1 1 4πɛ 0 a 1 + 1 = λ 1 1 2 ε2 4πɛ 0 a ( 1 λ L 4πɛ 0 a 2 lim E y (M) = ε 0 ) L 2a = 1 2 ε E x ( 1 1 ) 2 ε2 1 Page 20 de 44
y=l dl r e y y=0 e x a θ de M En conclusion: si a L, E x (M) = λ Q 4πɛ 0 a 2, E y (M) = L 2a E x Page 21 de 44
3 méthodes pour le calcul de E : ❶ Calcul direct: E (M) = V E (M) = S E (M) = Calcul de E 1 ρ(r) u 4πɛ 0 r 2 1 σ(r) u 4πɛ 0 r 2 L 1 λ(r) u 4πɛ 0 r 2 dτ distribution volumique de charge ds distribution surfacique de charge dl distribution linéïque de charge ❷ Calcul du potentiel électrostatique V puis du champ E. ❸ Calcul de E via le théorème de Gauss. Page 22 de 44
Définition du Potentiel électrostatique Soit une charge q placée à l origine d un repère de coordonnées. Calculons la circulation de E correspondant à un petit déplacement dm à partir du point M: dc = ( q E dm = q dr u dm = 4πɛ 0 r 2 4πɛ 0 r = d 1 ) q 2 4πɛ 0 r + K dc = dv avec V = 1 4πɛ 0 q r + K Pour une charge unique, la circulation d un point fictif en présence du champ E est une différentielle totale: dc = E dm = dv or dv = gradv dm Page 23 de 44 On en déduit que pour une charge ponctuelle : E = gradv avec V = 1 4πɛ 0 q r + K
éfinition du Potentiel électrostatique V Deuxième définition du potentiel Soit à nouveau une charge q dans l espace et le champ électrostatique q E (M) = e 4πɛ 0 r 2 r associé. Déplaçons maintenant une charge Q d un point A à un point B en présence de E. Par définition, le travail qu il faut fournir pour effectuer ce déplacement s écrit: W A B = AB On écrit alors où F dl = 1 4πɛ 0 q Q AB W A B = Q V AB V AB = 1 ( 1 q 1 ) 4πɛ 0 r B r A dr r = 1 ( 1 q Q 1 ) 2 4πɛ 0 r A r B Page 24 de 44 Par définition, V AB est la différence de potentiel entre les points A et B.
Potentiel électrostatique V Une charge unique q donne naissance à un champ électrostatique q E (M) = u, et un un potentiel électrostatique 4πɛ 0 r 2 avec V (M) = 1 4πɛ 0 q r + K E = gradv. Le principe de superposition demeure valide pour le potentiel électrostatique N 1 q i E B = u 4πɛ 0 ri 2 i B i=1 V (B) = N i=1 1 4πɛ 0 q i r i Page 25 de 44
du potentiel ❶ Calcul direct: E (M) = V E (M) = S E (M) = 1 ρ(r) u 4πɛ 0 r 2 dτ distribution volumique de charge 1 σ(r) u 4πɛ 0 r 2 ds distribution surfacique de charge L 1 λ(r) u 4πɛ 0 r 2 dl distribution linéïque de charge ❷ Calcul du potentiel électrostatique V puis du champ E, avec E = gradv ρ V (M) = dτ distribution volumique de charge 4πɛ 0 r V (M) = V (M) = V S σ ds distribution surfacique de charge 4πɛ 0 r L λ dl distribution linéïque de charge 4πɛ 0 r Page 26 de 44
❸ Énoncé: Le flux du champ électrostatique généré par une distribution de charges électrostatique (charge totale Q) sortant d une surface fermée est nulle si la charge est à l extérieur de la surface S (surface de Gauss) et vaut Q int S. Φ = S ɛ 0 si la charge est à l intérieur de E ds = Q int ɛ 0 Attention: Le calcul du champ électrostatique via le théorème de Gauss s y prête dans des cas bien particuliers de symétries. En particulier, il n est pas évident en général d avoir le champ électrostatique partout dans l espace avec cette méthode: on a en effet le champ a priori qu en bordure de la surface de Gauss. Page 27 de 44
Le théorème de Gauss peut se réécrire : Relation de Maxwell Φ = S S E ds = Q int ɛ 0 E ds = 1 ɛ 0 Théorème de Green-Ostrogradsky E ds = S V V ρdτ div E dτ d où Page 28 de 44 div E = ρ ɛ 0 théorème de Gauss en forme différentielle, et qui est une des relations de Maxwell (Électromagnétisme).
E pour un fil de longueur infinie y=l dl e y y=0 e x r a θ On a obtenu pour un fil de longueur fini L: E x (M) = λ ( ) 1 L 4πɛ 0 a a2 + L 2 E y (M) = λ ( ) 1 a 4πɛ 0 a a2 + L 1 2 de M Page 29 de 44
E pour un fil de longueur infinie y=l dl r e y y=0 e x a θ de M Pour un segment soit de longueur infinie: E x (M) = λ 4πɛ 0 E y (M) = λ 4πɛ 0 π 2 π 2 π 2 π 2 cos θ λ dθ au lieu de a 4πɛ 0 sin θ dθ au lieu de λ a θl θ=0 4πɛ 0 D où: E y = 0, E x = λ 2πɛ 0 1 a cos θ a dθ θl θ=0 sin θ a dθ Page 30 de 44
pour un fil infini 1. On adopte les coordonnées cylindriques. M O e z M M 2. Plaçons nous en point M comme sur la figure. Un plan (O, M, M ) est plan de symétrie. Le plan (M, M, M ) est plan de symétrie aussi. E est radial au point M. e r E r (r, θ, z) 0, E θ (r, θ, z) = 0, et E z (r, θ, z) = 0 Si on déplace sur l axe (O, z), la distribution de charges reste invariante. E r ne dépend pas de z. Si on effectue une rotation autour de (O, z), i.e. on varie θ, la distribution reste invariante. On en conclut que E r ne dépend que de la variable r. Page 31 de 44 E = Er (r) e r
pour un fil infini M O e z M M e r 3. On peut maintenant appliquer le théorème de Gauss Q int Φ = E ds = ɛ 0 S sur une surface de Gauss bien choisie. Laquelle? Surface de Gauss : le cylindre de centre 0 passant par M. Les flux de E sur les bases supérieures et inférieures sont nuls. Il ne reste que le flux sur les parois latérales du cylindre : E ds = E(r) e r ds e r S = 2πrE(r) h = Q int ɛ 0 E = Er e r = S λ 2πɛ = λ h ɛ 0 1 e r r Page 32 de 44
Comparaison calcul direct et théorème de Gauss On a obtenu en coordonnées cartésiennes avec le calcul direct (intégration d une distribution linéïque de charges), C est bien identique à E y = 0 E x = λ 2πɛ 0 1 a a E = Er e r = λ 1 e r 2πɛ 0 r en coordonnées cylindriques, obtenu en utilisant le théorème de Gauss. Page 33 de 44
Le dipole électrostatique Définition: Un dipole électrostatique est un système constitué de 2 charges électriques opposées q et q placées en 2 points N et P tel que a = NP, a devant toutes les distances considérées dans le problème. E θ E r M 0 d N θ P -q a/2 0 a/2 +q p= qnp r Page 34 de 44
Dipole électrostatique 0 N d θ P -q a/2 0 a/2 +q p= qnp r E θ E r M Par définition le moment dipolaire s écrit P = q NP avec [p] = C.m Page 35 de 44 On va calculer le champ électrostatique généré par un dipole, via un calcul utilisant le potentiel électrostatique.
Calcul du potentiel électrostatique V du dipole en un point M situé à une distance r de l origine O. On se place dans le plan ( NP, M). En appliquant le principe de superposition, on écrit: V (M) = q ( 1 4πɛ 0 MP 1 ) MN On utilise alors une relation valable quel que soit le triangle ABC: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos  où a, b et c sont les 3 longueurs des côtés du triangle et  l angle défini par les deux côtés b et c. ( a ) ( 2 MN 2 = r 2 ar + + 2 cos θ = r2 1 + a ( a ) ) 2 2 2 r cos θ + 2r ( a ) ( 2 MP 2 = r 2 ar + 2 cos θ = r2 1 a ( a ) ) 2 2 2 r cos θ + 2r Page 36 de 44
Selon les hypothèses a r 1 1 MP 1 MN ( MN 2 = r 2 1 + a ( a ) ) 2 r cos θ + 2r ( MP 2 = r 2 1 a ( a ) ) 2 r cos θ + 2r = 1 r 1 r = 1 r [ ] 1 1 a cos θ 1 r 1 + a cos θ r [1 + a 2r cos θ 1 + a ] 2r cos θ [ a r cos θ ] V (M) = q 4πɛ 0 a r 2 cos θ ou encore en considérant les coordonnées polaires avec M(r, θ), OM u = r, p = qa e NP, V (M) = 1 p u = 1 p cos θ 4πɛ r 2 4πɛ r 2 Page 37 de 44
Détermination du champ électrostatique E du dipole en un point M situé à une distance r de l origine O. ( NP, M) est plan de symétrie pour la distribution de charges. Le champ E a donc deux composantes au point M: E r et E θ. E r E θ = V r = = 1 r E = gradv ( V θ = 1 r 1 4πɛ 0 ( r ) p cos θ r 2 1 4πɛ 0 θ ) p cos θ r 2 = 1 p cos θ 2πɛ 0 r 3 = 1 p sin θ 4πɛ 0 r 3 Remarque: Le champ électrostatique généré par un dipole décroît en r 3, contrairement au champ généré par une charge ponctuelle qui décroît en r 2. Exercice: Tracer les lignes de champ (ligne tangentes au vecteur E en chaque point) et les lignes d equipotentiel (V =constante). Vérifier entre autre que les equipotentiels sont bien perpendiculaires aux lignes de champ. Page 38 de 44
Dipole électrostatique Tracé des lignes d equipotentiel : On cherche les lignes dans le plan ( NP, M) tel que le potentiel V soit constant, soit: V = 1 p cos θ 4πɛ 0 r 2 = K Cette équation équivaut à r 2 = p cos θ K 4πɛ 0 = A cos θ où A = p K 4πɛ 0. Pour tracer les equipotentiels, on fait alors varier A. Page 39 de 44
En coordonnées polaires r 2 = A cos θ où A = p K 4πɛ 0. Prenons A = 1 et traçons l equipotentiel associée : r 2 = cos θ r = cos θ puisque r 2 > 0 d où θ Prenons A = 1 et traçons l equipotentiel associée : r 2 = cos θ r = cos θ puisque r 2 > 0 d où θ [ 3 π 2, π ] 2 [ π 2, 3π 2 ] C est logique, les equipotentiels positives sont proches de la charge q et les equipotentiels negatives proches de la charge q. En coordonnées cartésiennes En prenant, r 2 = x 2 + y 2 et cos θ = x/ x 2 + y 2, on obtient y = ± (Ax) 2/3 x 2 Page 40 de 44
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Dipole électrostatique Tracé des lignes de champ : Par définition, les lignes de champ de E sont des courbes tangentes au vecteur E en chaque point. Pour tracer les lignes de champ dans notre problème, on écrit que si on se déplace dans le plan ( NP, M) d un point M à un point M (tel que MM = dm) le long d une ligne de champ, alors nécessairement dm est colinéaire au champ E ou encore dm = k E où k est une constante En coordonnées polaires, un déplacement élémentaire s écrit: dm = dr e r + rdθ e θ dr e r + rdθ ) e θ = k (E r e r + E θ e θ Page 42 de 44
dr = k E r et rdθ = k E θ soit dr = rdθ = k dr E r = 1 p cos θ 2πɛ 0 r 3 E θ rdθ 1 p sin θ 4πɛ 0 r 3 dr r d(ln r) = 2d (ln (sin θ)) ln r = 2 ln (sin θ) + C, on pose C = ln λ ln r = ln ( sin 2 θ ) + ln λ ln r = ln(sin 2 θ λ) = 2 cos θ sin θ dθ Finalement, l équation des lignes de champ s écrit en coordonnées polaires: r = λ sin 2 θ Page 43 de 44 NB : Pour orienter les lignes de champ, on sait que le champ E est dirigé vers les potentiels décroissant.
Diagramme électrique du dipole électrostatique. Page 44 de 44