Allocation Robuste et Restrictions sur les Contributions au Risque

Allocation Robuste et Restrictions sur les Contributions au Risque QuantValley/QMI Workshop, Geneve, 26 Septembre, 2013 http://ssrn.com/abstract=2192399 1/33

Les contributions du papier: Nous définissons des portefeuilles Risk Parity pour des mesures de risque générales: Value-at-Risk, Expected Shortfall,... We proposons une interprétation dynamique des portefeuilles Risk Parity avec une interprétation en termes de coûts de transaction Nous considérons des restrictions sur les contributions des composantes marché du risque 2/33

Les principaux résultats du papier: Les contributions au risque des composantes marché sont variables dans le temps Controler ces contributions permet de réduire le taux de rotation des portefeuilles Un gestion plus efficace des risques d un portefeuille passe par le traitement différencié des composantes marché et idiosyncratique 3/33

Plan de la présentation 1 Allocation Risk Parity Dynamique 2 3 4 4/33

1. Allocation Risk Parity Dynamique 5/33

Qu est ce qu une mesure de risque? 6/33

Qu est ce qu une mesure de risque? On considère un portefeuille composé de n actifs risqués: w = (w 1,..., w n ) où w i désigne le poids de l actif i dans ce portefeuille 6/33

Qu est ce qu une mesure de risque? On considère un portefeuille composé de n actifs risqués: w = (w 1,..., w n ) où w i désigne le poids de l actif i dans ce portefeuille Le rendement du portefeuille est: w y = n w i y i i=1 où y i est le rendement de l actif i 6/33

Le risque de ce portefeuille est alors mesuré par le scalaire R(w), qui dépend du vecteur des poids w 7/33

Le risque de ce portefeuille est alors mesuré par le scalaire R(w), qui dépend du vecteur des poids w Exemples de mesures de risque: Volatilité: R(w) = (w Ωw) 1/2 7/33

Le risque de ce portefeuille est alors mesuré par le scalaire R(w), qui dépend du vecteur des poids w Exemples de mesures de risque: Volatilité: R(w) = (w Ωw) 1/2 Value-at-Risk Gaussienne: R(w) = q α (w Ωw) 1/2 ω µ 7/33

Le risque de ce portefeuille est alors mesuré par le scalaire R(w), qui dépend du vecteur des poids w Exemples de mesures de risque: Volatilité: R(w) = (w Ωw) 1/2 Value-at-Risk Gaussienne: R(w) = q α (w Ωw) 1/2 ω µ Value-at-Risk, Expected Shortfall... 7/33

Comment obtient-on les contributions au risque? 8/33

Comment obtient-on les contributions au risque? Les mesures de risque classiques satisfont la propriété d homogénéité: R(λw) = λr(w) quel que soit λ positif 8/33

Comment obtient-on les contributions au risque? Les mesures de risque classiques satisfont la propriété d homogénéité: R(λw) = λr(w) quel que soit λ positif En dérivant, nous obtenons pour λ = 1: (Formule d Euler) R(w) = n i=1 w i R(w) w i = n R i (w) i=1 8/33

Comment obtient-on les contributions au risque? Les mesures de risque classiques satisfont la propriété d homogénéité: R(λw) = λr(w) quel que soit λ positif En dérivant, nous obtenons pour λ = 1: (Formule d Euler) R(w) = n i=1 w i R(w) w i = n R i (w) i=1 Chaque terme R i (w) s interprète comme la contribution de l actif i au risque R(w) 8/33

Qu est ce qu un portefeuille Risk Parity? 9/33

Qu est ce qu un portefeuille Risk Parity? L idée est de controler les contributions au risque de chaque actif 9/33

Qu est ce qu un portefeuille Risk Parity? L idée est de controler les contributions au risque de chaque actif L allocation est alors solution du système: R i (w) = λπ i, i = 1,..., n (1) où π = (π 1,..., π n ) s interprète comme un portefeuille benchmark 9/33

Les portfeuilles Risk Parity [Scherer (2007), Maillard et al. (2010)...] correspondent au portefeuille benchmark π i = 1/n avec comme mesure de risque la volatilité 10/33

Les portfeuilles Risk Parity [Scherer (2007), Maillard et al. (2010)...] correspondent au portefeuille benchmark π i = 1/n avec comme mesure de risque la volatilité MAIS 10/33

Les portfeuilles Risk Parity [Scherer (2007), Maillard et al. (2010)...] correspondent au portefeuille benchmark π i = 1/n avec comme mesure de risque la volatilité MAIS 1. D autres mesures de risque que la volatilité peuvent etre plus adaptée 10/33

Les portfeuilles Risk Parity [Scherer (2007), Maillard et al. (2010)...] correspondent au portefeuille benchmark π i = 1/n avec comme mesure de risque la volatilité MAIS 1. D autres mesures de risque que la volatilité peuvent etre plus adaptée 2. D autres portefeuilles que l équipondéré peuvent servir de portefeuille benchmark 10/33

1. Peut-on calculer les contributions dans le cas général? 11/33

1. Peut-on calculer les contributions dans le cas général? Volatilité: R i (w) = Cov(w iy i, w y) V (w y) 11/33

1. Peut-on calculer les contributions dans le cas général? Volatilité: R i (w) = Cov(w iy i, w y) V (w y) Value-at-Risk: R i (w) = E[w i y i w y = q α (w y)] 11/33

1. Peut-on calculer les contributions dans le cas général? Volatilité: R i (w) = Cov(w iy i, w y) V (w y) Value-at-Risk: R i (w) = E[w i y i w y = q α (w y)] Expected Shortfall: R i (w) = E[w i y i w y > q α (w y)] 11/33

1. Peut-on calculer les contributions dans le cas général? Volatilité: R i (w) = Cov(w iy i, w y) V (w y) Value-at-Risk: R i (w) = E[w i y i w y = q α (w y)] Expected Shortfall: R i (w) = E[w i y i w y > q α (w y)] Chaque expression de R i (w) a une interprétation financière différente: on peut donc choisir la mesure de risque la plus appropriée 11/33

2. Quel est le bon portefeuille benchmark? 12/33

2. Quel est le bon portefeuille benchmark? Les portefeuilles Risk Parity portfolios définis par le système (1) sont également solutions du problème d optimisation min (w 1,...,w n) R(w) + λ 2 n i=1 pour différentes valeurs du paramètre λ ( ) πi π i ln w i (2) 12/33

2. Quel est le bon portefeuille benchmark? Les portefeuilles Risk Parity portfolios définis par le système (1) sont également solutions du problème d optimisation min (w 1,...,w n) R(w) + λ 2 n i=1 pour différentes valeurs du paramètre λ ( ) πi π i ln w i (2) Preuve: La condition du premier ordre de (2) correspond au système (1) 12/33

Dans un cadre statique, π = (π 1,..., π n ) correspond aux vues du gérant sur chaque actif de son portfeuille, et w = arg min w R(w) + λ n i=1 où λ controle la confiance mise dans les vues: ( ) πi π i ln w i 13/33

Dans un cadre statique, π = (π 1,..., π n ) correspond aux vues du gérant sur chaque actif de son portfeuille, et w = arg min w R(w) + λ n i=1 où λ controle la confiance mise dans les vues: On s écarte peu de π lorsque λ ( ) πi π i ln w i 13/33

Dans un cadre statique, π = (π 1,..., π n ) correspond aux vues du gérant sur chaque actif de son portfeuille, et w = arg min w R(w) + λ n i=1 où λ controle la confiance mise dans les vues: On s écarte peu de π lorsque λ On s écarte beaucoup de π lorsque λ 0 ( ) πi π i ln w i 13/33

Dans un cadre dynamique (avec des mesure de risque fonction du temps), le choix naturel est: et π i = w t 1,i wt = arg min R t (w t ) + λ w t n ( w ) wt 1,i t 1,i ln i=1 w t,i où λ controle la vitesse de convergence du portefeuille optimal vers le portefeuille de variance minimale 14/33

Dans un cadre dynamique (avec des mesure de risque fonction du temps), le choix naturel est: et π i = w t 1,i wt = arg min R t (w t ) + λ w t n ( w ) wt 1,i t 1,i ln i=1 w t,i où λ controle la vitesse de convergence du portefeuille optimal vers le portefeuille de variance minimale Les ajustements du portefeuille courant se font en plusieurs étapes pour: de gros portefeuilles institutionnels des portefeuilles investis en actifs illiquides 14/33

2. 15/33

L univers d investissement Futures contracts on physical commodities, 5 secteurs : Energy (4) Grains & Seeds (5) Softs (5) Live Stock (2) Metals (5) Total : 21 séries Daily close du 14 Mai 1990 au 24 Septembre 2012 16/33

Secteur Grains & Seeds 17/33

VaR Parity portfolio (re)allocation On compare le portefeuille optimal VaR Parity avec 3 portefeuilles classiques: Portefeuille Equi-pondéré Portefeuille Minimum Variance Portefeuille Volatility Parity 18/33

VaR Parity portfolio (re)allocation On compare le portefeuille optimal VaR Parity avec 3 portefeuilles classiques: Portefeuille Equi-pondéré Portefeuille Minimum Variance Portefeuille Volatility Parity Pour les 4 portfeuilles, nous donnons: Figure 1: les poids de chaque actif dans le portfeuille Figure 2: les contributions de chaque actif à la VaR du portefeuille 18/33

19/33

20/33

3. 21/33

Risque de marché et risque idiosyncratique La régulation financière fixe différents niveaux de Capitaux Requis (CR) pour les composantes marché et idiosyncratique 22/33

Risque de marché et risque idiosyncratique La régulation financière fixe différents niveaux de Capitaux Requis (CR) pour les composantes marché et idiosyncratique Pourquoi? Si le second élément peut facilement se diversifier, le premier ne peut etre éliminer par diversification 22/33

Risque de marché et risque idiosyncratique La régulation financière fixe différents niveaux de Capitaux Requis (CR) pour les composantes marché et idiosyncratique Pourquoi? Si le second élément peut facilement se diversifier, le premier ne peut etre éliminer par diversification Alors? De manière similaire, un gérant de portefeuille doit pouvoir prendre en compte différemment ces deux composantes 22/33

Considérons le modèle à facteur suivant: y i = β i f + σ i u i, i = 1,..., n f : facteur commun β i : sensibilité du rendement de l actif au facteur commun u i : terme idiosyncratique 23/33

Considérons le modèle à facteur suivant: y i = β i f + σ i u i, i = 1,..., n f : facteur commun β i : sensibilité du rendement de l actif au facteur commun u i : terme idiosyncratique Au niveau du portefeuille: ( n ) n w y = w i β i f + w i σ i u i i=1 i=1 23/33

Contributions au risque - marché et idiosyncratique Assets Market Idiosyncratic Total contrib contrib contrib 1 R 1 (w).. i R is (w) R iu (n) R i (w).. n R n (w) Total R s (w) R u (w) R(w) 24/33

Contraintes sur les contributions marché Nous devons résoudre le problème d optimisation: min R(w) subject to R s(w) = πr(w) w qui mixe une minimisation du risque et une contrainte sur les contributions au risque 25/33

Contraintes sur les contributions marché Nous devons résoudre le problème d optimisation: min R(w) subject to R s(w) = πr(w) w qui mixe une minimisation du risque et une contrainte sur les contributions au risque Ce problème est équilavent à: min w R2 (w) + δ[(1 π)r s (w) πr u (w)] 2 Ensemble de portefeuilles indexés par les deux paramètres δ et π 25/33

Comment choisir ces 2 paramètres? 26/33

Comment choisir ces 2 paramètres? δ est un paramètre de lissage: Portefeuille Minimum VaR portfolio quand δ 0 Portfeuille Risk Parity quand δ 26/33

Comment choisir ces 2 paramètres? δ est un paramètre de lissage: Portefeuille Minimum VaR portfolio quand δ 0 Portfeuille Risk Parity quand δ π controle la neutralité au marché: Market neutral ou α portfolio quand π 0 Index ou β portfolio quand π 1 26/33

4. 27/33

Market controlled Parity portfolios Nous comparons 9 (3 x 3) portefeuilles optimaux pour différentes valeurs δ and π pour le secteur Grains & Seeds 28/33

Market controlled Parity portfolios Nous comparons 9 (3 x 3) portefeuilles optimaux pour différentes valeurs δ and π pour le secteur Grains & Seeds Pour les 9 portfeuilles, nous donnons: Figure 1: les poids de chaque actif dans le portefeuille Figure 2: les contributions marché de chaque actif à la VaR du portefeuille 28/33

Market controlled Parity portfolios Nous comparons 9 (3 x 3) portefeuilles optimaux pour différentes valeurs δ and π pour le secteur Grains & Seeds Pour les 9 portfeuilles, nous donnons: Figure 1: les poids de chaque actif dans le portefeuille Figure 2: les contributions marché de chaque actif à la VaR du portefeuille Chaque ligne correspond à une valeur fixée de π (0%, 20%, 50%) Chaque colonne correspond à une valeur fixée de δ (10, 50, 100) 28/33

1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=0% ; δ=10 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=0% ; δ=50 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=0% ; δ=100 ; λ=1 0.9 corn rice 0.9 0.9 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 0.8 wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 corn 0.6 corn 0.5 0.5 rice soybeanoil 0.5 rice soybeanoil soybeans soybeans 0.4 0.4 wheat 0.4 wheat 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=20% ; δ=10 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=20% ; δ=50 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=20% ; δ=100 ; λ=1 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.9 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 wheat wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 corn rice 0.5 0.5 0.5 soybeanoil soybeans 0.4 0.4 0.4 wheat 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=50% ; δ=10 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=50% ; δ=50 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst/Idio PTF for grains π=50% ; δ=100 ; λ=1 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.9 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 wheat wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 corn rice 0.5 0.5 0.5 soybeanoil soybeans 0.4 0.4 0.4 wheat 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 29/33 0 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12

Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=0% ; δ=10 ; λ=1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=0% ; δ=50 ; λ=1 1 1 1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=0% ; δ=100 ; λ=1 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans wheat wheat wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=20% ; δ=10 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=20% ; δ=50 ; λ=1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=20% ; δ=100 ; λ=1 1 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans wheat wheat wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=50% ; δ=10 ; λ=1 1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=50% ; δ=50 ; λ=1 Min VaR(5%) Syst. Contrib to Total for grains π=50% ; δ=100 ; λ=1 1 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.9 corn rice 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans 0.8 soybeanoil soybeans wheat wheat wheat 0.7 0.7 0.7 0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0 30/33 0 0 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12 Jan95 Jul97 Jan00 Jul02 Jan05 Jul07 Jan10 Jul12

Contributions au risque empiriques - marché et idiosync. Pour la dernière date de notre échantillon (24 Septembre 2012), basée sur les 252 jours précédents cette date Assets Beta Weight Market Idio. Total contrib contrib contrib Corn 1.09 11.9% 9.3% 6.9% 16.2% Rice 0.35 34.4% 8.7% 18.2% 26.8% Soy. Oil 0.76 24.4% 13.2% 8.8% 22.1% Soybeans 0.87 16.3% 10.2% 8.0% 18.2% Wheat 1.12 13.0% 10.4% 6.3% 16.7% Total 100% 51.8% 48.3% 100% 31/33

Conclusion 32/33

Il est possible (et conseillé) de gérer séparément les deux composantes du risque dans le cadre Risk Parity: Pour etre en ligne avec la régulation financière Pour controler le degré d exposition au marché du portefeuille Pour réduire le taux de rotation du portefeuille 33/33