Corrigé No 2 26.09.08 Representation de base des milieux continus 1. Angles d'euler Par dénition, les angles d'euler sont dénis de la manière suivante en partant d'un repère orthonormé Oxyz : - on tourne de φ autour de z, ce qui donne Ox'y'z - on tourne de θ autour de x', ce qui donne Ox'yz' - on tourne de ψ autour de z', ce qui donne Oxy'z' La matrice de rotation autour de l'axe z est dénie par : P (φ) = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ 0 (1) Dès lors, on est donc dans le repère Ox'y'z et pour tourner autour de x', on applique simplement la matrice de rotation suivante : P (θ) = 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ (2) Dès lors, on est donc dans le repère Ox'yz' et pour tourner autour de ce nouveau z' on applique la matrice suivante : P (ψ) = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 (3) En résumé, pour passer du repère Oxyz au repère Oxy'z', il faut appliquer la rotation P = P (φ) P (θ) P (ψ), ce qui donne ( cos [φ] cos [ψ] cos [θ] sin [φ] sin [ψ] cos [θ] cos [ψ] sin [φ] cos [φ] sin [ψ] sin [θ] sin [φ] cos [ψ] sin [φ] + cos [θ] cos [φ] sin [ψ] cos [θ] cos [φ] cos [ψ] sin [φ] sin [ψ] cos [φ] sin [θ] sin [θ] sin [ψ] cos [ψ] sin [θ] cos [θ] ) (4) Pour calculer la position du vecteur [001] dans la nouvelle base, on va appliquer P à ce vecteur en prenant les angles considérés. Le premier angle φ est égal à 40 + 90 = 130, car en eet il faut se rappeler que la deuxième rotation se passera autour de x', et donc il faut ramener le plan yz sur le plan déterminé par [010] et [001], et pour ce faire, il ne faut pas tourner de 40 mais de 130 autour de z. Le deuxième angle θ est simplement égal à 45-10 = 35. En eet, on sait qu'entre [001] et [011], il y a un angle de 45 et qu'il y a un angle de 10 entre G et [011]. 1
Le dernier angle ψ est nul (rotation propre). Cela nous donne donc la matrice de rotation suivante : [ ] cos 13π [ 18 ] 18 [ ] [ ] cos 7π [ ] [ 18] cos 7π cos 13π ] 18 0 sin [ 7π Et l'application numérique donne : [ ] [ ] sin 7π [ ] 18 [ ] cos 13π 18 sin 7π [ ] cos 7π 0.642788 0.627507 0.439385 0.766044 0.526541 0.8688 0. 0.573576 0.819152 (5) (6) Pour ce qui est de l'inverse d'une matrice, on le calcul de la manière suivante : 1. calculer le determinant de la matrice (si det(matrice)=0 la matrice n'est pas inversible). soit A = a b c d e f g h i Det[A] = (aei ceg + dhc fha + gbf ibd) 2. remplacer chaque terme de la matrice par son déterminant mineur. Attention aux signes (ils s'alternent)! ei fh fg di dh eg ch bi ai cg bg ah bf ce cd af ae bd 4. transposer la matrice ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af dh eg bg ah ae bd 5. diviser chaque terme par le déterminant. La formule général pour inverser une matrice est : 2
A 1 = 1 A α 22 α 23 α 32 α 33 α 23 α 21 α 33 α 31 α 21 α 22 α 31 α 32 α 13 α 12 α 33 α 32 α 11 α 13 α 31 α 33 α 12 α 11 α 32 α 31 α 12 α 13 α 22 α 23 α 13 α 11 α 23 α 21 α 11 α 12 α 21 α 22 Et pour passer de la base Oxy'z' à la base Oxyz, il faut simplement inverser la matrice P ce qui donne : ( cos [φ] cos [ψ] cos [θ] sin [φ] sin [ψ] cos [θ] cos [φ] sin [ψ] + cos [ψ] sin [φ] sin [θ] sin [ψ] cos [φ] sin [ψ] cos [θ] cos [ψ] sin [φ] cos [θ] cos [φ] cos [ψ] sin [φ] sin [ψ] cos [ψ] sin [θ] sin [θ] sin [φ] cos [φ] sin [θ] cos [θ] Pour trouver la position de G dans la nouvelle position du repère du cristal il faut résoudre le produit point : P 0 cos 35 sin 35 ) (7) (8) (9) 2. Representation d'un phènomène a) Représentation Lagrangienne Prenons un point A quelconque dans la région qui se trouve à droite de l'interface solide-liquide, dans le liquide. Ce point a une composition c 0 au temps t 0. Maintenant, on suit A le long du procédé de solidication, en direction x. Puisque le monocristal est tiré vers la gauche à une vitesse v, A s'approche de l'interface à la même vitesse et voit sa composition augmenter jusqu'à une valeur c juste à l'interface. Après, puisque on suppose une situation à l'équilibre, la composition de A redescend à c 0. Noter que, dans cette représentation, la position d'a dépends toujours de sa position initiale. a) Représentation Eulérienne On dénit, pour cette représentation, une fenêtre sur laquelle le phénomène sera étudié. C'est l'interface qui nous intéresse, alors on limite cette fenêtre atour de cette région. La position initial des points n'est plus un soucis. En réalité, nous allons voir marcher devant la fenêtre tous le points qui passent de l'état liquide à l'état solide 3
et on observera la variation de concentration d'une frontière à l'autre du domaine observé. Pour ce genre de problème, la représentation Eulérienne est la plus adéquate puisqu'il s'agit d'un phénomène où seule ce qui se passe à l'interface nous intéresse, peu importe la position initiale des points dans le procédé, ce qui est important est le phénomène de solidication. Supposons que l'on dénit un problème où l'on réduit la section (forcément un cas 2D ou 3D) juste avant la région dont le changement de phase a lieu. Une déformation a lieu, la position des points n'est plus la même au cours de temps et dépend directement de la positon initiale et ce qui se passe au cours de temps. Alors, une représentation Lagrangienne s'impose. b) On résout l'équation : qui est du type : D d2 c l dx 2 + v dc l dx = 0 (10) aλ 2 + bλ = 0 (11) et qui a une solution de la forme : c l (x) = A exp xλ 1 + B exp xλ 2 On trouve que λ 1 = 0 et λ 2 = v/d Les conditions aux limites sont obtenues d'après la gure dans l'énoncé : c l (x = 0) = c l and c l(x = ) = c 0 d'où on peut en tirer les valeurs des constantes A = c 0 et B = c c 0 On retrouve alors l'expression c l (x) = c 0 + c ( ) 0 x k (1 k)exp δ pour δ = D/v la longueur caractéristique de la couche limite. La gure ci-dessous montre le prole de concentration aux alentours de l'interface pour les valeurs numériques aussi dénis sur la gure. Noter que l'epaiseur de la couche limite est de l'ordre de 0.2 µm. Il s'agit d'un cas en situation stationnaire, ce qui signie que ce prol est indépendant du temps. Par contre, si l'on suppose que tout d'abord, en début de la solidication de ce monocristal, la concentration à l'interface est c 0 et varie progressivement avec le temps jusqu'à c. En outre, la question dans l'énoncé est certainement erronée parceque dans une représentation Eulérienne, la position d'un point x dans le petit élément de volume ne dépend pas de ça position initiale x 0 au temps t 0 3. Matrice de passage (12) 4
Interêt : Exprimer la transformation d'un repéré à un autre. Matrice de passage cylindrique : Le moyen le plus intuitif est d'exprimer la matrice permettant de passer du système cylindrique au système cartésien [Rc] 1. En eet si on prend le vecteur [100] dans le repère cylindrique et q'on exprime dans le repère cartésien on obtient les coordonnées du vecteur e r. De même, le vecteur [010] sera exprimé dans le repère cartésien par les coordonnées du vecteur e θ et le vecteur [001] sera exprimé dans le repère cartésien par les coordonnées du vecteur e z. La matrice de passage [Rc] 1 sera donc : [ e r e θ e z ] exprimée dans les coordonnées cartésiennes. Pour obtenir la matrice sous forme numérique on projète chaque vecteur sur le repère cartésien. on obtient donc : [ Rc 1] = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 (13) On inverse la matrice comme expliqué auparavant. Pour savoir si la matrice R c est unitaire on résout le produit vectoriel : [R c ] [R c ] = [I] (14) 5