L G L G Octobre 015 MEA0003- - MÉANIQUE RATIONNELLE Prof. Éric J.M.DELHEZ Un constructeur de jouets souhaitant mettre au point un nouveau système de propulsion de petites voitures pour son circuit miniature conçoit le dispositif ci-dessous. La voiture, assimilée à un point matériel P de masse m évolue sans frottement sur une courbe de guidage OB disposée dans un plan vertical et décrite par l équation r= acos θ, θ ] π/,π/8] La liaison entre la voiture et la courbe de guidage est supposée bilatérale. La voiture est munie d un aimant. Un électro-aimant est placé en O et permet d exercer sur P une force centrale inversement proportionnelle au cube de la distance OP, i.e. A O θ F=mµ OP OP 4 On suppose dès lors que le point O n est pas accessible. En faisant varier l intensité du courant électrique circulant dans le bobinage de l électro-aimant, on peut ajuster le signe et la valeur de la constante µ. P B i. Déterminez les dimensions de la constante µ intervenant dans l expression de F. ii. Relevez toutes les forces agissant sur la voiture en précisant leurs caractéristiques direction, force appliquée / force de liaison, force conservative. iii. Écrivez l équation différentielle vectorielle du mouvement du point P. iv. Déterminez une intégrale première scalaire du mouvement et son interprétation physique. v. Montrez que cette intégrale première peut s écrire sous la forme où θ ω cos θ+ α cos θ = ω = g a et α= µ 16a 4 vi. Déterminez les positions d équilibre et discutez leur stabilité en fonction de ω et α. On supposera provisoirement que α+ω 0. vii. À l instant initial, la voiture est abandonnée sans vitesse au point A. Montrez qu il est nécessaire que ω > 4α pour que la voiture puisse atteindre le point B θ=π/8 et quitter la courbe de guidage. viii. Déterminez la force exercée par la voiture sur la courbe de guidage lorsque celle-ci passe par le point situé à la verticale de O dans les conditions envisagées au point précédent. ix. Déterminez les positions d équilibre et étudiez leur stabilité dans le cas où α+ω = 0. x. Montrez que la condition ω > 4α est également suffisante pour permettre à la voiture de quitter la courbe de guidage si elle est abandonnée sans vitesse en A.
SOLUTION i. De l expression de la force centrale, on tire [µ]= [F]L3 [m] = MLT L 3 M = L 4 T ii. Les forces agissant sur le point P sont mg : la force de pesanteur, force appliquée conservative dirigée verticalement vers le bas ; N : la force de liaison normale à la courbe de guidage en l absence de frottement ; F : la force centrale, force appliquée conservative dirigée selon le vecteur OP. O e θ A θ N e r P B mg F iii. L équation différentielle vectorielle du mouvement du point P s écrit où s est le vecteur position de P par rapport au point fixe O. iv. Multipliant scalairement par ṡ l équation 1, on obtient m s=mg+n+f 1 mṡ s=mṡ g+ṡ N+ṡ F où ṡ N=0 puisque la vitesse est tangente à la courbe et donc perpendiculaire à la réaction normale. hacun des termes restants peut s exprimer comme une dérivée temporelle. On a, d une part, mṡ s= 1 m d dt ṡ et mṡ g= d dt ms g et, d autre part, ṡ F=ṙe r + r θe θ mµr 3 e r = mµṙ r 3 = d dt 1 mµr où on a exprimé les vecteurs position et vitesse en coordonnées polaires dans le plan de la courbe selon s=re r et ṡ=ṙe r + r θe θ Après intégration, on obtient l intégrale première scalaire de conservation de l énergie 1 m ṡ ms g+ 1 mµr = E v. hacun des termes de l équation peut être exprimé en fonction de la seule variable θ en utilisant l équation de la courbe r = a cos θ et donc ṙ = a θ sin θ : 1 m ṡ = 1 mṙ + r θ = 1 m4a θ sin θ+4a cos θ θ =ma θ
ms g= mre r gcos θe r gsinθe θ = mrgcos θ= magcos θ Après simplification, on obtient c est-à-dire où on a posé 1 mµ mµr = 8a cos θ θ g a cos θ+ µ 16a 4 1 cos θ = θ ω cos θ+ α cos θ = 3 ω = g a et α= µ 16a 4 vi. L intégrale première 3 peut encore s écrire sous la forme où θ +V θ= V θ= ω cos θ+ α cos θ Les positions d équilibre sont les points stationnaires de la fonction potentielle V. On calcule donc qui s annule si V θ= ω cosθsin θ+αsinθcos 3 θ = sin θcos θ ω + α = sinθ sin θ = 0, ce qui correspond à la position d équilibre θ = 0 ; ω + α cosθ=0, ce qui ne correspond à aucune position d équilibre sur la courbe puisque le point O n est pas accessible ; = α/ω, ce qui, si ω α < 0, conduit à identifier les positions d équilibre +θ et θ où θ = arcos 4 α/ω La position +θ n est cependant située sur la courbe de guidage que si arcos 4 α/ω π 8 4 Remarquons que θ = 0 dans le cas où α= ω. Notons encore que les points stationnaires ± arcos n appartiennent pas à l intervalle ] π/, π/8]. En conclusion, les positions d équilibre sont les suivantes : si α ω : θ=0 ; 4 α/ω ne sont pas admissibles car ils si ω < α<0 : θ=0 et θ=±θ =±arcos 4 α/ω sous réserve de la condition 4 ; si α 0 : θ=0. La nature des positions d équilibre peut être déterminée à partir de la nature des points stationnaires dev. On calcule V θ=cos θ ω + α +sinθ cos 4 4αsin θcos 5 θ θ = cos θ ω + α cos 4 + 8sin θ α θ 3
On a alors < 0 si α< ω maximum dev, position d équilibre instable ; V 0=ω + α = 0 si α= ω pas de conclusion à ce stade, voir point ix ; > 0 si α> ω minimum dev, position d équilibre stable. Dans le cas où ω < α<0, on a V ±θ = 8ω sin θ < 0 maxima dev, positions d équilibre instables vii. La voiture étant abandonnée sans vitesse au point A, on a, à l instant initial, θ = π/4 et θ = 0 et la constante peut être déterminée dans 3 : θ ω cos θ+ α cos θ = = ω + α 5 Dans ce cas, le point du diagramme de potentiel correspondant à θ= π/4 est un point de réflexion θ = 0 et, pour pouvoir s en éloigner dans la direction des θ croissants, il est nécessaire qu un puits de potentiel se situe à droite de ce point, c est-à-dire quev π/4<0. V θ π/4 θ On en déduit la condition nécessaire V π/4=sin π/ ω α + cos 4 = ω + 4α<0 π/4 soit ω > 4α. Le cas ω = 4α doit être écarté puisqu on a alorsv π/4 = 0 et que la voiture occupe dans ce cas une position d équilibre instable θ = π/4 qu elle ne peut quitter spontanément. Afin de déterminer si la condition obtenue est également suffisante, il faut vérifier que le puits de potentiel limité par θ = π/4 s étend jusqu en +π/8 qui correspond à l extrémité libre de la courbe de guidage. ette étude est réalisée au point x. viii. La force exercée par la voiture sur la courbe quand elle passe au point est donnée par l opposé de la force de liaison N agissant sur la voiture à cet endroit. Afin de déterminer l expression de la force de liaison, repartons de l équation 1. Remarquons que, en θ = 0, la force de liaison normale est telle que N=Ne r. On a donc N =m s mg F e r = m r r θ mgcosθ mµr 3 où r= a, où θ peut s exprimer à partir de 5, soit et où On a donc θ =ω cos θ α cos θ ω + α=ω α ω ω + α= + α ω r= acos θ θ asinθ θ= a + α ω N = ma + α ω = 4ma + α = 3maω + α ω + ma + α + mg+m µ 8a 3 + maω + maα 4
ix. Dans le cas où α= ω, on a V θ ω = sinθ sinθ cos 3 θ V θ ω = cosθ cos θ 6 sin θ V θ ω V iv θ ω = 4sinθ 4 sinθ cos 3 θ 1sinθcos θ 4 sin3 θ cos 5 θ = 4sinθ 16 sinθ cos 3 θ 4 sin3 θ cos 5 θ V 0= 0 V 0= 0 V 0= 0 = 8cosθ 16 cos θ cos 3 θ + sinθ... V iv 0= 4ω < 0 La position θ = 0 est donc un maximum du potentiel quand α = ω, ce qui correspond à une position d équilibre instable. x. omme indiqué au point vii., pour vérifier que la conditionω > 4α est suffisante pour permettre à la voiture de quitter la courbe, il faut vérifier que le point θ=+π/8 est accessible si la voiture est abandonnée sans vitesse en θ= π/4. ette étude peut être réalisée en étudiant le mouvement sur un diagramme de potentiel pour les différentes valeurs des paramètres. Le diagramme de potentiel peut être esquissé en tenant compte des informations obtenues en vi. sur les points stationnaires de V, de l existence d asymptotes verticales en ±π/ sauf si α = 0 et en utilisant le fait quev est une fonction paire. α>0 α=0 ω 4 < α<0 Dans tous les cas où la condition nécessaire ω > 4α est vérifiée, la voiture atteint le point B avec une vitesse non nulle si elle est abandonnée sans vitesse au point A. La condition est donc également suffisante. 5
Pour être complet, remarquons que, si la condition ω > 4α n est pas vérifiée, le diagramme de potentiel peut être esquissé comme ci-dessous. Dans toutes ces situations, la voiture est soit immobile en A, si α= ω /4, soit vient se coller sur l électro-aimant situé en O sans quitter la courbe de guidage. ω 4 = α<0 ω < α< ω 4 < 0 α ω < 0 6