CHAPITRE 10 AGRANDISSEMENT ET REDUCTION I. NOTION D AGRANDISSEMENT ET REDUCTION Faire un agrandissement d une figure c est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k plus grand que 1. Exemple : Le 2 ème triangle est un agrandissement du 1 er, les longueurs ont été multipliées par 1,5 En effet : 3 1,5 = 4,5 4 1,5 = 6 et 5 1,5 = 7,5. Le coefficient d agrandissement k est égal à 1,5. Faire une réduction d une figure c est multiplier toutes les longueurs par un même nombre k plus grand compris entre 0 et 1. Exemple : Le 2 ème triangle est une réduction du 1 er, les longueurs ont été divisées par 2. On préfère dire qu elles ont été multipliées par 1 2. En effet : 4 1 2 = 2 6 1 2 = 3 et 8 1 2 = 4 Le coefficient d agrandissement k est égal à 1 c'est-à-dire à 0,5. 2 Page 1 sur 7
Calcul du coefficient k : Coefficient d agrandissement = Longueur agrandie Coefficient de réduction = Dans le 1 er exemple : 4,5 3 = 6 4 = 7,5 1,5 = 1,5. Dans le 2 ème exemple : 2 4 = 3 6 = 4 8 = 1 2. II. EFFET SUR LES ANGLES Dans un agrandissement ou une réduction, les angles sont conservés. Les angles les deux triangles du premier exemple du paragraphe I son égaux, de même pour les triangles du deuxième exemple. III. EFFET SUR LES AIRES A. ACTIVITE Quand on agrandit une figure, l aire aussi augmente mais pas de la même façon que les longueurs. Considérons les deux rectangles ci-dessous : Il est clair que le 2 ème est un agrandissement du 1 er de coefficient 3. Que se passe-il pour les aires? 1cm 2cm = 2 cm² 3cm 6cm = 18 cm² L aire du 1 er est égale à 2 cm² et celle du 2 ème est égale à 18 cm². L aire a été multipliée par 9! Page 2 sur 7
Explication : Chacune des deux dimensions du petit rectangle est multipliée par 3. Son aire, qui est le produit des deux dimensions, est donc multipliée par 3 3 c'est-à-dire par 9. Autre exemple : Considérons un rectangle quelconque de longueur L et de largeur l. Faisons un agrandissement de coefficient 10. Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas l aire! Il est facile de démontrer que l aire du grand rectangle est 100 fois plus grande. En effet : L aire du petit rectangle est égale à L l. La longueur du grand est 10L et sa largeur 10l. L aire du grand est égale à 10L 10l soit 10 10 L l soit 100 L l c'est-à-dire 100 fois l aire du petit. Cas d une réduction : le principe est le même. Revenons au premier exemple de l activité. On peut dire aussi que le petit rectangle est une réduction du grand de coefficient 1. L aire du petit 3 est égale à l aire du grand multipliée par 1 3 1 3 soit 1 9. B. THEOREME (ADMIS) Si les longueurs d une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors l aire est multipliée par k 2. IV. EFFET SUR LES VOLUMES A. ACTIVITE De la même façon, lors d un agrandissement, le volume n augmente pas de la même façon que les longueurs. Considérons les deux cubes ci-dessous : 1 cm 3 cm Il est clair que le 2 ème est un agrandissement du 1 er de coefficient 3. Que se passe-il pour les volumes? Page 3 sur 7
1cm 1cm 1cm = 3 cm 3 3cm 3cm 3cm = 27 cm 3 Le volume du 1 er est égal à 3 cm 3 et celui du 2 ème est égal à 27 cm 3. Le volume a été multiplié par 27! Explication : Chacune des trois dimensions du petit cube est multipliée par 3. Son volume qui est le produit des trois dimensions, est donc multipliée par 3 3 3 c'est-à-dire par 27. Autre exemple : Considérons un pavé quelconque de longueur L, de largeur l et de hauteur h. Faisons un agrandissement de coefficient 10. Les longueurs des côtés sont multipliées par 10 mais pas le volume! Il est facile de démontrer que le volume du grand pavé est 1000 fois plus grand. En effet : L aire du petit rectangle est égale à L l h. La longueur du grand est 10L, sa largeur 10l et sa hauteur 10h. Le volume du grand est égal à 10L 10l 10h soit 10 10 10 L l h soit 1000 L l h c'est-à-dire 1000 fois le volume du petit. B. THEOREME (ADMIS) Si les longueurs d une figure sont multipliées par un nombre k (positif), alors le volume est multiplié par k 3. V. RESUME Dans un agrandissement de coefficient k : Dans une réduction de coefficient k : Longueur agrandie k > 1 0 < k < 1 Longueur agrandie = k Aire agrandie = Aire initiale k 2 Volume agrandi = Volume initial k 3 = k Aire réduite = Aire initiale k 2 Volume réduit = Volume initial k 3 Page 4 sur 7
VI. APPLICATIONS Enoncé1 : La maquette d une maison a une hauteur de 30 cm, une surface au sol d aire 1,2 m² et un volume de 0,3 m 3. La maison réelle est un agrandissement de la maquette. Le coefficient d agrandissement est 10. Calculer la hauteur réelle H, l aire A de la surface réelle au sol et le volume réel V. Le coefficient d agrandissement est 10 donc : H = 30 cm 10 = 300 cm = 3 m A = 1,2 m² 10² = 1,2 m² 100 = 120 cm² V = 0,3 m 3 10 3 = 0,3 m 3 1000 = 300 cm 3 Enoncé 2 : Un objet a une hauteur de 2 m et un volume V égal à 120 dm 3. Un autre objet est une réduction du premier. Sa hauteur est égale à 1,60 m. a) Calculer le coefficient de réduction. b) Calculer son volume V. a) Soit k le coefficient de réduction. = 1,6 = 0,8 (Il s agit d une réduction, k est bien plus petit que 1). 2 b) V = V k 3 = 120 dm 3 0,8 3 = 61,44 dm 3 Enoncé 3 : Un rectangle a une aire A égale à 12 cm² et les diagonales de longueur 5 cm. On réalise un agrandissement de ce rectangle de façon que les diagonales aient une longueur égale à 8 cm. a) Calculer le coefficient d agrandissement. b) Calculer l aire A du grand rectangle. a) Soit k le coefficient d agrandissement. Longueur agrandie = 8 = 1,6 (Il s agit d un agrandissement, k est bien plus grand que 1). 5 b) A = A k 2 = 12 cm 2 1,6 2 = 30,72 cm 2 Page 5 sur 7
Enoncé 4 : La Tour Eiffel, qui est construite en fer, mesure environ 300 m de haut et sa masse M est égale à 8 000 tonnes. On fabrique maquette en fer de 1 m de haut. a) Calculer le coefficient de réduction. b) Calculer la masse M de la maquette (le coefficient de réduction des masses est le même que celui des volumes. a) Soit k le coefficient de réduction. = 3 300 = 1 = 0,01 (Il s agit d une réduction, k est bien plus petit que 1). 100 b) Il en va des masse comme des volumes donc : M = M k 3 = 8 000 tonnes 0,01 3 = 0,008 tonnes = 8 kg. VII. SECTION D UN PYRAMIDE OU D UN CONE S S D C A B A R O D C A B A O A. THEOREME (ADMIS) Lorsqu on coupe une pyramide (ou un cône) par un plan parallèle à la base on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction due la grande pyramide (du grand cône). Le coefficient de réduction k est égal à SA SA = SB SB = A B AB = SO SO = O A OA etc Rappel : on a aussi (voir chapitre 7) (A B ) // (AB) (B C ) // (BC).. (A O )//(AO) Page 6 sur 7
B. APPLICATION La figure représente une pyramide régulière dont la base est un pentagone régulier. Elle a été coupée par un plan parallèle à la base. I et J sont les centres respectifs de la base et de la section. A et A sont les aires de la base et de la section. V et V sont les volumes de la grande et de la petite pyramide. On donne : SJ = 12 cm, SI = 20 cm et A = 150 cm². 1) Calculer V. 2) Quelle est la nature de la section? 3) Calculer le coefficient de réduction des longueurs k. 4) Calculer A. 5) Calculer V. a) V = Aire de la base hauteur 3 = 150 cm2 20 cm 3 = 1 000 cm 3 b) La section est une réduction de la base donc c est un pentagone régulier. c) = SJ SI = 12 20 = 0,6. d) A = A k 2 = 150 cm 2 0,6 2 = 150 0,36 cm 2 = 54 cm 2 e) V = V k 3 = 1000 cm 3 0,6 3 = 1000 0,216 cm 3 = 21,6 cm 3 Page 7 sur 7