1 Université Paris-Sud 2002/2003 DESS d Ingéniérie Mathématique Examen de onception et Visuaisation d Objets 27 mars 2003, durée 3 heures Les documents et cacuettes sont autorisés On fabrique une cé d apparence ancienne. Le profi de a cef correspond à objet pan X ci-dessous. 1. Profi des dents 1. ombien objet X comporte-t i de sommets, d arêtes, de bouces, de faces connexes? Quee est sa caractéristique d Euer? 2. Soit Y objet obtenu en extrudant X sur une épaisseur. Que vaut a caractéristique d Euer du bord Y de Y? 2. Dents de a cé 3. Le canon de a cé est un cyindre creux Z de ongueur L. Que vaut a caractéristique d Euer du bord Z de Z? 4. Soit K = Y Z. Que vaut a caractéristique d Euer du bord K de K? En déduire e genre de K. 3. anon avec dents 5. On s intéresse à a dent représentée sur a figure ci-dessous. P Q T U S 4. Une dent R
2 Faire a iste des faces contenant arête QR. Pour chaque face, indiquer orientation qu ee induit sur cette arête. Pour chaque coarête reative à QR (i.e. chaque coupe (QR, f ace), indiquer son successeur. 6. Dessiner e ien de a BRep K au point T. Indiquer orientation induite. 7. On suppose déjà réaisées 7 esquisses contenant chacune une des bouces constituant e bord de X, ainsi que, dans un pan perpendicuaire au précédent, deux cerces constituant e bord de a section du cyindre creux Z. On travaie dans un ogicie de AO qui dispose des features suivants : es opérations booéennes réguarisées, extrusion et a poche. Le feature extrusion extr (resp. e feature poche poche) prend comme arguments un objet O (éventueement vide), une bouce pane B et une ongueur L et effectue a réunion (resp. a soustraction réguarisée) de O avec extrusion de profondeur L de a face pane bordée par B. Trouver un procédé de conception de objet K et dessiner arbre SG correspondant. 8. On note e cyindre extérieur du canon de a cé et r son rayon. On compète a cé par un manche cyindrique d épaisseur e > r et de rayon R r, d axe orthogona à ceui de (voir figure 5). On note a partie cyindrique du bord du manche. Suivant a vaeur de R, dire si intersection est ou non une réunion de courbes réguières disjointes. 5. é compète 9. La représentation en perspective de a figure 2 vous paraît-ee correcte? Si non, quee oi de a perspective est-ee vioée?
3 Université Paris-Sud 2002/2003 DESS d Ingéniérie Mathématique orrigé de Examen de onception et Visuaisation d Objets 27 mars 2003, durée 3 heures 1. 36 sommets, 36 arêtes, 5 bouces, 3 faces. F 1 est bordée par 1 bouce, F 2 et F 3 par 2 bouces. Par conséquent, χ(f 1 ) = 1, χ(f 2 ) = χ(f 3 ) = 0, d où χ(x) = 1. 2. Le bord de Y est constitué de 72 sommets, 108 sommets, 42 faces connexes dont 4 sont bordées par 2 bouces et 38 par une bouce. On a donc χ( Y ) = 72 108 + 38 = 2. On peut aussi constater que Y est constitué de 3 BRep homéomorphes à des surfaces connexes orientées de genres 0, 1 et 1 donc sa caractéristique d Euer vaut 2. 3. Z est homéomorphe à une surface connexe orientabe de genre 0 donc sa caractéristique d Euer vaut 0. 4. Soit Y = Y Z. Aors Y ne diffère de Y que par 4 faces panes qui sont changées en faces cyindriques f 1,..., f 4. Par conséquent χ( Y ) = χ( Y ). Y Z est a réunion de ces 4 faces. hacune est bordée par une bouce, donc I vient D autre part, χ( Y Z) = 4. χ( Y Z) = χ( Y ) + χ( Z) χ( Y Z) = 2 4 = 2. K f 1 f 4 = Y Z et K f i est une bouce, de caractéristique d Euer nue. Par conséquent χ( Y Z) = χ( K) + = χ( K) + 4 donc χ( K) = 6. On concut que e genre de K vaut 4. 4 χ(f i ) 5. L arête QR est contenue dans exactement deux faces, RQP S et QRUT. La face QP SR induit orientation RQ, a face QRUT induit orientation QR. Le successeur de (RQ, RQP S) est a coarête (QP, RQP S). Le successeur de (QR, QRUT ) est (RU, QRUT ). 6. Au voisinage de T, K coïncide avec un cube. Par conséquent e ien de K en T est e ien du bord d un cube, comme sur a figure ci-dessous. Le ien borde intersection de K avec une petite sphère orientée par sa normae sortante, i hérite de orientation indiquée. i=1
4 T Lien de K en T 7. On numérote es bouces constituant X et es deux cerces comme indique a figure cidessous. B2 B1 B4 B3 1 B5 2 Nomencature des bouces Pour construire objet K, on extrude a bouce B 2 sur a distance, puis on creuse dedans une poche de profondeur 2 et de profi B 4, on ui ajoute extrusion de profondeur et de profi B 3, on creuse dans objet obtenu une poche de profondeur 2 et de profi B 5, on ui ajoute extrusion de profondeur et de profi B 1, cea donne es 3 dents. On eur ajoute extrusion de profondeur et de profi 1 et enfin on creuse dans objet obtenu une poche de profondeur 2L et de profi 2. ette suite d opérations est décrite par arbre SG ci-dessous. vide B2 extr B4 2 poche B3 extr B5 2 poche B1 extr 1 L extr 2 2L Arbre SG poche 8. hoisissons des axes de tee sorte que axe de soit Ox et ceui de Oz. Le pan tangent à (resp. à ) contient son axe. Par conséquent, si en un point p, et ont même pan tangent, ceui-ci est e pan xz. Le ieu des points de où e pan tangent à est xz est a réunion des deux droites D + et D d équations {x = ±r, z = 0}. Le ieu des points de où e pan tangent à est xz est a réunion de deux droites D + et D d équations {x = ±R, y = 0}. es droites coupent D + ou D si et seuement si R = r. Par conséquent, si R > r, et se coupent transversaement, et intersection est a réunion de courbes réguières (i y en a 2). Si R = r, est a réunion de 2 eipses qui se coupent (voir examen du cours ourbes et Surfaces). e n est donc pas une réunion de courbes réguières disjointes.
5 D + D D D + Intersection de deux cyindres 9. L axe du manche est paraèe à écran de projection. La projection restreinte à une droite de a scène paraèe à cet axe est affine donc doit conserver es proportions des segments. Or sur a vue de dessus, ee aussi affine, e segment AB (voir figure ci-dessous) est pus court que B, aors que sur a vue en soi-disant perspective, i apparaît pus ong. A B Perspective erronnée