الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mohmed Khider Biskr Fculté des Sciences et de l Technologie Déprtement : Génie Mécnique Ref : جامعة محمد خيضر بسكرة كلية العلوم و التكنولوجيا قسم : الهندسة الميكانيكية المرجع : Mémoire présenté en vue de l obtention du diplôme de Mgister en : Génie Mécnique Option : Construction Mécnique Anlse des structures pr l M.E.F bsée sur l pproche en déformtion Présenté pr : Lkhdr BESSAIS Soutenu publiquement le 8 Devnt le jur composé de : Dr. S. BENMEBAREK Professeur Président Université de Biskr Dr. M. BOUREZANE Mitre de Conférences A Rpporteur Université de Biskr Dr. M. HECINI Professeur Eminteur Université de Biskr Dr. L. BELOUNAR Mitre de Conférences A Eminteur Université de Biskr
RÉSUMÉ Dns l modélistion pr éléments finis des structures complees, divers éléments doivent être utilisés : poutres, membrnes, éléments de solide, plques et coques. Ces éléments, construits selon l formultion clssique, ne prtgent ps en générl les mêmes degrés de liberté nodu, ce qui complique l élbortion d un modèle comptible. Pour résoudre ce problème, nous proposons des éléments finis bsés sur l pproche en déformtion dns lquelle un degré de liberté de rottion est jouté. Combinée vec une méthode modifiée des modes incomptibles, cette pproche fournit une bse unifiée pour l construction d éléments finis vriés qui possèdent les mêmes degrés de liberté nodu et qui peuvent être ssemblés isément les uns vec les utres. Mots clés : Éléments finis, pproche en déformtion, pproche en déplcement, membrnes et solides, plques, coques, degré de liberté de rottion, ssemblges.. ABSTRACT In finite element models of comple structurl sstems, different need to be used such s: bems, membrnes, solids, pltes nd shells. Elements of different kind, bsed on clssicl formultions, generll do not shre the sme nodl degrees of freedom, which complictes construction of comptible model. To resolve this modelling problem, we propose fmil of finite elements bsed on the pproch in deformtion, in which degree of freedom of rottion is dded. Along with modified method of incomptible modes, this provides unified bsis for construction of vrious finite elements with the sme nodl degrees of freedom, witch cn be freel combined. Ke words: Finite elements, pproch in deformtion, pproch in displcement, membrnes nd solids, pltes, shells, rottionl degree of freedom, junctions. ملخص في نماذج العناصر المحدودة للنظم هيكلية معقدة مختلف العناصر يجب استخدامها مثل : الا عمدة والا غشية والعناصر الصلبة, الصفاي ح و القشور. هذه العناصر التي ا نشي ت وفقا للصيغة الكلاسيكية وبشكل عام لا تشترك في نفس درجات الحرية للعقد ومن الصعب ا عداد نموذج متوافق. لحل هذه المشكلة نقترح عناصر محدودة تعتمد ا ساسا على مبدا التقريب في التشوه والذي يتم ا ضافة درجة من الحرية مع تعديل طريقة من طرق الغير المتوافقة وهذا التقريب يوفر ا ساسا موحدا لا نشاء عناصر محدودة المختلفة التي لها نفس درجات الحرية في العقد ويمكن تجميعها بسهولة مع بعضها البعض الكلمات المفتاحية. العناصر المحدودة, التقريب في التشوه, التقريب في الانتقال, الا غشية والعناصر الصلبة, الصفاي ح و القشور, درجة الحرية,التجميع.
REMERCIEMENTS Tout d'bord, je remercie Allh, le tout grnd puissnt de m'voir donné l force, le courge, l ptience et l volonté de mener à bien ce modeste trvil. Tout d bord, j'dresse mes remerciements à mes précieu prents les plus chers u monde de leur ide et leur soutien pour leur encourgement durnt l rélistion de ce mémoire. Je tiens à remercier vivement et sincèrement mon encdreur Dr. M. BOUREZANE qui contribué et ssuré l direction de ce trvil, pour tout le soutient, les orienttions et l ptience qu'il mnifesté durnt son encdrement tout le long de l rélistion de ce mémoire. Je tiens à remercier Monsieur Dr. S. BENMEBAREK, président de jur, qui m fit le grnd honneur de présider ce jur. Je tiens à remercier ussi Messieurs Dr. L. BELOUNAR et Dr.M. HECINI qui m ont fit l honneur d eminer mon trvil. Je sisis ussi l occsion pour rendre hommge à tous mes enseignnts uprès desquels j i reçu m formtion. Mes remerciements vont ussi à toutes les personnes qui ont contribué de près ou de loin à l rélistion de ce mémoire.
Sommire Sommire Introduction générle Chpitre Générlité sur l M.E.F Introduction...... Historique... Modélistion et discrétistion......4 4 Concept de l méthode des éléments finis...4 5 Etpes de l méthode des éléments finis.. 5 6 Les Avntges de l M.E.F...5 7 Clssement d'élément fini.... 5 7. les propriétés d'un élément fini...6 8 Condition d'équilibre...7 9 Condition de comptibilité 7 Loi de Hooke....8 Conditions u limites.8 Choi des fonctions de déplcements et conditions de convergence.....9 Modèles d'éléments finis.... modèle déplcement.... modèle en déformtion.. 4 Etude bibliogrphique sur l M.E.F. en déformtion....... 5 Avntges du modèle en déformtion... 6 Conclusion........
Sommire Chpitre Rppelle sur l théorie d'élsticité Introduction... Contrinte normle et contrinte tngentielle.. Les équtions d'équilibre pour un corps à l étt sttique.... Eqution d'équilibre des forces... 4 Reltion entre déformtions et déplcements...4 4. Tpe de déformtion...4 5 Reltion entre contrintes et déformtions.....7 6 Etude de l théorie d élsticité plne...8 6. Ett pln de déformtion....8 6. Ett pln de contrinte.... 7 Conclusion..... Chpitre Formultion des éléments finis Introduction... Eléments membrnires..... Introduction.... Elément rectngulire bsé sur l pproche en déplcement (BR....... Elément fini rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIE..8.4 Elément rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIEIR.5 Elément tringle bsé sur l pproche en déformtion 'SBTIEIR''.... Eléments plques....4. Introduction...4. Epression des déplcements et déformtions de l plque...4. Epression des contrintes et des efforts........6.4 Détermintion de l mtrice de rigidité...... 8.5 Les modèles clssiques Kirchhoff.......8.6 Les modèles Reissner Mindlin......4 4 Eléments coques........4 4. Introduction....4 4. Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns...4 4. Construction d un élément de coque plne 4 4.4 Elbortion de l mtrice de rigidité élémentire...4
Sommire 4.5 Problème prtique de l modélistion (rigidité fictif......44 5 Eléments solides.....46 5. Elément brique bsé sur l pproche en déplcement.....46 6 Plque et coque ridie.. 48 7 Progrmme de résolution sttique pr l MEF 49 8 Conclusion..5 Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 Introduction...5 4 Vlidtion numérique des éléments finis membrnire.....5 4. Fleion plne d une poutre console courte encstrée....5 4. Poutre épisse en ppui simple chrgé uniformément......57 4. Poutre console élncée de McNel......59 4 Vlidtion numérique des éléments plques et solides......6 4. Introduction.....6 4. Plque soumise à une chrge concentrée.....6 4. Plque crrée à deu bords encstrée et deu bords libres.....64 4 4 Vlidtion numérique des éléments coques......67 4 4. Clindre pincé vec diphrgme....67 4 4. Clindre pincé à bords libres.....69 4 4. Pnneu clindrique soumis à son poids propre.....7 4 4.4 Hémisphère sous chrges dimétrlement opposées.. 74 4 4.5 Coque sphérique sous chrge concentrée......76 4 4.6 Coque hélicoïdles sous chrges concentrées....78 4 5 Conclusion..8
Sommire Chpitre 5 Applictions 5 Introduction....8 5 Proi sur colonne 8 5 Refend plein...84 5 Refend vec une file d'ouvertures.. 86 5. Refend, Approche Membrne Membrne...87 5. Refend, Approche Poutre Membrne 88 5 4 Plques ridies...89 5 4. Plque à une seule rideur.....89 5 5 Coque ridie...9 5 5. Prboloïde hperbolique vec ridisseur........9 5 6 Conclusion...95 Conclusion générle.96 Bibliogrphie...98 Annee Annee A Annee B...7 Annee C 9 Annee D Annee E. Annee F.....
Liste des Figures Chpitre : Figure (. : Étpe de l nlse d un problème u limites....4 Figure (. : Millge du domine en tringles à trois nœuds....4 Chpitre : Figure (. : Vecteurs contrintes T sur trois fcettes orthogonles...... Figure (. : Tenseur de contrinte... Figure ( : Déformtion d un élément dns le pln...5 Figure (.4 : Cs de l étt pln de déformtion...8 Figure (.5 : Cs de l'étt pln de contrinte... Chpitre : Figure (. : Élément rectngulire BR... Figure (. : Comportement d un élément à qutre nœuds lors de l fleion dns le pln. Étt déformé pour le modèle bsé sur le déplcement... b Ett déformé pour le modèle bsé sur l déformtion... Figure (. : Sstème de coordonnés de l élément SBTIEIR pour l élsticité plne......... Figure (.4 :Référence locle d une plque...4 Figure (.5 : Efforts élémentires pr unité de longueur...7 Figure (.6 : Cinémtique de Kirchooff....8 Figure (.7 : Cinémtique de Reissner Mindlin..4 Figure (.8 : Discrétistion des coques pr des éléments finis plns tringulires et rectngulires....4 Figure(.9 : Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns.......4 Figure(. : Structure en plque pliée....44 Figure (. : Elément de solide (Brique à 8 nœuds....46 Figure (. : Plque ridie et coque vec un ecentré entre l'e d une poutre et surfce moenne d'une plque....48 Figure (. : Orgnigrmme globl du progrmme...5
Chpitre 4 : Figure (4. : Poutre console sous chrge verticle...5 Figure (4.: Densité de millge (M,Met M...54 Figure (4. : Flèche verticle u point C....55 Figure (4.4 : Poutre console : millge régulier b millge distordu...56 Figure (4.5 : Problème de contrintes plnes...57 Figure (4.6: Flèche verticle u point A...58 Figure (4.7 : Distribution des contrintes longitudinle u milieu de l poutre (millge 64 éléments....58 Figure (4.8 : Poutre console élncée de McNel. Donnes et Millges...59 Forme rectngulire des éléments...59 b Forme trpézoïdle des éléments...59 c Forme d'un prllélogrmme des éléments...59 Figure (4.9 : Plque soumise à une chrge concentrée u point C.......6 Figure (4. : Flèche verticle w u point C des éléments ABAQUS.......6 Figures (4. : Plque crrée à deu bords encstrés et deu bords libres...64 Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w,chrge uniforme....65 Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w,chrge uniforme........65 Figure (4.4 : Convergence de l flèche mimle (w,chrge concentrée.....66 Figure (4.5 : Convergence de l flèche mimle (w,chrge concentrée.....66 Figure (4.6 : Clindre pincé vec diphrgmes, donné....67 Figure (4.7 : Clindre pincé vec diphrgmes, Millge....67 Figure (4.8 : Clindre pincé à bords libres :, donnés et millge....69 Figure (4.9 : Clindre pincé à bords libres ( ére cs,convergence du déplcement w c...7 Figure (4. : Clindre pincé à bords libres ( éme cs,convergence du déplcement w c...7 Figure (4.: Toit clindrique soumis à son poids propre....7 Figure (4.: Toit clindrique à /4 (élément S4 ABAQUS.....7 Figure (4. : Coque hémisphère pincé..... 74 Figure (4.4 : Coque hémisphère pincé. Convergence de U A.75 Figure (4.5 : Coque hémisphère pincé. Convergence de U A des éléments ABAQUS....75 Figure (4.6 : Coque sphérique :géométrie, millge.....76 Figure (4.7 : Convergence de déplcement norml u centre 76 Figure (4.8 : Coque sphérique : Convergence de W des éléments ABAQUS...77 Figure (4.9 : Vrition W le long de ligne centrle......77 Figure (4. : Coque hélicoïdle.78
Figure (4. : Coque hélicoïdle (h., flèche W des éléments ABAQUS.. 78 Chpitre 5 : Figure (5.: Proi sur deu colonnes...8 Figure (5 : Refend plein...84 Figure (5.: Convergence de l contrinte tngentielle u point B.......85 Figure (5.4: Convergence de l contrinte normle u point A......85 Figure (5.5: Déplcement horizontl u point C...85 Figure (5.6: Refend à une file d'ouverture (6 ouvertures.......86 Figure (5.7: Refend, pproche Membrne Membrne (84 éléments......87 Figure (5.9: Vrition du déplcement Approche Membrne Membrne....87 Figure (5.8: Refend, pproche poutre Membrne (8 éléments....88 Figure (5.: Vrition des déplcements pproche Poutre Membrne...88 Figure (5.: Plque ridie chrgée uniformément...89 Figure (5.: Modèle volumique (solide..89 Figure (5.: Modèle plque plque...9 Figure (5.4: Modèle poutre plque.....9 Figure (5.5: Modèle poutre...9 Figure (5.6: Prboloïde hperbolique (ph.....9 Figure (5.7: Prboloïde hperbolique, flèche normle... 9 Figure (5.8: Vrition de l flèche normle le long d'une poutre A B........9 Figure (5.9: L'effet du ridisseur sur l flèche..... 94 Annee : Figure (A : Les modules de logiciel ABAQUS.. Figure (C : Interpréttion phsique du degré de liberté de rottion (drilling degré of freedom......9 Figure (E. : mtrice de rigidité (membrne fleion en es locu... Figure (F. : Coordonnées locles et globles..... Figure (F. : Une coque clindrique comme ensemble des éléments rectngulires : coordonnées locles et globles...... 4
Liste des Tbleu Chpitre 4 : Tbleu (4. : Flèche verticle u point C...54 Tbleu (4. : Contrintes longitudinles u point B...55 Tbleu (4. : Déplcement verticl normlisé u point C d une poutre courte d'almn...56 Tbleu (4.4 : Flèche verticle u point A...57 Tbleu (4.5 : Contrintes longitudinles u point C....58 Tbleu (4.6 : L flèche d une Poutre console élncée de Mc Nel...6 Tbleu (4.7 : flèche verticle w u point C des déférents éléments.....6 Tbleu (4.8 : Les données pour le test d'un Clindre pincé vec diphrgmes...67 Tbleu (4.9 : Clindre pincé vec diphrgmes, convergence de W C et V D.....68 Tbleu (4. : Clindre pincé à bords libres, convergence du déplcement w c...7 Tbleu (4. : Les données pour le toit clindrique..7 Tbleu (4. : Convergence de W C et W B d'un Toit clindrique...7 Tbleu (4. : Les données pour le Hémisphère...74 Tbleu (4.4 : Coque hélicoïdle (h,, résultts pour différents éléments...79 Chpitre 5 : Tbleu (5.: Proi sur deu colonnes...8
Nottions M.E.F MCR Méthode des éléments finis. Mouvements du corps rigide Intégrle. [ ] Mtrice. Dérivée prtielle pr rpport à. {} Vecteur colonne. [ ] T Mtrice trnsposée. [ ] Mtrice inverse. DDL,,z u,v Degré de liberté. Coordonnés crtésiens. Déplcements suivnt les directions et et z respectivement. Rottion dns le pln. β Rottion du pln z uteur de. β Rottion du pln z uteur de. K Courbures de fleion M, M, M Moments de fleion et de torsion T, T t h ε, ε, ε z Forces de cisillement. Épisseur pour les membrnes. Épisseur pour le plque en fleion et le coque Déformtions directes suivnt et et z respectivement. γ, γ, γ Déformtions tngentielles. z z z γ, γ, γ Contrinte tngentielle. z z σ, σ, σ Contrinte normle suivnt les directions, et z. λ et ν µ Les constntes de lmé. Coefficient de poisson. E. Module de Young. I, L inertie. Prmètre des mouvements de corps rigide. Prmètres de l rottion dns le pln.
[ X ] [ N ] { q } [ A ] [ B ] { F } [ K ] Prmètres généru de l pproimtion. Mtrice des fonctions de bse de l interpoltion. Mtrice des fonctions de formes. Vecteur de déplcement. Mtrice des coordonnées. Mtrice de déformtion. Vecteur des forces. Mtrice de rigidité. [ H ] Mtrice de rigidité [ H ] qui reliée entre les contrintes et les déplcements.
Introduction générle
Introduction générle Introduction générle Introduction : L'nlse des structures complees pose pour l'ingénieur à fire des hpothèses simplifictrices, en tentnt prfois d'nlser d'un coup l structure entière, ussi complee qu'elle soit, grâce à l méthode des éléments finis (MEF; cette dernière découpe l structure en composnts élémentires dont l'ensemble est clculé en une fois. Les vntges sont nombreu : moins d'hpothèses simplifictrices, prise en compte des interctions entre les composnts, meilleure vue du comportement d'ensemble de l structure, détection de ces éventuelles fiblesses, conception plus économique, etc. L comptibilité des éléments les uns vec les utres est souvent un problème délict de l discrétistion d'une structure compliquée. Cette comptibilité est nécessire pour grntir l convergence, pr eemple : L discrétistion de refend peut comporter des éléments de membrnes dns les deu trnsltions u et v incomptibles vec les inconnues nodles des poutres qui, en outre u et v comportent en plus des degrés de rottion. Les problèmes peuvent être cusés pr l modélistion de l'interction plque poutre dns le cs des plques ridies. Objectif de trvil : L'objectif importnt visé pr cette étude est : L simplifiction des problèmes de discrétistion des structures complee, en prticulier u niveu de l incomptibilité entre éléments finis.
Introduction générle Pln de trvil : Pour boutir à ces objectifs, on structure notre trvil en cinq chpitres :. Le premier chpitre présente une générlité sur l M.E.F, qui tient compte de l spect historique de l méthode des éléments finis, les différents tpes des modèles d éléments finis et étude bibliogrphique sur les éléments bsée sur l pproche en déformtion.. Le deuième chpitre concerne un rppelle sur l théorie d élsticité et une brève nlse des équtions de bse qui définissent les reltions entre contrintes et déformtions dns le cs bidimensionnel.. Le troisième chpitre est consiste u formultions des différents tpes des éléments : membrnires, insi que des éléments plques bsée sur les deu théories (Kirchhoff ou Mindlin et formultion des éléments coques. 4. Le qutrième chpitre est conscré u tests de vlidtion numérique des éléments finis de tpes (membrnire, plque et coque. En outre, les résultts obtenus à prtir d'utilistion d'un logiciel de clcul numérique pr l méthode des éléments finis. Le Logiciel ABAQUS est très puissnt pour résoudre des problèmes sttiques à n'importe quelle forme de l structure. 5. Dns le cinquième chpitre, nous terminons notre trvil pr l'ppliction des éléments finis dns les structures complees à svoir : Jonction poutre membrne. Jonction poutre plque. Jonction poutre coque. Ce trvil est ppué sur des références bibliogrphiques dns le domine. Finlement, le trvil est chevé pr une conclusion générle.
Chpitre Générlité Sur l M.E.F
Chpitre Générlité sur l M.E. F Introduction : Les techniques de clcul des structures ont connu ces vingt dernières nnées un développement considérble, motivé pr les besoins des industries et soutenu pr les progrès effectués dns le domine des ordinteurs. Ainsi, l M.E.F est communément utilisée ujourd hui pour l nlse des structures dns de nombreu secteurs de l industrie. Historique : Les bses théoriques de l méthode des éléments finis (M.E.F repose d'une prt sur l formultion énergétique de l mécnique des structures et d'utre prt sur les méthodes d'pproimtions. L M.E.F (Méthode des éléments finis est mise u point en 95 chez Boeing (Settle, USA, clcul des structures d'iles d'vion ; on développe le premier élément fini, s mtrice de rigidité, l'ssemblge et l résolution pr l méthode des déplcements (publié pr Turner, Clough, Mrtin et Topp en 956 [TUR 56]. Qunt u bsses théoriques générles, llint l'nlse des structures en brres et poutres vec celle des solides, elles sont étudiées de 954 à96 (Argris, Kels [ARG 6].certines idées pprurent uprvnt, en prticulier chez les mthémticiens pour résoudre divers problèmes u limites pr eemple celui de l torsion de Sint Vennt en divisnt l section en tringles, mis elles restèrent sns suite. L'epression élément finie été inventée pr clough en 96. Années 6, l M.E.F s'ttque à tous les domines du clcul de structures. Des progrmmes on trouve, l M.E.F, principlement dns le domine de l mécnique des solides et des structures. Ont été conçus pour être eécutés sur de gros ordinteurs tels que : ABAQUS, SAP, CATIA. L crédibilité des résultts obtenus v permettre l'utilistion de l méthode des éléments finis pr des entreprises et des bureu d'études de tille réduite. C'est évidemment l'pprition d'ordinteurs puissnts qui permis le développement de l simultion numérique. Le rthme d évolution de l'informtique est ctuellement gigntesque et les possibilités d'ppliction ugmentent sns cesse.
Chpitre Générlité sur l M.E. F Modélistion et discrétistion L méthode des éléments finis est donc une procédure générle de discrétistion pour l résolution des problèmes des milieu continus. Donc pour voir une nlse numérique qui simuler u mieu un problème, il fut effectuer deu opértions essentielles l modélistion et l discrétistion, ces opértions se font en deu temps. L modélistion. L discrétistion ensuite et portent sur les deu spects principu du problème prtique. Représenttion de l géométrie, des chrges, des conditions u limites. Choi des éléments finis et du millge. Figure ( : Étpe de l nlse d un problème u limites 4 Concept de l méthode des éléments finis Le concept de bse de l méthode des éléments finis est l subdivision du modèle mthémtique à des composnts disjoints de géométrie simple ppelés (Éléments finis, le comportement de chque élément est eprimé en terme d un nombre fini de degrés de liberté, le comportement (réponse du modèle mthémtique est considéré, pproimtivement, celui du modèle discret obtenu pr conneion ou ssemblge des éléments. [ZIE 9] Figure ( : Millge du domine en tringles à trois nœuds 4
Chpitre Générlité sur l M.E. F 5 Étpes de l méthode des éléments finis Dns diverses pplictions précitées, les éléments finis perdent leur significtion phsique d éléments structuru : l méthode des éléments finis est considérée comme un outil de mthémtiques ppliquées destiné à résoudre les équtions différentielles. Nénmoins, les étpes de l étude d un problème u limites sont toujours les mêmes, on peut les résumer en sept étpes :. Découpge du domine en un millge d éléments finis figure ( ;. Interpoltion en respectnt les critères de convergence ;. Clcul des crctéristiques de chque élément ; 4. Assemblge ; 5. introduction des conditions u limites essentielles et résolution ; 6. Évlution, dns chque élément, des grndeurs utiles (contrintes, déplcements ; 7. Jugement de mnière critique les résultts obtenus. 6 Les Avntges de l M.E.F L puissnce de l méthode des éléments finis réside essentiellement dns s souplesse. Elle peut être pplicble à une vriété de problèmes mécniques ou bien phsiques. L géométrie du domine peut être quelconque, les forces et les conditions u limites peuvent être ussi de ntures quelconques. Le millge peut combiner utnt de tpes d'éléments que l'on souhite. Et toute cette générlité est contenue dns un progrmme unique qu'on peut fire tourner sur un ordinteur (sélection du de problème, de l géométrie, du tpe d'élément, des chrgements et des conditions u limites. L méthode des éléments finis réside dns le fit que le modèle qu'elle utilise est très proche de l structure réelle. 7 Clssement d'éléments fini Les différents tpes d éléments finis suivnt leur géométrie. Plusieurs clsses d éléments finis peuvent être distinguées : Les éléments D : brres, poutres rectilignes ou courbes. Les éléments D : élsticité plne (déformtion ou contrinte plne, plque en fleion, coques courbes. Les éléments D : éléments de volume ou coques épisses. 5
Chpitre Générlité sur l M.E. F 7. Les propriétés d'un élément fini Le découpge en éléments finis permet d'isoler un élément fini pour l'étudier tout en étblissnt les crctéristiques. 7.. Signlement d'un élément fini Le signlement d'un élément fini comprend les points suivnts : Géométrie : Un élément fini peut être d, d ou d s forme sont simples. segment d'une droite on de courbe (pln ou courbe tringle ou qudriltère tétrèdre, prisme ou heèdre Les frontières : Sont respectivement : les points (etrémités du segment des segments de droite ou de courbe. des fces plnent ou courbe Mtériu : Le mtériu de l'élément est défini pr une loi de comportement (loi de Hooke isotrope ce dernier les mêmes propriétés mécniques dns toutes les directions (métu Il est crctérisé pr constntes élstiques : E et ν 7.. les nœuds Les nœuds définissent l géométrie et ssurent l conneion des éléments les uns u utres, ils occupent des positions strtégiques comme les etrémités, les sommets, les milieu des rêtes et fces. 6
Chpitre Générlité sur l M.E. F 7.. Les forces nodles À trvers les nœuds trnsitent des forces ssociées u degrés de liberté, les unes sont les réctions internes, les utres les forces F dues u chrges ppliquées à l'élément (poids propre, chrge uniforme, tempérture 7..4 Degrés de liberté Pour tout élément fini, on doit fire le choi d'une ou plusieurs fonctions (en générl le chmp des déplcements, elles sont eprimées en fonction des vleurs prticulières qu'elles prennent u nœuds vleurs qui deviennent les inconnues nodles ; pr leurs degrés de liberté nodu communs des différents éléments djcents, permet de reconstituer, l solution complète (ASSEMBLAGE, tout en veillnt à respecter certines règles, dites critères de convergence. 7..5 Crctéristiques d'un élément fini Le signlement précédent permet de construire les deu crctéristiques d'un élément fini qui sont : s mtrice de rigidité K son vecteur force F Elles interviennent dns l'éqution d'équilibre de l'élément fini, en reltion forces déplcement. F K U ( 8 Condition d'équilibre Les forces gissnt sur toute l structure ou sur chcun des éléments considérés comme un corps libre doivent être en équilibre. 9 Condition de comptibilité Les déplcements de l'ensemble de l structure ou de chcun de ses éléments doivent être comptible, en d'outres terme les déplcements des etrémités des éléments qui son connectés à un même doivent être identiques. On peut encore dire que si on effectue une section sur un élément, les déplcements d élément à guche et à droite de cette section doivent être égu. Pour que cette cohésion soit respectée (c. à d. pour que les volumes élémentires ; uquels ont été ppliquées les déformtions ε ij, continuent de rester ccolés, il fut que le chmp de déformtion ε ij (M dérive d un chmp de déplcement u i (M, 7
Chpitre Générlité sur l M.E. F continûment dérivble, tel que ε ij peut s'écrire : ε i j u i ( i ε i j ( u i u j ( j i Donc, connissnt le chmp de déplcement u i (M, on en déduit pr éqution ( le chmp de déformtion ε i j (M. Réciproquement, si on connît le chmp des déformtions ε i j (M, peut on clculer le chmp de déplcements ui (M. Le premier problème est celui de l comptibilité des déformtions, le seconde celui de l intégrtion d un chmp de déplcement. j i ε ii u i ( 4 j i i ε jj u j ( 5 j j ε ii i ε jj ε i j ( 6 i j ε k ij l ε kl i j ε ik j l ε jl i k ( 7 Cette éqution ( 7 générle permet d'eprimer les équtions de comptibilité en élsticité tridimensionnelle. Lois de Hooke Le comportement de l structure doit stisfire à l loi de HOOKE qui décrit le rpport entre l chrge et l déformtion des mtériu. Dns toute l'étude qui suit, on considér que l déformtion est proportionnelle à l chrge, ce qui se trduit pr l'éqution (. Conditions u limites Les conditions u limites eigent que les conditions d'équilibre et de comptibilité en chcune des limites de l structure soient stisfites. Eemple : les déplcements d une etrémité encstrée doivent être nuls. 8
Chpitre Générlité sur l M.E. F Choi des fonctions de déplcements et conditions de convergence : Les différents chmps de déplcement nécessitent un nombre totl de constntes égles u nombre totl des degrés de liberté de l élément. Cependnt, il convient de choisir les constntes proportionnellement u différents chmps de déplcement suivnt l destintion de l élément et de l nture du problème à nlser. Le choi des fonctions de forme limite, le nombre de degrés de liberté de sstème qui est en rélité infini, donc le minimum réel de l énergie ne pourr jmis être tteint quelle que soit l finesse du millge. Pour ssurer l convergence de l solution vers l solution ecte, certines conditions doivent être vérifiées. Ces conditions sont les suivntes : Critère : représente les mouvements des modes rigides où l fonction de déplcement doit être telle qu il soit impossible qu un élément se déforme qund les déplcements de ses nœuds sont cusés pr un mouvement de corps rigide. Critère : représente l étt de déformtion constnte dont l fonction représenttive des déplcements doit être telle que, si les déplcements nodu correspondent à des déformtions constntes, on obtient effectivement ces déformtions constntes. Critère : condition de comptibilité où les fonctions de déplcements doivent être choisies de telle sorte que les déformtions u interfces des éléments soient infinies. Les critères et se trduisent pr le terme élément complet. Le critère trduit pr élément comptible, si les éléments finis stisfont les conditions de complétude et de comptibilité ; de tels éléments sont dits (éléments conformes, pour ce tpe d élément l solution converge de fçon monotone vers l solution ecte. Certins éléments ne stisfisnt ps toutes les conditions, de tels éléments sont dits (éléments non conformes, prmi ses éléments certins d entre eu ne convergent ps, mis les utres convergent. Comme il des éléments non conformes qui présentent un tu de convergence supérieur à d utres éléments conformes et qui sont très utilisés en prtique. 9
Chpitre Générlité sur l M.E. F Modèles d'éléments finis Le plus souvent, le chmp interpolé est celui des déplcements, et il est rrement celui des déformtions ou des contrintes. Ces interpoltions portent sur tout l'élément ou une prtie de celui ci, à l'intérieur ou à l frontière. On peut créer divers tpes, dits «modèles» d'éléments finis selon l combinison choisie comme :. modèle déplcement Ce modèle est le plus populire, le plus connu et le plus développé. Dns cette ctégorie, les éléments finis sont bsés sur une interpoltion du chmp des déplcements, étendu à tout l'élément. Alors, les déplcements sont déterminés de mnière détillée et unique dns l structure, donc les contrintes ne peuvent être connues que pr certines moennes et ne sont ps continues u frontières.. modèle en déformtion Ce modèle présente une pproimtion qui se fit sur le chmp de déformtion, puis on intègre pour retrouver le chmp de déplcement de telle sorte que les équtions d équilibres et de comptibilité soient stisfites à l intérieur de l élément. 4 Étude bibliogrphique sur l M.E.F. en déformtion L'pproche en déformtion été ppliquée pr Sbir et Ashwell [SAB 7], à développer, une nouvelle clsse des éléments pour les problèmes, d'élsticité plne dns des coordonnées crtésiennes. Un élément fini de coque clindrique été ensuite développé pr Ashwell (97. L efficcité de cet élément été testée en l utilisnt pour l nlse d un clindre pincé court à bords libres. Les résultts obtenus ont montré une convergence rpide ussi bien pour le déplcement que pour les contrintes. [ASH 7] Sbir (98 ppliquée L pproche en déformtion pour développer une nouvelle clsse d éléments pour les problèmes d élsticité générle en coordonnées crtésiennes. [SAB 8] L grnde innovtion l'époque, c'étit l'introduction de l rottion (drelin rottion dns le pln pr Sbir et Chow [SAB 8 b] pour l'nlse du flmbement des pnneu plns vec ouverture circulire et crrés. [SAB 84] Utilistion des mêmes éléments pour l'nlse des voiles vec des ouvertures. L ttention s'est foclisée ensuite sur le développement et l'méliortion [SAB 85] des
Chpitre Générlité sur l M.E. F éléments rectngulires et tringulires (SBRIEIR, SBTIEIR, nt des rottions dns le pln u niveu des nœuds vec des résultts très stisfisnts vec un nombre réduit d'éléments. Belrbi et le Chrif [BEL 99], ont développé un élément fini heèdre SBH8 l'élément bsé sur l'pproche en déformtion. Cet élément constitué à huit nœuds vec trois degrés de liberté pr nœud (u, v et w été utilisé pour l étude des plques minces et épisses. Pour nlse des problèmes nti plns, Belounr et Guenfoud [BELO 5] ont développé de nouveu éléments modélisnt l fleion des plques et tout récemment [BEL 5] un intéressement pour le développement d'éléments secteurs pr Bourezne [BOU 6]. A.I. Mous et M.H. El Nggr [MOU 7] ont développés un nouveu élément fini rectngulire sphérique bsé sur l formultion des coques surbissées. 5 Avntges du modèle en déformtion Cette pproche permet l représenttion du chmp de déplcement pr un ordre élevé des termes des polnômes sns voir besoin d'introduire des degrés de liberté supplémentire ni de nœuds intermédiires. Les éléments produits conduisent à des résultts très encourgents. En plus, l convergence obtenue est rpide, lorsque les résultts sont comprés vec ceu donnés pr des éléments bsés sur le modèle en déplcement nt le même nombre de DDL. 6 Conclusion L M.E.F c est une méthode pprochée de clcul numérique permettnt de déterminer l étt d équilibre d un milieu continu élstique à deu ou trois dimensions. Elle consiste à déterminer de mnière pproimtive les déplcements d un certin nombre de points du milieu ppelés «nœuds». Le Modèle de déformtion présente une interpoltion directe sur les déformtions permet d'voir une meilleure précision sur ces grndeurs, sur les contrintes et sur les déplcements (obtenus pr intégrtion, contrirement à l formultion clssique où les déformtions sont obtenues pr dérivtion du chmp dopté pour déplcements.
Chpitre Rppelle Sur l théorie d'élsticité
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité Introduction : L théorie d élsticité permet d étudier le comportement des solides réels sous l ction des forces qui leur sont ppliqués. Pour étblissement des lois mthémtiques, on doit supposer que les solides sont idél, c'est à dire homogènes, isotropes. Tous les mtériu solides possèdent à un certin degré, l propriété d être élstique, c est à dire que si les forces etérieures, provoqunt l déformtion d un corps, ne dépssent ps une certine limite (hpothèses des petites perturbtions et présentent le crctère de réversibilité. L théorie d élsticité peut se résumer en trois ensembles d équtions : Les équtions d équilibre. Reltion entre déformtions et déplcements. Reltion entre contrintes et déformtions. Contrinte normle et contrinte tngentielle Les composntes de s mtrice représenttive dns le repère (o,,, z sont : T i σ n Ces composntes sont indiquées schémtiquement sur l figure (.sur chque ij j fce, le vecteur contrinte se décompose en une contrinte normle et deu contrintes tngentielles. Le chmp de contrintes u un point M d'un solide est un tenseur d'ordre, smétrique, représenté pr l mtrice : σ τ τ z σ ( M τ σ τ z ( τ z τ z σ z Figure ( : Vecteurs contrintes T sur trois fcettes orthogonles Figure ( :Tenseur de contrinte
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité Les équtions d'équilibre pour un corps à l étt sttique. Éqution d'équilibre des forces On dit qu un corps de volume V et de msse m entoure pr une surfce S, soumise à des forces de surfce de contrinte ( T, et des forces de volume ( F, sont en équilibre lorsque l somme des forces eerçntes sur ce corps est nulle. Dns l équilibre à l Étt sttique, on : F Et en intégrnt sur tout le volume et sur toute l surfce. F dv T ds V ( En nottion indicielle : V F dv T ds i i S i σ ij j ds Ou bien : F dv n V S i j ij dv En utilisnt le théorème de l intégrl F dv σ i j ij dv V ( F σ V C est à dire : V V F σ ( i j ij Donc, l éqution fondmentle qui relie les vritions sptiles des contrintes dns un corps en étt d équilibre sttique est comme suite : σ ij j F i i,j,,z ( 4 Donc : Pour i σ j σ σ σ z F F j z Pour i σ j σ σ σ z F F j z Pour i z σ zj σ σ z z σ zz F z F z z j
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité 4 Reltion entre déformtions et déplcements [RAH 94] : Lorsqu un corps est soumis à un sstème de forces, en générl tous les points pprtennt u corps chngent de position. Le déplcement d un point est défini comme étnt l distnce séprnt s position initile de s position finle. Les composntes de ce déplcement sont u et v et w, elles sont en générl fonction de,, et z.insi un point situé initilement en (,, z ser déplcé en ( u, v, z w. 4. Tpe de déformtion : Dns le cs générl, deu tpes de déformtions se produisent : Déformtion directe : l déformtion directe dns une direction donnée est définie comme étnt le rpport de l vrition de longueur pr l longueur, d une fibre originlement orientée dns cette direction. Trois composntes indépendntes de déformtion directe (normle ε, ε et ε z sont définies en chque point. b Déformtion de cisillements : l déformtion de cisillement est définie comme étnt l vrition de l ngle droit formé pr deu es. Elle est ssociée à deu directions orthogonles. Trois composntes de déformtion de cisillement γ, γ z, γ z définies en chque point. Avnt de psser u cs générl (tridimensionnel considérons le problème de déformtion plne qui est définie pr : u u (, v v (, ( 5 w Il est à noter que pour ce cs de déformtion tous les points situés initilement dns le pln restent dns ce pln près déformtion. Soit un élément infinitésiml b c d Figure (. sont 4
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité Figure ( : Déformtion d un élément dns le pln Après déformtion l'élément b c d, ur l configurtion ' b' c' d'. Ainsi les déformtions directes suivntes : ' ' c c ε c ' ' c d ; c c ε c ' c ' c ( ε d ( ε u v ' ' ( c ( d d ( d [ d ( ε ] d ( ε ε d ( ε u ' ' ( c ( d ( d ( d ( d u v d u u v [ d ( ε ] d ( ( ( Élimintion des termes d ordre supérieur (hpothèse des petits déplcements. u ε 5
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité D où : u ε ( 6 De même pour v ε ( 7 L'ngle α étnt très petit en peut écrire : v α u u En négligent le terme (cr il très petit devnt On obtiendr : v α ( 8 De même pour l'ngleϕ on ur : u ϕ ( 9 Ainsi, l déformtion de cisillement ser : γ α ϕ ( Le signe négtif est du fit que l ngleϕ est mesuré suivnt le sens des iguilles d une montre qui représente pr définition le sens négtif. D où en remplcent α et ϕ pr leurs vleurs on obtiendr : v u γ ( Après voir trité les cs unidimensionnel et bidimensionnel, on peut psser u cs tridimensionnel où l élément considéré est, à l origine, un prisme rectngulire. Les déformtions seront : u ε v ε ( ε z w z 6
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité Déformtion de cisillements (déformtion ngulire : γ γ u v v w γ z γ z ( z γ z γ z w u z 5 Reltion entre contrintes et déformtions [RAH 94] : Sous l ction d une contrinte normle uni ile, l pluprt des mtériu ont un comportement bien défini dns le domine élstique. Ce comportement se trduit pr l reltion : σ E ε ( 4 Cette reltion est connue sous le nom de l loi Hook. Le constnt E est ppelé d élsticité ou module de Young L composnte de déformtion σ ε E En plus de cette déformtion, l élément ur des contrintes suivnt les directions et z. Ces contrctions il en résulte des déformtions ε et ε qui sont : ( σ ε ε ν ( 5 E Ou ν est ppelée coefficient de Poisson. L reltion dns le domine élstique entre les contrintes et les déformtions pour un corps soumis à un étt de contrinte de cisillement pur bidimensionnelle été trouvée epérimentlement et elle l forme suivnte : γ G τ ( 6 De même pour le cs tridimensionnel, les deu utres composntes de déformtion de cisillement seront γ z G τ γ z G τ z z ( 7 7
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité 6 Etude de l théorie d élsticité plne 6. Ett pln de déformtion On peut dire qu on est en présence d un problème de déformtion plne lorsqu on un corps dont l une des dimensions est très importnte pr rpport u deu utres, chrgé pr une force qui est uniformément distribuée et perpendiculire à l direction de longueur Figure ( 4 [RAH 94]. Le déplcement dns l direction z peut être considéré comme nul. Les dérivées des déplcements dns cette même direction sont nulles, c est à dire que : ε ε ε ε ε z z z z z Figure ( 4 : Cs de l étt pln de déformtion Dns le cs de mtériu à comportement élstique linéire, on de fçon générle : σ ( 8 ij D ijkl ε kl Avec D ijkl composntes du tenseur d élsticité. Dns le cs prticulier des mtériu isotrope, les coefficients d élsticité se réduisent à deu constntes indépendntes ( λ et µ E et ν, les reltions d élsticité peuvent s écrire sous les deu formes suivntes connues sous le nom de l loi de Hooke : σ ( 9 ij λ ( ε ε δ ij µε ij Avec ε kk tr ( ε ij ε ε ε zz (premier invrint du tenseur des déformtions. λ et µ coefficients de lmé : E ν λ ( ν ( ν E µ ( ν ( ν ν ε ij σ ij ( σ σ σ zz δ ij ( E E 8
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité 9 Avec zz ij kk tr σ σ σ σ σ ( (premier invrint du tenseur des contrintes. Les reltions entre les déformtions et les déplcements sont : v u / / / / ε ε ε ( Éqution d équilibre : / / / / f f τ σ σ ( L reltion ( permet écrire : ( zz zz zz E σ σ σ ν σ ν ε Où : ( zz σ σ ν σ L première forme de l loi Hooke ( 8 permet d écrire : γ ε ε µ λ λ λ µ λ τ σ σ ( ( ( 4 D où : ( ( µ λ λ λ µ λ D ( 5
Chpitre Rppelle sur l théorie d élsticité 6. Etts pln de contrinte Une structure plne et mince est en étt pln de contrintes, qund les chrges sont ppliquées dns son pln. L épisseur de l structure est toujours très petite pr rpport u utres dimensions et est smétrique de prt et d utre du pln (,,figure ( 5. Figure ( 5 : Cs de l étt pln de contrinte Ainsi les contrintes σ zz, σ z, σ z d où ε z ε z L composnte de déformtion ε zz n est ps nulle, mis dépend des utres composntes. ν D une prt : ε zz ( σ σ ( 6 E ε ν σ ε ν σ E ν γ ( τ D où en inversnt l reltion ( 7 on obtient : ( 7 σ ν ε E σ ν ε ( 8 ν ν τ γ D où l mtrice constitutive ou (mtrice d élsticité en contrinte plne : ν E D ν ν ν ( 9 σ D ε ( { } [ ]{ } 7 Conclusion L'utilistion de l méthode des éléments finis pour l'nlse des problèmes sttiques nécessite l connissnce des équtions de bse de l théorie de l'élsticité linéire, où ces équtions fcilitent l formultion des éléments et l conception du progrmme.
Chpitre Formultion des éléments Finis
Chpitre Formultion des éléments finis Introduction Ce chpitre présente les formultions des éléments finis bsés sur l pproche en déplcement (BR et ACM et d utres bsés sur l pproche en déformtion (SBTIEIR, SBRIE, SBRIEIR. L résolution d un problème pr l méthode des éléments finis entrîne le clcul des mtrices de rigidité de tous les éléments de l structure modélisée puis l ssemblge de l mtrice de rigidité de toute l structure. L méthode des éléments finis est etrêmement puissnte puisqu elle permet d'étudier correctement des structures contenues nt diverses propriétés géométriques et déférentes conditions u limites, elle nécessite lors un grnd nombre de clculs qui, à cuse de leur nture répétitive. Pour cette rison, utilisé le progrmme Fortrn et logiciel Abqus. Éléments Membrnires. Introduction Les éléments membrnes sont prmi les éléments les plus simples à se développer. Ces éléments sont emploés pour nlser des structures soumises u forces dns le pln. Dns cette section, nous considérons l formultion des éléments finis membrnires rectngulires et un élément tringulire pour l étude d élsticité plne. Ces éléments bsés sur l formultion à chmp de déplcement et à chmp de déformtion ont des différentes DDL pr nœud.
Chpitre Formultion des éléments finis. Élément rectngulire bsé sur l pproche en déplcement (BR. L'élément fini de l'étt pln le plus simple est l'élément rectngulire schémtisé sur l figure (.. L'élément une longueur ; lrgeur b ; et épisseur constnte t ; chcun des qutre coins possède deu degrés de liberté : Les déplcements u et v respectivement dns les directions et. Les qutre coins s'ppellent hbituellement les points nodu. Ainsi, cet élément possède huit forces nodles (qutre pires de F et F et huit déplcements nodu ou degrés de liberté nodu (qutre pires de u et v. Dns l formultion de l mtrice de déplcement convenble, hbituellement sous l forme polnomile. Élément rectngulire de 4 nœuds à deu degrés de liberté chcun. Les déplcements et les forces nodles de l élément sont présentés sur les figures b et c respectivement. Figure ( : Élément rectngulire BR.. Fonction d interpoltion Pour représenter l déformtion de l'élément rectngulire à n'importe quel point défini pr (, sur l plque, on choisit une simple fonction polnomile pour définir les fonctions de déplcement comme suite. u 4 ( v 5 6 7 8 Le choi de cette fonction ssure l continuité des déplcements L éqution ( peut s écrire sous forme mtricielle : u (, 4 { u e } ( v (, 5 6 7 8
Chpitre Formultion des éléments finis D où : { } [ ]{ } e e e X u ( [ ] e X : Mtrice des fonctions de bse de l interpoltion. { } e : Vecteur des coefficients inconnus des polnômes. Eprimer l'étt des déplcements { } e u en chque point de l'élément en fonction des déplcements nodu [ ] e q. Cette étpe consiste à remplcer les vleurs des coordonnées nodles dns l'éqution (, puis à résoudre en { } e, en introduisnt les coordonnées des nœuds dns [ ] e X, u nœud,,, et nœud,, b, et nœud,, et nœud 4, 4, 4 b 4 4 4 4 4 4 4 4 4 u u u u ( 4 4 4 8 4 7 4 6 5 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 6 5 4 v v v v ( 5 Alors, l substitution des huit constntes précédentes dns les fonctions de déplcement ( et rérrngement des termes donne : 4 4 4, (, (, (, (, (, ( 4, (, (, (, ( v N v N v N v N v u N u N u N u N u ( 6 { } e u [ ]{ } e e q N ( 7 { } e u [ ] [ ] { } e e e q A X { } [ ]{ } e e e A q [ ] e N : L ensemble des fonctions d interpoltion dites fonction de formes. { } e q : Est le vecteur de déplcement nodl élémentire. [ ] e A : mtrice des coordonnées. On remrque que tous les termes de l mtrice [ ] e A sont connus puis que ce sont simplement les coordonnées des nœuds, l mtrice résultnte [ ] e A n est ps singulière, et inverse [ ] e A peut être clculé. les qutre fonctions N(, peuvent s'ppeler les fonctions de forme et sont obtenues comme :
Chpitre Formultion des éléments finis 4 b N b N b N b N, ( (, ( (, ( ( (, ( 4 4 ( 8 Les équtions ( 9 et ( donnent les vecteurs des déplcements et des forces complets pour l'élément : { } 4 4 v u v u v u v u u e ( 9, { } 4 4 e F F F F F F F F F ( Chcun d eu contient huit termes de telle sorte que l mtrice de rigidité de l'élément [ ] e K est crrée d'ordre huit : { } [ ] { } e e e q K F.. Les déformtions Relier les déformtions { }, ( ε en chque point u déplcements{ }, ( u et u déplcements nodu { } e q. Il est évident que l reltion entre les déformtions et les déplcements en tout point pour un problème d'élsticité plne est indépendnte de l forme de l'élément choisi, on insi { } [ ]{ } e q B ε ( Où : [ ] B : Est l mtrice relint les déformtions u vribles nodles [ ] [ ] [ ] e A C B ( ( { } γ ε ε ε, ( Où :
Chpitre Formultion des éléments finis 5 u ε, v ε, v u γ En remplcement u et v pr leur vleur à prtir de l'éqution (, on obtient l'epression suivnte pour les déformtions en tout point de l'élément : 4 4 ( ε 8 7 8 7 6 5 ( ε ( 4 8 6 4 8 7 6 5 4 ( ( γ En utilisnt ces epressions des déformtions dns l'éqution (, on obtient { } γ ε ε ε 8 7 6 5 4 ( 5 [ ] C ( 6 donc{ } [ ] { } e C ε ( 7.. Les contrintes Relier les contrintes internes{ }, ( σ u déformtions{ }, ( ε et u déplcements nodu { } e q. { } [ ]{ }, (, ( D ε σ ( 8
Chpitre Formultion des éléments finis..4 Mtrice de l rigidité..4. Principe de trvu virtuels On suppose qu un corps indéformble est en équilibre. Le principe eprime que pour tout déplcement comptible vec les liisons, l somme des trvu de toutes les forces gissnt sur le sstème est nulle. Pour un sstème élstique, le trvil totl comprend celui des forces etérieures et celui des forces intérieures u cours de l déformtion élstique. Cette dernière est donc égle à l vrition de potentiel interne. δ w δ v ( 9 T { } { }dv Avec δ w δε σ ( v e T [ δ q ] { F } δ v ( Le trvil des efforts internes s écrit : δ w T T { δε } { σ }dv { ε }[ D ] { δε } dv v e T e e Donc δ w { δ q } [ K ]{ q } Avec e T [ ] [ B ] [ D ][ B ] dv v K ( v Alors, [ K ] [ C ] [ D ][ C ]dv v T L vrition de l énergie potentielle des forces etérieures. e e v { δ q }[ F ] e { δ q } δ ( : Déplcement virtuel. Eprimons le principe des trvu virtuels. δ w δ v e e e e e { δ q } [ F ] { δ q }[ K ]{ q } e e e { } [ K ] { q } e Après voir trouvé l mtrice de rigidité [ K ] F ( 4 g { F } [ K ] { q } pour un élément, on chercher celle globle. ( 5 e l mtrice de rigidité élémentire [ K ] est donnée pr l éqution : b e [ K ] t [ B ] [ D ][ B ]dd T ( 6 6
Chpitre Formultion des éléments finis Nous sommes mintennt prêts à construire l mtrice de rigidité en remplçnt l mtrices [ D ] donnée pr l'éqution (, lors b e T [ K ] t [ C ][ A ] [ D ] [ C ][ A ] [ ]dd ( 7 Qui pour un élément d'épisseur constnte devient : e T T [ K ] t [ A ] { {[ C ] [ D ][ C ]} dd }[ A ] { } T D'où : [ K ] {[ C ] [ D ][ C ]} ( 8 dd ( 9 e T [ K ] [ A ] [ K ][ A ] Étblir l mtrice de rigidité [ H ] qui relie entre les contrintes et les déplcements. e D près l éqution { (, } [ D ][ B ][ q ] [ ] [ D ][ B ] σ on peut déduire l mtrice[ H ]. ( H ( Qui donne l reltion entre les contrintes en tout point et les déplcements nodu : d d D d d ( d [ ] Pour des contrintes plne : d d ( E ν, d d ( ν E ν, d ( E ν ( Pour déformtions plne : d d ( ν E, d d ( ν ( ν ν E ( ν ( ν, d E ( ν ( 4 Pour obtenir les contrintes en un point donné, on remplce les ce ordonnées de ce point dns l mtrice [ H ]. de cette fçon, on peut déterminer les contrintes en chcun des qutre nœuds de e l'élément. Elles peuvent être représentées pr [ σ ] où : e [ σ ] [ σ (, ] [ σ (, ] [ σ (, ] [ σ (, ] e e e D'où : [ ] [ H ][ q ] 4 4 [ ] H (, [ H ] (, q [ H ( ], [ H ( 4, 4 ] e { } ( 5 σ ( 6 7
Chpitre Formultion des éléments finis. Élément fini rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIE Pour illustrer l procédure pr lquelle les chmps de déplcement ont développé qund le modèle en déformtion est utilisé, l eemple simple d un élément rectngulire d élsticité plne est eminé. En générl, pour les problèmes d élsticité plne, les reltions entre les déformtions plnes ε, ε, γ et les déplcements u et v, comme il est montré dns l figure ( sont donnée pr éqution ( 7 : u v u v ε, ε, γ ( 7 On nnule les trois déformtions ci dessus et on intègre les équtions différentielles résultntes, On obtient les epressions suivntes pour les déplcements u et v : u R ( 8 v R Les équtions ( 8 représentent les chmps de déplcement qui correspond u mouvements du corps rigide (MCR reltifs à l élément. On remrque que les équtions ( 8 contiennent trois constntes et représentent les mouvements de trnsltion respectivement dns les directions et, et l constnte représente l rottion dns le pln. Pour l élément rectngulire à qutre nœuds u sommets et deu degrés de liberté pr chque nœud, le chmp de déplcement devr contenir huit constntes. On utilisé trois constntes pour l représenttion des mouvements du corps rigide, et il reste cinq constntes qui peuvent être reprties entre les déformtions de l mnière suivnte : ε 4 5 6 7 ε ( 9 γ 8 Après l intégrtion le chmp de déplcement comme suit : u S v S 4 5. 5 8. 5 6 7. 5 8. 5 7 5 ( 4 Les fonctions déplcements finles peuvent être obtenues en dditionnnt les équtions ( 8 et ( 4, d où : 8
Chpitre Formultion des éléments finis u v R R u v S S 4 5. 5 8. 5 6 7. 5 8. 5 5 7 ( 4 On note que les déformtions sont indépendntes l'une de l'utre, fin qu'ucun couplge inutile entre l'effet de fleion et celui de cisillement eiste [DJO 9] de là un étt de fleion pure peut être obtenu. En plus, les fonctions de déplcement contiennent des termes du second degré pour tenir compte des chngements de courbure, l élément se déforme comme montré dns l figure (.b. Il est très utile de comprer quelques crctéristiques de cet élément vec l'élément équivlnt bsé sur le modèle déplcement, soit l'élément rectngulire bilinéire BR le plus utilisé dont le nom dérive de s cpcité de représenter des déplcements linéires sur les deu cotés du rectngle, ses fonctions de déplcement sont données pr : u 4 v 5 6 7 8 ( 4 Puisqu'il n'eiste que deu nœuds sur chque coté de l'élément, seuls les déplcements linéires peuvent être interpolés si l continuité inter éléments reste conservés. Donc sous chrge, l'élément demeure continu, sns se chevucher, voir l figure (.. Les déformtions sont données en différencint les fonctions des déplcements. D où : ε 4 7 8 ε ( 4 γ 4 6 8 Ces déformtions ne sont ps indépendntes, depuis qu'elles sont couplées pr les constntes 4 et 8. Pr conséquent, il est clir que l'élément bilinéire ne peut ps représenter un étt de cisillement indépendnt à moins que 4 8, ce cs représente les chmps ε et comme des constntes, d ici un étt de fleion pure ssocié vec des déformtions ε directes ε et ε linéires et une déformtion tngentielle l élément bilinéire. γ, nulle ne peut ps être obtenue vec Dns cet élément les déformtions proposées stisfont utomtiquement les équtions de comptibilités de l élsticité. 9
Chpitre Formultion des éléments finis Étt déformé pour le modèle bsé sur le déplcement b Étt déformé pour le modèle bsé sur l déformtion Figure ( : Comportement d un élément à qutre nœuds lors de l fleion dns le pln.. Détermintion de l mtrice de rigidité e L mtrice de rigidité élémentire [ k ] pour une l élément rectngulire (SBRIE est donné pr : b e T [ K ] t [ B ] [ D ][ B ]dd e T [ K ] t [ A ] [ K ][ A ] ( 44 T Alors, [ K ] [ C ] [ D ][ C ]dd Pour [ ] [ C ] ( 45 A ; et{ K } voir nnee D
Chpitre Formultion des éléments finis.4 Élément rectngulire bsé sur l pproche en déformtion (SBRIEIR u R v R Les équtions des déplcements du corps rigide : ( 46 θ z Pour l élément rectngulire à qutre nœuds u sommets et trois degrés de liberté dns chque nœud, deu trnsltions et un degré de rottion dns le pln (drilling rottion : voir l nnee C, le chmp de déplcement devr contenir neuf constntes. On utilisé trois constntes pour l représenttion des mouvements du corps rigide, et il reste neuf constntes qui peuvent être reprties entre les déformtions de l mnière suivnte : ε 4 5 6 7 ε ( 47 γ 8 9 5 7 Le chmp de déplcements finl pour SBRIEIR ser obtenu pr combinison de l éqution ( 46 et l intégrle de l éqution ( 47 : u v θ 4 5. 5 8. 5 6 7. 5 8. 5 9 ( 48. 5 5. 5 7. 5 9. 5.4. Détermintion de l mtrice de rigidité e L mtrice de rigidité élémentire [ K ] pr : pour une l élément rectngulire (SBRIEIR est donné b e T [ K ] t [ B ] [ D ][ B ]dd e T [ K ] t [ A ] [ K ][ A ] ( 49 b T Alors, [ K ] [ C ] [ D ][ C ]dd Pour [ ] [ C ] ( 5 A ; et{ K } voir nnee D
Chpitre Formultion des éléments finis.5 Élément tringle bsé sur l pproche en déformtion SBTIEIR [BEL 5] L Figure ( montre l géométrie de l'élément SBTIEIR bsé sur l'pproche en déformtion. Les déplcements nodu correspondnts. Chque nœud (i vec Ui, Vi, et Zi de l rottion dns le pln. Figure ( : Sstème de coordonnés de l élément SBTIEIR pour l élsticité pln. Considérer l'élément tringulire représenté sur l figure (. trois composnts Crtesins du chmp de déformtion. u v u v ε, ε, γ ( 5 Nous intégrons d'bord l'éqution ( 5 vec toutes les déformtions égles à zéro, de ce fit obtennt : u R ( 5 v R θ z Les déformtions ssumées sont [SAB 85] : ε 4 5 7 6 7 5 ε ( 5 γ ( 8 9 Après des intégrtions des équtions ( 5 nous obtenons ; ( u 4 5 7 8 9
Chpitre Formultion des éléments finis ( 9 8 7 6 5 v ( 54 ( 9 7 5 θ Le chmp de déplcements finl pour SBTIEIR ser obtenu pr combinison de l éqution ( 5 et l intégrle de l éqution ( 5 : u ( 9 8 7 5 4 v ( 9 8 7 6 5 ( 55 z θ ( 9 7 5.5. Détermintion de l mtrice de rigidité L mtrice de rigidité élémentire [ ] e K pour une l élément rectngulire (SBTIEIR est donné pr : [ ] [ ] [ ][ ]dd B D B K S T e ( 56 [ ] [ ] [ ][ ] A K A K T e ( 57
Chpitre Formultion des éléments finis Éléments plques. Introduction Depuis le premier trvil de Sophie Germin en 85 sur les plques minces en pssnt pr les modèles de Kirchhoff et de Reissner Mindlin. Les éléments de plque en fleion jouent un rôle très importnt dns l nlse linéire des structures. Les plques sont des structures tridimensionnelles constituées d une dimension et d épisseur, noter h est très inférieur u deu utres. L invrince de l épisseur est trduite pr ε dns un repère locl ou l dimension de l épisseur est l direction de référence z et zz où les deu utres directions sont définies orthogonles et dns le pln moen z figure ( 4. voir l Figure (.4 : référence locle d une plque. Epression des déplcements et déformtions de l plque.. Epression des déplcements À une distnce z du pln moen, on pose : u (,, z u (,, z β (, v (,, z v (,, z β (, ( 58 w (,, z w (,, w β (, z On noter u (,, u (,, à l même mnière pour les deu déplcements suivnts. Donc l epression ( 58 se trnsforme : u (,, z u (, z β (, v (,, z v (, z β (, ( 59 w (,, z w (, et v u : Les déplcements de membrne dns les directions et. w : Le déplcement selon oz ou déplcement de fleion. 4
Chpitre Formultion des éléments finis 5 β : rottion du pln z uteur de. β : rottion du pln z uteur de. w θ β w θ β ( 6.. Epression des déformtions [IMB 84] L étt de déformtion d une plque peut être considéré comme l superposition de déformtions de membrne et de déformtions de fleion : Après l éqution ( 59, epression de déformtion c est écrit : z u β ε z v β ε ( 6 ε z ( ( z v u β β γ ε { } { } { } M ε F ε ε F z z M z z γ γ γ ε ε γ ε ε γ γ γ ε ε ( 6 les déformtions de membrne : v u v u m m m m ( ( ( ε ε ε ε ( 6
Chpitre Formultion des éléments finis 6 les déformtions de fleion : z f f f f β β β β ε ε ε ε ( ( ( ( 64 f f f f K K K z ( ( ( ε ε ε ε { } K f z ε ( 65 K : l courbure de fleion Il eiste ussi des dérivées du u et v pr rpport à z ce qui signifie l eistence de déformtion de cisillement trnsverse z γ et z γ. { } γ ε c w z v w z u m z m z c ( ( ε ε ε w w β β ( 66. Epression des contrintes et des efforts { } T T M M M σ ( 67 Où : ett T M M M,,,, représentent les moments de fleion et de torsion et les forces de cisillement pr unité de longueur. z z c γ γ ε
Chpitre Formultion des éléments finis Figure (.5 : Efforts élémentires pr unité de longueur { } [ ] { } σ { } f D f K σ { T } [ D ] { γ } c Où : [ D f ] [ ] [ ] D D c [ D ] : L mtrice d élsticité contient des termes d ij. ( 68 ( 69 Pour des plques homogènes est isotropes l mtrice d élsticité contient deu sous mtrice (fleion et de cisillement respectivement. d d [ D f ] d d ( 7 d Eh d d d ( ν D f ν Eh ν ( ν ν ( 7 D c d 44 d 55 ( 7 Eh D c k ( ν [ ] [ ] [ ] k : Fcteur de correctif de cisillement trnsverse qui est égl à 5/6. 7
Chpitre Formultion des éléments finis.4 Détermintion de l mtrice de rigidité e L mtrice de rigidité élémentire [ K ] pour une plque est donnée pr : b e T [ K ] h [ B ] [ D ][ B ]dd b T Alors, [ K ] [ C ] [ D ][ C ]dd ( 7.5 Les modèles clssiques Kirchhoff [NGU 4] L normle reste droite et est perpendiculire à l surfce moenne près voir déformé Figure ( 6. L'hpothèse doptée est celle de Kirchhoff de contrintes plnes, les déformtions dues u cisillements trnsverses sont négligées, γ γ ou T T. z z Le chmp de déplcements de Kirchhoff s écrit lors, u (,, z u (, z β (, v (,, z v (, z β (, ( 74 w (,, z w (, Y β et β : Les rottions due à l fleion (sns cisillement. β β w θ w θ ( 75 Figure (.6 : Cinémtique de Kirchooff. 8
Chpitre Formultion des éléments finis 9.5. Élément plque bsé sur l pproche en déplcement (ACM Élément rectngulire en fleion sns cisillement trnsversl, dns le cs de l fleion des plques où les flèches sont petites, l étt des déplcements en chque point de l élément peut être représentés pr trois composntes : { } w w w w u e θ θ ( 76 Nous vons degrés de liberté pour l élément rectngulire de plque, il est nécessire de choisir seulement les termes les plus ppropriés pour, ( w en conséquence, nous choisirons l ensemble complet de termes cubiques ( termes et des deu termes qurtiques et.lors on obtient : 9 8 7 6 5 4, ( w ( 77 L fonction de déplcement donne les epressions suivntes pour les rottions : ( 9 8 6 5 θ ( 78 ( 9 8 7 5 4 θ Pour l représenttion grphique des d.d.l de l élément fleionnel insi que les mtrices [A] ; [K ] voir Annee B. Noter que l mtrice de rigidité d élément,[k e ] est ( mtrice (rppeler que [C] est ( et [D] est (. [ ] 6 6 4 4 6 6 6 6 C ( 79
Chpitre Formultion des éléments finis 4.6 Les modèles Reissner Mindlin [NGU 4] Pour introduire l effet du cisillement trnsverse, l hpothèse cinémtique est doptée : L normle reste droite, mis non perpendiculire à l surfce moenne (à cuse de l effet du cisillement trnsverse dns l configurtion déformée Figure ( 7. Le chmp de déplcements de Reissner Mindlin s écrit :, (, (,, ( z u z u β, (, (,, ( z v z v β ( 8, (,, ( w z w D près les hpothèses de Mindlin, β et β sont données pr : ( z w β γ ( 8 ( z w β γ Figure (.7 : Cinémtique de Reissner Mindlin. Les déformtions de cisillement peuvent être écrites comme suit : z z c γ γ ε w w β β ( 8
Chpitre Formultion des éléments finis 4 Éléments coques 4. Introduction Les éléments de coque sont lrgement utilisés pour modéliser les structures géométrie courbée [COOK 89], ils sont bsés sur l théorie clssique des coques et sont très efficces, mis en revnche difficiles à développer. Il qutre tpes d éléments de coque : éléments plns, éléments courbes, éléments ismétriques et éléments solides dégénérés de tpe Mindlin [YANG 9]. Figure (.8 : Discrétistion des coques pr des éléments finis plns tringulires et rectngulires. Une pproche lterntive pour modéliser ces structures consiste utiliser une série d éléments plns,qui sont plus simples et plus fciles pour l implnttion dns un code zienkiewicz [ZIE 7] recommnde pour modéliser les surfces courbées,une série d éléments plns de coque, plutôt que d utiliser des éléments courbes.il suggère de combiner des éléments membrnires et des éléments fleionnels pour développer ces éléments. Cependnt, l efficcité de l élément et l précision des résultts dépendent en grnde prtie du tpe d élément choisi. L élément de membrne possède les deu degrés de liberté (de trnsltion dns le pln et l élément de fleion possède deu degrés de liberté de rottion et un degré de liberté de trnsltion.les forces de membrnes et de fleion sont totlement indépendntes les unes des utres pour les éléments plns de coque. 4. Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns Discrétistion d une de l MEF,l discrétistion du milieu continu est en mesure de surmonter certines difficultés liées à l différence clssique dns l géométrie en présentnt le concept d une interpoltion. Cependnt, dns l solution prtique d un problème de coque, des pproimtions doivent être invoquées pour surmonter les difficultés théoriques rencontrées dns 4
Chpitre Formultion des éléments finis les formultions de coque clssiques,en plus de l importnce prtique de l pproimtion de surfce de coque courbée u moen de petits éléments plns figure (.9. Figure (.9 : Discrétistion d une surfce courbée pr des éléments plns. 4. Construction d un élément de coque plne [IMB 84] Le principe d obtention d un élément de coque plne pr superposions d un élément de membrne (de préférence riche en membrnes et d un élément de fleion (de préférence riche en fleion. Dns le cs des deu éléments, ceci suppose évidemment que les phénomènes de membrne et de fleion sont décuples. Dns le cs contrire, il fut développer directement l élément complet. Les éléments de coques possèdent en générl si D.D.L dns chque nœud, les déplcements nodu sont : u i v i w i { U i } θ i θ i θ zi Pour i,n u, v, w sont les d.d.l de trnsltion i i i i i θ, θ, θ sont les d.d.l de rottion zi n :nombre de noeuds ( 8 4
Chpitre Formultion des éléments finis 4.4 Élbortion de l mtrice de rigidité élémentire D pport, on considère l effet membrnire (en contrinte plne. Nous vons que l étt de déformtion est défini pr le chmp de déplcement uniforme dont les composntes sont les deu trnsltions (u,v. On considérnt l mtrice de rigidité relint les déplcements plns u nœuds, on : e M e M e { } [ K ] { U } M F ( 84 Où : { } M u i U i ( 85 v i F M i { F i } ( 86 F i On peut écrire lors pour un noeud (i. M M { F } [ K ] { U } M i Où : [ K ] M i i i i i,est l sous mtrice qui relie les forces du nœud (i u déplcements de ce même nœud, pour tout l élément, on peut écrire : M M M M [ K ] [ K ] [ K ] [ K 4 ] M M M M [ K ] [ K ] [ K ] [ K 4 ] M M M M [ K ] [ K ] [ K ] [ K 4 ] M M M M [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] 4 4 M M M Où : [ ] [ K ] [ K ] 4 K... 44 44 u F v F u F v F u F v F u 4 F v 4 F 4 4 ( 87 De l même mnière, qund on considère le comportement fleionnel, on boutit à l reltion suivnte : e F e F e { } [ K ] { U } F F ( 88 F F F Pr contre, les sous mtrices [ ][ K ] [ K ] K... 44 L mtrice de l élément de membrne pour chque nœud est d ordre, et peut être M représentée pr,[ K ]. L mtrice de rigidité de fleion pour chque nœud est d ordre et F est smbolisée pr, [ K ] C d ordre 6 6,et est smbolisée pr, [ ] 6 6.l mtrice de rigidité pour chque nœud de l élément de coque est K. 4
Chpitre Formultion des éléments finis 4.5 Problème prtique de l modélistion (rigidité fictif[bel] Jusqu ici, on supposé que tous les éléments, pris à trvers une section, d une structure en plques pliées, étient inclinés entre u, cel est vlble que se on se contente d étudier une coque courbe comme une plque pliée équivlente. Cependnt, l formultion que nous venons de décrire conduit à des difficultés dns l modélistion si tous les éléments qui concourent en un même nœud sont coplnires, ceci est en effet cusé pr l bsence de l rigidité correspondnte à l rottion θ Z,qui nous donner une singulrité du tpe (. Cette éqution ne présente ps de difficulté prticulière vnt l ssemblge (bien que pour certins ordinteurs elle entrine un messge d erreur. Nénmoins dns le cs où les directions des es globu différents de celles des es locu, on boutit près le chngement de repère à si équtions qui sont linéirement dépendntes et donc à un sstème où l mtrice est singulière. Figure(. : Structure en plque pliée. Ce tpe de singulrité disprît qund les éléments djcents ne sont ps coplnires ou qund les éléments plque sont bordés pr des poutres ridisseurs. Les solutions envisgebles surmonter cette difficulté sont les suivntes : Supprimer les degrés de liberté θ Z correspondnt à cette singulrité et seul. Ceci n est ps fcile à mettre en œuvre. Introduire des rigidités fictives fibles correspondnt à ces degrés de liberté. Remplcer l reltion ( pr l reltion : K θ Z θ Z i ( 89 Après trnsformtion, cel mène à un sstème d éqution sns problèmes dont on tire tous les déplcements, compris un θ Zi de l mnière hbituelle. Comme ce θ Zi n ps d influence sur les contrintes et en effet n est ps couplé u équtions de l équilibre, l vleur de à une rigidité etérieure et n donc ps d importnce. K θ Z correspond 44
Chpitre Formultion des éléments finis Des trvu ont été conscrés à l détermintion du coefficient de rigidité réel pour les rottions du tpe envisgé, on les considérons comme un degré de liberté supplémentire en nlse plne. 6 Dns tous les tests numériques α sont pris pr défut α [COO9] [MAC88] trouvent que cette vleur est convenble pour l pluprt des problèmes à l eception des problèmes non linéires de coque ou des vleurs plus grndes sont requises. Dns notre cs on simplement introduit des coefficients de rigidité en rottion fictifs pour les éléments qu ils soient coplnires ou non. Pour un élément qudriltère, ils ont été définis pr une mtrice tel que l équilibre soit préservé en coordonnées locles. Pour un qudriltère on : M M M M zi zj zk zl θ zi θ zi θ zj θ zj α. E. h. A [ K ] c ij ( 9 θ zk θ zk θ zl θ zl Où : α est un coefficient qui reste à fier.s vleur dépend de l précision de l ordinteur :elle doit être suffismment petite pour limiter l influence des rigidités fictives sur l suffismment grnde pour éviter les singulrités possibles. L mtrice de rigidité de l élément de coques est d bord ssemblée pr superposition de l rigidité en membrne et l rigidité en fleion, voir nnee E ACM : Élément rectngulire en fleion (modèle en déplcement. SBQ4 : Élément qudriltère membrnire (modèle en déformtion. Ces tpes d éléments présentent des inclinisons les uns pr rpport u utres. Avnt d effectuer l ssemblge pour constituer l mtrice globle, il est nécessire d eprimer les mtrices et vecteurs élémentires dns le sstème de coordonnées globles (voir Annee F. 45
Chpitre Formultion des éléments finis 5 Éléments solides 5. Élément brique bsé sur l pproche en déplcement : 5.. Introduction : L méthode des éléments finis permet ctuellement l résolution des problèmes d élsticité à dimensions qui n étit ps envisgeble uprvnt. Cependnt, l résolution des problèmes tridimensionnels plus que les utres tpes de problèmes est complee et coûteuse. L géométrie de ces éléments est eplicitement décrire dns l espce. Cependnt, cet élément des pplictions limitées puisqu il ne convient ps pour les frontières irrégulières et il est difficile d en fire un millge grduel. Figure (. : Élément de solide (brique à 8 nœuds. 5.. Chmps de déplcements L élément brique à 8 nœuds vec trois degrés de liberté pr nœud contient donc 4 d.d.l. Élément brique construit trois composntes de déplcement ( u, v, w, trnsltion suivnt les es,, z respectivement. Le chmp de déplcement donné comme suit : u 4 z 5 6 z 7 z 8 z v 9 4 5 6 z z z z ( 9 w 7 8 9 z z z 4 z Le chmp de déplcement sous forme mtricielle : u z v w Où : u (,, z v (,, z w (,, z { } u [ e e e ]{ } z z z z z z z z z z z 46 ' ' 4 ( 9 X ( 9
Chpitre Formultion des éléments finis 47 5.. les déformtions { } ( ( ( (, w z v w z u v u z w v u z z z γ γ γ ε ε ε ε ( 94 D où : { } [ ] z v u L z v u z z z z z z γ γ γ ε ε ε ε ( 95 5..4 mtrice de l rigidité [ ] [ ] [ ][ ]dv B D B K T e [ ] [ ] [ ][ ] A K A K T e ( 96 Alors, [ ] [ ] [ ][ ]dv C D C K T ( 97
Chpitre Formultion des éléments finis 6 Plque et coque ridie L modélistion d une plque ridie peut s'envisger de trois différentes fçons : Soit, des éléments finis volumiques sont utilisés à l fois pour l plque et le ridisseur, soit ce sont seulement des éléments de plque, soit ce sont des éléments de plque pour l plque et de poutre pour le ridisseur. On remrque dns le cs des plques ou coques ridies voir figure (, que l comptibilité des déplcements n est ps toujours à ssurer, pr eemple entre l flèche (v de l poutre et le déplcement de l membrne correspondnt de l plque, en plus dns le cs de suppression des rottions poutre à l plque. θ zi de l plque, il n ucune trnsmission du moment T z de l Enfin, il est églement nécessire de prendre en compte l ecentrement de l fibre neutre de l poutre pr rpport à l surfce moenne de l plque. Figure ( : Plque et coque ridie vec un ecentré entre l'e d une poutre et surfce moenne d'une plque. 48
Chpitre Formultion des éléments finis 7 Progrmme de résolution sttique pr l MEF On présenté dns ce chpitre les étpes nécessires à l'obtention de l mtrice de rigidité élémentire. L résolution d'un problème pr l méthode des éléments finis entrîne le clcul de l mtrice de rigidité de toute l structure. Dns cette méthode, les quntités inconnues sont les déplcements et l objet de l résolution est l détermintion des déplcements nodu. Une fois que ceu ci sont clculés, on peut obtenir les contrintes de l élément en utilisnt l mtrice[ H ]. L figure ( résume les prties de bse du progrmme pour l résolution complète d'un problème pr l méthode des éléments finis : Entrée des données décrivnt le millge (nœuds et éléments, les propriétés mécniques (module d élsticité etc., conditions u limites. Construction des mtrices et vecteurs élémentires, puis ssemblge de ceu ci pour former l mtrice globle et le vecteur globl. Résolution du sstème d équtions près prise en compte des conditions u limites. Impression des résultts près clcul éventuel des vribles dditionnelles (déplcement, contrintes. 49
Chpitre Formultion des éléments finis Entrée des données : Propriétés du mtériu, Conditions de chrge et d'ppui Construction de l mtrice et le vecteur élémentire e e [ K ] et { F } e e Assembler [ K ] et { F } dns [ K ] et { F } g g introduction les conditions u limites Résoudre { F } [ K ] { q } g Évluer les contrintes { σ } [ H ] { q } Impression des résultts Figure ( : Orgnigrmme globl du progrmme. 5
Chpitre Formultion des éléments finis 8 Conclusion Les éléments bsés sur le chmp de déformtion vérifient les équtions de comptibilité et l représenttion ecte du mouvement du corps rigide. L'utilistion des éléments intégrés dns le code ABAQUS ( les éléments vec intégrtion réduite, les éléments vec et sns les modes incomptibles, permet de fire l comprison vec les éléments à chmp de déformtion ou bien vec l solution nltique. 5
Chpitre 4 Vlidtion Numérique
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 Introduction : Dns ce chpitre est conscré à l résolution d un problème d élsticité. Pour les tests de vlidtion, nous llons utiliser deu tpes de logiciels de clcul pr l méthode des éléments finis. Le premier logiciel c est le progrmme de fortrn qui est utilisé pour résoudre des problèmes soumis à des chrges sttiques réprties ou concentrées. Le deuième logiciel numérique l ABAQUS qui est considéré comme du logiciel de clcul pr éléments finis très puissnts pour résoudre les problèmes sttiques des différentes structures. De plus, nous supposerons les structures homogène et isotrope. Les tests de vlidtion d un modèle : l vérifiction de l convergence, et d utre prt l influence de l distorsion géométrique sur l précision. Le présent chpitre est orgnisé en trois vlidtions : Vlidtion numérique des éléments finis membrnire (D. Vlidtion numérique des éléments plques et coques. Vlidtion numérique des éléments solides (D. 5
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 Vlidtion numérique des éléments finis membrnires 4. Fleion plne d une poutre console courte encstrée [SAB 85] L poutre console considérée ont une épisseur de tin et une longueur L48in et lrgeur h in, les propriétés du mtériu sont les suivntes : E ksi et v,5. Le teste se fit pour les éléments membrnires à des degrés de liberté différents, et de plusieurs tpes, tringulire et rectngulire. On détermine l flèche à l'etrémité de l poutre u point C et l contrinte longitudinle σ u point B. On considère le comportement d'une poutre console soumise à une force de cisillement distribuée (P4 k comme l montre l figure (4.. L solution nltique : [TIM 5] : ( 4 5 ν PL Vc PL EI E h, 55 (4, σ ( B p I P ( h / 8 (4, Note : Figure (4. : Poutre console sous chrge verticle. Les éléments d'abaqus de tpe tringle et rectngle DDL pr nœud du problème d'élsticité plne sont : CPS : élément à nœuds linéires. CPS4 c : élément comptible à 4 nœuds bilinéires qudriltère. CPS4 inc : élément vec un mode incomptible à 4nœuds bilinéire qudriltère. Les résultts des déplcements verticu à l etrémité des déférentes densités de millge (M, Met M figure (4. sont représentés dns les tbleu (4. 5
Chpitre 4 Vlidtion numérique Figure (4.: Densité de millge (M, Met M. Les résultts de simultion pour le déplcement du nœud C suivnt l direction O sont : Millge (M (M (M Présente étude BR Abqus SBRIE SBRIEIR CPS CPS4 inc CPS4 c,44,94,4899,44,8,8,6,986,568,6,469,457,449,57,5478,449,5,57 Solution nltique,55 Tbleu (4. : Flèche verticle u point C L figure (4 représente les déplcements verticu du point C sous forme grphique. Nous consttons que les deu éléments BR, CPS4 c se comportent de mnière similire. Ils convergent bien vers l solution nltique. Pour les utres éléments (CPS4 inc, SBRIE et SBRIEIR, on observe que l convergence est ssez rpide. Ce test montre ussi que l convergence lente observée est probblement due à l très puvre bse d élément fini tringulire linéire CPS. 54
Chpitre 4 Vlidtion numérique Figure (4. : Flèche verticle u point C. Les résultts des contrintes longitudinles σ du point B suivnt O sont donnés dns le Tbleu (4. Millge (M (M (M Présente étude BR Abqus SBRIE SBRIEIR CPS CPS4 inc CPS4 c 5 7, 69,94 5 7 7 7,8 74,5 7 77 79 8 66,84 8,57 8 8 87 Résultt nltique σ 8 Tbleu (4. : Contrintes longitudinles σ u point B. 55
Chpitre 4 Vlidtion numérique Les résultts obtenus pour les deu cs de millge (régulier et distordu sont illustrés sur le tbleu (4. millge régulier b millge distordu Figure (4.4 : Poutre console : millge régulier b millge distordu. Formultion / Élément millge Déplcement verticl normlisé u point C Q4 [HAM 6] Q4 [HAM 6] Reg. Dist.,679,596 Présente étude SBRIEIR Abqus, CPS Abqus, CPS Abqus, CPS4 c Abqus, CPS4 c Abqus, CPS4 inc Abqus, CPS4 inc Reg Reg Dist. Reg Dist. Reg Dist.,9,55,7,68,598,98,94 solution ecte [TIM 5]:, (,55 Tbleu (4. : Déplcement verticl normlisé u point C d'une poutre courte d'almn. Élément rectngulire bilinéire bsé à chmp déformtion SBRIEIR converge dns le cs le millge régulier. Dns le cs du millge régulier et distordu (figure 4.9, les résultts obtenus pr ABAQUS (CPS4 c, CPS4 inc sont performnts et comprbles à l solution nltique donnée pr l théorie des poutres. L élément tringle CPS donne un muvis résultt pr pport u utres éléments. 56
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4. Poutre épisse en ppui simple chrgé uniformément [ROC 79] L figure (4 5 montre un eemple du tpe de problème que l on peut résoudre en utilisnt des éléments rectngulires et tringulires, c est une poutre épisse en ppui simple chrgée uniformément. On utilise trois densités de millge comprennt chcun 6, et 64 éléments. Les résultts obtenus sont comprés à l solution ecte obtenue pr l théorie clssique de l élsticité plne voir les tbleu (4 4 et (4 5. Les données de géométrie, chrgement et de mtériu pour ce cs test sont : Module d élsticité E 4 N / mm, Cœfficient de Poisson ν, Pression uniforme P N épisseur t mm. Figure (4.5 : Problème de contrintes plnes Il est clir u vu de ce tbleu (4 4 que l précision de l solution pr élément fini s méliore vec l ccroissement du nombre d éléments. Millges Présente étude Résultt nltique 8 ;6 6 ; 4 6 ;64 BR Abqus SBRIE SBRIEIR CPS CPS4 inc CPS4 c,945,8,6,945,,844,5,457,8,5,,,48,9,6,48,6,47, Tbleu (4.4 : Flèche verticle u point A. On observe une convergence monotone vec tous les éléments suf pour l élément CPS qui donne de très muvis résultts. 57
Chpitre 4 Vlidtion numérique Figure (4.6: Flèche verticle u point A. Millge 8 ; 6 6 ; 4 6 ; 64 Présente étude BR Abqus SBRIE SBRIEIR CPS CPS4 inc CPS4 c,84 4,87,5745,884,8,89,8677 4,99,865,8677,4,4,9579 8,979,58,9579,4,7 Tbleu (4.5 : contrintes longitudinles u point C. Résultt nltique, Figure (4.7 : Distribution des contrintes longitudinles u milieu de l poutre (millge 64 éléments. 58
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4. Poutre console élncée de McNel [BEL 5] Soit, une poutre console élncée de McNel [MAC 85] vec une section rectngulire (6 à déformer en fleion pr le moment de l'etrémité (M et pr une chrge ppliquée u bord libre (P. L poutre est modelée pr si éléments de membrne rectngulires (figure 4 8, trpézoïdu (figure 4 8b et de prllélogrmmes (figure 4 8c. McNel [MAC 87] ffirme que l forme trpézoïdle des éléments finis de membrne à qutre nœuds sns degré de liberté de rottion (vec le chmp linéire gère un verrouillge même si ces éléments vérifient le ptch test. Donnée : E 7, ν., t., L 6, h. Forme rectngulire des éléments b Forme trpézoïdle des éléments c Forme d'un prllélogrmme des éléments Figure (4.8 : Poutre console élncée de McNel. Donnes et Millges. D près les résultts illustrés sur le tbleu (4 6 on constté que l'élément bsé sur le chmp de déformtion tringulire à nœuds et DDL pr nœuds (SBT est très puissnt pour ce tpe de problème dominé pr l fleion. Il reste stble vec les distorsions géométriques. Le déplcement très proche solution ecte que L'élément Abqus CPS4 inc pour le millge régulier à deu cs de chrgement pr contre des utres tpes (CPS4, CPS. 59
Chpitre 4 Vlidtion numérique Élément Q4 [BEL 5] SBT [BEL 5] SBTIEIR [SAB 85] Fleion pure Force de cisillement à l'étrémité libre Régulier Trpézoïdle Prllèle Régulier Trpézoïdle prllèle,9,989,8,,988,4,,988,,9,964,47,7,95,5,4,95,6 Présente étude Abqus, CPS Abqus,CPS4 c Abqus,CPS4 inc,,9,99,6,,5.9,,74,,9,99,9,7,5,,4,6 Théorie des poutres, (,7, (,8 Tbleu (4.6 : L flèche d une poutre console élncée de Mc Nel; déplcement normlisé à l'etrémité libre. 6
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 Vlidtion numérique des éléments plques et solides 4. Introduction L élément fini de plque et solide est de géométrie simple vec les trois degrés de liberté courmment utilisés pr l ingénieur ( w, ϕ, ϕ et ( u, v, w pour l élément brique à 8 nœuds. Il devr pour cel être vlidé sur le pln prtique et industriel. Il été formulé et vlidé pour les structures homogènes isotropes. 4. Plque soumise à une chrge concentrée [BELO 5] Le problème à considérer est celui de l plque soumise à une chrge concentrée u point C à l'etrémité libre comme montré dns figure (4 9. Plusieurs rpports de longueur (L à l épisseur (h sont pris (L/h. À une lrgeur b et de l longueur L. Les propriétés du mtériu sont données pr : 6 E, et le coefficient de Poisson ν. L'etrémité libre de l plque est soumise à une chrge P, u point C. Le déplcement verticl à L'etrémité libre de l plque est évlué fin de montrer l'influence du cisillement trnsversl sur le comportement de l plque. Figure (4.9 : Plque soumise à une chrge concentrée u point C. L solution nltique de l flèche verticle w :[BELO 5] 4 PL h w Ebh k L Les résultts pour le déplcement verticl sont illustrés sur le tbleu (4 7 cel : L convergence u solutions nltiques est obtenue pour éléments. Les éléments SBRP vec degrés de liberté et SBH8 vec 4 degrés de liberté ont des résultts similires. L'élément CD8I donne ussi de bons résultts. 6
Chpitre 4 Vlidtion numérique Les éléments d'bqus (S, S4 et S4R et l'élément SBRP, donnent de bons résultts u plques épisses et minces contrirement pour l'élément R4, qui se comporte très ml dns le cs des plques mince (phénomène de cisillement trnsverse. Élément plque, S4 (millge Élément solide, CD8I (millge Figure (4. : Flèche verticle w u point C des éléments ABAQUS. Note : R4: Élément à 4 nœuds rectngulires bsés à chmp déplcement (théorie de Mindlin. CD8I : Élément brique à 8 nœuds vec modes incomptibles. STRI : Élément tringulire à nœuds pour l plque mince (théorie de Kirchhoff. S, S4 et S4R : Éléments d'usge universel, ussi bien que des éléments spécifiquement à l'nlse des plques " épisses " ou " minces ".. 6
Chpitre 4 Vlidtion numérique L/h Eléments à chmp déplcement Eléments à chmp déformtion Présente étude Eléments ABAQUS Solution nltique ACM* R4 SBRP SBH8 S STRI S4 S4R CD8I [BELO 5] [BELO 5] [BELO 5], 7 5, 7 5, 7 5, 7 5, 7, 7 5, 7 5, 7, 6 5, 7,66 6, 6, 6, 6,6 6,66 6,6 6,6 6,5 6, 6 6 9, 6 9, 6 9,6 6 9,6 6 9,58 6 9, 6 9,57 6 9,57 6 9,7 6 9, 6 6 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 5 4,6 5,9 5 4, 5 4, 5 4,5 5 4,6 5 4,5 5 4,5 5 4,5 5 4, 6 5, 4,4 4, 4, 4,4 4, 4,4 4,4 4,4 4, 5 4,,78,54,54,,,,,,5 * : présente étude Tbleu (4.7 : Flèche verticle w u point C des déférents éléments. 6
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4. Plque crrée à deu bords encstrés et deu bords libre [BELO 5] Soit une plque crrée vec deu bords encstrés et deu bords libres d'près l figure (4 soumise à deu cs de chrgements, chrge concentrée et chrge uniforme. ére cs : chrge uniforme. éme cs : chrge concentrée. Figures (4. : Plque crrée à deu bords encstrés et deu bords libres. Pour le premier cs de chrge, les résultts pour le déplcement u coin libre sont donnés dns les figures (4 et (4. L même plque, soumise u deuième cs de chrge, est étudiée et les résultts pour le déplcement u coin libre sont rpportés dns les figures (4 4 et (4 5 et on compré les résultts obtenus à prtir de l solution de référence [ROS 9]. 64
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4.. Plque uniformément chrgée : Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w, chrge uniforme (L, h,4, E6, v,, q,9. Figure (4. : Convergence de l flèche mimle (w, chrge uniforme (L, h,, E, v, q. 65
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4.. Plque vec une chrge concentrée : Figure (4.4 : Convergence de l flèche mimle (w, chrge concentrée (L, h,4, E6, v,, P. Figure (4.5 : Convergence de l flèche mimle (w, chrge concentrée (L, h, 4, E6, v, P. Convergence à l solution de référence est tout à fit rpide vec l'élément de SPRP que ses eécutions sont confirmées, pr contre l'élément R4 souffre des phénomènes de cisillement trnsverse. 66
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4 Vlidtion numérique des éléments coques 4 4. Clindre pincé vec diphrgme [BEL ] Le clindre pincé vec des diphrgmes rigides u etrémités et soumis à deu chrges unitires verticles dimétrlement opposées figure (4.6, est un fréquemment utilisé dns les éléments de coques. Les données pour le test de clindre pincé sont données sur le Tbleu (4.8. Propriétés Conditions de smétries Conditions u limites E P, ν, l 6 m, r m, h. m P N w θ θ sur AB v θ θ z sur BC u θ θ sur CD z u w θ sur AD Tbleu (4.8 : Les données pour le test d'un clindre pincé vec diphrgmes. Figure (4.6 : Clindre pincé vec diphrgmes, donnés. Figure (4.7 : Clindre pincé vec diphrgmes, Millge. 67
Chpitre 4 Vlidtion numérique Le tbleu (4.9 montre l convergence des déplcements utilisé, les résultts montrent l bonne convergée vers l solution ecte [BAT 9]. W ref W C Eh P Eh 64, 4 ; V ref V D P 4, W suivnt l direction z et V C D suivnt l direction en fonction du nombre des éléments Millge SBQ4 ACM [BEL ] Présente étude W C V D S4R5 S4R S S4 STRI CD8I W C V D W C V D W C V D W C V D W C V D W C V D 4 4.68.47.47.5.474.984.4.57.88.99.49.999.9. 6 6.8.6.689.9.687.5.447.8.6..74...476 8 8.95..86.6.84.5.65.9.754..86.997.47.676 Ecte [BAT 9]. W C,(64,4 V D,(4,4 Tbleu (4.9 : Clindre pincé vec diphrgmes, convergence de W C et V D Une convergence rpide pour l'élément bsé sur le chmp de déformtion, coque SBQ4 ACM. L'élément STRI converge mieu que les éléments S4, S4R et S. 68
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4. Clindre pincé à bords libres [BEL ] L'eemple est constitué pr une coque clindrique à bord libre, pincé pr deu forces dimétrlement opposées.l géométrie, le millge et les conditions u limites pour le huitième du clindre sont présentés sur l figure (4 8. Ce test été effectué en premier lieu vec une épisseur h.94in et une chrge P Ib puis vec h.548in et P.Ib. Figure (4.8 : Clindre pincé à bords libres : donnés et millge. ére cs: h.94 in ; P Ib ; l,5in, r4,95 in; E,5 6 Ib/in ; v,5 éme cs: h.548 in ; P, Ib ; l,5 in ; r4,95 in; E,5 6 Ib/in ; v,5 69
Chpitre 4 Vlidtion numérique Présente étude millge SBQ4 ACM [BEL ] S4R5 S S4 STRI ére cs éme cs ére cs éme cs ére cs éme cs ére cs éme cs ére cs éme cs W C W C W C W C W C W C W C W C W C W C,886,9,98 7,84 5,,8 6,6, 6,89,794,4,,8,5,95,7,968,8,,467 5,9,87,45,88,5,76,46,8,,485 7,,48,497,56,59,58,84,59,84,48 Ecte [BAT 9]. ère cs W C,9 éme cs W C,49 Tbleu (4. : Clindre pincé à bords libres, convergence du déplcement wc. 7
Chpitre 4 Vlidtion numérique Figure (4.9 : Clindre pincé à bords libres ( ére cs, convergence du déplcement w c Figure (4. : Clindre pincé à bords libres ( éme cs, convergence du déplcement w c. 7
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4. Pnneu clindrique soumis à son poids propre [BEL ] Un des problèmes fréquemment trités pour évluer les performnces d'un élément coque est celui du toit clindrique soumis à son poids propre. Les bords droits sont libres et les bords courbes reposent sur des diphrgmes rigides dns leurs plns. Les crctéristiques géométriques et mécniques sont indiquées sur l figure (R/h, L/h. Le qurt du toit est discrétisé en considérnt des millges réguliers vec N4,6 éléments sur les bords AB et AD. Les résultts de convergence du déplcement verticl en C et B sont reportés sur le tbleu (4. Figure (4.: Toit clindrique soumis à son poids propre. Propriétés Conditions de smétries Conditions u limites E L 6 m, R m, h, m, ϕ 4 f Z P, ν 4, 65 P v θ θ z sur u θ θ sur z BC CD u w θ sur AD Tbleu (4. : Les données pour le toit clindrique 7
Chpitre 4 Vlidtion numérique toit vnt déformé b toit déforme Figure (4.: Toit clindrique à /4 (élément S4 ABAQUS. millge SBQ4 ACM [BEL ] W C Présente étude ABAQUS(S4 SBQ4 ACM [BEL ] W B Présente étude ABAQUS(S4 4 4 6 6 8 8 9 Référence (théorie des coques "profondes "[BAT 9].,5589,556,5478,5477,54cm,565,549,5454,549,69,675,647,64,6cm,75,66,6,6 Tbleu (4. : Convergence de W C et W B d'un Toit clindrique Prmi les éléments d'abqus, Dns cet eemple S4 est le plus performnt que S4R, S, STRI. 7
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4.4 Hémisphère sous chrges dimétrlement opposées [BEL ] Il s git d un hémisphère soumis à s bse libre à qutre chrges rdiles concentrées. Ron de l hémisphère est de m est son épisseur.4 m (R/h 5. Les crctéristiques mécniques et les conditions u limites utilisées sont présentées sur le tbleu (4. Dns cet eemple, l hémisphère subit d importntes rottions de corps rigide utour de normle à l surfce moenne. Il subit églement des déformtions de fleion inetensibles en membrne. Ce problème sert pr conséquent d ecellent test pour eminer l ptitude d un élément de coque à représenter des modes rigides et des modes inetensibles. L vleur de référence clssiquement utilisée, pour le déplcement suivnt l direction de l chrge, proposer pr McNel et Hrder [MAC 85], est : U A V B,94m. En tennt compte de l smétrie, seul le qurt de l hémisphère est discrétisé. Les millges sont réguliers vec un nombre d éléments de 4, 6, 8,, et 6 suivnt AB et AC L figure (4.4 présente l convergence du déplcement U A V A Propriétés Conditions de smétries Conditions u limites 7 E 6, 85 P, ν, L 6 m, R m, h, 4 m R / h 5 P N v θ θ sur u θ θ sur z z AC BD w en E Tbleu (4. : Les données pour l'hémisphère. Figure (4. : Coque hémisphère pincée. 74
Chpitre 4 Vlidtion numérique Figure (4.4 : Coque hémisphère pincé, Convergence U A. Élément Coque, STRI (millge 6 6 Élément Coque, S4R5 (millge 6 6 Figure (4.5 : Coque hémisphère pincé. Convergence U A des éléments ABAQUS. Les résultts prouvent que les éléments S4R, S4, S4R5 et STRI donnent de très bons résultts mêmes pour fible nombre d'éléments. L'élément S donne de bons résultts pr pport à celle de SBQ4 ACM, mis ici encore, inférieur à celui des éléments précédents. Pour les problèmes où les déformtions de fleion sont importntes pr rpport à celles de membrne. S4 donne des résultts meilleurs que ceu de S4R, S4R5 et STRI. 75
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4.5 Coque sphérique sous chrge concentrée [HAZ 89] Le problème à considérer d'une coque sphérique comme représentée sure l figure (4. 6.Coque sphérique est simplement ppui sur les etrémités tel que le déplcement norml est zéro le long des bords. Les données de géométrie, chrgement et l propriété du mtériu pour ce cs test sont : b 6 in., r r 96 in., h, in, Chrge concentrée P Ibs. E 7 lb/sqin., v,. Figure (4.6 : Coque sphérique : géométrie, millge. Figure (4.7 : Convergence de déplcement norml u centre. Pour ce test, on observe que l élément tringle (6 DDL pr nœud bsé sur le chmp de déformtion [HAZ 89] donne ecellents résultts, convergence rpide vers (séries solution, mis les éléments Abqus S, STRI et S4 le plus lents. 76
Chpitre 4 Vlidtion numérique Élément Coque, STRI (millge 8 8 b Élément Coque, S4R (millge 8 8 Figure (4.8 : Coque sphérique : Convergence W des éléments ABAQUS. Figure (4.9 : Vrition W le long de ligne centrle. 77
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 4.6 Coque hélicoïdle sous chrges concentrées [BEL ] Ce problème été défini et proposé pr McNel et Hrder [MAC 85]. Il s git d une poutre vrillée ou d une coque hélicoïdle encstrée à une etrémité et soumise à deu cs de chrgement concentrés à l utre etrémité : une chrge P Z dns le pln (suivnt l e Z et une utre hors pln P Y (suivnt l e Y. Ce cs test permet de mettre en évidence le guchissement de l coque tennt compte du guchissement de l surfce moenne. Les déplcements obtenu u point A sont reportés sur le tbleu (4.4. 6 Les propriétés et l géométrie suivnte : E 9 P, ν, L, b, Figure (4. : Coque hélicoïdle. Élément brique, CD8I (millge b Coque, S4R (millge Figure (4. : Coque hélicoïdle (h., flèche W des éléments ABAQUS. 78
Chpitre 4 Vlidtion numérique Chrgement dns le pln P Z ; P Y Présente étude Épisseur Théorie des Poutres [BAT 9]. ABAQUS, Élément volumique CD8I ABAQUS, Élément coque S4R (millge (millge U A V A W A U A V A W A U A V A W A h,,7,54,78,57,77,679 Tbleu (4.4 : Coque hélicoïdle (h,, résultts pour différents éléments. Les résultts obtenus pour h, sont rpportés dns le tbleu en considérnt les millges : et. Les résultts résumés dns le tbleu montrent l bonne performnce des éléments utilisés. 79
Chpitre 4 Vlidtion numérique 4 5 Conclusion Les éléments finis utilisés dns l présente étude : Vlidtion des éléments finis membrnire (D. Pour le problème (Fleion plne d une poutre console courte encstrée, les éléments bsés sur le chmp de déformtion (SBRIE, SBRIEIR convergent rpidement vers l solution ecte vec un nombre réduit des éléments finis, pr contre les éléments bsés sur le chmp de déplcement eigent un nombre importnt d éléments finis. Dns le cs du millge régulier et distordu (figure 4.4, les résultts obtenus pr ABAQUS (CPS4 inc sont performnts et comprbles à l solution nltique donnée pr l théorie des poutres. L même remrque vec l élément SBRIEIR converge dns le cs le millge régulier. Pour le problème (poutre console élncée de Mc Nel, on constté que l'élément bsé sur le chmp de déformtion tringulire (SBT est très puissnt pour ce tpe de problème dominé pr l fleion. Cet élément reste stble vec les distorsions géométriques. 8
Chpitre 4 Vlidtion numérique Vlidtion numérique des éléments plques et solides. Les éléments Abqus (S, S4 et S4R donnent de bons résultts u plques épisses et minces. Vlidtion numérique des éléments coques (D. Pour les problèmes où les déformtions de fleion sont importntes pr rpport à celles de membrne. S4 donne des résultts meilleurs que ceu SBQ4 ACM figure (4.. 8
Chpitre 5 Applictions
Chpitre 5 Applictions 5 Introduction : Pour évluer l efficcité des éléments finis bsés sur l'pproche en déformtion, une série d pplictions et confronttion vec Logiciel ABAQUS. Nous nous proposons dns ce chpitre du mémoire de présenter quelques pplictions numériques reltives à deu tpes de problème. Problème à deu dimensions proi sur colonne et refend (membrne poutre Problème à trois dimensions plque ridie (plque poutre. Problème à trois dimensions coque ridie (coque poutre. L conneion de ces éléments finis (poutre membrne, plque poutre, coque poutre pose générlement des problèmes à cuse de l incomptibilité des degrés de liberté u nœuds. Pour résoudre ce problème, nous proposons des éléments finis bsés sur l pproche en déformtion vec D.L.L de rottion, cette pproche fournit une bse unifiée pour l construction d éléments finis vriés qui possèdent les mêmes degrés des libertés nodles et qui peuvent être ssemblés isément les uns vec les utres. 8
Chpitre 5 Applictions 5 Proi sur colonne [BEL ] Une proi discrétisée pr des éléments de membrne vec DDL de rottion, est supportée pr deu colonnes, discrétisée chcune pr une poutre clssique de Bernoulli figure (5, le tbleu (5 donne quelques résultts. Les données de géométrie, chrgement et de mtériu sont : 6 proi : E, ν, et colonnes : A 7, 94 I 5, 8 Figure (5.: Proi sur deu colonnes. Le déplcement V B et l rottion θ z tbleu (5. dns l zone de jonction est illustré les résultts sur le Modèle U A 7 θ A Moment M A Moment M B [IBR9] ABAQUS*, CPS4inc B 4,5 4,58,48,476 99,5 99,486, 75,54 SBQ4 [BEL ] 4,87, 99,64 Théorie des poutres (proi rigide 4,4 [IBR 9] *: Présente étude Tbleu (5.: Proi sur deu colonnes.,5 D près les résultts illustrés sur le tbleu on constté que l élément membrne vec degré de liberté de rottion et des poutres Bernoulli ssure une comptibilité entre ces deu éléments distincts u niveu de l jonction. 8
Chpitre 5 Applictions 5 Refend plein [BEL ] Pour tester l convergence des éléments (SBRIE SBRIEIR, BR, CPS4 c et CPS4 inc, nous tritons l eemple de l figure (5. Il s git d évluer l contrinte normle de fleion u point A et l contrinte de cisillement u point B u sein du refend. L console est discrétisée pr,4 4,6 8. Les données de géométrie, chrgement et de mtériu sont : E 4 6 Ib/ft,v, t, ft P 8 Ibs L solution ecte : [TIM 5] u C σ τ ( 4 5 ν PL PL EI E h p I P 4 P I 46 ( h / ( / [ h, 8 ( h / ( 79, 7 Figure (5.: refend plein. 84
Chpitre 5 Applictions Pour étudier l convergence des contrintes et des déplcements, on présenté les résultts sur les figures suivntes : Figure (5. : Convergence de l contrinte tngentielle u point B. Figure (5.4 : Convergence de l contrinte normle u point A. Figure (5.5: Déplcement horizontl u point C. 85
Chpitre 5 Applictions 5 Refend vec une file d'ouvertures [BEL ] L figure (5 6 montre le refend vec un fils verticl de si ouvertures vec une dimension des linteu de ft et ft de huteur. Ce dernier est soumis à une chrge ltérle uniforme à son etrémité libre et deu pproches ont été utilisées : pproche membrne membrne et pproche poutre membrne. Linteu en élément membrne et le trumeu en élément membrne figure (5 7. Linteu en élément poutre et le trumeu en élément membrne figure (5 8. Les données de chrgement, épisseur et de mtériu comme le refend plein. Figure (5.6: Refend à une file d'ouvertures (6 ouvertures. 86
Chpitre 5 Applictions 5. Refend, pproche Membrne Membrne Figure (5.7:Refend, pproche Membrne Membrne (84 éléments. L figure (5 9 montre les courbes de vrition du déplcement u niveu de l'etrémité chrgée du refend pour les deu cs (huteur du linteu ft et ft. On note que pour ce refend l'ugmenttion de l huteur des linteu de ft à ft rend ce dernier plus rigide,6 fois plus. Figure (5.9:Vrition du déplcement Approche Membrne Membrne. 87
Chpitre 5 Applictions 5. Refend, pproche Poutre Membrne Figure (5.8:Refend, Approche poutre Membrne (8 éléments. Figure (5.:Vrition des déplcements pproche Poutre Membrne. Une différence cceptble est consttée dns l'llure du déplcement de trnsltion (voir figures ci dessus pour les deu pproches. Il reste à noter que l'pproche Poutre Membrne est beucoup plus économique que celle de l'pproche Membrne Membrne. L modélistion du refend nécessité seulement 8 nœuds (C. à d. éléments membrnires et 6 éléments poutre contrirement à l deuième pproche qui demndé 6 nœuds (c. à d. 84 éléments membrnires. 88
Chpitre 5 Applictions 5 4 Plque ridie 5 4. Plque à une seule rideur [ARN 8] Soit une plque ridie simplement ppuée, figure (5 soumise à une chrge uniforme q, l section droite de l plque se forme T. Les données de géométrie, chrgement et de mtériu sont : E 7, v, q. Figure (5. : Plque ridie chrgée uniformément. L flèche mimle u point C obtenu pr un clcul RDM est : Y L 4 5 q L 84 E I 4 5 7 84, 9879, 58 Plusieurs pproches ont été utilisées pour modélistion des plques ridies (plque plque, solide et plque poutre ecentrée. 5 4.. Modèle volumique : Le modèle comporte 76 éléments finis de solides à 8 nœuds vec des modes incomptibles (CD8I et 7nœuds. L flèche mimle u point C Élément CD8I, U,66 Figure (5. : Modèle volumique (solide. 89
Chpitre 5 Applictions 5 4.. Modèle plque plque : Le modèle comporte 44 éléments finis de plques à 4 nœuds de tpe (S4R et 7 nœuds. L flèche mimle u point C Élément S4R, U,9 Élément S4, U,9 Figure (5. : Modèle plque plque. 5 4.. Modèle plque poutre : Le modèle possède éléments finis de plques à 4 nœuds de tpe (S4R et une poutre, millés à 6 éléments de tpe Bernoulli (B de code Abqus donc le modèle comporte 48 éléments et 68 nœuds et 6 éléments rigides de tpe poutre. L flèche mimle u point C Élément S4RB, U,7 Élément S4B, U,7 Figure (5.4: Modèle poutre plque. 9
Chpitre 5 Applictions 5 4.. Modèle poutre en section T : Le modèle possède 6 éléments de poutre de tpe Bernoulli (B de code Abqus. L flèche mimle u point C Élément B, U,65 Figure (5.5: Modèle poutre. Pour l modélistion des plques ridies les résultts montrent que l'pproche plque poutre est meilleure pr contre les utres pproches (solide, plque plque est le moins précis pour ce tpe de structure. L utilistion de ces dernières pproches nécessite un millge très rffiné pour boutir à des résultts ssez cceptbles. 9
Chpitre 5 Applictions 5 5 Coque ridie 5 5. Prboloïde hperbolique vec ridisseur [HAZ 89] Le prboloïde hperbolique crré vec ridisseur modélisé pr des poutres ecentrée est montré dns l figure (5.6, les bs coins sont fiés (u v w et les coins élevés (w. L coque est (,95 m,95 m dns le pln, vec c,44 m, et 76 mm d'épisseur. L section trnsversle d une poutre sont 5 mm 5 mm. Le prboloïde hperbolique est soumis à une chrge verticle q uniformément (poids propre, kn/m et une chrge,6 kn/m sur le ridisseur. Le module de Young et le coefficient de Poisson sont considérés comme 5 kn/m et zéro, respectivement. Figure (5.6 : Prboloïde hperbolique (ph. 9
Chpitre 5 Applictions Éléments (Coque Poutre, S4B b Élément (Coque, S4 Figure (5.7 : PH, flèche normle w le long d'une poutre A B (Éléments ABAQUS. L figure (5.8 montre l vrition de l flèche normle le long d'une poutre. Pour nlsée l structure utilisée l élément fini de coque tringle bsée sur le chmp de déformtion et des éléments finis Abqus (coque S4, S4R, S4R5 et une poutre (Abqus, B. Nous consttons que les deu éléments (S4, S4 B se comportent de mnière similire pr contre les éléments (S4R, S4RB et (S4R5, S4R5B donne des résultts non semblbles. Flèche w (mm 8 6 4 4 6 8 4 6 8 4 6 * : présente étude A B Abqus* S4 (5 mm 5 mm Element tringle [HAZ 89] Abqus* S4R (5 mm 5 mm Abqus* S4RB (5 mm 5 mm Abqus* S4B (5 mm 5 mm Abqus* S4R5B (5 mm 5 mm Abqus* S4R5 (5 mm 5 mm Figure (5.8 : Vrition de l flèche normle le long d une poutre A B. 9
Chpitre 5 Applictions 5 5.. L'effet du ridisseur sur l flèche L coque est soumise à son poids propre, q, kn/m et le millge 8 8 éléments. L section trnsversle d une poutre est les suivntes : 5,5mm 5,5mm, 8,5mm 8,5mm, 8mm 8mm et 5mm 5mm. L figure (5.9 montre l'influence du ridisseur sur le comportement d un prboloïde hperbolique. 5 5 Flèche w (mm A 4 6 8 B [HAZ 89] (5,5 5,5 [HAZ 89](8,5 8,5 [HAZ 89](5 5 [HAZ 89](8 8 ABAQUS* S4B (5,5 5,5 * : présente étude 4 6 ABAQUS* S4B (8,5 8,5 ABAQUS* S4B (5 5 ABAQUS* S4 B (8 8 Figure (5.9 : L'effet du ridisseur sur l flèche. L vleur de l flèche mimle présente sur le centre de l poutre (A B insi l section trnsversle (5.5mm 5.5mm. Une différence cceptble est consttée dns l flèche normle pour les deu éléments, [HAZ 89] et (S4B du logiciel Abqus. 94
Chpitre 5 Applictions 5 6 Conclusion Appliction : Proi sur colonne et refend vec des ouvertures Le rccord membrne poutre (membrne vec degré de liberté de rottion ne pose ps du problème u niveu de l jonction pr ce que l fleion de l poutre trnsmise l membrne (comptible u niveu des degrés de liberté nodu. Appliction : Plque ridie L'pproche géométrique pr fcettes plnes est emploée pour les éléments coques du logiciel ABAQUS. Plusieurs pproches ont été utilisées pour modélistion des plques ridies (plque plque, solide et plque poutre ecentrée. Pour l modélistion des plques ridies, les résultts montrent que l'pproche plque poutre est meilleure. Appliction : Coque ridie (Prboloïde hperbolique Pour le problème (prboloïde hperbolique vec ridisseur, nous consttons que les deu éléments [HAZ 89] et (S4B ont des résultts similires. Nous consttons que l'élément qudrtique à 4 nœuds (S4 du logiciel Abqus et l'ssemblge d'un élément coque vec un élément poutre (S4B du logiciel Abqus ont des résultts similires est meilleure. L'ssemblge d'une poutre vec un élément coque (S4R5 est incomptible u niveu des degrés de liberté nodu. L poutre DDL de rottion, l coque DDL de rottion. 95
Conclusion Générle
Conclusion générle Conclusion générle Le présent trvil est rélisé dns le cdre générl des études bibliogrphiques, et de l vlidtion d une fmille d éléments finis bsé sur l pproche en déformtion construite à prtir d une formultion purement en D et D vec déférents degrés de liberté en déplcement à chque nœud. Nous vons utilisé les éléments finis ABAQUS/Stndrd pour l confronttion des résultts obtenus. À prtir de ce mémoire, on peut conclure les remrques suivntes : Le mnque de comptibilité entre les degrés de liberté de divers éléments est un problème fréquemment produit dns l prtique pendnt l modélistion des structures complees. L'ccouplement des éléments de membrne et de poutre, le problème sont générlement trités pr l jout d un DDL de rottion. L élément à chmp de déformtion converge rpidement vers l solution ecte vec un nombre réduit des éléments finis, pr contre les éléments bsés sur le chmp de déplcement eigent un nombre importnt d éléments finis. L élément à chmp de déformtion et qudriltère vec le mode incomptible, ABAQUS (CPS4 inc sont plus performent pour le problème d'élsticité plne comprble vec l élément comptible, ABAQUS CPS4. Les modes incomptibles représentent une meilleure résolution du problème u phénomène de verrouillge dns le cs de cisillement ou fleion. Pour le problème (poutre console élncée de Mc Nel, on constté que l'élément à chmp de déformtion tringulire (SBT est très puissnt pour ce tpe de problème dominé pr l fleion. Cet élément reste stble vec les distorsions géométriques. L'pproche géométrique pr fcettes plnes est emploée pour les éléments coques du logiciel ABAQUS. Plusieurs pproches ont été utilisées pour modélistion des plques ridies (plque plque, solide et plque poutre ecentrée ou centrée. 96
Conclusion générle Les éléments (SBRP, SBH8, bsé à chmp de déformtion donne des meilleurs résultts (l convergence vers l solution de référence pr contre l élément de tpe déplcement R4 souffre des phénomènes de cisillement trnsverse. Pour le problème (prboloïde hperbolique, nous consttons que les deu éléments [HAZ 85] et (S4B ont des résultts similires. En enfin, nous estimons que cette étude permet d ugurer fvorblement sur les possibilités des éléments à chmp de déformtion pour s dpter à l nlse des domines non linéires géométriques. 97
Bibliogrphie
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Annee
ANNEXE Annee A A Anlse pr M.E.F vec logiciel ABAQUS Dns cette section le progrmme d'nlse d'éléments finis ABAQUS est emploé pour contrôler tous clculs numériques. L version ABAQUS 6. est emploée. A. Vue d'ensemble d'abaqus ABAQUS est un progrmme d élément fini très sophistiqué et tout usge d'élément, conçu modeler principlement le comportement des structures sous l'effet des chrges etérieure et intérieure, pression.etc. ABAQUS comprend les fonctionnlités suivntes : Possibilités pour des problèmes sttiques et dnmiques. L cpcité de modeler l forme très grnde chnge, dns deu et trois dimensions. Une bibliothèque d'élément. Des possibilités sophistiquées u contct des deu structures. Une bibliothèque de mtériu, élstique, plstique. Possibilités pour modeler un certin nombre de phénomènes d'intérêt, compris des vibrtions, les problèmes de flmbement, et insi de suite. L pluprt des entreprises utilisent un ssortiment de ces logiciels qui sont plus ou moins performnts dns l une ou l utre de ces tâches, pr eemple, dessiné vec Cti, clculé vec ABAQUS. ABAQUS est un logiciel de simultion pr éléments finis de problèmes très vriés en mécnique. Il est connu et répndu, en prticulier pour ses tritements performnts de problèmes linéires et non linéires. A les modules. ABAQUS CAE est divisé en unités fonctionnelles ppelées modules. Chque module contient les outils qui sont propres à une prtie de l tâche de modélistion. Voir l figure (A. Les modules de logiciel ABAQUS : Prt,Propert,Assembl,Step,Interction,Lod,Mesh,Job,Visulistion,Sketch.
ANNEXE Figure (A : Les modules de logiciel ABAQUS. A Étpes en ABAQUS Voici un petit rppel des ctions à effectuer pour créer un modèle ABAQUS :. Dessiner notre modèle. dessiner le profil D de l forme voulue b. Le développer en D c. Rjouter les détils mnqunts. Affecter les propriétés à l objet. créer le mtériu b. créer les sections sur lesquelles ppliquer les mtériu c. Affecter les mtériu u sections correspondntes. Assembler le modèle. créer les instnces b. Les positionner dns le repère générl 4. Définir les ps d nlse 5. Créer les interctions entre les instnces. créer les surfces
ANNEXE b. définir les tpes de contcts c. Associer des surfces vec des tpes de contct 6. Appliquer les conditions limites et les chrgements. définir les ps d ppliction b. définir les tpes de C.L ou chrgement 7. Miller le modèle. prtitionner le modèle b. choisir les techniques de millge c. Choisir les tpes de mille d. Miller le modèle 8. Créer et soumettre un trvil 9. Visuliser les résultts A 4 Tpe d éléments d ABAQUS Quelques eemples d éléments issus de l libririe d ABAQUS. A.4. Eléments D solides Géométrie et degrés de liberté Définition des coordonnées :,, z Propriétés d éléments définis pr le mot clé SOLID SECTION (section et propriétés phsiques. 4
ANNEXE A.4. Eléments D solides Géométrie et degrés de liberté Définition des coordonnées :, ou r, Propriétés d éléments définis pr le mot clé SOLID SECTION (épisseur et propriétés phsiques. A.4.4 Eléments poutres Géométrie et degrés de liberté Définition des coordonnées :,, z Propriétés d éléments définis pr le mot clé BEAM SECTION (section et propriétés phsiques. 5
ANNEXE A.4.5 Eléments plque(ou coque Géométrie et degrés de liberté Définition des coordonnées :,, z Propriétés d éléments définis pr le mot clé SHELL SECTION (section et propriétés phsiques. 6
ANNEXE 7 ANNEXE B B Les mtrices [A] ; [k ] d un élément Fleionnel ACM : On retrouve ici l représenttion grphique des d.d.l de l élément fleionnel ACM (théorie de kirchooff insi que les mtrices [A] ; [k ] et [C]. [ ] b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b A (C H 4 4 4 d(, b H 4 6 4 d(, b H 4 7 6 d(, b H 4 8 d(, b H 4 9 d(, b H 4 6 d(, b H 4 d(, b H 4 d(, b H 55 4 d(, b H 5 8 4 d(, b H 5 9 4 d(, b H 5 4 d(, b H 5 4 d(, b H 6 6 4 d(, b
ANNEXE H 6 7 6 d(, b H 6 8 d(, b H 6 9 d(, b H 6 6 d(, b H 6 d(, b H 6 d(, b H 7 7 d(, b H 7 8 d(, b H 7 9 4 d(, b H 7 9 d(, b H 7 6 d(, b H 7 6 d(, b H 8 8 (4/ d(, b (6/ d(, b H 8 9 (d(,4 d(, b H 8 4 d(, b H 8 d(, b 6 d(, 4 b H 8 (d(, d(, b H 9 9 (4/ d(, b(6/ d(, b H 9 d(, b H 9 (d(, d(, b H 9 d(, b 6 d(, b 4 H d(, b H 6 d(, b H 6 d(, b H 4 d(, b (6/5 d(, 5 b, H 4 (d(,d(, b H 4 d(, b (6/5 d(, b 5 Avec d ( Eh ν 8
ANNEXE C Degré de Liberté de Rottion : ANNEXE C Le degré de liberté de rottion ( θ Z, peut être phsiquement interprété comme l ngle formé pr les bissectrices des cotés djcents des formes déformée et non déformée de l élément fini. L ngle et les dérivées prtielles ssociées u déplcements de l élément sont montrés sur l figure (C. Figure (C : Interpréttion phsique du degré de liberté de rottion (drilling degré of freedom Le degré de liberté de rottion est défini pr : θ z v u ( (D 9
ANNEXE ANNEXE D D Les mtrices [ ] [ C ] A ; et{ K } pour les deu éléments (SBRIE, SBRIEIR : Les éléments membrnires à chmp déformtion (SBRIE, SBRIEIR Dns cette nnee les mtrices [ A ],[ C ] et [ K ] d élément SBRIE.
ANNEXE Dns cette nnee les mtrices [ A ],[ C ] et [ K ] d élément SBRIEIR. H 44 d(, b, H 4 6 d(, b H 4 (/ b (d(, b d(,, H 5 5 (/ b (d(, b d(, H 5 9 (/ d(, b, H 6 6 d(, b H 6 (/ b (d(, b d(,, H 7 7 (/ b (d(, d(, b H 7 (/ d(, b H 8 8 d(, b H 9 9 (/ d(, b H (/ d(, b H (/7 b (9 d(, 4 5 d( b 5 d(, b 9 d(, b 4 H (/6 b (5 d(, 4 d(, b d(, b 5 d(, b 4
ANNEXE ANNEXE E E Mtrice de rigidité de l élément de coque Figure (E. : mtrice de rigidité (membrne fleion en es locu. Avec : 6 α [COOK 9],[MACN 88] [ ]... A E h K C ij α
ANNEXE ANNEXE F F Trnsformtions géométriques : [ZIE ] On retrouve ici l epression des mtrices et vecteurs élémentires (de l élément pln de coque dns le sstème de coordonnées globles, vnt d ssembler les éléments et d écrire les éqution d équilibre ppropriés, il est nécessire de procéder des trnsformtions du sstème de ' ' ' coordonnées locles (,, z celui des coordonnées globles(,,z. Les deu sstèmes sont représentés sur l figure.f. Figure F. : Coordonnées locles et globles. Les déplcements et forces u niveu de chque nœud peuvent être trnsformés du repère globle un repère locl pr l mtrice [ L ] définie comme suit : ' i U ' i F [ L ] U i [ L ] F i (F. (F. Avec [ L ] [ λ ] [ λ ] Et l mtrice des cosinus directeurs: [ λ ] cos( ', cos( ', cos( z ', cos( ', cos( ', cos( z ', cos( ', z cos( ', z cos( z ', z λ ' λ ' λ z ' λ λ λ ' ' z ' λ λ λ ' z ' z z ' z (F.
ANNEXE 4 Pour un élément, on définit l mtrice de pssge [ ] T comme : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] L L L L T 4 4 (F.4 Pour trnsformtion de l mtrice de rigidité élémentire on : [ ] [ ] [ ][ ] T K T K e T e ' (F.5 Figure (F. : une coque clindrique comme ensemble des éléments rectngulires : Coordonnées locles et globles. Lorsque le repère locl se présente pr rpport u repère globl comme le montre l figure (F., les cosinus directeurs uront pour vleurs. ' λ ' λ ' z λ ' λ ' ( ( i j i j i j z z λ ' ( ( i j i j i j z z z z z λ ' z λ ' ( ( i j i j i j z z z z z λ ' ( ( i j i j i j z z z z λ