SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS

CHAPITRE 9 SYSTÈMES À ÉVÉNEMENTS DISCRETS On définit les systèmes à temps discret souvent de fçon négtive pr rpport ux systèmes à temps continus. Dns les systèmes à temps continus (les systèmes linéires et sservis), les vribles évoluent continument et peuvent, en générl, être décrites pr un ensemble d équtions différentielles. Nous vons vus dns le chpitre sur les systèmes linéires quelques outils mthémtiques permettnt d étudier ces systèmes. Les systèmes à événements discrets permettent eux de décrire le comportement de systèmes qui évoluent lorsque un événement est présent. Considérons un scenseur, le déplcement de l scenseur entre deux étges peut être décrit pr un ensemble d équtions différentielles (P.F.D. pour obtenir l éqution différentielle du mouvement, les équtions électriques du moteur,...) à l ide de ces équtions on peut pr exemple réliser un sservissement de vitesse de l cbine. Pr contre l gestion des ppels à chque étge, l demnde de déplcement d un pssger (les multiples demndes), l rrivée à un étge,le déprt d un étge... 9.1 Les types de vribles Lorsque l on construit un modèle d un système, on l hbitude de clsser les vribles en deux ctégories Les vribles continues sont des vribles qui prennent leurs vleurs sur le domine des réels R. Les vribles discrètes sont des vribles qui prennent leurs vleurs sur un domine dénombrble comme l ensemble des entiers nturels N. ou bien sur des ensembles dont 1e nombre d éléments est fini. A prtir de ce clssement, les systèmes dynmiques peuvent être rngés dns diverses ctégories selon les modèles mthémtiques qui sont utilisés pour les représenter. Nous llons rpidement psser en revue ces diverses ctégories. 1

2 9 Systèmes à événements discrets 9.2 Types de systèmes 9.2.1 Les systèmes continus Le modèle d un système continu ne comprend que des vribles continues, de plus, le temps est églement une vrible continue (figure 9.2). Le temps et les vribles prennent leurs vleurs dns R. C est le grnd domine des systèmes représentés pr des équtions différentielles. Les systèmes linéires continus invrints que nous vons étudié u premier semestre sont une prtie des systèmes continus. e(t) t Système continu e(t) t FIGURE 9.1 système continu - informtion continue 9.2.2 Les systèmes échntillonnés Dns les systèmes échntillonnés, le temps n est plus une vrible continu mis une vrible discrète. Le temps est en effet représenté comme une suite infinie d instnts repérés pr des entiers nturels N. Les vribles tritées, pr le système, peuvent voir leur vleurs dns R mis en générl dns N e(t) t e(t e ) t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 e(t e ) t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 Système échntillonné signl nlogique échntillonge conversion CAN FIGURE 9.2 système échntillonné les systèmes échntillonnés sont les systèmes trités pr les systèmes informtiques. pour qu un tritement informtique de l informtion puissent être rélisé, en effet : le temps de clcul ne pouvnt être nul, le système informtique ne peut prélever l informtion qu à des instnts prticuliers, cel nécessite un échntillonnge du temps : une conversion nlogique numérique pour rmener les vribles dns un domine (codge sur 8,16,32,... bits) que peut triter le système numérique. 9.2.3 Les systèmes discrets Un système discret est un système dns lequel, les vribles sont toutes discrétisées, soit pr nture (lmpe éclirée / éteinte), soit prce que l on ne prend en compte que l étt de l vrible (four en mrche ou tempérture tteinte, sns se préoccuper de l évolution de l tempérture).

9.2 Types de systèmes 3 Dns les systèmes discrets, le temps est en générl continu (ou discrétisé). Les systèmes discrets ne mnipulent que des vribles logiques. 9.2.4 Vrible logique Une vrible logique, est une vrible, à lquelle on ssocie deux étts, on peut insi ssocier à un grnd nombre de phénomènes physique un étt logique (porte ouverte/fermée ; voynt écliré/éteint, vri/fux, 0/1, 0V/5V,...). Un signl réel est une grndeur physique en générl continue qui peut donc prendre une infinité de vleurs. Pour ssocier à ce signl, un signl binire (0,1), il est nécessire de fixer des seuils. Le pssge d un seuil crctérise le pssge de l étt 1 à 0 etréciproquement -figure 9.3). Le seuil pour psser de l étt bs (0) à l étt hut (1) peut être identique ou différent de celui pour psser de l étt hut à l étt bs. seuil hut seuil bs étt : 1 étt : 0 u FIGURE 9.3 Vrible et étt logique t ) Convention Il est nécessire de distinguer : l grndeur physique représentée. Le support de l informtion logique Le nom ttribué. L étt logique qu elle peut prendre. Pr convention on étblit une correspondnce entre l étt physique de l grndeur et s vleur logique correspondnte (logique positive ou logique négtive). L étt logique peut être noté «0» ou «1» ou encore «L» (Low) ou «H» (High). On prle ussi de niveu logique hut ou niveu logique bs, étt hut ou étt bs. On prle de logique positive, lorsque on ssocie à l étt logique 1, l étt ctif de l vrible, et de logique négtive, dns le cs contrire (figure 9.4). 9.2.5 Les systèmes à événements discrets - S.E.D. Pour les systèmes à événements discrets (ceux qui nous intéressent dns ce cours), les vribles sont discrètes et le temps n est connu que lors des chngements d étts de ces vribles. L évolution temporelle n est prise en compte que lors des chngement d étt, on ne se préoccupe ps de l écoulement du temps. Ainsi, si on s intéresse à une brrière de pége, les événements qui font évoluer le système sont : l présence d un véhicule, l vlidtion du piement, le cycle d ouverture, le déprt du véhicule, le

4 9 Systèmes à événements discrets Contct étblissement de circuit Contct coupure de Circuit étt physique ctionné Non ctionné ctionné Non ctionné étt électrique pssnt Non pssnt Non pssnt Pssnt étt logique 1 0 1 0 poussoir de réfrigérteur interrupteur U e U s U e U s ne conduit ps u repos, le cournt psse s il est ctionné conduit u repos, le cournt psse que s il n"est ps ctionné FIGURE 9.4 Modélistion d un contct électrique cycle de fermeture, et cel quelque soit le temps qui s écoule entre deux véhicules, ou le temps mis pr l utomobiliste à pyer. Exercice 1- scenseur Corrigé pge?? Soit un scenseur dns un petit immeuble de 5 étges d une cpcité de 300kg. Q1. Décrire les événements susceptibles de fire évoluer le système. 9.3 Typologie des S.E.D 9.3.1 S.E.D combintoires Un système est dit combintoire, lorsque l ou les sorties ne dépendent que de l combinison des entrées L même cuse (même combinison des entrées) produit toujours le même effet (même étt des sorties). L effet disprît lorsque l cuse disprît. e 1 e 2 e 3 e i e n Système combintoire s 1 s 2 s j s m FIGURE 9.5 Système combintoire Chque sortie est une fonction des entrées : s j = f (e 1,e 2,...,e i,...,e n )

9.4 Systèmes combintoires 5 9.3.2 S.E.D séquentiels Un système est dit séquentiel, lorsque l ou les sorties dépendent de l combinison des entrées et de l étt précédent des sorties. Une même cuse (même combinison des entrées) peut produire des effets différents. Le temps peut ussi être une des cuses d évolution des sorties. L effet peut persister près l disprition de l combinison l ynt provoqué. Chque sortie, à chque instnt, est le résultt d une combinison des entrées et de l étt précédent des sorties ou des vribles internes. s j = f (e 1,e 2,...,e i,...,e n,e 1,E i ) e 1 e 2 e i e n Système séquentiel s 1 s j s n Étts précédents FIGURE 9.6 Système séquentiel 9.4 Systèmes combintoires 9.4.1 Algèbre de Boole L lgèbre de BOOLE ou lgèbre logique est l lgèbre définie pour des vribles ne pouvnt prendre que deux étts. On ppelle vrible booléenne, une vrible ne prennt que deux étts, pour une vrible, les deux étts sont et NON (noté ). ) Opérteurs logiques fondmentux On distingue 4 opérteurs fondmentux Opérteur OUI : opérteur identité, le comportement est décrit pr l tble de vérité suivnte : si S estl sortie et l vrible d entrée, : S 0 0 1 1 Opérteur NON : opérteur négtion Éqution logique : S =

6 9 Systèmes à événements discrets Tble de vérité : S 0 1 1 0 Éqution logique : S = Propriétés 1 = 0 et 0 = 1 involution = prononcer NON (ou brre) Codge en Python S=not Opérteur ET : produit logique défini pr les règles ci-dessous Tble de vérité b S 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Éqution logique : prononcer ET b S = b Le produit logique est commuttif, comme dns l lgèbre clssique : b = b 1 est l élément neutre pour le produit logique 1 = 0 est l élément bsorbnt pour le produit logique. 0 = 0 Propriétés : 0 0 = 0 0 = 0 0 1 = 0 1 = et 1 0 = 0 = 1 1 = 1 = 0 Codge en Python S= nd b Opérteur OU : somme logique Tble de vérité b S 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Éqution logique : prononcer OU b S = + b

9.4 Systèmes combintoires 7 L somme logique est commuttive, comme dns l lgèbre clssique : + b = b + 0 est l élément neutre pour le produit logique + 0 = 1 est l élément bsorbnt pour le produit logique. + 1 = 1 Propriétés : 0 + 0 = 0 + 0 = 0 + 1 = 1 + 1 = 1 et 1 + 0 = 1 + = 1 + 1 = 1 + = 1 Codge en Python S= or b Remrque : : dns l lgèbre usuelle, l ddition n ps d élément bsorbnt. b ) Propriétés des opérteurs logiques Commuttivité, ssocitivité, distributivité : Le produit et l somme logique sont commuttifs et ssocitifs. Propriétés combinées de l somme et du produit Distributivité du produit logique pr rpport à l somme logique (b + c) = b + c Distributivité de l somme logique pr rpport u produit logique (cette propriété n existe ps dns l lgèbre usuelle). Absorption + b c = ( + b) ( + c) + b = + b = + b c ) Théorèmes de De Morgn Le complément d un produit est égl à l somme des compléments des termes du produit. b = + b Le complément d une somme est égl u produit des compléments des termes de l somme. + b = b

8 9 Systèmes à événements discrets 9.4.2 Tble de vérité Une tble de vérité est un tbleu qui permet de décrire le fonctionnement d un système combintoire. L étt de chque entrée et de chque sortie est représenté pr s vleur logique. Toutes les combinisons possibles des entrées sont étudiées pour déterminer l étt des sorties. Pour un décrire complètement un système combintoire comportnt n entrées, il fut étudier les combinisons possibles des entrées. Pour un système combintoire comportnt n entrées, l tble de vérité comporte 2 n combinisons des vribles d entrée, donc 2 n lignes. Il est possible de déterminer l éqution de fonctionnement en recherchnt toutes les vleurs pour lesquelles l sortie est vrie (=1). L éqution de fonctionnement est égle à l somme logique de toutes les combinisons pour lesquelles l sortie est vrie. Exercice 2- Reltions de De Morgn Corrigé pge?? Q1. Démontrer ces églités à prtir des tbles de vérité. Q2. Générlistion des reltions de De Morgn Q2. Montrer que b c = + b + c Q2b. Montrer que + b + c = b c Exercice 3- Reltions d bsorption Corrigé pge?? Q1. Démontrer les deux reltions d bsorption. ) Exemple : v et vient L éclirge d un couloir est commndé pr deux interrupteurs, un à chque extrémité, (d à droite, g à guche), l lmpe est notée L. Une personne trverse le couloir de droite à guche, en entrnt, elle bscule l interrupteur d pour éclirer l lmpe, à l utre extrémité, elle ppuie sur g pour éteindre. Une seconde trverse à s suite dns l utre sens, elle bscule g pour éclirer, elle éteint à l utre extrémité (d). Une troisième rrive à s suite, éclire le couloir en ppuynt sur g, elle éteint en sortnt. On supposer qu u début les deux interrupteurs sont dns l même position. A cet étt repos est ssociée l vleur logique 0. L figure 9.7 décrit chronologiquement les différents étts des deux interrupteurs et de l lmpe.

9.5Fonctionslogiquesdebseà2vribles 9 Action d g L Commentires Ett repos 0 0 0 L lmpe est éteinte Première personne Entrée en d 1 0 1 Appuie sur d (d=1), l lmpe s éclire (L=1) trversée 1 0 1 L lmpe reste éclirée Sortie en g 1 1 0 Appuie sur g (g=1), l lmpe s éteint Deuxième personne Entrée en g 1 0 1 (g=0) l lmpe s éteint trversée 1 0 1 Sortie en d 0 0 0 (d=0) l lmpe s éteint Troisième personne Entrée en g 0 1 1 (g=1), l lmpe s éclire Trversée 0 1 1 Sortie en d 1 1 0 (d=1) l lmpe s éteint FIGURE 9.7 Fonctionnement d un v et vient On peut trduire de fonctionnent à l ide d une tble de vérité. d g L les deux boutons u repos 0 0 0 un bouton ppuyé 1 0 1 L = d g = 1 les deux boutons ppuyés 1 1 0 L = d g = 1 l utre bouton relâché 0 1 1 En recherchnt les combinisons, pour lesquelles l sortie est vrie, on peut déterminer l éqution logique décrivnt le fonctionnement : L lmpe s éclire donc pour l combinison suivnte des vribles d entrée : L = d g + d g Exercice 4- Éclirge intérieur utomobile Corrigé pge?? L lumière intérieure d un véhicule s éclire si une des deux portes vnt est ouverte (cpteurs p d et p g à coupure de circuit) ou si l interrupteur du plfonnier (p l ) est ppuyé. Q1. Déterminer l éqution. 9.5 Fonctions logiques de bse à 2 vribles 9.5.1 Fonctions de bse Aux qutre opérteurs de bse, on ssocie une fonction logique représentée pr un symbole grphique (figure 9.8). À l ide de ces symboles, on peut construire des schéms logiques (logigrmme) trduisnt l éqution logique. Les fonctions logiques élémentires permettent de décrire tous les fonctionnements logiques (voir le schém logique du v et vient figure 9.9).

10 9 Systèmes à événements discrets Fonction tble de vérité symbole éqution OUI S 0 0 1 1 1 S S = NON S 0 1 1 0 1 ou 1 S S S = ET b S 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 b & S S = b OU b S 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 b 1 S S = + b FIGURE 9.8 Tbleu des fonctions logiques de bses 1 & b 1 S = b + b & b 1 b b FIGURE 9.9 Schém logique du v et vient 9.5.2 Fonctions complexes Il existe ussi, d utres fonctions 1, souvent utilisées en électronique pour construire des schéms plus complexes, ou plus compcts (tbleu 9.1). Les fonctions NON-OU (NOR) et NON-ET (NAND) sont des fonctions universelles, qui permettent de réliser toutes les utres fonctions logiques. Les fonctions NON-OU et NON-ET sont principlement utilisées en technologie électronique cblée (circuits intégrés) pour optimiser les circuits (1 seul type de composnt pour toutes les fonc- 1. ces foncions ne sont ps explicitement u progrmme

9.5Fonctionslogiquesdebseà2vribles 11 Fonction tble de vérité symbole éqution NAND (NON-ET) b S 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 b & S S = b = + b NOR (NON-OU) b S 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 b 1 S S = + b = b INH inhibition b S 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 b & S S = b XOR OUX ou exclusif b S 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 b =1 S S = b + b S = b XNOR NON- OUX non ou exclusif b S 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 b =1 S S = b + b S = b TABLE 9.1 Tbleu des fonctions logiques - suite tions). 9.5.3 Logigrmme Un logigrmme ou schém logique est l représenttion schémtique d une fonction logique obtenue en utilisnt les symboles grphiques ssociés à chque fonction. Exercice 5- Fonctions universelles Corrigé pge?? On dit qu une fonction logique est universelle, lorsqu il est possible en utilisnt uniquement cette fonction, de réliser toutes les utres. Q1. Montrez que les les fonction NAND et NOR sont des fonctions universelles, trcer les logigrmmes

12 9 Systèmes à événements discrets Exercice 6- Logigrmme Corrigé pge?? Q1. Trcer le logigrmme de S = b c + c 9.5.4 Rélistion des fonctions logiques en technologie électrique câblée ) Fonctions de bse Fonction OUI 0V Schém V vv NON 0V V vv ET 0V b V vv OU 0V V vv b L figure 9.10 correspond à l rélistion d un circuit v et vient (ou exclusif) en technologie électrique. 0V b V V b FIGURE 9.10 V et vient en technologie électrique b ) Utilistion d un relis L rélistion de fonctions complexes ou de mémoire ne peut se fire en technologie électrique qu en utilisnt des relis électromgnétiques. Un relis électromgnétique (figure 9.11) est constitué, d un électroimnt (une bobine, et un noyu en fer doux). l bobine est limentée pr le circuit de commnde, le chmp électromgnétique crée permet de fermer un ou plusieurs contct dns un circuit secondire. ce circuit secondire peut être limenté vec l même tension que le circuit de commnde ou une tension propre u circuit de puissnce.

9.6 Détermintion et simplifiction des fonctions logiques 13 circuit de commnde U c plette contct du circuit secondire X bobine + noyu x () schém (b) symbole FIGURE 9.11 relis électromgnétique circuit de commnde w V 0V 0V X vv 0V V v V 0V x V vv circuit de puissnce () (b) schém normlisé FIGURE 9.12 circuit élémentire de commnde d un relis 9.6 Détermintion et simplifiction des fonctions logiques L première solution pour simplifier une fonction logique est d ppliquer les propriétés des fonctions logiques, Une utre solution est d utiliser une méthode grphique à prtir du tbleu de Krnugh. Soit, un comportement combintoire décrit pr l tble de vérité suivnte :

14 9 Systèmes à événements discrets 9.6.1 Simplifiction à prtir des reltions de l lgèbre b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Commençons, pr déterminer à quelles conditions, l sortie est vrie. b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 b c b c b c b c b c Simplifiction à prtir des règles de l lgèbre de Boole. finlement S = b c + b c + b c + b c + b c (fctoristion) ( ) S = c b + b + b c + b (c + c ) (b + b = 1) S = c + b c + b ( ) S = c + b c + b (bsorbtion : b c + b = b + c) S = c + (c + b ) S = c + c + b S = c + b (ou exclusif : c + c = c) S = c + b 9.6.2 Simplifiction à prtir du tbleu de Krnugh Cette méthode de simplifiction n est ps explicitement u progrmme, elle ser présentée en TD.

9.7 Exercices 15 9.7 Exercices Exercice 7- Cuve chuffée Corrigé pge?? Le niveu d une cuve est contrôlé pr 2 cpteurs de niveu (n 1, n 2 ) et un cpteur de tempérture à deux seuils (t 2, t 1 ). Une vnne V motorisée permet le remplissgedelcuve. Une résistnce chuffnte R ssure le chuffge. Dns cette cuve chuffée, le niveu doit être mintenu entre le niveu hut et le niveu bs et l tempérture entre les deux seuils. Une sécurité de fonctionnement interdit le chuffge si le niveu bs est tteint, de même le remplissge ne peut se fire si l tempérture est trop bsse (suf si l cuve est vide). Les cpteurs de tempérture sont à l étt logique 1 dès que l tempérture est supérieure à l tempérture à détecter. Les cpteurs de niveu sont à l étt logique 1 lorsque le liquide est présent devnt le cpteur. n 2 cuve V n 1 t 2 t1 R En cs de pnne de cpteur ou d étt incohérent, une lrme est déclenchée et toutes les ctions stoppées. Q1. Décrire le fonctionnement de l vnne motorisée et de l résistnce chuffnte pr une tble de vérité. Q2. Préciser les cs incohérents. Ajouter une sortie Alrme A pour informer l opérteur. Q3. Déterminer les équtions de fonctionnement de V, R et A. Q4. Trcer les logigrmmes. Exercice 8- Règle du consensus Corrigé pge?? L règle du consensus, est une règle de simplifiction des fonctions logiques, elle prend deux formes, celle d une somme de produit, celle d un produit de somme. Q1. Montrer que c + b c + b = c + b c Q2. Montrer que ( + c) (b + c ) ( + b) = ( + c) (b + c ) Remrque : on pourr utiliser l description pr une tble de vérité pour vérifier ces ssertions, puis retrouver le résultt pr des simplifictions à prtir de l lgèbre de Boole.

16 9 Systèmes à événements discrets Exercice 9- Étude d un comprteur Corrigé pge?? A. Description On se propose de réliser un module permettnt de comprer bit à bit deux nombres binires de 4bits(A= 3 2 1 0 et B = b 3 b 2 b 1 b 0 ) et d indiquer à l issue de l comprison si A > BouA< Bou A = B. A.1. Comprteur 1 bit Le comprteur ci-contre permet de comprer les deux bits 0 et b 0. L entrée v permet de synchroniser plusieurs modules, le résultt n est clculé que si v = 1. Comprteur 1 bit v 0 > b 0 0 0 < b 0 b 0 0 = b 0 Q1. Compléter l tble de vérité 0 b 0 v (sup 0 = " 0 > b 0 ") (inf 0 = " 0 < b 0 ") (eg 0 = " 0 = b 0 ") 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Q2. Déduire les équtions, (sup 0 ), (inf 0 )et(eg 0 ) Q3. Trcer le schém logique interne du comprteur A.2. Comprteur 4 bits On considère mintennt le comprteur 4 bits constitué de 4 comprteur 1 bit de l figure 9.13. Q4. Déterminer les équtions logiques qui permettent de déterminer si A > B ou A < B ou A = B. Q5. Compléter le schém logique interne du comprteur 4 bits.

9.7 Exercices 17 C 3 v v 3 b 3 sup 3 inf 3 eg 3 0 1 2 v 2 b 2 C 2 sup 2 inf 2 eg 2 A > B 3 C 1 A < B v 1 b 1 sup 1 inf 1 eg 1 b 0 b 1 C 0 A = B b 2 b 3 v 0 b 0 sup 0 inf 0 eg 0 FIGURE 9.13 Comprteur 4 bits

18 9 Systèmes à événements discrets 9.8 Systèmes séquentiels Avnt d border les systèmes à événements discrets, nous llons décrire les systèmes séquentiels. L pluprt des tritements ne sont ps uniquement combintoires mis souvent séquentiels. Dns un tritement séquentiel le système doit pouvoir mémoriser certines vleurs pour pouvoir les réutiliser. Un système est dit séquentiel, lorsque l ou les sorties dépendent de l combinison des entrées et de l étt précédent des sorties. Une même cuse (même combinison des entrées) peut produire des effets différents et l effet peut persister si l cuse disprît. e 1 e 2 e i e n Système séquentiel s 1 s j s n Étts précédents FIGURE 9.14 Système séquentiel 9.8.1 Fonction mémoire À l pprition du signl ecr (écriture), l sortie psse à l étt 1, à l disprition du signl l sortie reste dns le même étt (figure 9.15). L pprition du signl ef f (effcement), l sortie repsse à l étt 0. Le mintien de l sortie correspond à l effet mémoire. mémoristion ecr ef f Fonction memoire S S0 ef f 0 ecr 0 t (b) chronogrmme FIGURE 9.15 Fonction mémoire ) Fonction mémoire à effcement prioritire Soit un système constitué de deux boutons poussoirs, m (mrche) et (rrêt) et d un voynt V. Un ppui sur m éclire le voynt V, si on relâche le bouton, l sortie reste à l étt 1, si on ppuie sur, quel que soit l étt de du voynt V et de m,levoynts éteint.

9.8 Systèmes séquentiels 19 Nous llons construire l tble de vérité trduisnt ce comportement. m V les deux boutons sont relâchés et le voynt est éteint 0 0 0 le bouton m est ppuyé, le voynt s éclire 1 0 1 le bouton m est relâché, le voynt reste écliré 0 0 1 le bouton est ppuyé, le voynt s éteint 0 1 0 les boutons m et sont ppuyés, le voynt est éteint 1 1 0 On constte sur cette tble que le fonctionnement n est ps combintoire, en effet, pour deux étts identiques, (m = 0, et = 0) l sortie V deux étts différents. Pour mettre en évidence l étt interne mémorisé, nous llons introduire une nouvelle entrée dns le tbleu, V t δt qui représente l étt précédent de V. On construit l tble en remplissnt dns l ordre les différents étts des entrées et sorties, en reportnt l étt de l sortie V dns V t δt de l ligne suivnte. m V t δt V 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 On constte que l on mintennt 8 combinisons différentes des 3 vribles m,, etv t+δt.le fonctionnement est mintennt combintoire (8 combinisons pour 2 3 = 8 possibles). D où l éqution logique du voynt : V = m V t δt + m V t δt + m V t δt ) V = (m V t δt + m V t δt + m V t δt ( ) ) V = m (V t δt + V t δt + m V t δt V = (m ) + m V t δt V = (m + V t δt ) Le temps δt peut être ussi petit que possible, on peut donc écrire : V = (m + V) Et le schém logique :

20 9 Systèmes à événements discrets 1 & V = (m + V) m 1 m + V que l on peut mettre sous l forme : 1 & V = (m + V) m 1 m + V où on retrouve, l structure d un système séquentiel. On dit que le fonctionnement de cette mémoire est à «effcement prioritire», en effet en cs de demnde de mise à 1 et à mise à 0 simultnée, l mise à 0 l emporte (dernière ligne de l tble de vérité). mémoristion ppui simultné V 1 0 1 0 m 1 0 t FIGURE 9.16 mémoire est à «effcement prioritire» b ) Rélistion d une fonction mémoire en technologie électrique Pour réliser une fonction mémoire, il est nécessire d utiliser un relis qui permet vec un circuit d uto-mintien de mémoriser l impulsion sur un bouton (figure 9.17). 0V x X v V m 0V x V w V FIGURE 9.17 fonction mémoire à effcement prioritire vec uto mintien

9.8 Systèmes séquentiels 21 Exercice 10- Mémoire à écriture prioritire Corrigé pge?? Le comportement d une mémoire à écriture prioritire, est identique à celui d une mémoire à effcement prioritire, suf dns le cs d une de demnde de mise à 1 et à mise à 0 simultnée, l miseà1l emporte. Q1. Construire l tble de vérité de l mémoire à écriture prioritire, en déduire l éqution logique. Q2. Trcer le schém logique puis le chronogrmme. Q3. Concevoir le schém électrique d une mémoire à écriture prioritire en technologie électrique. Exercice 11- Bscule RS Corrigé pge?? L bscule RS est un composnt souvent utilisée en technologie électronique câblée permettnt de mémoriser une informtion. le schém ci-dessous décrit le schém logique interne de l bscule RS. R 1 Q Q1. Construire l tble de vérité de l bscule RS puis le chronogrmme. Q2. L combinison R = 1etS= 1 est déconseillée, que se psse-t-il? S 1 Q

22 9 Systèmes à événements discrets 9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm Il n est ps fcilement rélisble de décrire le comportement d un système séquentiel, à prtir d une simple tble de vérité. Le nombre de combinison possible à étudier devennt très rpidement un obstcle à toute synthèse. (2 n combinisons pour n vribles). Plusieurs outils, en générl grphiques, ont été développés pour fciliter cette description. Les élèves ynt fit une terminle S-Si ont utilisé un outil prticulier, le GRAFCET. Nous llons utiliser deux digrmmes du lngge SysML pour décrire les systèmes à événement discret. Le digrmme des mchines à étts du lngge SysMl permet de décrire l évolution des étts d un système en fonction de événements extérieurs. 9.9.1 Syntxe de bse On distingue 3 étts principux l étt initil représenté pr un cercle plein noir. Cet étt (pseudo étt) est nécessire, il indique le point d entrée dns un grphe. l étt finl représenté pr un cercle plein noir cerclé. Ce pseudo étt n est ps toujours nécessire, il décrit l étt finl d un comportement. l étt proprement dit. Il représente un phse de vie du système, le système reste dns l étt décrit tnt que les conditions d évolution ne sont ps remplies. Il est représenté pr un cdre précisnt l étt et/ou les ctions à réliser pendnt cette phse de vie. Un étt est représenté pr un cdre (figure 9.19). Les trnsitions les trnsitions d un étt à l utre (ou sur lui même) sont représentées pr un lien orienté, l condition de trnsition est décrite sur le lien. Une trnsition représente le pssge instntné d un étt vers un utre. Une trnsition ne peut donc ps voir de durée. On ppelle étt source l étt de déprt d une trnsition et étt destintion l étt d rrivée. Une trnsition n est évluée que si l étt source est ctif. 9.9.2 Les trnsitions L syntxe d un trnsition peut être reltivement complexe et comporter, jusqu à trois éléments distincts l événement : c est l condition principle qui déclenche le pssge d un étt à une utre. cel peut être, le chngement d étt d une vrible (un ppui sur un bouton, une tempérture tteinte,...) : when(t > T 0 ). S il n y ps de confusion, when n est ps précisé. une condition temporelle : fter(2s) ; l condition de grde : c est une condition booléenne qui complète l événement et qui en contrint l effet. Si une trnsition comporte un événement et un condition de grde : événement[grde] entre un étt source et un étt de destintion, pour que le système évolue, il fut que l événement soit vri et que l condition de grde soit vrie. l ction ou ctivité : décrit les ctions qui sont exécutées pendnt le frnchissement. Chque terme de l trnsition est optionnel.

9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm 23 L trnsition est frnchie lorsque les conditions de frnchissement ssociées sont vries : Si l événement pprît (déclencheur) et si l condition de grde est vrie à ce moment lors l trnsition est frnchissble : si l étt source étit ctif lors il se désctive et l étt de destintion s ctive. L ctivité, si elle existe, est exécutée vnt celles situées dns l étt de destintion. L condition de grde n est prise en compte qu u moment de l occurrence de l évènement. Si ucun évènement est écrit lors il est toujours vri. Si ucune condition de grde est écrite lors elle est toujours vrie. Une trnsition qui ne contient ucune condition de frnchissement est dite utomtique, elle est frnchie dès que l tche à l intérieur de l étt source est terminée. ) Trnsition réflexive Arc orienté qui relie le même étt (source = destintion). Cel permet d exécuter à nouveu les ctivités ssociées à exit et à entry de nouveu. b ) Trnsition lterntive Lorsqu un choix se présente entre deux ou plusieurs évolutions, il est possible d utiliser le mot clef else pour préciser l lterntive. On peut ussi préciser l lterntive en utilisnt le pseudo étt de point de décision ( ) dns le trnsition (figure 9.18). Étt 1 Étt 1 événement[else] événement[condition] [else] événement [condition] Étt 3 Étt 2 Étt 3 Étt 2 FIGURE 9.18 Trnsition lterntive L cluse else ne peut se trouver que dns une condition de grde. 9.9.3 Les blocs Un bloc est donc une entité qui précise l étt du système lorsque le bloc est ctif. Le grphisme de bse est un rectngle précisnt l étt et/ou les ctions à réliser pendnt cette phse de vie (figure 9.19()). Cette description peut être précisée en nommnt le bloc (figure 9.19(b)). Il est prfois nécessire de préciser le comportement d un étt, on peut insi le détiller en prennt en compte 3 phses (figure 9.19(c)) : ce qui doit se psser en entrnt dns l étt, cette phse est introduite pr le mot clef :entry.les tches ou ctions décrites dns cette prtie sont exécutées à chque fois que l on rentre dns le bloc, quelle que soit l durée de ce bloc.

24 9 Systèmes à événements discrets ce qui doit se psser tnt que l étt est ctif, le mot clef do introduit cette phse. Les tches du do sont rélisées tnt que l étt est ctif. Une ction rélisée dns le do ne prend fin que si un événement est présent. ce qui doit se psser en quittnt le bloc, cette phse est décrite dns le mot clef exit. Les tches ou ctions décrites dns cette prtie sont exécutées à chque fois que l on rentre dns le bloc, quelle que soit l durée de ce bloc. Nom Étt () grphisme de bse Nom Étt (b) Bloc nommé entry : liste des tches exécutées en entrnt do : liste des tches exécutées pendnt le déroulement exit : liste des tches exécutées en sortnt (c) Bloc vec liste des tches FIGURE 9.19 grphismes d un bloc ) Étts composites Un bloc peut ussi contenir une sous mchine à étt. Cette encpsultion permet de décrire des fonctionnements plus complexes sns trop lourdir le grphisme. Un tel étt est ppelé étt composite ou super étt (voir exemple??). L ctivtion de l étt composite entrîne l ctivtion du pseudo-étt initil interne(rond noir). L désctivtion de l étt composite entrîne l désctivtion de l étt ctif. Chque sous-étt peut ussi être un étt composite et insi de suite... Un étt composite peut contenir des ctivités ssociées à entry, do et exit. entry et do sont trités vnt l ctivtion du pseudo-étt initil de l région, exit est trité u moment de l désctivtion de l étt composite. b ) Étts orthogonux Un bloc peut ussi contenir plusieurs étts dits orthogonux, les étts orthogonux sont exécutés simultnément dès l ctivtion de l étt encpsulnt (figure 9.20). Qund un étt orthogonl est terminé, les utres étts orthogonux peuvent rester ctifs. Une trnsition sortnt de l étt englobnt termine simultnément tous les étts orthogonux. Trnsition fork et join Les deux pseudos étts fork et join sont représentés pr une brre épisse, le fork permet de d ctiver plusieurs étts orthogonux. le join de regrouper plusieurs trnsitions issues de plusieurs étts orthogonux.

9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm 25 Boisson sélectionnée Préprtion entry : Plcer gobelet do : remplir Fin préprtion do : jouter sucre exit : signl sonore Restitution monnie entry : monnie= credit - boisson(prix) do : rendre monnie FIGURE 9.20 Étts orthogonux Boisson sélectionnée Préprtion entry : Plcer gobelet do : remplir Fin préprtion do : jouter sucre exit : signl sonore Restitution monnie entry : monnie= credit - boisson(prix) do : rendre monnie FIGURE 9.21 Etts orthogonux, fork et join c ) Prise en compte de l historique Il est prfois nécessire de mémoriser l étt ctuel vnt de le quitter fin de le retrouver lors du retour dns l étt et de poursuivre le déroulement. FIGURE 9.22 Étts historiques

26 9 Systèmes à événements discrets L historique, est précisé pr le pseudo-étt H ou H *. shllow history H : permet à un étt de niveu hiérrchique supérieur (étt composite) de se souvenir du dernier sous-étt, vnt qu il n évolue vers un utre étt, deep history H * : idem que précédemment mis vec l propgtion de l historique à tous les sous-étts composites de niveux hiérrchiques inférieurs 9.9.4 Quelques exemples ) Lmpe - bouton poussoir Une lmpe L est éclirée pr une impulsion sur un bouton poussoir B p, une impulsion sur ce même bouton, l éteint. L figure 9.23 montre deux possibilités nlogues pour décrire ce fonctionnement sm : Lmpe [description] Éteinte entry : L = 0 sm : Lmpe [description] Éteinte B p B p B p B p Eclirée entry : L = 1 Eclirée entry : L = 1 exit : L = 0 () (b) FIGURE 9.23 Lmpe et bouton poussoir :deux descriptions d un même fonctionnement On note dns cet exemple l utilistion de entry et exit ; les multiples représenttions d une même description. Proposer une utre méthode pour décrire ce fonctionnement. b ) Lmpe temporisée Un éclirge extérieur est mis en route pr le pssge d une personne sous le détecteur (d), il fonctionne lors pendnt 30 s. Si une nouvelle personne se présente lors que l éclirge est ctif, celui-ci redémrre pour 30s. L figure 9.24 décrit le fonctionnement ttendu, l boucle ré-entrnte dns l étt «Éclirée» permet de relncer l ttente. On note dns cet exemple l utilistion de fter pour représenter une temporistion ; l utilistion d une trnsition réflexive ; l ctiondécrite dnsledo, n est ps rrêté pr l trnsition réflexive.

9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm 27 sm : Lmpe [description] Éteinte entry : L = 1 fter(30s) d Eclirée d entry : Lncer Tempo do : L = 1 FIGURE 9.24 Lmpe temporisée c ) Fonctionnement d une porte motorisée L porte peut être dns l un des trois étts : «Ouverte», «Fermée» ou «Verrouillée». Le système peut répondre ux événements «Ouvrir», «Fermer», «Verrouiller» et «Déverrouiller». Le mtin, l porte est déverrouillée et le soir, elle est verrouillée. L commnde est rélisée pr un bouton à clef plcé à l extérieur. Les boutons "Ouvrir" et "Fermer" sont plcés à l intérieur, dns le locl de surveillnce. Un détecteur permet de vérifier que le pssge est libre. Un voynt ornge clignotnt est limenté lorsque l porte se déplce. sm : Porte électrique [Fonctionnement globl] Verrouillée Verrouiller Déverrouiller Ouvrir/Voynt_clignotnt Fermée Ouverte Fermer[pssge_vide]/voynt_clignotnt FIGURE 9.25 Porte électrique À l mise sous tension (étt initil) l porte est verrouillée. L événement Déverrouiller metl porte dns l étt «Fermée». L événement Verrouiller metl porte dns l étt «Verrouillée».

28 9 Systèmes à événements discrets L condition de pssge Ouvrir/voyntclignotnt met l porte dns l étt «Ouverte». Pendnt le déplcement, l ction /voyntclignotnt lieu. L évolution de l étt «Ouverte» à l étt ne peut se fire que si l événement Fermer est vri et que l condition de grde [pssgevide] est vrie. Pendnt le déplcement, l ction /voynt clignotnt lieu. d ) Voiture utomtique Le fonctionnement d une voiture peut être décrit pr deux étts élémentires, «À l rrêt», «En Mrche». Si l étt «À l rrêt» peut suffire à décrire cet étt, l étt «En Mrche» lui comporte lui un grnd nombre d étts, qui peuvent ussi être décomposé. L figure 9.26 montre un premier niveu de décomposition, qui utilise un étt composite (super étt) pour décrire l étt en mrche. stm [Stte Mchine] / / entry / do / exit / [ >=0] [ <=0] FIGURE 9.26 Descrition succincte d une voiture utomtique

9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm 29 e ) Micro-onde Le fonctionnement d un micro-onde peut être décrit pr l mchine à étts de l figure 9.27. À l mise en route, le micro-onde est rrêté, l utilisteur règle le temps de cuisson, lnce l cuisson en ppuynt sur mrche. Si l porte est fermée, l cuisson est lncée, l condition de grde [in (Fermée)] n utorise le pssge que si l porte se touve dns l étt Fermée. Dès que l porte est ouverte, l condition de grde [not in (Fermée)] est vrie, et l cuisson est stoppée, le timer est mis en puse. Lorsque le temps écoulé est supérieur u temps de cuisson progrmmé [Timer Temps_cuisson], le micro-onde se retrouve dns l étt initil. On noter dns cet exemple : les deux étts orthogonux ; d un étt composite dns un étt composite ; l utilistion du mot clef in pour préciser qu un événement ou une condition de grde dépend d un utre étt. Micro-onde Générteur En Mrche entry : Remise_à_zéro_Timer ; Mémoriser_Temps_cuisson ; mrche Arrêt rrêt [Timer Temps_cuisson] Cuisson entry : Lncer_Timer do : Générer_microondes [in (Fermée)] [not in (Fermée)] Repos entry : Timer en puse Porte Fermée porte_ouverte Ouverte porte_fermée FIGURE 9.27 Mchine à étts micro-onde

30 9 Systèmes à événements discrets 9.9.5 Exercices Exercice 12- Mémoires à écriture prioritire et à effcement prioritire Corrigé pge?? Q1. trduire le fonctionnement des mémoires à écriture prioritire et à effcement prioritire pr un digrmme d étts Exercice 13- Portil BFT Corrigé pge?? Cycle d ouverture. A l première impulsion sur le bouton mrche ou l télécommnde, le verrou électromgnétique sur le petit portillon se débloque puis le portil et le portillon s ouvrent. L ouverture dure 15s. Le portil reste ensuite ouvert. Cycle de fermeture. Une deuxième impulsion sur le bouton mrche ou l télécommnde à prtir de l position ouverte déclenche l fermeture du grnd vntil, le petit vntil débute son cycle de fermeture 3s plus trd. L fermeture dure 15s Inversion de cycle. Une impulsion sur l télécommnde ou le bouton mrche pendnt un cycle, rrête ce cycle. une nouvelle impulsion déclenche le cycle opposé. Sécurité. Si le fisceu de l cellule photoélectrique est coupé pendnt le cycle de fermeture, le cycle s interrompt et le cycle d ouverture démrre. Q1. Décrire le fonctionnement pr un digrmme d étts

9.9 Mchine à étts- Stte mchine digrm 31 Exercice 14- Cuve chuffée - Mchine à étt Corrigé pge?? On reprend l description de l cuve chuffée. Le niveu d une cuve est contrôlé pr 2 cpteurs de niveu (n 1, n 2 ) et un cpteur de tempérture à deux seuils (t 2, t 1 ). Une vnne V motorisée permet le remplissgedelcuve. Une résistnce chuffnte R ssure le chuffge. V n 2 cuve n 1 t 2 t1 R Dns cette cuve chuffée, le niveu doit être mintenu u niveu hut et l tempérture à l tempérture hute. Le chuffge ne peut voir lieu si le niveu est sous le niveu bs, de même le remplissge ne peut se fire si l tempérture est trop bsse (suf si l cuve est sous le niveu bs). Les sondes de tempérture sont à l étt logique 1 dès que l tempérture est supérieure à l tempérture à détecter. Les cpteurs de niveu sont à l étt logique 1 lorsque le liquide est présent devnt le cpteur. En cs de pnne de cpteur ou d étt incohérent, une lrme est déclenchée et toutes les ctions stoppées. le retour en fonctionnement norml ne se fit qu près une vlidtion pr un bouton à clef (clef vl). Un robinet de vidge (non représenté) permet de prélever le liquide chuffé. Nous vons vu dns un TD précédent, que le fonctionnement peut être décrit pr l tble de vérité suivnte : n 1 n 2 t 1 t 2 V R Al 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 et les équtions logiques ci-dessous : V = n 2 (t ) 1 + t 2 R = n 1 t 2 Al = n 1 n 2 + t 1 t 2 On se propose de décrire se fonctionnement pr une mchine à étts. Q1. Identifier les étts Q2. Trduire le fonctionnement pr une mchine à étt.

32 9 Systèmes à événements discrets On peut dns un premier temps considérer 5 étts : Au repos : l cuve est pleine à l bonne tempérture ; En chuffge : le liquide est en cours de chuffge ; En remplissge : l vnne de remplissge est ouverte : En remplissge et chuffge ; En Alrme. Fonctionnement norml En repos n 2 == 1 [ t 2 == 1 ] t 2 == 1 [ n 2 == 1 ] [ (n2 == 0&&t 1 == 1 ) n1 == 0] [ t1 == 0&&n 1 == 1 ] n 1 == 1 [ t 1 == 0 ] En remplissge t 1 == 0 [ n 1 == 0 ] En chuffge n 1 == 1 [ t 1 == 1 ] t 1 == 1 [ n 1 == 1 ] t 2 == 1 [ n 2 == 0 ] n 2 == 1 [ t 2 == 0 ] En chuffge et remplissge vl (n 2 == 1&&n 1 == 0) (t2 == 1&&t 1 == 0) En Alrme FIGURE 9.28 Mchineàéttdelcuvechuffée