Denis Pasquignon Applications linéaires Résumé du cours : 1. Généralités On appelle application linéaire de E dans F une application f : E F telle que (x 1, x 2 ) E 2 λ K, f(x 1 + λx 2 ) = f(x 1 ) + λf(x 2 ) On note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires de E dans F. Isomorphisme Endomorphisme Automorphisme Forme linéaire L(E, F ) est un espace vectoriel. f L(E, F ) et g L(F, G), alors g f L(E, G). Si f bijective alors f 1 existe et est dans L(F, E). L image d un sev de E est un sev de F. L image réciproque d un sev de F est un sev de E 2. Image et Noyau On appelle image de f la partie de F définie par Im(f) = f(e). le noyau de f est la partie de E définie par Ker(f) = {x E f(x) = 0}. Im(f) et Ker(f) sont des sev de F et E respectivement. f est injective ssi Ker(f) = {0}, f est surjective ssi Im(f) = F. 3. Cas de la dimension finie : Théorème du rang Théorème du rang Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f une application linéaire de E dans F, alors on a l égalité dim(im(f)) + dim(ker(f)) = dim(e). On appelle rang de f noté rg(f) la dimension de Im(f). f est injective ssi rg(f) = dime. Si f est surjective, alors F est de dimension finie et dim(f ) dim(e). Si f est bijective, alors F est de dimension finie et dim(f ) = dim(e). Si dim(e) = dim(f ), alors f est injective f est surjective f est bijective 4. Matrices et applications linéaires Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et F un espace vectoriel de dimension finie p. Soit f L(E, F ), soit B = (e 1,, e n ) une base de E et C = (f 1,, f p ) une base de F. On note (a 1i,, a pi ) les coordonnées de f(e i ) dans la base (f 1,, f p ): f(e i ) = 1 p a ki f k. k=1
On appelle matrice de f dans les bases B et C la matrice de terme général a ij. On note cette matrice M B,C (f) M pn. Expression de l image d un vecteur : y = f(x) Y = AX. L application Φ de L(E, F ) dans M p,n (K) qui à toute application linéaire associe la matrice M B,C (f) est un isomorphisme. On en déduit la dimension de L(E, F ) égale à np. Rang d une matrice 5. Changement de base Action d un changement de base sur les composantes d un vecteur Action d un changement de base sur la matrice représentant une application liéaire On dit que M et M de M n (K) sont semblables si il existe une matrice inversible P telle que M = P 1 MP. 2
Exercice 1 Soit f : R 4 R 3 définie par f(x, y, z, t) = (x, y, z ) où x = x + y + z + 2t y = y z + t z = x y + 3z Ecrire la matrice de f dans les bases canoniques. Donner une base et la dimension de Kerf et de Imf. L application f est-elle injective? surjective? Exercice 2 Soient R 2 et R 4 rapportés à leurs bases canoniques. 1. Montrer qu il existe une application linéaire f de R 2 dans R 4 telle que f(1, 1) = (1, 2, 1, 0), f(1, 2) = (1, 1, 1, 1). 2. Définir analytiquement f. 3. Déterminer l image et le noyau de f, en donner une base, f est-elle injective? surjective? Exercice 3 R 3 et R 4 sont rapportés aux bases canoniques, on considère l application linéaire f de R 4 dans R 3 définie par : x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) f(x) = y = (y 1, y 2, y 3 ) où : y 1 = 3x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 y 2 = x 1 3x 2 5x 3 + 4x 4 y 3 = 5x 1 x 2 + 3x 3 + 6x 4 1. Montrer sans calcul que l application f n est pas injective. 2. Déterminer le noyau de f. En donner une base et la dimension. 3. Donner sans calcul la dimension de l image de f. 4. Déterminer l image de f. En donner une base. Exercice 4 Soit E l espace vectoriel des polynomes à coefficients réels. On considère les applications suivantes définies sur E : D : P P f : P P P h : P h(p ) défini par h(p )(X) = P (X + 1) P (X) 1. Montrer que ces applications sont des endomorphismes de E. 2. Déterminer les noyaux de D, f, h. 3. D est-elle injective? surjective? 4. On se place dans R n [X]. On appelle D 1, f 1, h 1 les restrictions de D, f, h à R n [X]. (a) Montrer que D 1, f 1, h 1 sont des endomorphismes de R n [X]. (b) Donner les matrices de D 1, f 1, h 1 dans la base canonique de R n [X], notée B. 3
(c) L endomorphisme D 1 est-il surjectif? Calculer D1 n+1. (d) Montrer que f 1 est bijective et donner l expression de f1 1 à l aide de D 1. En déduire que, Q R n [X], il existe un polynôme P que l on déterminera tel que P P = Q. (e) Montrer que h 1 est nilpotent : il existe m tel que h m 1 = 0. 5. Montrer que f est bijective. Exercice 5 A tout polynôme P de R n [X], on associe Q(P ) quotient de sa division par X, et R(P ), reste de sa division par X n. Montrer que l application φ : R n [X] R n [X] définie par : φ(p ) = Q(P ) + XR(P ) est un endomorphisme de R n [X] dont on donnera la matrice M pour la base canonique. M est-elle inversible? Exercice 6 (Oral HEC 92) Soit la matrice de M 4 (R) : 0 1 1 0 M = 1 0 0 1 0 0 0 1. 0 0 1 0 1. Montrer que M est inversible. Calculer son inverse. 2. Soit E l ensemble des fonctions définies sur R et de la forme : avec a, b, c, d réels. f(x) = (ax + b)sin(x) + (cx + d)cos(x) (a) Montrer que E est un espace vectoriel sur R. (b) Montrer que les quatre fonctions (sinx, cosx, xsinx, xcosx) forment une base de E. (c) Montrer que l application qui à toute fonction f de E associe sa dérivée f est une application linéaire de E dans E. 3. Ecrire la matrice de l application linéaire ci-dessus dans la base déterminée en b. Montrer que toute fonction f appartenant à E possède une primitive et une seule appartenant à E. Déterminer avec le moins de calculs possibles les primitives de : xsinx + cosx, puis de xcosx + xsinx. Exercice 7 (HEC 94) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. 1. Soit k vecteurs de E : a 1,, a k tels que la famille (f(a 1 ), f(a 2 ),, f(a k )) soit une famille libre. Montrez que la famille (a 1,, a k ) est libre. 2. Montrer que : f f = 0 Imf Kerf. 4
3. On suppose que Kerf = Imf. (a) Montrer que si (e 1, e 2,, e k ) est une base de Imf, alors il existe une famille (a 1,, a k ) de E telle que : pour tout 1 i k, f(a i ) = e i. (b) Montrer que la famille (a 1,, a k, e 1, e 2,, e k ) est libre. (c) Montrer que la famille (a 1,, a k, e 1, e 2,, e k ) est une base de E, on notera B cette base. Que peut-on en déduire sur la dimension de E. (d) Quelle est la matrice de f dans la base B. Exercice 8 Soient n + 1 réels distincts deux à deux a 1, a 2,, a n+1. Soit φ l application sur R n [X] à valeurs dans R n+1 définie par : P R n [X] φ(p ) = (P (a 1 ), P (a 2 ),, P (a n+1 )). Montrer que φ est surjective. En déduire qu il existe une unique famille de polynômes L 1, L 2,, L n+1 de R n [X] tels que (i, j) L i (a j ) = δ ij. Exercice 9 Soit E l espace vectoriel des fonctions continues sur R. Soit φ l application définie sur E par f φ(f) = F avec x R, F (x) = x+1 f(t)dt. x Montrer que φ est un endomorphisme de E. φ est-il injectif? surjectif? Exercice 10 (Oral HEC 92) Soit E l ensemble des fonctions de classe C sur R telles que : x R, f(x + 1) = f(x). Soit d l application définie sur E qui à f fait correspondre f. 1. Montrer que E est un espace vectoriel. 2. Montrer que d est un endomorphisme de E. 3. Déterminer le noyau et l image de d. Exercice 11 Soit E un R espace vectoriel, f L(E). On dit que f est nilpotent s il existe n N tel que f n = 0. 1. (a) Montrer que si f et g sont nilpotents et commutent alors f g et f + g sont nilpotents. (b) Montrer que f n est pas un automorphisme. (c) Montrer que Id f est inversible et déterminer son inverse. (d) Soit n le plus petit entier positif tel que f n = 0. Montrer qu il existe un vecteur u tel que le système (u, f(u),...f n 1 (u)) soit libre. 2. On suppose dans cette question que E est de dimension 3. Soit f L(E) tel que f 2 0 et f 3 = 0. (a) Montrer qu il existe un vecteur u de E tel que (u, f(u), f 2 (u)) soit une base de E. (b) Ecrire la matrice A représentant f dans cette base. Calculer A 2. 5
(c) Trouver les endomorphismes g de E qui commutent avec f, c est-à dire g f = f g. Exercice 12 (Oral HEC 96) Soit E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E et Id l application identique sur E. On pose f o = Id et pour tout n N, f n+1 = f n f. Si P est le polynôme de R[X] : P (X) = a o + a 1 X + + a n X n, on note P (f) l endomorphisme de E défini par : P (f) = a o Id+a 1 f + +a n f n. On admettra que : (P, Q) R[X] 2, α R, (αp + Q)(f) = αp (f) + Q(f) et (P Q)(f) = P (f) Q(f). 1. Montrer que : P (f) Q(f) = Q(f) P (f). On suppose qu il existe un polynôme P de R[X] tel que : P (f) = 0. Les trois questions suivantes sont indépendantes. 2. On suppose que : P (0) 0. Montrer que f est bijectif. 3. On suppose qu il existe 4 polynômes P 1, P 2, S et T tels que : P 1 T +P 2 S = 1et P = P 1 P 2. Montrer que le noyau de P 1 (f) et le noyau de P 2 (f) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. 4. On suppose que : P (X) = XQ(X) avec Q(0) 0. Soit x E, on suppose que x = z + f(y) où z appartient à Kerf et y à E, exprimer z en fonction de Q(f)(x). Montrer que le noyau et l image de f sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exercice 13 Soit u L(E, F ) donnée par sa matrice relativement aux bases B de E et C de F : M(u, B, C) = 1 1. 3 4 2 2 1. Donner la dimension de E et F. Déterminer le noyau, l image et le rang de u. 2. Soit le système S = (e 1, e 2) où e 1 = 3e 1 + e 2 et e 2 = 2e 1 + 5e 2. Montrer que S est une base de E et calculer M(u, S, C) Quelle est la matrice de passage de la base B à la base S. 3. Soit le système C = (f 1, f 2, f 3) où Montrer que C est une base de F. M C S = M(u, S, C ). Exercice 14 (Oral HEC) Soit t réel et la matrice 1 1 t A(t) = 0 1 1. 1 1 2 f 1 = f 1 + f 3 f 2 = 2f 1 f 2 + f 3 f 3 = f 1 f 2 + f 3 Calculer M C B = M(u, B, C ), puis et f t l endomorphisme de R 3 qui a pour matrice A(t) dans la base canonique. 6
1. Déterminer pour quelles valeurs de t, A(t) est inversible. Dans le cas où A(t) n est pas inversible, trouver une base de Kerf t et de Imf t. 2. Trouver deux réels a(t) et b(t) tels que ft 3 = a(t)f t + b(t)id. En déduire que A(t) est semblable à B(t) = 2 t 0 1 0 0 t. 0 1 0 Exercice 15 (Oral HEC 90) Soit α ]0, π/2[, on désigne par M la matrice : 0 1 sin(α) M = 1 0 cos(α). sin(α) cos(α) 0 1. Montrer qu il existe n entier naturel tel que M n = 0. En déduire que (I 3, M, M 2 ) est libre dans M 3 (R). 2. Soit F : R M 3 (R) qui à x associe I 3 + xm + 1 2 x2 M 2. (a) Calculer F (x)f (y). En déduire que F est à valeurs dans GL 3 (R). (b) F est-elle injective? F est-elle surjective? 3. Trouver X R 3 tel que M 2 X 0. En déduire que M est semblable à A = 0 1 0 0 0 0. 0 1 0 Exercice 16 A toute matrice A = (a ij ) 1 i n,1 j n de M n (R), on associe le réel n i=1 a ii appelé trace de A et noté tr(a). 1. Montrer que l application : A tr(a) est une forme linéaire. 2. Montrer que, pour toutes matrices A, B de M n (R), tr(ab) = tr(ba). 3. Montrer que deux matrices semblables ont même trace. 4. En déduire que l on peut définir la trace d un endomorphisme de R n. 7