E ETE UX NDE EE FF TN UN DE UNETE TT ENE TEHNQUE T seestre D ENQUE TNNEE ors & eercces résols ppels sr les ecters es Torsers ttqe es oles éoétre es sses nétqe ont et ole nétqe et Dnqe es oles. KD U NETE HED U - UEDE
et ovrge est estné étnts e eèe nnée es clsses préprtores grnes écoles et étnts tronc con e technologe es nverstés ns qe les étnts seestre es scences technqes sstèe D. l content es chptres e cors et es eercces résols à l fn e chqe chptre. es soltons sont sovent étllées et perette à l étnt e copléter s copréhenson cors et fre sot êe son évlton. es e preers chptres trtent les otls thétqes notent les torsers tlsés por splfer l écrtre es éqtons e l écnqe. e chptre tros écrt l éqlre sttqe es soles et les fférentes lsons entre les soles et les éqtons q les régssent. e chptre qtre est conscré à l géoétre es sses onc centres nerte et tensers nerte es soles. vor tlser le théorèe e Hgens peret e résore n on nore e prolèes en écnqe es soles et vrtons. es chptres cnq s et sept trtent l cnétqe pont térel et l cnétqe sole néforles ns qe les contcts entre les soles. e neent es ngles Eler et ler sslton sont nspensles por l copréhenson e l écnqe es soles. es chptres ht et nef écrvent l cnétqe et les théorèes fonent e l nqe et le prncpe e l cton et e l récton. e erner chptre trte l nqe es soles en oveents e rotton tor n e et e ler éqlrge sttqe et nqe. De nore eercces résols ns cet ovrge ontrent ss l nère ont l ft tlser les théorèes génér e l écnqe et coen l est portnt e fre n on cho es repères por l éternton es éléents cnétqes et cnétqes es soles. écnqe est l scence q écrt les los es oveents et e l éqlre. Elle est à l se ensonneent es écnses es chnes es strctres es ovrges et tres rélstons e l hoe. J espère qe le lecter nt tlsé l ovrge porr à l fn en tlsnt les torsers es ctons écnqes et les fférentes lsons écrre les éqtons e oveent n écnse qelconqe et résore le prolèe. Je tens à reercer totes celles et ce q vorons e fre prvenr lers crtqes rerqes ns qe lers sggestons fn élorer le conten e cet ovrge. ter El : l@hoo.fr
réfce Qn l KD cleent ené écrre l préfce e cet ovrge je n ps hésté à réponre ffrtveent. occson q est onc offerte e peret e resser recteent étnts ensegnnts et ngéners concernés pr cet ovrge. Elle e peret ss e téogner tote reconnssnce à l ter q nos offert là n ovrge fort ntéressnt trtnt n one clé es scences e l ngéner à svor l «cnétqe et nqe es soles néforles» où chqe cors est sv ne sére eercces corrgés. ovrge est strctré en chptres copléentres les ns es tres trtnt en étl e l géoétre es sses jsq à l nqe es soles en pssnt pr les théorèes fonent e l nqe et prncpe e l cton et e l récton. l s resse ss en étnts es e preères nnées es nverstés étnts es clsses préprtores grnes écoles ns q ensegnnts et ngéners. hcn en trover ce ont l eson. étnt por pprofonr ses connssnces et ller -elà es concepts vs cors. ensegnnt por élorer s sorce e svor. ngéner por en fre ne référence nspensle. ovrge proposé ntègre n éléent nove : l pproche éthoologqe e résolton e prolèes. orollre ne nes nnées e trvl nverstre effectée pr l ter l pproche est constrte vec le soc constnt e proposer es eercces corrgés à ffclté crossnte perettnt l îtrse grelle es prncpes recters cors. Enfn l herese ée vor nclt ét e l ovrge ne sélecton es prncp otls thétqes connees à l copréhenson e l scence écnqe ne pet qe renforcer l notorété e cet ovrge. rofesser Kel DD Doen e l fclté es scences Unversté e oerès lgére
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE E UT THETQUE 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E UT THETQUE oélston e l espce réel conséré ns le cre e l écnqe clssqe coe étnt à tros ensons hoogène et sotrope sppose l ntrocton otls thétqes tel qe les vecters et les notons sr les torsers. Dns cette prte nos présenterons les rppels et l ensele es opértons thétqes sr les vecters. Nos évelopperons ss l éte sr les torsers q sont es otls thétqes très portnt en écnqe clssqe notent en écnqe es soles. tlston es torsers en écnqe peret e splfer l écrtre es éqtons reltves grners fonentles e l écnqe.. pértons sr les vecters Dns tot ce q st on s ntéresser à l ensele E es vecters e l espce sel. E est n espce Eclen à tros ensons.. Défnton Un vecter est n segent e rote sr leqel on chos ne orgne et ne etrété ; l est éfn pr : - son orgne ; - s recton ; - son sens ; - son ole. r conventon on opte l notton svnte : vecter :. lssfcton es vecters l este plsers tpes e vecters : - ecter lre : l recton le sens et le ole sont onnés s l rote spport et le pont pplcton orgne vecter ne sont ps connes ; - ecter glssnt : le pont pplcton orgne vecter n est ps fé ; - ecter lé : tos les éléents vecter sont éternés ; - ecter ntre : c est n vecter ont le ole est égl à. o 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 4. oposntes n vecter onsérons ne se e l espce notée : e e e. ette se est orthonorée s : e e j s s j j e se est e recte s n oservter se plçnt à l etrété vecter e verr le vecter torner vers le vecter e ns le sens contrre es glles ne ontre. e e e Dns cette se n vecter e coposntes s écrrt : e e e es qnttés réelles sont ppelées coposntes vecter ns l se notton optée est l svnte : 5. o e coposton nterne : oe vectorelle soe e e vecters et est n vecter W tel qe :. nos vons W ot les coposntes vecter où : e e et les coposntes vecter où : e vecter soe est éfn pr l relton : e e e e W e e e éléent netre o vecter nl est noté : 5. roprétés e l soe vectorelle - l soe vectorelle est cottve : ; 7
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD - l soe vectorelle est ssoctve : ; - l éléent netre est éfn pr : ; - tot vecter correspon n vecter opposé noté tel qe : 5. ltplcton pr n sclre λ est n nore réel et n vecter ler prot est n vecter. λ λ > e vecter W est colnére vecter. W le vecter por coposntes c tel qe : e e ; le vecter e W s écrrt : W λ e λ e λ e ltplcton n vecter pr n sclre vérfe les proprétés svntes : Dstrton pr rpport à l on es sclres : λ λ λ λ ; Dstrton pr rpport à l soe vectorelle : λ λ λ ; c ssoctvté por l ltplcton pr n sclre : λ λ λ λ 6. onson lnére es vecters ot les n vecters :...... n e l espce et λ λ λ... λ es n nores réels. es vecters λ λ λ... λ... λ n n sont ss es vecters e l espce ns qe ler soe éfn pr : W λ λ λ... λn n W e vecter W est ppelé conson lnére es vecters : 6.. Dépennce et népennce lnére entre les vecters 6... Défnton n λ... n n qe les n vecters :...... n e l espce sont lnéreent 8
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD népennt s et seleent s ls vérfent l relton svnte : λ entrîne qe tos les λ sont nls. n λ λ λ λ... λn n λ λ.. λ n les λ ne sont ps tos nls on qe les vecters sont lnéreent épennt entre e. 6... roprétés sr l népennce es vecters Un vecter est à l sel n vecter lnéreent népennt ; Dns n sstèe e vecters lnéreent népennts cn entre e ne pet être n vecter nl ; c Dns n ensele e vecters népennts tot sos ensele prélevé sr ces vecters fore n sstèe e vecters népennts. n 6... roprétés sr l épennce es vecters n vecters sont épennts entre e lors ons l n entre e est ne conson lnére es tres. ot les n vecters :...... n e l espce et λ λ λ... es nores réels s ces vecters sont lnéreent épennts l relton : λ n n λ plqe q l este es λ non nls e telle sorte qe l relton pse s écrre : λ λ... λ n n λ q onne pr eeple : λ λ λ... λ n n λ λ λ... λ n n n lors qe épen lnéreent es vecters : erqe : n......... sont lnéreent népennt lors les vecters n...... n n n le sont ss qel qe sot les vecters n... n 9
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns n ensele e vecters lnéreent népennts chqe vecter est ne conson nqe es tres vecters. ot W n et U n β e vecters népennts: églté entre les e vecters népennts est éqvlente à n égltés entre les nores réels : W β 7. rot sclre e e vecters n ppelle prot sclre e e vecters et ne lo e coposton eterne q ssoce e vecters n sclre nore réel noté : tel qe : ; le résltt n prot sclre est n sclre. e prot sclre est nl s : es e vecters sont orthogon ; n es vecters est nl. 7. roprétés prot sclre lnérté : W W W λ W λ W sétre pr rpport vecters : W W onc : > s e prot sclre est ne fore lnére sétrqe ssocée vecters et W. 7. Epresson nltqe prot sclre onsérons ne se e l espce notée : e e e. ette se est orthonorée s : e e j s s j j e se est e recte s n oservter se plçnt à l etrété vecter e verr le vecter e torner vers le vecter ns le sens contrre es glles ne ontre. e e e
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD oent e vecters et. ers epressons ns cette se sont : e e e e e e e prot sclre es e vecters est onné pr : e e e e e e 7.. Nore o ole n vecter n ppelle nore o ole n vecter noté : l rcne crrée postve prot sclre vecter pr l-êe. Nos vons en prtclers : λ λ : ppelé néglté trnglre. 7.4. ecters orthogon De vecters sont s orthogon s et seleent s ler prot sclre est nl : W W tros vecters non nls sont orthogon e à e ls sont lors lnéreent népennt et ls consttent ne se orthogonle ns. 7.5. se orthonorée Une se est e orthonorée s les vecters q l consttent sont perpenclres e à e et s lers nores sont égles à. est orthonorée nos vons lors : e e e e e e e e e e e e e e e e e e
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8. rot vectorel e e vecters e prot vectorel e e vecters et e l espce est n vecter W perpenclre à et éfn pr : W sn n o n : est n vecter ntre perpenclre à et e prot vectorel est nl s : - es e vecters sont colnéres ; - n es vecters est nl. W n 8.. roprétés prot vectorel e ole prot vectorel est égl à l re prllélogre foré pr et ; e prot vectorel est strtf à gche et à rote por l soe vectorelle : W W W W W W c e prot vectorel est ssoctf por l ltplcton pr n nore réel : λ W λ W λw λ W e prot vectorel est ntsétrqe ntcottf on pplqe cette proprété prot vectorel n êe vecter nos rons : n ét à prtr e cette proprété qe : e vecters non nls sont colnéres s et seleent s ler prot vectorel est nl. lors En effet s on pet écrre : λ λ
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8.. rot vectorel es vecters ntres ne se orthonorée est orthonorée nos vons : e e e ens rect : e e e e e e e e e ens opposé : e e e e e e e e e 8.. Epresson nltqe prot vectorel ns ne se orthonoré rect e prot vectorel e e vecters e coposntes respectves ns ne se orthonorée rect : et Z Y X et Z Y X X Y Y X Z X X Z Y Z Y Z Z Y X Z Y X 8.4. rot te n ppelle prot te e tros vecters prs ns cet orre le nore réel éfn pr : e prot te est onc n sclre égl vole prlléléppèe foré pr les tros vecters. e prot te est nl s : - les tros vecters sont ns le êe pln ; - e es vecters sont colnéres ; - l n es vecters est nl. n ontre fcleent qe ns ne se orthonorée recte le prot te est n vrnt sclre pr pertton crclre rect es tros vecters cr le prot sclre est cottf:
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD erqe : Une notton splfée ns lqelle les opérters n pprssent ps est optée ns ce cs por fclter l écrtre es éqtons vectorelles : est éqvlent à nos vons lors : 8.5. Dole prot vectorel e ole prot vectorel e tros vecters respectfs est n vecter W epré pr l relton : W. e vecter W est perpenclre vecter et vecter foré pr le prot : l est onc ns le pln foré pr les vecters et. e vecter W pet s écrre : W Nos povons présenter cette relton treent pr entfcton es sclres et on otent : l ft fre ttenton à l orre es vecters cr le prot vectorel n est ps cottf. or retenr cette forle l est pls sple e l écrre sos l fore : 9. rojecton es vecters 9.. rojecton orthogonle n vecter sr n e ot n vecter qelconqe et Δ n e e l espce éfn pr son vecter ntre. projecton orthogonle vecter est l coposnte e ce vecter cet e. 4
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 9.. rojecton orthogonle n vecter sr n pln ot n vecter qelconqe et π n pln e l espce éfn pr l norle n. projecton orthogonle vecter est l coposnte ns le pln. e vecter e coposntes l ne ns le pln et l tre perpenclre pln. n π ns : π n n n Q s écrt ss sos l fore : π n n n n n retrove l relton ole prot vectorel n n π π entre les vecters et n : n n π. Dvson vectorelle X W on qe X est le résltt e l vson vectorelle e W pr ne ot ps être n vecter nl ; W et ovent être orthogon l este ne solton prtclère X lors elle est l fore X W En replçnt cette vler ns l epresson X W on otent : W W W W W oe W lors W ; on otent : W W Nos vons ss : X X X X cette epresson ontre qe le vecter X X est prllèle à ns ce cs nos povons écrre qe : X X λ vec λ o X X λ fnleent : X W λ 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. ègle es sns ns n trngle ot n trngle qelconqe nos povons étlr ne relton entre les tros côtés et les tros ngles trngle. Dns les trngles D et D nos vons : D sn et où : n ét : sn β sn sn β sn sn β D De êe por les trngles E et E nos vons : E sn et n ét : sn sn D β π E sn π où sn sn π sn n ét fnleent ne relton ppelée règle es sns ns n trngle:. pérters et vecters sn sn β sn. pérter grent ns n repère orthonoré j n éfn l opérter vectorelle noté : j l espce svnt les tros rectons es vecters ntres. E coe étnt l érvée ns e grent n sclre U est éfn coe étnt l érvée vectorelle svnt les tros rectons respectves j pr rpport vrles :. Eeple : U U U gru j o gr U U U U 5 : U 5 gru 5 j 5 e grent n sclre est n vecter. U 5 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD. pérter vergence ns n repère orthonoré j vergence n vecter est éfne coe étnt le prot sclre j e l opérter : j pr le vecter ; noté : v j j v vergence n vecter est n sclre.. pérter rottonnel ns n repère orthonoré j e rottonnel n vecter est éfne coe étnt le prot j vectorel e l opérter : j pr le vecter ; rot ; j j rot e rottonnel n vecter est ss n vecter. os l fore trcelle nos rons : rot erqe : f est n chp sclre et et e vecters qelconqes les reltons svntes sont vérfées : - grf fv f v ; - vec Δ v gr rot rot Δ ; - ; rot f grf f rot - ; rotgrf - ; rot v - rot rot v
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : De ponts et ont por cooronnées crtésennes ns l espce : - 57 Déterner les coposntes vecter olton : ns qe son ole s recton et son sens. e vecter est onné pr : 4 5 on ole : 4 5 5 recton est éternée pr les ngles β q l ft vec chcn es es repère. es ngles se ésent pr le prot sclre vecter repère orthonoré : pr les vecters ntres :... 44 64. 89 5 β j : j 4 j.. β β. 565 β 55. 54 5 : 5... 77 44. 99 5 son sens : coe le prot sclre vecter vec les tros vecters ntres est postf lors l n sens postf svnt les tros es repère. j
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : résltnte e e forces F et F est égle à 5 N et ft n ngle e vec l force F 5. Trover le ole e l force et l ngle entre les e forces. N F olton : 5 N ; 5 N ; n os vons : F F Dns le trngle rectngle: D rectngle en D nos vons : D D D D F F D F sn F F D n otent lors : F F F sn F F F F F F F F Nos vons ss : D sn D sn F D D sn F sn sn F sn D F F et en replçnt l epresson ns on ott à : F F F F F F F F F F F F où : F F F F F 5 5 55 5 44 44N 5 5 epresson nos onne : 566 55 58 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : oent les vecters svnts : U j et U j lcler les prots sclres : U U U U U U n onne : j 5 5 j 7. 5 5 4 j lcler et ; ns fre e représentton grphqe qe pet-on re sens et e l recton vecter pr rpport à ; 4 lcler les prots svnts et ; 5 Déterner l srfce trngle foré pr les vecters et olton : U U U U U U 6 5 75 45 75 75 5 5 5 5 5 75 oe le prot vectorel es e vecters est nl lors ls sont prllèles De pls ler prot sclre est négtf 45 lors les vecters et sont prllèles et e sens opposés 5 5 4 5 4 45 6 45 5 5 75 5 45 on pet retrover ce résltt pr l éthoe vectorelle : Nos vons sot W W clclons W W
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD W W et W 5 665 98 45 45 5 5 4 5 75 5 5 j 5 66 98 5 srfce trngle foré pr les vecters est onnée pr l oté ole prot vectorel es e vecters : et Nos vons : lors : j 5 4 45 5 55 4 5 45 5 575 55 c est l e srfce prllélogre : Eercce 4 : oent les vecters : U 6 j 8 et et j 4 j Q Déterner et por qe les vecters U soent colnéres ; Déterner l vler e por qe les vecters soent perpenclres; Q et olton : U sont colnéres lors:u 48 6 8 6 4 sont perpenclres lors : Q et Q 4 Q 4 4 6 9
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce 5 : Trove le vole n prlléléppèe ont les cotés sont les vecters : U Q tel qe : U 6 j j 5 Q 4 j olton : e vole n prlléléppèe est n sclre postf. n ot tlser ne opérton vectorelle ont le résltt est n sclre postf : c est le ole prot te es tros vecters : v U Q 6 U Q 6 4 6 5 5 ; 5 v U Q Eercce 6 : trjectore n ole ns n repère orthonoré recte t éqtons prétrqes svntes : 4t 4 t j est onnée pr les t t ontrer qe le vecter vtesse ft n ngle constnt vec l e o. Qelle est l vler e cet ngle. olton : vtesse ole est onnée pr : Nos vons en effet : tg 8t 4 t t j tg 64t 6 t t 64t 4 6t t t 6 4
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD tg 6 t t t 6 t t 4 t t 4 4 tg 5 l vler e l ngle est en constnte. Eercce 7 : lgne cton ne force F e 8 N psse pr les ponts et 74 ns n repère orthonoré. Déterner les coposntes e cette force 6 olton : Nos vons : vecter ntre porté pr l lgne cton. j j 74 445 445 j 777 force F s écrr : F F 8 445 445 j 777 56 56 j 66 es coposntes e l force sont ns connes svnt les tros es repère. Eercce 8 : ot n repère orthonoré rect e e e ns l espce vectorel Eclen à tros ensons ns le corps es nores réels. ot n e Δ pssnt pr le pont et e vecter ntre tel qe : et n vecter qelconqe 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 6.KD n note π n pln orthogonl à l e Δ lcler les prots sclres svnts : ; Déterner les coposntes vecter ns le repère ; En ére ns cette se l trce représentnt l opérter prot vectorel noté : ; W e e e [ ] * Trover l epresson vecter : projecton orthogonle vecter sr l e ; En ére l trce Δ [ ] représentnt l opérter projecton orthogonle sr l e ; Δ 4 Trover l epresson vecter : projecton orthogonle vecter sr le pln π π ; En ére l trce [ représentnt l opérter projecton orthogonle sr sr le pln ] π π ; 5 Déterner l epresson e l stnce n pont à l e ; En ére l epresson trcelle représentnt l stnce crrée : ns le repère. Δ olton : lcl es prots sclres : ns le repère W e e e sos fore trcelle l epresson s écrr : W W W
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD [ ] W * vec : [ ] opérter prot vectorel. * Epresson vecter projecton e sr l e ns Δ Nos vons : e e e e e e [][ ] T Nos vons onc : [ ] [ ][ ] T 4 Epresson vecter projecton e sr le pln π π orthogonl à e vecter e coposntes l ne perpenclre pln elle est portée pr l e et l tre ns le pln Δ π. Nos vons lors : π π π on retrove l fore ole prot vectorel où :. e prot vectorel est ntcottf lors : ce q onne : π [ ] * [ ] [ ] * * π s nos svons qe : [ ] on fnleent : [ T * * ] [ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] T T * * * * π
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 8 ].KD vec [ ] [ ][ ] T * * Développons cette epresson : [ ] [ ][ ] * * T schnt qe : lors : trce [ s écrr : [ ] [ ] [] [ ][ ] T p or nos vons [ ] [ ][ ] T * * [ ][ ] [ ] [ ][ ] T T * * fnleent : [ ][ ] [ ][ ] [ ] * * T T 5 Epresson e l stnce pont à l e Δ H H Δ lclons le prot vectorel : e vecter por coposntes : r H H H H H H 9 sn nos vons lors : nos llons tlser l règle prot te fn e évelopper cette epresson.
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 9.KD q s écrt sos fore : vec D près ce qe l on v précéeent nos povons écrre : * r [ ][ ] r r r r T * * or nos vons [ ] [ ] T r * r * [ ][ ] [ ] r r T T T * * vec [ ][ ] [ ] T r r * * [ ] en fsnt ntervenr l sse sole nos otenons ne trce e l fore : [ ] J q est ne trce très prtclère qe l on retrover ns les chptres sr l cnétqe et l nqe es soles. Elle est ppelée trce nerte sole.
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD Eercce : 9 ésore l éqton vectorelle : où sont e vecters non nls. et olton : éqton n et e solton qe s sont orthogon. ot et π n pln contennt les vecters lors le vecters est perpenclre à ce pln et π. n cherche or ne solton prtclère vec n vecter tel qe : soent e vecters perpenclres entre e : et lors on ss : ltplons vectorelleent à gche cette éqton pr le vecter on otent : nos vons ns : en fsnt l fférence entre ces e éqtons nos otenons l solton générle : oe le prot vectorel est nl lors lors où : λ n fnleent : λ λ eprésentton géoétrqe : λ π
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : n spose e e forces l ne e 9 N l tre e 7 N. oent ot-on les sposer por otenr ne résltnte e : 6 N ; 4 ; N Eercce : lcler l srfce trngle où les soets ont por cooronnées ns n repère orthonoré : 4 Eercce : Déterner l résltnte es tros forces concorntes pont : F 7 j 5 ; F j 5 ; F j 4 lcler : F F F F F F En ére le ole l recton et le vecter ntre porté pr l résltnte F F Qe pet-on re e et. Eercce : ot le sstèe éqtons vectorelles ns n repère orthonoré rect j éterner les e vecters X et Y tels qe : X Y X Y vec 7 4 j 8 5 j n ltple vectorelleent à gche l éqton pr le vecter règle e vson vectorelle q on vent e vor ns l eercce 9. X ps on pplqe l X X Y X X Y X on replce cette epresson ns l éqton où : X on ét près ce qe l on ve ns l eercce 9 qe : X λ 8 7 8 X 5 4 λ 7 4 j λ 7 4 j 69 69 7 4
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD X 8 7 7λ 4λ j λ 69 69 69 n ét Y fcleent pr : 8 7 Y X 7 4 7λ 4λ j λ 69 69 69 8 7 Y 7 λ 4 λ j λ 69 69 69 Eercce 4 : Dns n repère orthonoré j on onne tros ponts e l espce nt por cooronnées : 4 4. ot π n pln éfn pr ces tros ponts et l norle n à cel-c. Déterner les coposntes vecter j 4 ns le pln π et svnt l norle à ce pln. olton : e vecter s écrrt : n π ù n π et π π e vecter ntre n est perpenclre pln et ss vecters lors : n n n Nos vons : j 6 j j ot 5 W 5 5 6 5 e vecter W est perpenclre e vecters et onc ss vecter lors l est perpenclre pln π foré pr ces tros vecters. n ét le vecter ntre norl pln π pr : W n W 5 5 6 4
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 4.KD n pet vérfer fcleent : 6 6 5 5 j n 5 5 6 5 5 j n 5 5 6 5 5 j n coposnte vecter svnt l norle pln s écrrt : n n j n n n 6 65 5 5 6 4 n n 5 975 6 6 5 5 6 65 6 65 coposnte ns le pln π se ét pr : j j n 99 657 6 5 975 6 4 π Eercce 5 : Déterner l epresson générle es vecters orthogon vecters : et. En ére les vecters ntres porté pr. W j j 5 W Eercce 6 : oent tros vecters lres ; ontrer q l vérfent l relton svnte : W U U W U W W U olton : n tlse l forle e éveloppeent ole prot vectorel. U W W U W U
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 44.KD U W W U U W W U U W U W soe es tros teres onne : W U W U U W U W U W W U W U U W U W W U U W W U oe le prot sclre est cottf lors : W U U U W W U W Eercce 7 : oent e forces et fsnt chcne respectveent n ngle e 5 et 5 vec l résltnte F F q ne vler e 4 N. Déterner les oles es e forces. olton : 5 5 5 F F Utlsons l règle es sns : sn sn 5 sn 5 5 5 8 or nos vons : et F F D où : N F 95 sn sn 5 et N F 65 sn sn 5 Eercce 8 : ot Q t j t t 7 5 t j t t 4 érfer les reltons svntes : Q Q Q Q Q Q
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 45.KD lcler les prots svnts : et Q Q ot n vecter ; qelle est l vler e j t U por qe le vecter sot perpenclre à U. Déterner le vole prlléléppèe foré pr les vecters Q U ; 4 Déterner l coposnte e sr l e Q Δ pssnt pr les ponts et Eercce 9 : ot f n sclre et tros vecters qelconqes vérfer les reltons svntes : grf fv f v ; rot f grf f rot ; 4 Δ v gr rot rot ; 5 ; grf rot 6 rot v 7 rot rot v olton : f f f f v f f f f grf fv f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f rot
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 46.KD f f f f f f f f f rot f grf 4 rot rot Δ v gr
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 47.KD 5 f f f f f f f f f f f f f f f f gr rot D ne tre nère : f f f gr rot 6 rot v D ne tre nère : rot v sot les vecters sont perpenclres vecter résltt et. Nos vons lors : rot v oe où : rot v 7 v
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 48.KD rot rot v Eercce : ot n vecter epré ns n repère orthonoré. j r j lcler et r gr r gr ; Ur est n chp sclre à sétre sphérqe ontrer qe est n vecter rl ; U r gr lcler et en ére qe por n chp électrqe oloen : v r r r E on ; v E 4 ontrer qe Δ r vec r ; 5 lcler r rot olton : Nos vons : r et r j r j r r r gr r r j
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 49.KD r j r r r gr j r r j r r r U j r r r U r r U r U j r U r U r U gr r r r r U r j r r r r U j j r v 4. Δ r gr r r r r v r gr v r r j r r r r. nos vons : 5 6.. r r r r r r r r e êe por et : 5 5 r r r r lors nos otenons :.. 5 5 5 5 Δ r r r r r r r r r r r r 5 r rot r : sont es vrles népenntes
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE E TEU 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD E TEU es torsers sont es otls thétqes très tlsés en écnqe. tlston es torsers ns l éte es sstèes écnqes coplees est très cooe cr elle fclte l écrtre es éqtons vectorelles. Une éqton vectorelle représente tros éqtons sclres et ne éqton torsorelle est éqvlente à e éqtons vectorelles onc à s éqtons sclres. Nos verrons ns les prochns chptres qtre tpes e torsers fférents : le torser cnétqe le torser cnétqe le torser nqe et le torser es ctons.. oent n vecter pr rpport à n pont e oent n vecter orgne glssnt o lé pr rpport à n pont est égl prot vectorel vecter poston pr le vecter. l s écrt : e trère foré respectveent pr les vecters est rect. Δ erqe : e oent pont est népennt e l poston vecter sr l e Δ. En effet nos vons : Δ r nos vons : 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e oent est perpenclre pln foré pr les vecters et. stnce est sovent ppelée rs e lever.. oent n vecter pr rpport à n e e oent Δ n vecter pr rpport à n e Δ éfn pr n pont et n vecter ntre est égl à l projecton oent sr l e Δ. Δ. es torsers.. Défnton e oent pr rpport à l e népennt pont. Un torser qe nos noterons [ T ] est éfn coe étnt n ensele e e chps e vecters éfns ns l espce géoétrqe et nt les proprétés svntes : e preer chp e vecters ft corresponre à tot pont e l espce n vecter népennt pont et ppelé résltnte torser [ T ] ; e secon chp e vecter ft corresponre à tot pont e l espce n vecter q épen pont. e vecter est ppelé oent pont torser [ T ]... Notton Δ est Δ Δ résltnte et le oent résltnt récton torser pont. pont consttent les éléents e ot l résltnte es n vecters glssnts :... pplqés n respectveent ponts :... n. Nos povons éfnr à prtr e ce sstèe e vecters e grners : n - résltnte es n vecters : ; - e oent résltnt en n pont e l espce est onné pr : n 5
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD es e grners consttent le torser éveloppé pont ssocé sstèe e vecters onnés. n opte l notton svnte : [ T ] erqe : Un torser n est ps égl à n cople e vecter s l est représenté pont pr ses éléents e récton. 4. roprétés es vecters oents 4.. Forle e trnsport es oents onnssnt le Torser [ T ] en n pont e l espce nos povons n éterner les éléents e récton e ce êe torser en n tre pont e l espce. e oent pont s epre en foncton oent pont e l résltnte et vecter. Nos vons en effet : n n n n n n ette relton très portnte en écnqe peret e éterner le oent en n pont en connssnt le oent pont. 4.. Eqprojectvté es vecters oents es vecters oents pont et pont ont l êe projecton sr l rote : n qe le chp es vecters oents est éqprojectf. 54
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD projecton vecter oent sr l e revent à fre le prot sclre vec le vecter à n fcter ltplctf près. Nos vons pr l forle e trnsport : ltplons cette relton sclreent pr le vecter. or est n vecter perpenclre à lors : on otent fnleent : o e prot sclre est cottf. ette epresson epre qe les projectons es vecters oents sont égles. et sr l rote 5. pértons vectorelles sr les torsers 5.. Eglté e e torsers De torsers sont ég éqvlents s et seleent s l este n pont e l espce en leqel les éléents e récton sont respectveent ég entre e. oent e torsers [ T ] et [ ] tel qe : T T ég pont cette églté se trt pr e égltés T [ ] [ ] vectorelles : [ ] [ T ] T 5.. oe e e torsers soe e e torsers [ ] T et [ ] T est n torser [ ] T ont les éléents e récton et sont respectveent l soe es éléents e récton es e torsers. [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] 55
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.. ltplcton n torser pr n sclre λ [ T ] λ [ T ] [ T ] vec λ λ 5.4. Torser nl e torser nl noté [ ] est l éléent netre por l on e e torsers. es éléents e récton sont nls en tot pont e l espce. [] 6. nvrnts torser 6. Défnton n ppelle nvrnt n torser [ ] tote grner népennte pont e l espce où elle est clclée. T 6. nvrnt vectorelle n torser résltnte est n vecter lre népennt centre e récton torser elle constte l nvrnt vectorelle torser [ T ] 6. nvrnt sclre n torser o tooent nvrnt sclre n torser onné est pr éfnton le prot sclre es éléents e réctons en n pont qelconqe e ce torser. e prot sclre est népennt pont. Nos vons v précéeent l forle e trnsport : ; en fsnt le prot sclre e cette relton pr l résltnte on otent : 56
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD on vot en qe le prot sclre es e éléents e récton n torser est népennt pont où est esré le oent. 7. e centrl n torser 7.. Défnton ot n torser onné e résltnte non nlle. e centrl Δ est éfn pr l ensele es ponts e l espce tel qe le oent torser en ce pont sot prllèle à l résltnte. Δ vec e centrl n torser est prllèle à l rote spport e l résltnte torser : Déonstrton : oent et e ponts e l e centrl nos povons écrre : et ' cr les e oents sont prllèles à ' et nos vons ss pr l forle e trnsport : ' ' ' ' ' ' r éfnton le vecter résltt e ' est perpenclre à ' et o nl. sele posslté c est q l sot nl lors ns ce cs : ' et ' ' ' : où l e centrl est prllèle à l résltnte torser. Nos llons ontrer ss qe l e centrl est le le es ponts o le ole oent torser est n. ot n pont pprtennt à l e centrl et sot n pont qelconqe e l espce n pprtennt ps à l e centrl. Nos povons écrre pr l forle e trnsport : on ét lors : or nos vons : 57
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD > Qel qe sot pprtennt à l e centrl le oent en ce pont est n. 7.. étre chp es oents n torser ot n repère orthonoré rect ont l e vertcl est confon vec l e centrl Δ torser éfn pont pr : [ ] T v Δ n éfn n tre repère locl orthonoré rect en n pont qelconqe e l espce tel qe l e reste confon : v tel qe v e rencontre l e en n pont. n pose h et où h r l forle e trnsport nos povons écrre : h v 58
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD D près cette relton on constte qe les vecters oents tor e l e centrl sont stés ns le pln v. - te lors : ; - e ole oent est constnt s te : n rerqe qe les vecters oents stés à ne êe stnce e l e centrl Δ sont tngents clnre e révolton e êe e Δ. n constte ss qe lorsqe le pont où est esré le oent se éplce le long e l e le oent en ce pont ft es rottons. Nos vons lors - por est prllèle à - por est orthogonl à l e n constte onc ne torson oent lorsqe le pont s élogne e l e centrl torser c est e là qe vent l orgne ot torser. 7.. Eqton vectorelle e l e centrl ot l orgne es cooronnées ns n repère orthonoré et Δ l e centrl n ] torser [ T. Nos vons : Δ λ Et En tlsnt l proprété ole prot vectorel on ott à : 59
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD e preer tere e cette éqton est népennt pont on pet le noter coe étnt n vecter et le secon tere épen pont cr c est n vecter prllèle à. n pose [ ] λ T où : λ e centrl torser psse pr le pont éfn à prtr e pr l éqton : et prllèle à onc vecter ntre :. 7.4. s torser Nos svons qe por tot pont e l e centrl nos vons : λ e prot sclre e cette epresson pr l nvrle vectorelle onne : λ où : λ oe le prot est l nvrnt sclre torser l vler λ est népennte pont. λ est ppelée s torser elle n est éfne qe s : 8. Torsers prtclers 8.. lsser 8... Défnton Un torser e résltnte non nlle est n glsser s et seleent s son nvrnt sclre est nl. ette éfnton pet se trre pr :[ T ] est n glsser [ T ] vec n st qe l nvrnt sclre est népennt pont où l est clclé. oe l résltnte n est ps nlle lors on pet re qe : n torser est n glsser s et seleent s l este ons n pont en leqel le oent torser est nl. 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8... oent en n pont n glsser ot [ T ] n glsser onné. l este ons n pont où le oent glsser est nl. ot ce pont nos povons écrre : r l forle e trnsport le oent en n pont qelconqe s écrt : ette relton epre le vecter oent en n pont qelconqe n glsser ont le oent est nl pont. 8... e n glsser ot [ T ] n glsser onné et n pont qelconqe tel qe : herchons l ensele es ponts por lesqels le oent torser est nl : ; cette relton ontre qe le vecter est colnére à l résltnte. ensele es ponts est éterné pr l rote pssnt pr le pont et e vecter ntre prllèle à l résltnte. ette rote est ppelée e es oents nl glsser o e glsser. Elle représente l e centrl glsser. Un torser e résltnte non nlle est n glsser s et seleent s son nvrnt sclre est nl. 8.. Torser cople 8... Défnton Un torser non nl est n torser cople s et seleent s s résltnte est nlle. ette éfnton se trre pr : [ T ] est n torser cople tel qe : 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 8... roprétés vecter oent e oent n torser cople est népennt es ponts e l espce où l est esré. Nos vons : tel qe : e oent en n pont qelconqe e l espce est onné pr : Q Q Q Q H Q n vot en qe le oent pont est népennt. on v ontrer q l est ss népennt es ponts et Q. En effet nos vons : Q QH H H H est l projecton orthogonle pont sr l rote spport vecter. En rélté le oent n torser cople ne épen qe e l stnce q sépre les e rotes spports es e vecters l est népennt le où l est esré. 8... Décoposton n torser cople ot [ n torser cople éfn pr : [ ]. e torser cople pet être écoposé T ] T en e glssers [ T ] et [ T ] tel qe : [ T ] [ T ] [ T ] coe st : [ T ] où les e glssers sont éfns où est n pont qelconqe es nvrnts es e glssers sont nls: ; l este ne nfnté e solton éqvlente à n torser cople. e prolèe est résol e l nère svnte : on choss n glsser [ T ] en se onnnt : - l résltnte glsser : ; 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD - l e glsser éfn pr n pont tel qe : Δ Δ e glsser [ T ] est éfn lors pr : - s résltnte ; - son e Δ est éterné fcleent cr l est prllèle à Δ ; l sfft lors e connître n pont e cet e. e pont est éterné pr l relton svnte : ette relton éterne l poston pont e fçon nqe. 9. Torser qelconqe 9.. Défnton Un torser est qelconqe s et seleent s son nvrnt sclre n est ps nl. [ T ] est n torser qelconqe 9.. Décoposton n torser qelconqe Un torser [ T ] qelconqe pet être écoposé ne nfnté e fçon en l soe n ] torser glsser [ T et n torser cople[ T ]. Nos procéons e l nère svnte : ho pont n chost n pont où les éléents e récton torser [ T ] sont conns :[ T ] e cho pont épenr prolèe à résore on chost le pont le pls sple à éterner. Une fos qe le cho est ft l écoposton torser qelconqe est nqe. onstrcton glsser [ ] T - l résltnte égle à l résltnte torser qelconqe : vec son e q psse pr le pont éjà chos ; - e oent est nl sr cet e : 6
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD [ T ] [ T ] e glsser r por éléents e récton : c onstrcton torser cople [ T ] - l résltnte est nlle : - e oent torser cople est égl oent torser qelconqe: [ T ] [ T ] e glsser r por éléents e récton : n otent ns [ T ] [ ] [ ] T T En chqe pont chos ntleent nos povons fre cette constrcton. Tos les glssers otens ront l êe résltnte. ls fférent pr lers es s grent l êe recton cr ls sont tos prllèles à l e portnt l résltnte torser qelconqe.. Tle récptltf sr les torsers Eléents e récton pont onstrcton n Tpe e torser Un vecter lé nqe Torser glsser De vecters lés fornt n cople Torser cople Un vecter lé vecters lés fornt n cople Torser qelconqe ecters nls Torser nl 64
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD EXEE ET UTN Eercce : Dns n repère orthonoré j e ponts et ont por cooronnées : - et 5 ; Déterner : e oent vecter glssnt pr rpport centre repère ; e oent vecter glssnt pr rpport à l rote Δ pssnt pr le pont et le pont olton : e oent vecter pr rpport pont est onné pr : 9 9 j 4 5 4 ; oent vecter pr rpport pont à l rote Δ éfne pr le pont et le vecter ntre tel qe : j j 4 4 6 Δ 9 6 8 4 ; 4 65
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 66.KD Eercce : oent les tros vecters ; éfns ns n repère orthonoré et lés respectveent ponts j j j j onstrre le torser [ ] ssocé sstèe e vecters ; T En ére l tooent ; lcler le ps torser ; 4 Déterner l e centrl torser vectorelleent et nltqeent. olton : es éléents e récton torser [ ] T sont : résltnte : j e oent pont : tooent : 5 j j s torser : 5 5 p 4 Eqton vectorelle e l e centrl : l e est n e centrl lors : Δ Δ λ on éqton vectorelle est onnée pr : λ vec λ
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5 λ λ λ j λ lors : ; λ et λ 9 D où : e centrl est ne rote ns n pln prllèle pln sté à éqton : et Eercce : T ] ot le torser [ éfn pr les tros vecters j 7 ; j j 8 éfns ns n repère orthonoré j respectveent ponts ; et le torser [ ] où j et j 7. T Déterner les éléents e récton torser [ T ] conclson; Déterner le ps et l e centrl torser [ T ] ; lcler l soe et le prot es e torsers ; 4 lcler l tooent torser soe. olton : Eléents e récton torser:[ T ] 67
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 68.KD j 6 6 7 8 7 [ ] j T 6 s et e centrl torser [ ] T s torser : 7 4 9 4 7 j j e centrl torser : λ λ λ λ λ λ 4 5 4 7 5 4 7 4 oe et prot es e torsers oe es e torsers : [ ] [ ] [ ] j j T T T 7 8 rot es e torsers : [ ] [ ] 5 7 j j T T 4 tooent torser soe : 7 7 8 j j F
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : 4 n consère les ponts - et D - ns n repère orthonoré j. Déterner : es éléents e récton torser ssocé vecters et e centrl torser vectorelleent et nltqeent. D ; Eercce : 5 ot n pont e l espce ns n repère orthonoré j vec 4 j et n vecter j ont l e psse pr le pont. 9 9 9 T ] ot [ n torser éfn pont pr ses éléents e récton et tel qe : [ T ] 4 j 9 j Déterner les éléents e récton torser [ ] T ont l résltnte est le vecter ; or qelle vler e les e torsers sont ég ; En ére le ps et l e centrl torser [ T ] por cette vler e. 4 lcler le prot es e torsers por olton : Eléents e récton torser [ ] [ T ] [ T ] j j j ; où T 9 4 9 9 es e torsers sont ég s lers éléents e réctons sont ég. [ T ] [ T ] j 4 j j 9 j 69
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD ette églté est vérfée por : [ ] 4 s et e centrl torser T por. e torser s écrt : [ T ] j j s torser : j j 9 e centrl torser : est l ensele es pont tel qe : 9 λ 57 λ λ 9 λ 9 λ s sont les cooronnées pont lors : nos rons les tros éqtons sclres: λ λ λ 57 9 9 85 le pont écrt l core : 57 5 rot es e torsers por ] or le torser [ s écrt : T [ T ] j 6 j [ T ] [ T ] 7 7
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se : 7.KD Eercce : 6 oent e torsers et [ éfns êe pont pr lers éléents e récton ns n repère orthonoré : [ ] T ] T j [ ] j j T 7 4 et [ ] j j T 7 4 Déterner l e centrl et le ps torser [ ] T ; Déterner l tooent torser [ ] T ontrer q l est népennt pont ; onstrre le torser [ ] [ ] [ ] T T T vec et ; 4 Qelle relton ovent vérfer et por qe le torser [ ] T sot n torser cople ; 5 ontrer qe le torser cople est népennt pont o on le esre ; 6 Déterner le sstèe le pls sple e vecters glssnts ssocés torser soe : [ ] [ ] T T olton : e centrl et s torser [ T ] e centrl : l est éfn pr l ensele es ponts tel qe : λ λ λ λ λ λ 7 5 7 7 5 7 7 4 7 s torser [ : ] T 7 8 7 4 7 j j tooent torser [ : ] T 8 7 4 j j
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD tooent est népennt pont. En effet près l forle e trnsport nos povons écrre : on vot en q l est népennt pont. [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] [ T ] j 4 j 7 4 onon por qe [ T ] sot n torser cople : l ft qe l résltnte sot nlle : e oent ns ce cs ser égl à : 4 8 5 e oent n torser cople où les résltntes ont le êe ole s e sens opposées et pplqées ponts qelconqe et s écrt : H H H H H H e oent n cople est népennt e l stnce entre les ponts et l épen nqeent e l stnce q sépre les e rotes spports es résltntes. ette stnce est ppelée rs e lever. 7
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD T T 6 stèe sple e vecters glssnts ssocés torser soe : [ ] [ ] e torser soe [ T ] est onné pr : [ T ] 8 résltnte pet être écoposées en e vecters qelconqe e êe ole et e sens opposé ont l n es vecters est plcé pont on otent lors : 5 sstèe e e vecters glssnts : et tel qe : Eercce : 7 [ ] oent e torsers T et [ T ] éfns êe pont ns n repère orthonoré j pr : sn j sn j [ T ] et [ T ] Déterner les ps es e torsers ; Qelle est l ntre es e torsers ; Déterner l e centrl torser [ T ] ; sn j sn j 4 Déterner l nvrnt sclre torser [ T ] éfn pr : [ ] [ T ] [ T et ; T ] où 5 En ére l éqton sclre e l srfce engenrée pr l e centrl qn vrent ; 6 lcler le prot es e torsers [ T ] et [ ] T ; et 7
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Eercce : 8 n consère e ponts - et e vecters β ns n repère orthonoré j. β Déterner les éqtons e l e centrl torser éfn pr les vecters et ; Dére l éqton e l srfce lée pr cette e lorsqe et β vrent en grnt constnt. Eercce : 9 ot [ T ] n torser et n pont qelconqe e l espce. Déterner l ensele es ponts tels qe le oent torser [ T ] pont sot prllèle oent torser [ T ] pont. Eercce : n pplqe à n sole e fore qelconqe e forces tel qe : ponts et sole. Qelle est l ntre torser lé e forces ; ontrer qe le oent e ce torser est népennt es pont et. F F N 74
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD HTE TTQUE DE DE 75
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD TTQUE sttqe est l prte e l écnqe q éte l éqlre es sstèes térels sos à n ensele e forces. es sstèes pevent se rére à n pont térel n ensele e ponts térels n sole o à n ensele e soles. Dns ce chptre nos nlserons les ctons écnqes eercées sr ces sstèes à trvers l éte e l éqlre e cel-c. Un sstèe térel est en éqlre sttqe pr rpport à n repère onné s cors teps chqe pont e l ensele gre ne poston fe pr rpport repère.. es sstèes e forces ns l espce es sstèes e forces sont clssés en tros ctégores : oncornts : les lgnes cton e totes les forces sstèe pssent pr n êe pont. est ce qe l on ppelle forces concorntes en n pont. - rllèles : les lgnes ctons es forces sont totes prllèles on ss elles s nterceptent à l nfn - Non concorntes et non prllèles : les forces ne sont ps totes concorntes et ps totes prllèles... oposntes ne force ot ne force F pplqée à l orgne n repère orthonoré j. es coposntes e cette force sont éfnes pr : F F F H F F F F F F F F sn F F sn F sn sn F H F sn F sn sn j F F F F j F nos vons ss : F F F F 76
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD.. osns recters es projectons e l force F onnent respectveent les ngles : sr les tros es o o o F nos rons lors : F F F F F F j sont les vecters ntres repère nos rons : F F F j F F j F F λ vec λ j e vecter λ l êe recton qe l force F et por ole.. Force éfne pr son ole et e ponts sr s lgne cton oent e ponts et pprtennt à l rote Δ spport e l force F. e vecter s écrr : j j F ot le vecter ntre le long e l lgne cton e l force. l est onné pr : j j oe l force est onnée pr : F F F j oposntes svnt les tros es repère : F F F F F F. 77
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD. Eqlre n pont térel n ppelle pont térel ne prtcle sffsent pette por povor néglger ses ensons et repérer s poston pr ses cooronnées. F n F o F F Un pont térel est en éqlre sttqe lorsqe l soe e totes les forces etéreres qelles l est sos est nlle. es forces pevent être coplnre o ns l espce. F F F F4... F F Une prtcle sose à e forces est en éqlre sttqe s les e forces ont le êe ole l êe recton s e sens opposé tel qe ler résltnte sot nlle. F ; F F F F F F F 4. sons es soles 4.. sons sns frotteents Dns le cs ne lson sns frotteent entre n sole et n pln l récton est tojors norle pln pont e contct qelqes sot le nore e forces etéreres pplqées sole. r lsse N N récton cton F n N F n F N F N 78
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs n contct ponctel sns frotteent l conon éqlre est rélsée s l soe e totes les forces etéreres pplqées en ce pont est égle à l récton norle en ce êe pont. F N 4.. sons entre soles vec frotteents n pose ne pèce e os en fore e prlléléppèe sr n pln horontl. ette pèce e os est en éqlre sttqe. récton pln horontl est égle et opposée pos e l pèce. Fgre :. N T N Fgre :. pplqons grelleent en n pont e cette pèce ne force horontle F fgre :. pèce ne oger ps tnt qe cette force est nférere à ne certne vler lte l este lors ne contre force T q éqlre et s oppose à cette force F. T est ppelée force e frotteent sttqe. Elle réslte n grn nore e prètres lés étts e srfces à l ntre es tér et forces e contct entre l pèce et l srfce consérée. ette force e frotteent sttqe oét à l vrton représentée sr l fgre svnte. μ est le coeffcent e frotteent sttqe épen nqeent e l ntre es srfces e contct nos povons écrre : F T T : force e frotteent sttqe rte sttqe T : force e frotteent nqe F or qe l éqlre sttqe sot rélsle l ft qe : T p μ N l éqlre lte on r : T μ N 79
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD Dns le cs ne srfce vec frotteents fgre c-essos l conon éqlre s écrr : F N T l soe es ctons et es réctons est nlle T μ tg N T N F force e frotteent T est rgée ns le sens contrre oveent et l ngle est ppelé ngle e frotteent sttqe. T F f le sole se et en oveent e glsseent sr l srfce. T T N vec < μ et tg φ N e coeffcent népennt teps est ppelé coeffcent e frotteent nqe l est ss népennt e l vtesse. e tle repren qelqes coeffcents e frotteent sttqes et nqes es srfces e tér en contct : oeffcent e frotteent sttqe μ cer cer ollé. sec.6 oeffcent e frotteent nqe.5.4 os os ollé.5. étl glce.. Téflon cer.4.4 vre cer ec.5.4 8
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. stèe e forces 5. oent ne force pr rpport à n pont e oent F pr rpport à n pont ne force F pplqée pont est égle prot vectorel : F F. e trère foré pr les vecters F F est rect. F π F erqe : e oent ne force glssnt le long n e Δ pr rpport à n pont est népennt pont où elle s pplqe. F H H F vec H Δ H F H F coe H lors H F où F H F π F H F Δ 5. oent ne force pr rpport à n e ot n pont sr l e Δ et vecter ntre porté pr cet e. n éterne le oent pr rpport pont noté : F s projecton sr l e Δ est onnée pr : F Δ F F Δ F Δ F 8
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5. Théorèe e NN e oent n sstèe e forces concorntes en n pont pr rpport à n pont est égl oent e l résltnte es forces pr rpport pont. Dns les e cs e fgre nos ontrerons qe le oent résltnt est égl oent e l résltnte es forces sstèe. F F n F F F F n n F F fgre : fgre : Fgre : Nos vons F et le oent pont est onné pr : F F F... Fn F F... Fn F Fgre : Nos vons F n n F F F... F F F n F n... r F > F ; on otent fnleent : F F F... Fn n F n 8
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 5.4. oent n cople e forces Un cople e force est éfn pr e forces e êe ole e sens opposée et portées pr e rotes prllèles tel qe : F F ; F F F F F F F F F F F F soe es forces est nlle s le oent n est ps nl. Un cople e force prot nqeent n oveent e rotton. e oent n cople est népennt pont où on le esre l épen nqeent e l stnce q sépre les e rotes spports es e forces. Un cople ne pet js être replcé pr ne force nqe ; Un sstèe force cople tel qe F pet tojors se rére en ne résltnte nqe. n chost l résltnte es forces pont où s pplqe le oent e telle sorte qe son propre oent sot nl et le oent en ce pont sert égl à l soe es oents e totes les forces sstèe. F F F F F F 8
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6. ttqe sole Tos les soles qe nos éterons ns ce chptre sont consérés néforles : l stnce entre e ponts êe sole reste constnte qels qe sot les sstèes e forces etéreres pplqés. n consère n sole qelconqe sos à es forces : F F F... pplqées F n ponts :... n 6.. Eqlre sole or qe le sole sot en éqlre sttqe l ft et l sfft qe : - résltnte e totes les forces etéreres pplqées sole sot nlle ; - e oent résltnt e totes ces forces en n pont sot nl. F n F n F F F F Un sole sos à es ctons écnqes etéreres est en éqlre sttqe s et seleent s le torser représentnt l ensele e ces ctons est n torser nl. es e éqtons vectorelles se trsent pr les s éqtons sclres svntes : et e sstèe est coplèteent éterné s le nore nconnes est égl nore éqtons népenntes. 84
U oerès Fclté es scences Déprteent e phsqe ors eercces écnqe tonnelle : TT et D-T se :.KD 6..Eqlre n sole ns n pln Dns le cs n sole sos à es forces coplnres le sstèe précéent se rét à tros éqtons sclres. ot o le pln contennt les forces pplqées sole nos vons lors : et F et es éqtons éqlre se résent à : F ; F ; F F F ; F F F F F F F n n F 6.. éctons pps et lsons à e ensons 6... pp sple n sole sr ne srfce prfteent lsse es contcts entre les soles sont ponctels. ot n sole reposnt sr ne srfce on qe le pont sole est n pont pp s l reste contnelleent en contct e l srfce. le pln est prfteent lsse lors l force e lson l récton pont e contct est norle à ce pln. 85